2024屆高考新改革方向信息卷訓練數(shù)學試卷及答案九

2024屆高三高考新改革方向數(shù)學信息卷訓練十二

本套試卷根據(jù)九省聯(lián)考題型命制，題型為8+3+3+5模式

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.將一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列如下：12,15,17,a,23,25,27,31,36,37,若該組

數(shù)據(jù)的30%分位數(shù)為19,貝ija=（）

A.18B.19C.20D.21

2.若動點P在y=2/+1上移動，則點P與點Q（0,—1）連線的中點的軌跡方程是（）

A.y—4x2B.y-2x2

C.y=4久2+1D.y=2x2—1

3.等比數(shù)列｛an｝滿足的+a2=6,a3+a4=24,則$6=（）

A.30B.62C.126D.254

4.已知a,b是兩條不同的直線，a,0是兩個不同的平面，若a〃a,貝！Ja//0是a_Lb

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.“校本課程”是現(xiàn)代高中多樣化課程的典型代表，自在進一步培養(yǎng)學生的人文底蘊和

科學精神，為繼續(xù)滿足同學們不同興趣愛好，藝術科組準備了學生喜愛的中華文化傳承

系列的校本活動課：創(chuàng)意陶盆，拓印，扎染，壁掛，剪紙五個項目供同學們選學，每位

同學選擇1個項目.則甲、乙、丙、丁這4名學生至少有3名學生所選的課全不相同的

方法共有（）

A.360種B.480種C.720種D.1080種

6.“四葉回旋鏢”可看作是由四個相同的直角梯形圍成的圖形，如圖所示，4B=2,CD=

1,NA=45。.點P在線段4B與線段BL上運動，則麗?麗的取值范圍為（）

A.[-4,6]B.[0,6]C.[0,8]D.[4,8]

7.已知函數(shù)/（X）=2sin（a）x+切+1（3〉0,0<乎<],%>0）的零點從小到大分別為

試卷第1頁，共4頁

%1，%2，％3,…?若%2一=n,則3=()

173

A.-B.-C.-D.3

332

8.如圖，雙曲線E:捻-，=1的左右焦點分別為％,F2,若存在過尸2的直線［交雙曲線

E右支于4B兩點，且△力FF2，△B%F2的內切圓半徑Q，r2滿足3r1=4q，則雙曲

C.(2,4V3)D.(1,473)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.在△力BC中，內角4B,C所對的邊分別為a,b,c,下列與△ABC有關的結論，正確的

是()

A.若a=2,A=3。。，則就/=端%=4

B.若acosZ=bcosB,則△4BC是等腰直角三角形

C.若△4BC是銳角三角形，則cosAVsinB

D.若2U1+赤+3前=6,S0oc，S^BC分別表示△A。。，的面積，則

^/\AOC'^/\ABC=1：6

10.已知復數(shù)Zi，Z2，Z3,下列說法正確的有()

A.若Z1汨■=Z2&,則口|二怙21B.若Z,+Z§=0,則Z1=Z2=0

C.若2逐2=2逐3，則=0或Z2=Z3D.若怙1一|=怙1+|,則Z"2=0

11.已知三次函數(shù)/(%)=ax3+%2+C%+或有三個不同的零點久1，%2，%3(%1V%2V%3)，

函數(shù)gQ)=/(%)-1.則()

A.3ac<1

B.若％成等差數(shù)列，則?！?-1,0)U(0,1)

C.若g(%)恰有兩個不同的零點犯71(根<幾)，則2血十九=一三

試卷第2頁，共4頁

D.若g(x)有三個不同的零點ti，t2,<12<5)，則好+城+城=弓+%+耳

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設集合A={x\x2-x-6<0},B-(x\-a<x<a},若力￡B,則實數(shù)a的取值范

圍是.

13.《九章算術》中記錄的“羨除”是算學和建筑學術語，指的是一段類似隧道形狀的幾

何體，如圖，羨除4BCDEF中，底面4BCD是正方形，EF//平面ABC。，△4DE和△BCF

均為等邊三角形，且EF=2AB=6.則這個幾何體的外接球的體積為.

14.記min{久,y,z}表示x,y,z中最小的數(shù).設a>0,b>0,則min{H+3b}的最

大值為?

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本題13分)己知函數(shù)/(X)=21nx-x+€R).

