2024年高考押題預(yù)測(cè)卷-數(shù)學(xué)（九省新高考新結(jié)構(gòu)卷2）（全解全析）

2024年高考押題預(yù)測(cè)卷02【新九省卷】

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知集合4={目尤=3〃-1,“€2},3={［（）＜尤＜6},則AB=（）

A.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}

【答案】D

【解析】A={尤|x=3〃-l,〃eZ},3={x|0<x<6},則AB={2,5},故選D

2.若tan[a-：）=2,則sin2a=（

34

AB.——cD.

-15-i5

【答案】B

【解析】由t小一小端=2,得tan-3,

.小c.2sinacosa2tanor3

/.sm2a=2smacosa=——--------------=-------------=——故選B.

sincr+cosa1+tana5

3.已知a=Z?=（3m-1,2）,若〃〃b，則機(jī)=（）

A.1B.-1C.1

3

【答案】A

【解析】因?yàn)椤?Z?=（3m-1,2）,a!lb，所以2根一（3加-1）=0,解得根=1,故選A.

5

4,若（1一2x）5=%+++a5x,貝（]%+&=（）

A.100B.110C.120D.130

【答案】C

2

【解析】在(l—2x)5=%+〃]%+%%2+.+%%5中，＜22=C1x2=40,〃4=C；X24=80,

所以出+%=120,故選C

5.已知等差數(shù)列｛?｝的前〃項(xiàng)和為S“，且$2=2,凡=9,貝|工。=()

A.14B.16C.18D.20

【答案】D

【解析】設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為"，由S?=2,Sb=9,

7

2q+d=2“一

得6x5，解得,

6al+-----d=9

12d=-

4

所以/=叫+^^1=親￡=20,故選D.

6.折扇是我國(guó)古老文化的延續(xù)，在我國(guó)已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.

它常以字畫的形式體現(xiàn)我國(guó)的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖2是

一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧。E,AC所在圓的半徑分別是3和6,且

ZABC=120°,則該圓臺(tái)的體積為（）

【答案】D

【解析】設(shè)圓臺(tái)上下底面的半徑分別為小2，由題意可知gx2兀><3=2跖，解得4=1,

|x27tx6=27r^,解得：弓=2,作出圓臺(tái)的軸截面，如圖所示:

DOQ

圖中00=4=LO'A=2=2,AD=6-3=3,

過點(diǎn)。向AP作垂線，垂足為T,則AT=弓-[=1,

所以圓臺(tái)的高/Z=JA￡>2一a1=，32一1=2血,

則上底面面積H=71X12=兀，$2=兀><22=4兀，由圓臺(tái)的體積計(jì)算公式可得：

1471

V=lx(S1+S2+7^r^2)x/z=1x77tx2^=^,故選D.

7.已知直線y+l="(x-2)與圓(x—l)2+(y—l)2=9相交于跖N兩點(diǎn).則I“VI的最小值為()

A.75B.275C.4D.6

【答案】C

【解析】由圓的方程(x-l)2+(y-l)2=9,可知圓心A(1,D,半徑R=3,

直線y+l=，"(x-2)過定點(diǎn)5(2,-1),

因?yàn)?2-1)2+(-1-1)2=5<9,則定點(diǎn)3(2,—1)在圓內(nèi)，

則點(diǎn)3(2,-1)和圓心A(l,l)連線的長(zhǎng)度為d=7(2-1)2+(-1-1)2=非，

當(dāng)圓心到直線距離最大時(shí)，弦長(zhǎng)MN最小，此時(shí)AB_LMN,

由圓的弦長(zhǎng)公式可得|MN|=-才=242-(百了=4，

故選：C

8.己知可導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)镽,為奇函數(shù)，設(shè)g(“是〃尤)的導(dǎo)函數(shù)，若g(2x+l)為奇函數(shù),

110

且g⑼=j，則￡依(2左)=()

