福建省三明市2024屆高三年級下冊5月三模試題 數(shù)學(xué) 含答案

三明市2024年普通高中高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試題

（本試卷總分150分，考試時間120分鐘。）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.已知直線y=-x+2與圓x2+y7=4相交于M,N兩點，則|MN|=

A.V2B.2C.2V2D.4

2.已知a,b,c分別為AABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊，a=3,b=V37,c=7,則A+C的值為

A.-B.-C.—D.—

6336

3.隨機(jī)變量a~N（P,。2）,函數(shù)f（x）=x2—4x+a沒有零點的概率是右則口的值為

A.1B.2C.3D.4"

22

4?若a=（-|丁，b=（-|）\c=log||,則

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>c>a

5.各種不同的進(jìn)制在生活中隨處可見，計算機(jī)使用的是二進(jìn)制，數(shù)學(xué)運(yùn)算一般使用的是十進(jìn)制，任何

進(jìn)制數(shù)均可轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，如八進(jìn)制數(shù)（3750）8轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的算法為3x83+7x82+5

X81+0x8°=2024.若將八進(jìn)制數(shù)落轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，則轉(zhuǎn)換后的數(shù)的末位數(shù)字是

A.3B.4C.5D.6

6.函數(shù)f（x）=sin（wx+巾）（3>0,0<巾<n）的部分圖象如圖所示，其中A,B兩點為圖象與x

軸的交點，C為圖象的最高點，且4ABC是等腰直角三角形，若

OB=-3OA,則向量而在向量近上的投影向量的坐標(biāo)為

7.已知拋物線x2=2py（p>0）的焦點為F,第一象限的兩點A,B在拋物線上，且滿足|AF|-1BF|=3,

|AB|=3四若線段AB中點的橫坐標(biāo)為3,則p的值為

A.2B.3C.4D.5

8.已知函數(shù)f（x）-ex~1—e1x+x3-3x2+3x,若實數(shù)x,y滿足f（3x?）+f（2y2—4）=2,

則x+y的最大值為

A.1B.—C.V5

2D耳

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.i是虛數(shù)單位，下列說法正確的是

A.i2024=-l

B.若3=_1_曰i,則G）=3

C若|z|二l,zee,則|z-2|的最小值為1

D.若-4+3i是關(guān)于x的方程x?+px+q=0(p，q6R)的根,則q=7

10.假設(shè)甲袋中有3個紅球和2個白球，乙袋中有2個白球和2個紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入乙

袋，混勻后再從乙袋中任取2個球.下列選項正確的是

A.從甲袋中任取2個球是1個紅球1個白球的概率為￡

B.從甲、乙兩袋中取出的2個球均為紅球的概率為以

C.從乙袋中取出的2個球是紅球的概率為三”

D.已知從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率為募

H.在棱長為2的正方體ABCD-AiBigDi中，E,F,G分別為AB,BC,gD1的中點，則下列說法正

確的是_

A.若點P在正方體的表面上，且瓦?閑=0,則點P的軌跡長度為24n

B.若三棱錐F-C1CE的所有頂點都在球0的表面上，則球0的表面積為14TT

C.過點E,F,D1的平面截正方體ABCD—AiBigDi所得截面多邊形的周長為四+2代

D.若用一張正方形的紙把此正方體完全包住，不考慮紙的厚度，不將紙撕開，則所需紙的面積的最

小值為32

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知從小到大排列的一組數(shù)據(jù)：1,5,a,10,11,13,15,21,42,57,若這組數(shù)據(jù)的極差是其

第30百分位數(shù)的7倍，則a的值為.

13.已知關(guān)于x的不等式(x—kex)歸一(k+3)x+9]W0對任意xC(0,+8)均成立，則實數(shù)k的

取值范圍為.

14.記N；n={l，2,3,…，m}(mCN*),Ak表示k個元素的有限集，S(E)表示非空數(shù)集E中所有元素的

和，若集合Mmk={S(Ak)|AkGN,},則M43=，若S(Mm2)、817,則m的最小值為.