(1)當爪=-3時，求函數(shù)/(x)的單調區(qū)間；

(2)若不等式f(x)<0對任意的比G[1,+8)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

16.(本題15分)淄博燒烤、哈爾濱冬日冰雪、山河四省夢幻聯(lián)動、鄂了贛飯真湘……，

2023年全國各地的文旅部門在網絡上掀起了一波花式創(chuàng)意宣傳，帶火了各地的文旅市

場，很好地推動國內旅游業(yè)的發(fā)展.已知某旅游景區(qū)在手機APP上推出游客競答的問

卷，題型為單項選擇題，每題均有4個選項，其中有且只有一項是正確選項.對于游客

甲，在知道答題涉及的內容的條件下，可選出唯一的正確選項；在不知道答題涉及的內

容的條件下，則隨機選擇一個選項.已知甲知道答題涉及內容的題數(shù)占問卷總題數(shù)的去

(1)求甲任選一題并答對的概率；

(2)若問卷答題以題組形式呈現(xiàn)，每個題組由2道單項選擇題構成，每道選擇題答對得2

分，答錯扣1分，放棄作答得0分.假設對于任意一道題，甲選擇作答的概率均為|,

且兩題是否選擇作答及答題情況互不影響，記每組答題總得分為X.

(i)求P(X=4)和P(X=-2)；

試卷第3頁，共4頁

(ii)求E(X).

17.(本題15分)如圖，四棱錐P-4BCD中，底面是邊長為2的菱形，N￡MB=60°,

PA=PB=PC.

⑴求證：AC1PB；

(2)若點E為4D的中點，BD與CE相交于點M,直線PM與底面4BCD所成的角為仇且

tan0=3V3,求二面角E-PB-C的余弦值.

18.(本題17分)已知橢圓C：9+總=l(a>b>0),F*,-佝是C的一個焦點，

D(-土-武)是C上一點，R為C的左頂點，直線y=y0(y0*0)與C交于不同的兩點P,Q.

⑴求C的方程；

(2)直線RP,RQ分別交y軸于4B兩點，。為坐標原點；在x軸上是否存在點”，使得

^OHB+^OHA=p若存在，求出點H的坐標；若不存在，說明理由.

19.(本題17分)若無窮數(shù)列｛冊｝滿足%=0,\an+1-an\=f(n),則稱數(shù)列｛an｝為少數(shù)

列，若s數(shù)列｛%J同時滿足冊wF，則稱數(shù)列｛冊｝為y數(shù)列.

(1)若數(shù)列｛%｝為S數(shù)列，/(n)=l,nEN*,證明：當nW2025時，數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列

的充要條件是。2025=2024；

(2)若數(shù)列｛%｝為y數(shù)列,f(n)=n,記7=%2n，且對任意的neN*,都有％<cn+。求

數(shù)列｛%｝的通項公式.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.D

【詳解】

這組數(shù)據(jù)有10個數(shù)，所以10x30%=3,

則該組數(shù)據(jù)的30%分位數(shù)為等，故詈=19,解得a=21.

故選：D

2.A

【詳解】設PQ的中點為M(>,y),P(&,yo)，

_%o+O

{二營解得uo

即P(2%,2y+1),又點尸在曲線y=2/+1上，

所以2y+1=2(2x)2+1,即)/=4/,

所以PQ的中點的軌跡方程為y=4%2.

故選：A

3.C

【詳解】由題意知，設等比數(shù)列的公比為q,

4

則的+。=q2(Q]+a2)=6q2=24,得q?=4,

所以附+。6=Q2(a3+a4)=4x24=96,

所以$6=%+與+…+即=6+24+96=126.

故選：C

4.A

【詳解】若a〃/1S，則b_La,又”/a,則a1b.

反之，如圖，在正方體4BCD—&8傳1。1中，

記平面ZDD14為a,平面4BCD為0,8C,441分別為直線a也

則滿足a1b,Q〃cc,b1S，但見/?不平行，

答案第1頁，共12頁

所以a〃6是a1b的充分不必要條件.

故選：A.

5.B

【詳解】①恰有2名學生選課相同，

第一步，先將選課相同的2名學生選出，有第=6種可能；

第二步，從5個項目中選出3個排序，有A,=60.

根據(jù)分步計數(shù)原理可得，方法有6x60=360種；

②4名學生所選的課全不相同的方法有Ag=120種.

根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，

甲、乙、丙、丁這4名學生至少有3名學生所選的課全不相同的方法共有360+120=480

種.

故選：B.

6.C

【詳解】

如圖，以。為原點建立平面直角坐標系，

易知力(一2,1),8(0,1),F(0,-l),L(l,2)

當P在線段AB上運動，設PQ,1),其中—2W久W0,

所以麗=(2,2),FP=Q,2),

則麗?麗=2x+4,

因為—2Wx30,所以麗?而6[0,4],

當P在線段BL上運動，設P(x,y)(0W久＜1),則加=瓦=(1,1),且加〃瓦,

則X=y-1,故P(x,%+1)(0WxW1),而=(x,x+2),

則麗?麗=4%+4,

答案第2頁，共12頁

因為所以麗?麗€[4,8],綜上，麗?麗的取值范圍為[0網.