2k=i

A13-13c11c11

A.——B.——C.——D.——

2222

【答案】D

【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則-

即〃x-l)=—/(—%—1),兩邊求導(dǎo)得f(x-l)=_f(-x-1),

貝ljg(x-l)=g(r—l),可知g(x)關(guān)于直線4-1對(duì)稱，

又因?yàn)間(2x+l)為奇函數(shù)，貝|g(2x+l)+g(—2x+l)=。，

即g(x+l)+g(-x+l)=O,可知g(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,

令x=l,可得g⑵+g(0)=0,即g(2)=_g(0)=_；,

由g(x-l)=g(_x.l)可得g(x)=g(-x-2),

由g(x+l)+g(-x+l)=0,可得g(x)+g(-x+2)=0,即g(x)=-g(—x+2),

可得g(-x-2)=-g(-x+2),即g(x+4)=-g(x),

令x=0,可得g(4)=-g(O)=-；；

令x=2,可得g(6)=-g⑵=；；

且g(x+8)=-g(x+4)=-[-ga)]=g(x),可知8為g(x)的周期,

可知g(次+2)=g(次+4)=_；,g(8左+6)=g(84+8)=g/eZ,

1。]111

所以E依(2左)=一一(1+2+5+6+9+10)+—(3+4+7+8)=.

g222

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)z,下列說法正確的是()

A.若z-彳=0,貝!Jz為實(shí)數(shù)B.z2+z2=0,貝!Jz=N=0

C.若|z-i|=l,貝”z|的最大值為2D.若|z-i|=|z|+l,則z為純虛數(shù)

【答案】AC

【解析】設(shè)2=。+歷(a,>eR),則三=“一歷，

若z—5=0,即(a+歷)—(。一歷)=2歷=0,即》=0,則z為實(shí)數(shù)，故A正確；

若Z?+彳2=0,即(4+歷)2+(q-歷

22

化簡(jiǎn)可得/+2。歷+。2一力2-2。歷=0,UPa=b,即a=±Z?,

當(dāng)時(shí)，z-a+ai,z=a-ai,止匕時(shí)不一定滿足z=7=0,

當(dāng)〃=-/?時(shí)，z=a-ai,z=a+〃i，此時(shí)不一定滿足z=N=O,故B錯(cuò)誤；

若|z-i|=l,即匕4|=]=1+0_1川=也2+僅_1)2=],

所以"+3_1)2=1,即Z表示以(0,1)為圓心，以1為半徑的圓上的點(diǎn)，

且忖表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以|z|的最大值為2,故C正確；

若|z-i|=|z|+l,即|z_i|=|a+0_l)i|=Ja2+e_1)2,

\z\+l=yla2+b2+l,即加2+0-11=J，+』+i,

化簡(jiǎn)可得6=一，。2+%2,貝!]a=0且640,

此時(shí)z可能為實(shí)數(shù)也可能為純虛數(shù)，故D錯(cuò)誤；

故選：AC

10.已知函數(shù)/口)=85(妙+9)[。>0,。<夕<"的圖象在｝;軸上的截距為3，巳是該函數(shù)的最小正零點(diǎn),

則()

71

A.(p=—

3

B./(x)+/'(x)W2恒成立

C.〃x)在上單調(diào)遞減

D.將y=/(x)的圖象向右平移:個(gè)單位，得到的圖象關(guān)于,軸對(duì)稱

【答案】AC

【解析】函數(shù)/■(尤)=85(0X+夕)(0>0,0<0<]]的圖象在〉軸上的截距為3，

所以cos°=；,因?yàn)?<0<>所以9=5.故A正確；

jr

又因?yàn)槎窃摵瘮?shù)的最小正零點(diǎn)，

12

所以cos[咤+1]=。，所以可|+4=],

解得0=2,所以/")=8$[2苫+：),r(x)=-2sin[2x+：1,

所以+尸(x)=cos-2sin=s/5cos^2x++V若，故B錯(cuò)誤；

當(dāng)時(shí)，2尤(行)e(0,7t),故C正確;

將y=/（x）的圖象向右平移三個(gè)單位，得到y(tǒng)=cos=cos［2x-g

是非奇非偶函數(shù)，圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.如圖，已知拋物線C：9=2加＞＞0）的焦點(diǎn)為F,拋物線C的準(zhǔn)線與X軸交于點(diǎn)D,過點(diǎn)尸的

直線I（直線/的傾斜角為銳角）與拋物線C相交于A3兩點(diǎn)（A在x軸的上方，8在x軸的下

方），過點(diǎn)A作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為直線/與拋物線C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,貝心）