四,解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)如圖，多面體PABCD中，aPB。和ACBD均為等邊三角形，平面ABD,平面PBD,BD=2,PC

V3.

(1)求證：BD±PC；

(2)求平面ABD與平面PBC夾角的余弦值.

16.(15分)已知函數(shù)f(x)=sin?x+cos(ax+看)(其中?>0)圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為

(1)若f(x)在(0,m)上有最大值無最小值，求實數(shù)m的取值范圍；

(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移g個單位長度；再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍

(縱坐標(biāo)不變)，得到g(X)的圖象，設(shè)"(x)=g(x)+[x,求h(z)在(一2n,:n)的極大值點.

17.(15分)某校開設(shè)勞動教育課程，為了有效推動課程實施，學(xué)校開展勞動課程知識問答競賽,

現(xiàn)有家政、園藝、民族工藝三類問題海量題庫，其中家政類占;，園藝類占;民族工藝類占;?根據(jù)以往

442

答題經(jīng)驗，選手甲答對家政類、園藝類、民族工藝類題目的概率分別為看《持選手乙答對這三類題

目的概率均為去

(1)求隨機(jī)任選1題，甲答對的概率；

(2)現(xiàn)進(jìn)行甲、乙雙人對抗賽，規(guī)則如下：兩位選手進(jìn)行三輪答題比賽，每輪只出1道題目，

比賽時兩位選手同時回答這道題，若一人答對且另一人答錯，則答對者得1分，答錯者得-1分，若

兩人都答對或都答錯，則兩人均得0分，累計得分為正者將獲得獎品，且兩位選手答對與否互不影

響，每次答題的結(jié)果也互不影響，求甲獲得獎品的概率.

,口2+a

18.(17分)已知數(shù)列｛a匚1｝滿足a1.a2…a°_i?a；,=(/),nGN*.

(1)求數(shù)列｛am｝的通項公式；

⑵設(shè)數(shù)列山，的前n項和為SD,若不等式(一1)3—14wSn2對任意的nCN*恒成立，求

實數(shù)t的取值范圍；

(3)記4=1-,求證：喑+陪+…+與警i<&(nCN*).

bb

log2anViV2Jba

19.(17分)已知平面直角坐標(biāo)系xoy中，有真命題：函數(shù)y=mx+1(m>0,n

>0)的圖象是雙曲線，其漸近線分別為直線y=mx和y軸.例如雙曲線y=(的

漸近線分別為x軸和y軸，可將其圖象繞原點0順時針旋轉(zhuǎn)；得到雙曲線x2

4

-y2=8的圖象.

(1)求雙曲線y=工的離心率：

X

(2)已知曲線E:x2-y2=2,過E上一點P作切線分別交兩條漸近線于A,

B兩點，試探究AAOB面積是否為定值，若是，則求出該定值；若不是，則說明

理由；

(3)已知函數(shù)丫=去+興的圖象為「，直線l:x+gy—3=0,過F

(1，舊)的直線與「在第一象限交于M,N兩點，過此N作1的垂線，垂足分別為

C,D,直線MD,NC交于點H,求^MNH面積的最小值.

三明市2024年普通高中高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)參考答案及評分細(xì)則

評分說明：

I.本解答給出了一種或幾種好注供萼苦,如果考生的解法。本解衿不同,可根據(jù)試圓的主婺有點內(nèi)

容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評分細(xì)則.

2,對計算雙，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后維部分的解答未&變謨鹿的內(nèi)客和雄度，

可視密響的程度決定不婚加分的給分.但不得印過禹部分止確解答應(yīng)給分散的T；如果后*部分的解答

有我再也的錯誤.較不再給分.

3.解答右端所注分?jǐn)?shù)，衣示考生正確做到這步應(yīng)用的累加分散.

4,只給整數(shù)分?jǐn)?shù),選擇題和堵空8B不給中間分.