故選：C.

7.B

【詳解】

令/(%)=2sin((k)x+@)+1=0,即sin(3%+cp)――解得3汽+(p=—+2/CTI或3%+口=

—~+2/CTC,/CGZ,

因為函數(shù)/(%)=2sin(to%+0)+1(3>0,0V0<],%>0)的零點從小到大分別為

%1，12,第3,…，

所以3勺+0=一朗+3%2+0=-￡+2n,(X)

由②一①，得3。2—久1)=知，

又因為％2—%i=h，

所以.=尊解得3=|.

故選：B.

8.B

【詳解】

設△4F1F2，△B%F2的內切圓圓心分別為。1，。2,

如圖，設△4%尸2的內切圓與x軸的切點為“，由雙曲線定義力?1一4尸2=2a,根據(jù)圓的

切線長性質得-HF2=2a,進而得點H的橫坐標為a,即點H是雙曲線右頂點；

同理可得點”也是△BF1F2的內切圓與X軸的切點，連接。1。2，。1尸2，。2尸2，從而可知

。1。21X軸，

設直線4B的傾斜角為①2H=7,n。2/2H=*又F2H=C—a,；“1=O1H=

(c—a)tan-^-=(c-a)cotg,r2—02H—(c—a)tan1,

答案第3頁，共12頁

?，.3(c—a)cot1=4(c—a)tanI，解得tang=亭

2tanf_

kAB=tan。=---=4V3,<kAB=4V3,則離心率e6(1,7).

l-tanz-a

故選項為：B.

【詳解】對于A中，因為a=2,A=30°,設aABC外接圓的半徑為R,可得2R=號=』=

sinAsin30

4,

又由'~———=——=—^―-4,所以A正確；

sinB+2sinC2sinB+sinCsin4

對于B中，因為acosA=bcosB,由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,

因為4Be(O,TT),可得24=2B或24+2B=TT,即4=B或4+B=],

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以B不正確；

對于C中，由△48C是銳角三角形，可得A+B>],即

因為△力BC是銳角三角形，可得AG(。弓)5—B6(05)，

又因為y=cosx在(0弓)為單調遞減函數(shù)，所以cos4<cos6-B)=sinB,所以C正確；

對于D中，如圖所示，設4C的中點為M,8c的中點為D,

因為2m+0B+3OC=0,即2(0^4+0C)+(OB+0C)=0,

可得2x2而+2而=6,即2而=一命，所以點。是MD上靠近M的三等分點，

所以點。到AC的距離等于。到AC的地

又由B到4C的距離為點D到4C的距離的2倍，

所以。到力C的距離等于點B到AC距離的占

由二角形的面積公式，可得SA4BC=6S&4OC，即S&4OC：SA48C=1：6,所以D正確.

答案第4頁，共12頁

故選：ACD.

10.AC

【詳解】選項A,Z1Z=Z2荏則怙1/=怙2匕口|二怙2]，故A正確；

選項B,令Zi=i,Z2=l,滿足條件z,+=—1+1=0,但ZiHZ2，且均不為0,故B錯

誤；

選項C,下面先證明命題“若Z1Z2=0,則Z1=0,或Z2=0”成立.

證明：設Zi=a+bi,a,bER,z2=c+di,c,dER,

若2逐2=0,則有(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i=0,

故有代二=3即H=空,兩式相乘變形得,(。2+b2)cd=0,

lad+be=0lad=—be

則有次+^2=0,或c=o,或d=o,

①當小+人2=0時，a=/)=0,即Zi=0；

②當/+/)2。0,且c_Q時，貝ijbd=ad=0,

又因為a,b不同時為0,所以d=0,即Z2=0;

③當/+人2。0,且壯=0時，則ac=be=0,同理可得c=0,故Z2=0；

綜上所述，命題“若z/2=0,則Zi=0,或Z2=0”成立.

下面我們應用剛證明的結論推證選項C,

???Z1Z2=zrz3,z^z2-Z3)=0,

Z1=0,或Z2—z3=0,即Z1=0或Z2=z3,故C正確；

選項D,令Z]=1+i,Z2=1-i,

則|Z1-z2\=怙1+z2l=2,

但Z1Z2=(1+i)(l-i)=2,Z1Z2不為0,故D錯誤.

故選：AC.