A.當(dāng)直線/的斜率為1時(shí)，\AB\=4pB.若|人啊=|齊網(wǎng)，則直線/的斜率為2

C.存在直線/使得ZAOB=90D.若A戶=3FB，則直線/的傾斜角為60

【答案】AD

【解析】易知尸［多。］，可設(shè)AB:y=（x-￡］（Q0）,設(shè)4（4乂）,3（々,%），

與拋物線方程聯(lián)立得＜，="I"一與Jn3/—（3p+2p）x+卓=0,

y2=2px

貝ljx,+x2=kP；2p,%%=P_,

對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)直線/的斜率為1時(shí)，此時(shí)X］+%=3p,

由拋物線定義可知|AF|+忸尸|=%+4+尤2+汽=|A2|=4p,故A正確；

易知AMN是直角三角形，若|N耳=|月⑷，

則ZANM=ZFMN=>ZAMF=ZFAM,

X|AF|=|AM|,所以為等邊三角形，即NA網(wǎng)=60,此時(shí)左=指，故B錯(cuò)誤;

由上可知玉/+%%

4

3

——〃2<0,

244

即尚湍0,故C錯(cuò)誤；

若4尸=3/80~|_%=無(wú)?=2p_3%,

又知否%2=50%=看,再=#，所以X=J5p,

k-y,_./?

則一p,即直線/的傾斜角為60,故D正確.

再一5

故選：AD

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)如下：①本題共3小題，每小題6

分，滿分18分；②每道小題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對(duì)得6分，有選錯(cuò)的得。分;

③部分選對(duì)得部分分（若某小題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得3分；若某小題正確選項(xiàng)為三

個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得4分，漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得2分）.已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試中，小

明同學(xué)三個(gè)多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機(jī)地選了兩個(gè)選項(xiàng)，第三小題隨機(jī)地選了一個(gè)

選項(xiàng)，則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為.

【答案】11

【解析】由題意得小明同學(xué)第一題得6分；

第二題選了2個(gè)選項(xiàng)，可能得分情況有3種，分別是得。分、4分和6分；

第二題選了1個(gè)選項(xiàng)，可能得分情況有3種，分別是得。分、2分和3分；

由于相同總分只記錄一次，因此小明的總分情況有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、

15分共8種情況，

所以中位數(shù)為劣丑=11,

13.在直三棱柱ABC-A4G中，AB=AC=M=4,ACLAB,過人。作該直三棱柱外接球的截面，所

得截面的面積的最小值為.

【答案】87t

【解析】由直三棱柱ABC-A4G可知，平面ABC,

又所以兩兩垂直，

設(shè)直三棱柱ABC-A由G外接球的半徑為R,

通過構(gòu)造長(zhǎng)方體可知該三棱柱的外接球與以AB,AC,M為邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方體外接球相同;

過AG作該直三棱柱外接球的截面，當(dāng)AG為所截圓的直徑時(shí)截面面積最小,

因?yàn)锳Q=，如+42=4\歷,

則所求截面面積最小值為=8兀.

14.在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為b,c,已知c=2asinC-2ccosA,貝!!sin2A=

若a=2,則A5C面積的最大值為

32+A/7

【答案】

43

【解析】因?yàn)椤?2asinC—2ccosA,由正弦定理得sinC=2sinAsinC—2sinCcosA,

因?yàn)镃￡（0,%）,/.sinCc0貝有sinA-cosA,

2

1133

所以（sinA-cosA—=—,得l-2sinAcosA=—,即2sinAcosA=—,故sin2A=—；

4444

3

因2sinAcosA=—,Ae（0,7i）,故,可得sinA>0,cosA>0,

4

sinA=l±^I

.4x1

sinA-cosA=—

由<2,解得/Z'J得SABC=jbcsinA=

sin2A+cos2A=124

4

由余弦定理得，cos—Jjlzl,所以〃+°2=4+且二1歷,

2bc42

由〃+c2=4+也一^-bc>2bc,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立，可得反氣8后=，（5+A/7）,

25-V79

SASC<-X1±^X-（5+V7）=^^,即,ABC面積的最大值為巨史.