一、選擇施：本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算.期小題5分，滿分40分.

1.C2.C3.D4.A5.A6.B7.B8,C

二、選擇啊：本大題甘杳曜礎(chǔ)知識和施本運(yùn)算.斑小胭6分，滿分18分.全部選對的得6分,

部分選對的得部分分.有選錯的得0分.

9.BC10.ACDII.BCD

三、填空題：本大兩芍百基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算.每小題5分，滿分15分.

12.613.[gj]14.16.7.&9}.21（第一空2分，第二空3分）

四、解答題：本人腮共5小題.共77分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演口步驟.

15.解法?：（1）證明：取8。的中點M,連接PW、MC,..............1分

V4BPD和4BCD均為等邊三角形，

:?BDLPM，BDLCM..........................................2分

又P.MflCM=M,

二助,平面aw,...............................................3分

又YCFU平面CPM.

：,BD1CP.......................................................4分

（2）以M為原點，標(biāo)，床所在直城為軸，過M作平面8C。的垂線所在宜

線為z軸，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，.............................5分

???平面/MJ.平面「80.平面平面PW）=8D，PMu平面PBD,PM1BD

：.PMJ.平面480.

*

?；APBD和ACBD均為等邊三角形.’/

:?PM=MC=PC=6ZPA/C=60°,

%I貞恭”或

.?.pjo#]}C(0.V3.0).fi(1.O,O)................................................................6分

....=卜W，Sc=(-1,73,0).加=(吟g)

設(shè)平面PBC的法向ft為m=(x,y\:)

■Ji3.

而=0.-X+——F4--Z=0,

_即2'2

mBC=0

-x+=0

取j=1.則m=(3,6」)，8分

平面.4皿的法向妣W*：10分

設(shè)平面與平面/$<:的夾角為0,

12分

.??平面/與平面P6C夾角的余弦值為我........................13分

13

解法二：<1）同解法一................................................4分

（2）如圖，取A/C的中點E為原點，連接尸￡,過煎E作EF”MB,交BC千點、F,

11］（I）知CM±BD,EF1WC,

又由（I）知8￡）_L平面CPW.又：P￡u平面CPM.???附J.P￡.

V△PRD和4CBD均為等邊三角形且校長為2,

:?PM=MC=PC=6，,PE工MC,

**-----*

BDC\MC=MPE±平而C6Q?'r——??

?,以￡為原點.前.或.喬所在直線為軸.?I

■

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.......................................5分

,:平面ABD1平面PBD.平面ABDf\平面PRD=RD，PMu平面PBD.PM1BD

：.PM1平面ABD.

第2貞共II貞

.,.平面」8。的法向貴麗當(dāng)g）..............................7分

.?.《oa；｝C?oj.8（1邛可............................8分

設(shè)平面PBC的法向址為m=（冗,%二），

|mCP=Ox3"O

一，即?83，?。?1,則m=3,有」,10分

mCB=O一$一J=o

〔2.2

設(shè)平面ABD與平面PBC的夾角為6,

皿"=.（誣"*）卜標(biāo)*扁|=魯

平面/雙）、平面P8C夾角的余弦值為號.

13分

I'''

=sin(t)x+cos(0!>.r+*)=^-sina)x+geos<y.r=sin(/y.v+y)

（1）由膻意/（X）

.................................................................2分

因為/（X）圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為：，

所以冏期7=胃=2弓，故3=2,所以/（X）=S"2X+T）,............4分

當(dāng)xe（O.M）時,2x+yeIj,2m+jj,.............................5分

因為〃x）在區(qū)間（0,m）上育最大值無最小伯，所以;<2"+；￡半，.....6分

解得所以M的取值范圍為（卷，3]......................7分

第3貞票“或

(2)將函數(shù)/(x)圖象向右平移：個單位長慢.

6

斛到iin[2(WusinZir的圖象.............................8分

63_

再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變)，

得到氟.0=sinx的圖象............................................9分

所以函數(shù)/r(x)=1x+sinx,所以〃(x)=：+cosx,...........................................10分

22

令“6=0得cosx=-1.