11.ABD

【詳解】

答案第5頁，共12頁

f(x)=ax3+x2+ex+^,f'(x)-3ax2+2x+c,a手0,對稱中心為(一《「(—§)，對

A：因為f(x)有三個零點，所以f(x)必有兩個極值點，所以A=4-12ac>0,3ac<l,A

正確；

對B,由％［戶2/3成等差數(shù)列，及三次函數(shù)的中心對稱性可知不=-5，

所以/區(qū))"(一6=3=。，

又QCV，故2+Q2=9QCV3,所以次<1,所以QC(―l,O)U(O,l),故B正確；

對C：g(x)=0,即ax3+*?+c%—翁=0,

若g(x)恰有兩個零點，則m或幾必為極值點；

若m為極值點，則該方程的三個根為m,TH,n,由一元三次方程的韋達定理可知：2m+幾=---

a

若n為極值點，同理可得m+2n=-：，故C錯;

1

+%2+*3=〃++=-----

對D：由韋達定理，a

#1%2+X2X3+X3X1=1遙2+12t3+13tl=

22

得01+x2+x3)-2(x^2+x2x3+x3Xj)=(ti+t2+t3)一2(tit2+12t3+t3t^,

即出+巖+看=4+4+垮，故D正確.

故選：ABD.

12.⑶+8)

【詳解】集合4=[x\x2—%-6<0}={x|(x—3)(x+2)<0}={x|—2<x<3],

又B={x\-a<x<a}9且4GB,

故可得「：>32,即{:；3，解得。G[3,+8).

故答案為：[3,+8).

13.36n

【詳解】連接BD,分別取EF、BD、4D中點G、H、I,連接GH、HI、EI,

由底面ABCD是正方形，EF〃平面ABCD,△4DE和△BC尸均為等邊三角形,

故EG〃/H,GH1底面4BCD,又EF=24B=6,故EG=4。=24B=3,

貝電沙=苧，故G"J律)°g|)、苧，

由H為底面正方形中心，HG1IH,故可在直線GH上取一點0,

使。為羨除力BCDEF外接球球心，連接0/、0E、0A,

答案第6頁，共12頁

設半徑為r,OH=a,貝UOA=OE=r,

由GH1底面4BCD,ADu平面力BCD,故GH14D,

又力D1IH,IH、GHu平面/OH,故AD1平面/OH,

又/OU平面/OH,故4D110,故/。2=72_AI2=72_G),

2n2

又/。2=OH2+IH2-小+(|),故有廠2一(I)=次+(|),即72=a2+|,

又EC)2=r2=(券—a)+32=a2—3或a+y,

故有/一3或Q+§=次+,解得Q=券，

2

故M=a+!=|+|=9,即7=3,

則這個幾何體的外接球的體積為U=1irr3=36TL

故答案為：36TL

【詳解】若Qw;則ab<1,此時min{a，U+3b}=min{a,}+3b},

因為a(}+3")=1+3ab<4,所以a和，+3b中至少有一個小于等于2,

所以min{a\+3b}<2,又當a=2,時，a=|=^4-3Z7=2,

所以min{*3+3耳的最大值為2.

若Q>則ab>1,此時min[aU+3b\=minfi-+3b],

bkbaJIDa)

因為：C+3b)=4+3<4,所以生世+3b中至少有一個小于2,

b\a/abba

所以minfa3b]<2.

Iba)

綜上，min{a33+3b}的最大值為2.

故答案為：2.

15.⑴遞增區(qū)間為(0,3),遞減區(qū)間為(3,+8)

答案第7頁，共12頁

⑵(—8,1]

【詳解】(1)

當zn=-3時，/(%)=21nx-x-1,其定義域為(0,+8),

、—(x

“X)2=Y1?+31-—/+2%+3=—3)(%-+1)，

令/'(%)=0,得％=3(%=-1舍去)，

當0<%<3時，/'(%)>0,函數(shù)/(%)單調遞增；

當％>3時，/(X)<0,函數(shù)/(%)單調遞減.

所以函數(shù)/(%)的單調遞增區(qū)間為(0,3),單調遞減區(qū)間為(3,+8)；

(2)

方法1：由條件可知/(1)40,于是加一140,解得租41.

當m41時，f(x)=21nx—x+—<21nx—%

XX

構造函數(shù)g(%)=21nx—%+1，x>1,

7、2q1(%-1產

g(%)=11_/=—―0，

所以函數(shù)g(%)在[L+8)上單調遞減，于是g(%)<g(l)=0,

因此實數(shù)m的取值范圍是(-8,1].

方法2：由條件可知zn<x2-2%ln%對任意的％G[1,+8)恒成立，

令九(%)=/-2%ln%,X>1,只需TH<[%(%)]min即可.