ASC24933

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（本小題滿分13分）已如曲線“力=加+》-211?+。6力€2在>2處的切線與直線天+2>+1=。垂直.

⑴求。的值;

⑵若/(x)ZO恒成立，求匕的取值范圍.

【解】(1)由于x+2y+l=0的斜率為所以((2)=2,

2、21

又/'(%)=2ox+l—，故/'(2)=4〃+1-7=2,解得a=—

x22f

12

(2)由(1)知〃=不，所以尸(力=%+1—*=

乙x

故當(dāng)x>l時(shí)，F(xiàn)'(x)>O"(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)<O,〃x)單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=l時(shí)，f(x)取最小值/(1)=；+1+6,

13

要使/(x)ZO恒成立，^/(1)=-+1+&>0,解得62-；,

,3

故6的取值范圍為

16.(本小題滿分15分)為促進(jìn)全民閱讀，建設(shè)書香校園，某校在寒假面向全體學(xué)生發(fā)出“讀書好、讀好書、

好讀書”的號(hào)召，并開展閱讀活動(dòng).開學(xué)后，學(xué)校統(tǒng)計(jì)了高一年級(jí)共1000名學(xué)生的假期日均閱讀時(shí)間

(單位：分鐘)，得到了如下所示的頻率分布直方圖，若前兩個(gè)小矩形的高度分別為0.0075,0.0125,

后三個(gè)小矩形的高度比為3：2：1.

個(gè)頻率/組距

20406080100120時(shí)間/分鐘

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)高一年級(jí)1000名學(xué)生假期日均閱讀時(shí)間的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；

⑵開學(xué)后，學(xué)校從高一日均閱讀時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學(xué)生作

為代表分兩周進(jìn)行國(guó)旗下演講，假設(shè)第一周演講的3名學(xué)生日均閱讀時(shí)間處于［80,100)的人數(shù)記為己

求隨機(jī)變量4的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【解】(1)由題知：各組頻率分別為：0.15,0.25,0.3,0.2,0.1,

日均閱讀時(shí)間的平均數(shù)為：

30x0.15+50x0.25+70x0.3+90x0.2+110x0.1=67(分鐘)

(2)由題意，在［60,80),［80,100),［100,120］三組分別抽取3,2,1人

&的可能取值為：0,1,2

3

則尸6=0)=專CC01pq=i)=C專2cl=3(

l2

PC=2)=晉CC1

所以4的分布列為：

17.(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA=PB=下,

點(diǎn)M在上，點(diǎn)N為2C的中點(diǎn)，且P3//平面MAC.

(1)證明：CM〃平面PAN；

(2)若PC=3,求平面PAN與平面MAC夾角的余弦值.

【解】(1)連接2。交AC與點(diǎn)。，連接OM,可得平面P3D與平面M4c的交線為OM,

因?yàn)槭?〃平面MAC,PBu平面PBD,所以PB//O暇,

又因?yàn)椤?。的中點(diǎn)，所以點(diǎn)以為PO的中點(diǎn)，

取R4的中點(diǎn)E,連接期,硒，可得EM//AD且EM=；AD,

又因?yàn)镹為BC的中點(diǎn)，可得CN//AD且CN=^A。，

2

所以EM//CN且EM=CN,所以四邊形￡MCN為平行四邊形，所以CM//EN,

又因?yàn)镃M(Z平面PAN,且ETVu平面PAN,所以CA1〃平面PAN.

(2)取A8的中點(diǎn)S,連結(jié)尸S,CS,

因?yàn)槭?=尸8=6,可得尸S_LAB,且PS=/PB2—BS?=2,

又因?yàn)閟c7BC°+BS?=布，且PC=3,

所以PC?=m2+5。2,所以PS_LSC,

又因?yàn)锳BSC=S,且AB,SCu平面ABC。，所以PS,平面ABCD,

以S為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系S-孫z,

可得A（—1,0,0）1（1,0,0）,C（l,2,0）,￡＞（-1,2,0）,尸（0,0,2）,

因?yàn)?為尸。的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，可得加|[』,"”（1』,0）,

則AP=（1,0,2）,PN=（1,1,-2）,AM=，

/、m-AP=M+2Z[=0

設(shè)加=（百,%,zj是平面PAN的法向量，貝IJ,

m-PN=石+%—2Z1=0

取光=2,可得y=—4,z=—l,所以根=（2,-4,—1）,

一3

n?AM=-x2+y2-z2=0

設(shè)77=（%,%,Z2）是平面MAC的法向量，貝卜j,

n-MC=—x2+y2+z2=0

取x=2,可得y=-2,z=l,所以〃=（2,-2,1）；

\m-n\1111J21

設(shè)平面PAN與平面MAC的夾角為6,則===

\m\\n\3J2163

即平面PAN與平面MAC的夾角的余弦值為口叵.