因為xw(-2*M,

所以當(dāng)-—爭忖,俏外>0,如0單調(diào)遞增,..................II分

當(dāng)xe(號尸爭時.Af(x)<0,機(jī)外單調(diào)遞減.....................12分

當(dāng)xw(4,爭時，r?>o,M幻單調(diào)遞叫......................”分

當(dāng)xe(與⑶時,nt)<0,加外單調(diào)遞減............................14分

所以函數(shù)Mx)的極大值點為一9和三..............................15分

解法二：(1)同解法一..............................................7分

(2)將函數(shù)/(X)圖望向右平移￡個單位長度，

得到p=sin[20r-.).W]=sinZir的圖象，............................8分

再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)榘鍋淼?倍(縱坐標(biāo)不變)，

得到爪x)?§inx的圖象，...........................................9分

:ft4貞共“貝

所以函數(shù)機(jī)x)=(x+sin-所以相....................10分

令h\x):0得cosx=一：，

當(dāng)-與+2人笊<工<與?然見時，俏外>0,加x)單調(diào)遞增，

因為KW(-2JT,/T)

所以*=T時.-2<<*v-,.加工)單調(diào)遞增......................II分

A=1時.-與<x<與％(外單調(diào)遞增...............................12分

當(dāng)與+24*<x<與+2A/T時，/?r(x)<0,加工)單調(diào)遞減，

因為、€(-2★.此

*=0時,y<x<ff.就外單調(diào)遞減,..............................13分

%=一|時.彗Vxv-容〃(外單調(diào)遞減，........................14分

所以函數(shù)抑外的極大值點為-午和方...............................”分

解法三：(1)同解法一.............................................7分

(2)將函數(shù)/(力圖坡向右平移￡個單位長度.

得到p=sin[：(x-.)+g]=sin2x的圖象，............................8分

再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變)，

得到g(x),sinx的圖象，...........................................9分

所以函數(shù)加x)=：x+sinAT,所以相X>=2+85X..........................................10分

22

第3頁共n貞

令A(yù)'(x)=O得COSX=_：

因為，6（-2萬."），所以的變化情況如下:

（-2不?一與）4<（一竺一瑪2"27

X

~T（3，3）"T（一7.石）T

1)+0-0*0-

極大極小極大

力（外單調(diào)遞ifl單調(diào)遞誠單調(diào)遞增單調(diào)遞減

值值III

14分

所以函數(shù)Mx）的極大值點為和................................15分

17.解；（D記曲機(jī)任選1題為家政、園藝、民族工藝試題分別為事件4（，=123）,

記防機(jī)任選1髓，甲答對為事件B,..............................I分

則/>（8）=￡尸（4）N8|4）=P（4）H8|4）+P（4）P（8|4）+PG%）P（B|4）

i-|

.................................................................2分

1212143.八

=-x-+-x-+-x-=-,...........................................4分

4545255

所以隨機(jī)任選1即，甲答對的概率為.............................5分

<2）乙答對記為事件C,則

HG="4）F（C|4）+尸⑷HC⑷+N4）HC[4）=m[+!*!=：

4242222

......................................................................7分

設(shè)每一輪比賽中甲得分為*.

則P(X=I)=尸=P⑻尸?=沖一撲得，......................8分

P(X=0)=P(j?CU5C)=P(fiC)+P(SC)=^xi4^l-|jx^-lj=l,.....9分

W6負(fù)能II91

...............10分

三輪比賽后，設(shè)甲總得分為八

則汽『)=㈢；與，..........

..............................................................11分

U0)1000

n，-2)-C)(w)X2-2O5,

..............................................................12分

p(r=i)=c；xlx(lpc；x(lpl=279.................................

