2025優(yōu)化設計一輪課時規(guī)范練54　平面向量的綜合應用

課時規(guī)范練54平面向量的綜合應用一、基礎鞏固練1.已知P為△ABC所在平面內一點,且AP=13AB+tAC(t∈R).若點P落在△ABC的內部,則實數A.(0,34) B.(12,34) C.(0,1) 2.如圖所示,在正方形ABCD中,已知|AB|=2,若點N為正方形內(含邊界)任意一點,則AB·AN的最大值是(A.2 B.3 C.4 D.53.(2024·廣東珠海模擬)已知P是△ABC所在平面內一點,且滿足|PB?PC|-|PB+PC-2PA|=0,則△A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形4.(2020·新高考Ⅰ,7)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點,則AP·AB的取值范圍是(A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)5.(2024·湖南衡陽八中模擬)已知平面向量a,b,c滿足|a|=1,b·c=0,a·b=1,a·c=-1,則|b+c|的最小值為()A.1 B.2C.2 D.46.(2022·北京,10)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P為△ABC所在平面內的動點,且PC=1,則PA·PB的取值范圍是(A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6]7.(2024·北京昌平高三期末)已知向量a,b,c滿足|a|=2,|b|=1,<a,b>=π4,(c-a)·(c-b)=0,則|c|的最大值是(A.2-1 B.5-12 C.5+12 8.(2024·江西統(tǒng)考模擬預測)已知兩個向量a,b,|a|=2,|b|=1,a+b=(2,3),則當|a+mb|取得最小值時,m=.

9.如圖,單位向量OA,OB的夾角為π2,點C在以O為圓心,1為半徑的弧AB上運動,則CA·二、綜合提升練10.(2024·湖南懷化模擬)如圖,在平面四邊形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若E為邊CD上的動點,則EA·EB的最小值為(A.2116 B.32 C.34 11.(2024·天津耀華中學模擬)如圖,在△ABC中,∠BAC=π3,AD=2DB,P為CD上一點,且滿足AP=mAC+13AB,m∈R.若AB·A.2 B.3 C.3 D.312.(2022·浙江,17)設點P在單位圓的內接正八邊形A1A2…A8的邊A1A2上,則PA12+PA22

課時規(guī)范練54平面向量的綜合應用1.D解析因為點P落在△ABC的內部,所以A,P兩點在直線BC的同一側,所以13+t<1,且t>0,所以0<t<23.2.C解析以A為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(0,0),B(2,0).設N(x,y)(0≤x≤2,0≤y≤2),則AB=(2,0),AN=(x,y),AB·AN=2x∈[0,4],所以AB·3.B解析由|PB?PC|-|PB+PC-2PA|=0,可得|CB|=|PB+即|CB|=|AB+AC|,|AB?AC|=|AC+AB|,等式|AB?AC|=|AC+AB|兩邊平方,化簡得AB4.A解析如圖,以AB所在的直線為x軸,AE所在的直線為y軸建立平面直角坐標系,易知A(0,0),B(2,0),F(-1,3),C(3,3).設P(x,y),則AP=(x,y),AB=(2,0),∴AP·AB=2x+0×y=∵-1<x<3,∴AP·AB的取值范圍為(-2,6).5.C解析在平面直角坐標系中,設a=(1,0),b=(x1,y1),c=(x2,y2),因為a·b=x1=1,a·c=x2=-1,b·c=x1x2+y1y2=y1y2-1=0,所以,|b+c|=(1-1)2+(y1+y2)2=|y1+y2|=當且僅當y1=±1時,等號成立.因此,|b+c|的最小值為2.6.D解析如圖所示,以點C為坐標原點,CA,CB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系,則C(0,0),A(3,0),B(0,4).∵PC=1,∴可設P(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π],∴PA·PB=(3-cosθ,-sinθ)·(-cosθ,4-sinθ)=-3cosθ-4sinθ+sin2θ+cos2θ=1-5sin(θ+φ),其中tanφ∵-1≤sin(θ+φ)≤1,∴-4≤PA·PB≤67.C解析把a,b平移到共起點,以b的起點為原點,b所在的直線為x軸,b的方向為x軸的正方向,建立如圖所示的平面直角坐標系,設OB=b,OA=a,OC=c,則c-a=AC,c-b=BC又(c-a)·(c-b)=0,所以AC⊥BC.則點C的軌跡為以AB為直徑的圓.又因為|a|=2,|b|=1,<a,b>=π4,所以B(1,0),A(1,1).故以AB為直徑的圓的方程為(x-1)2+(y-12)2=14,所以|c|的最大值就是以AB為直徑的圓上的點到原點的距離的最大值8.-1解析由題意可得|a+b|=|a|2+|b|2+2a·b=7,則a·b=1,所以|a+mb|=9.1-2解析以O為坐標原點,分別以OB,OA所在直線為x軸、y軸,建立平面直角坐標系,如圖,則B(1,0),A(0,1).設C(cosθ,sinθ),θ∈[0,π2故CA·CB=(-cosθ,1-sinθ)·(1-cosθ,-sinθ)=cos2θ-cosθ-sinθ+sin2θ=1-cosθ-sinθ=1-2sin(θ+π因為θ∈[0,π2],所以θ+π4∈故當θ+π4=π2,θ=π4時,CA·10.A解析由于AD⊥CD,如圖,以D為坐標原點,以DA,DC所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系,連接AC.由于AB=AD=1,AB⊥BC,則△ADC≌△ABC.而∠BAD=120°,故∠CAD=∠CAB=60°,則∠BAx=60°.則D(0,0),A(1,0),B(32,32),C設E(0,y),0≤y≤3,則EA=(1,-y),EB=(32,32-y),故EA·EB=32+y2-當y=34時,EA·11.A解析設CP=λCD,λ∈R,則AP=AC+CP=AC+λCD=AC+λ=23λAB+(1-λ)AC所以23λ=13AB·AC=|AB||AC|cosπ3=12|AB|·|AC|=4,|AP|2=13AB+12AC2=19AB2+14AC2當且僅當13|AB|=12|AC|,即當|AB|=32|AC|時,等號成立12.[12+22,16]解析如圖,以圓心為原點,A3A7所在直線為x軸,A1A5所在直