63

22

18.（本小題滿分17分）已知橢圓E:土+匕=1,直線/與橢圓E交于A、8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

84

OP1AB,垂足為點(diǎn)尸.

⑴求點(diǎn)尸的軌跡方程;

⑵求面積的取值范圍.

【解】（1）①當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)直線/在y軸右側(cè),

直線0A的方程為〉=彳，

工+工=10瓜巫,所以，小攣季〕

由84~,解得冗=2匹

y=

3

Iy=x

所以，直線48的方程為了=坡，此時(shí)P逑,0

33

同理,當(dāng)直線/在軸左側(cè)時(shí)，

yPF'

②當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為>=辰+加，4（和,），*々,為），

y=kx+m

22

由尤2y2消去y整理得,（1+2k）/+4kme+2m—8=0,

—+—=1

184

-4km2m2-8

△二64F—8/+32>0,且石+%=陽(yáng)冗2二---------k

1+2左2121+2/

又???OA_LOB,J0405=0即：玉工2+%必=0,

所以，玉W+（g+m）（Ax2+m）=0,

則（1+左2）%％2+加（再+%2）+加2=0,

故（1+k2）（2m2-8）4k2m2+加2（1+2左2）

二0,

1+2—21+2左21+2左2

所以3加之=8（左之+1）滿足4>0,

綜上，|o尸上半，所以，點(diǎn)尸的軌跡方程為f+y2=|.

Q

（2）①由（1）可知，當(dāng)直線/斜率不存在或斜率為。時(shí)，S^ABC=-.

②當(dāng)直線/斜率存在且不為0時(shí)，

|AB|=后,一馬kHF，64y+.

一：+用（1+4用

2

1+2/-31（1+2^）

4A/6卜/+5/+I4#1]甘

~'V4F+4F+1-丁y1+4-4+4-2+1

476L]一

=-------1H-----------------—

3\4/+4+」，

Vk2

,**A：2>0,4Z:2+~y4,當(dāng)且僅當(dāng)%之=7,即％=±1^等號(hào)成立.

k222

.?「+/2；/]1'3,SlJ半,20，

4F+—+4、」113

k2I」

--SABC=^\OP\-\AB\^,242,

綜上，SABCe1,2A/2.

19.(本小題滿分17分)置換是代數(shù)的基本模型，定義域和值域都是集合&={1,2,…,〃},〃eN+的函數(shù)稱為〃

次置換.滿足對(duì)任意ieA/⑺=z?的置換稱作恒等置換.所有n次置換組成的集合記作S“.對(duì)于『⑴eS,,

’12〃、

我們可用列表法表示此置換：/(/)=,記

J⑴"2)〃叱

1234

⑴若，計(jì)算寮⑴；

4213

⑵證明：對(duì)任意”，)eS4,存在此X，使得嚴(yán)⑺為恒等置換;

(3)對(duì)編號(hào)從1到52的撲克牌進(jìn)行洗牌，分成上下各26張兩部分，互相交錯(cuò)插入，即第1張不動(dòng)，第

27張變?yōu)榈?張，第2張變?yōu)榈?張，第28張變?yōu)榈?張，……，依次類推.這樣操作最少重復(fù)幾次就

能恢復(fù)原來的牌型？請(qǐng)說明理由.

’1234、

【解】(1)/(?)=

、4213,

由題意.可知尸”9、=〔3234J"⑺、=n［1234、

_/\「1234、一、

(2)解法一：①若〃，)=1234'則/⑺為恒等置換；

(1234、

②若存在兩個(gè)不同的i,使得F(，)=i,不妨設(shè)好1,2,則.