.............13分

1000，

所以甲最終獲得獎M的概率為

27279441

p=p(x=3)/>(r=2)+p(r=i)=—+...............15分

+1()(X1200~000-15)0'

18.(1)因為％5訴①

所以當(dāng)②..............................1分

由:;得町-2*...................................................................................................................2分

因為〃=1時也符合上式........................................3分

所以數(shù)列卜」是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以q=2二和wN1..............................................................................................................4：:

(2)由⑴知，S=2。.2.)=獷2,.................................................................$分

"1-2

因為不等式(T)??第744s;對任意的”、?恒成立，又Z＞。且其單調(diào)遞增，

..............................................................................................................................................6分

所以(-1廣對任意的“w”恒成立.............................7分

因為E=z$?6,5戶4.昂=30,.............................................................................8分

所以當(dāng)”為偶數(shù)時，原式化簡為，MS.+蔡對任意的".N?恒成立，即'4&+器)

因為其=6＞拒，所以當(dāng)"=2時，rsg..............................................................10分

W7頁飩II貨

當(dāng)”為奇數(shù)時.原式化府為TMS.+?對任意的“eN?怛成立.即-12+/

因為*=2＜拒＜S,=I4,所以當(dāng)ir=l時，T49,所以IN-912分

綜上可知，-9S?Sy...........................................................13分

（3）因為..........................14分

所以也｝是單調(diào)遞戰(zhàn)數(shù)列，

所以歷〈正...................................................15分

所以=2/-后）

＜2x^1=72

原不等式得證.....................................................”分

」

19.解法?：《1）由題意可知雙曲線丁=’的文軸為》=工，聯(lián)立'=，，

x

[*=1ff=-11

解得?或「即雙曲線＞=工的兩頂點為（UM-L-D.

l.v=lU,=-lx

故實軸長2="+1『+（1+1/=20,即a匚/7..........................................2分

函數(shù)1?=’的圖象繞原點。順時計旋轉(zhuǎn)工后漸近線為N=±x,......................3分

x4

所以a=/＞=J^\c=2?所以，雙曲線p=—的離心率?=J5"......................4分

（2）由（1）知函數(shù)v=1的圖軟繞原點。順時針旋分三得到雙曲線/-/=2的圖象,

x4

所以,雙曲線八小2的圖象繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)件到函數(shù),W的圖卻

........................................................................................................................5分

弟*貞恭“或

其漸近線分別為X軸和］'軸.此時設(shè)P'（飛，,），

公

因為＞'T?.........................................................................................6分

V

所以戶處切線斜率*=-2.嚴(yán)處切線方程為y-」=-±（x-A）...........7分

匕&v

過。作切線分別交兩條漸近戰(zhàn)于十佃2）?“（2x”0）.........................................8分

拓

所以S”=捫4|網(wǎng)=；目岡=2.

所以&＜。夕的面極為定值2,即乂。8的面枳為定值2...................................9分

（3）依題意知，函數(shù)丫=3工+3的兩條漸近線分別為\，=亙'和FMb

32x3

則實軸為j，=6t

］尸包+立卜邛廣

由.32x,聯(lián)立解得，；，所以雙曲魂實半軸氏a=JL

|y=6丫V=2

將函數(shù)的圖軟繞原點。順時葉旋轉(zhuǎn)［得到曲線「的方程為（-1=］,

32K33

...........................................................................................................................10分

將F（I,V3），直線/：x?立］＞一3=0繞原點。順時針旋軋y得到

尸（工0）,直線/*U==.....................................................................................11分

2

則過H2.0）直線交曲線「，右支于M\Nf兩點.

設(shè)V區(qū),內(nèi)），則「4,卬，

因為出線斜率不為0,所以設(shè)直線MN方程為x=外，+2,

x=/ny+2,

X2,得加：-3）,尸+4朗y+1=0,

IT-/=,

第9貞軼II貞

-4/n

m2-3*0,…=R

且12分

A>0

3R

因為K%<0?所以M＜3，13分

因為一

T.所以MU方程為

2

令2/1""23二FM-公