/i(x)=2x—2(lnx+1)=2(%—Inx-1),

令“(%)=x—Inx—1,則“(%)=>0,

所以函數(shù)"(%)在[1,+8)上單調遞增，

于是3(%)>/l'(l)=0,所以函數(shù)九(%)在[1,+8)上單調遞增,

所以[/l(%)]min=MD=1，于是m41，因此實數(shù)冽的取值范圍是(一8,1].

16.嗎

⑵(i)P(X=4)=,P(X=-2)=/(ii)

【詳解】(1)

答案第8頁，共12頁

記“甲任選一道題并答對”為事件“甲知道答題涉及內容”為事件A.

1

⑷一

1-

4

因為事件"4與M力互斥，所以P(M)=PiMA+MA)=P(MX)+P(MX)

=P(M|4)P⑷+P(M⑷P⑷=

(2)

21211

--X-XX-

(i)P(X=4)32

--i

"v21213129

P()X=-27)=-3x-2x-3x-2=-9.

(ii)依題意,隨機變量X=—2,—1,0,124.

-17-17

P(X=-l)=2x-x-x-=-

P(X=0)=2=(；

\21212

P(X=1)=o2x-x-x-x-=-；

')32329

r、r1212

P(X=2)=2x-x-x-=-；

)73329

m^=(-2)x1+(-l)x|+0x1+lx|+2x|+4x|=1.

17.(1)證明見解析

⑵-等

【詳解】(1)證明：設點P在底面的射影為點H,由PH=PB=PC得，點H為△ABC的外心,

又因為底面4BCD為菱形，/LDAB=60°,所以D4=DB=DC,

所以點。與點H重合，所以PD1底面2BCD,因為ACu底面4BCD,

所以ACLPD.因為底面力BCD為菱形，所以4C1BD,

PD,BDciFffiPDB,PDCBD=D,

所以力Cl平面PDB,因為PBu平面PDB,所以4C1PB.

(2)解：由PCI底面4BCD,知NPMD即為直線PM與底面力BCD所成的角,

因為ED〃BC且ED所以DM=gMB,所以=

由于tan。=絲=3舊，所以PD=2b.

取BC的中點尸，連接DF,以點。為坐標原點，市，麗,麗的方向分別為久,y,z軸的正方向建立

空間直角坐標系，如圖所示，

答案第9頁，共12頁

則E（1,O,O）,B（l,V3,0）,C（-l,V3,0）,P（0,0,2V3）,

所以麗=（0,V3,0）,FP=（-1,-V3,2V3）,BC=（-2,0,0）,

設平面EBP的一個法向量為％=（久i，乃,zi）,

由佇飛=°,可得」？=。，

（BP?%=01一/一遮丫]+2V3zx=0

令%1=2B，則yi=0,Zi=l,所以五1=（273,0,1）.

設平面PBC的一個法向量為元2=（%2，y2，Z2），

=

,fFC-n2=0__pZ0f—2x20

，

由勒?元2=。'Ux2-V3y2+2V3z2=0

令—2,則％2=0,Z2=1,所以元2=（0,2,1）.

設二面角E-PB-C的平面角為a,由圖可知a為鈍角，

所以cosa=-|cos伍1，元2)1=|冊|一懸漏=一等?

18.（瑞+9=1

(2)存在,〃的坐標為(3,0)和(—3,0).

【詳解】(1)由題意可知，橢圓C的半焦距c=?,

由+?2得a?=b2+5,

把D的坐標代入C的方程得a+親=1，

22

唯fa+=親Z)=+15,解得｛c1a=：

所以C的方程為＜+1=1.

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(2)假設在x軸上存在點H,使得乙OHB+N0HA成

設H(m,0),由Z.0HB+Z.0/M=],可知N0HB=N。力”,

答案第10頁，共12頁

所以tanN0HB=tanN04H,即黑=瞿|，所以|0H『=|。川|。町.

I"II。月I

因為直線、=必）（70H0）交橢圓。于尸，。兩點，則尸，。兩點關于y軸對稱.

設P（xoJo）,Q（-*o，yo），（-2<x0<2,且�）,

由題意得R（-2,0）,則直線心的方程為丫=W（工+2）,令x=0,得以=有，

XQ-TZXQ-TZ

直線五。的方程為y=fa+2）,令*=0,得>8=鼻，

—XQ+Z—XQ+Z

因為|0n2=|。川|OB|,所以62=普，

又因為PQmyo）在C上，所以9+9=1,即4必=36-9瑤，

所以血2=言4=等券=9,得?n=±3.

4ro4ro

當m=3時，