五升六暑期奧數(shù)培優(yōu)講義-6-02-數(shù)論專題（二）4-講義-教師

第2講數(shù)論專題（二）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、復(fù)習(xí)帶余除法、同余性質(zhì)、中國(guó)剩余定理問(wèn)題；2、熟悉數(shù)論常見(jiàn)的解題思路?！局R(shí)梳理】1、同余問(wèn)題：若a,b除以c的余數(shù)相同,那么(a-b)能被c整除。2、余數(shù)的三大性質(zhì)：（1）和的余數(shù)等于余數(shù)的和；（2）差的余數(shù)等于余數(shù)的差；（3）積的余數(shù)等于余數(shù)的積。【典例精析】【例1】滿足被4除余1,被5除余1，被6除余1的最小自然數(shù)是____。[4,5,6]=6060+1=61【趁熱打鐵-1】滿足被5除余3,被6除余3，被7除余3的最小自然數(shù)是____。[5,6,7]=210210+3=213【例2】有一個(gè)自然數(shù)分別去除360、314、245得到相同的余數(shù)，這個(gè)自然數(shù)最大可能是多少？360-314=46314-245=69360-245=115(46,69，115)=23∴最大可能是23.【趁熱打鐵-2】692、608、1126三個(gè)數(shù)分別除以同一個(gè)自然數(shù)，得到的余數(shù)相同，這個(gè)自然數(shù)是多少？1126-692=434692-608=84（434,84）=14∵14的約數(shù)有1，2,7,14,且692、608、1126除以1或者2都沒(méi)有余數(shù)，∴這個(gè)自然數(shù)是7或者14.【例3】有3個(gè)吉利數(shù)：888，518，666，用它們分別除以同一個(gè)自然數(shù)，所得余數(shù)依次為a，a+7，a+10，求這個(gè)自然數(shù)．518-7=511,666-10=656,即888、511、656除以這個(gè)自然數(shù)余數(shù)都為a,888-511=377,888-656=232,(377,232)=29所以這個(gè)自然數(shù)為29?！境脽岽蜩F-3】有一個(gè)自然數(shù)，用它去除226余a，去除411余a+1，去除527余a+2，則a=19?！哂么藬?shù)去除410余a,去除525余a,即除226、410、525的余數(shù)相同。410-226=184,525-410=115,（184,115）=23∴此自然數(shù)是：23,∴226÷23=9……19,即：a=19?！纠?】一個(gè)小于200的自然數(shù)，被7除余2，被8除余3，被9除余1，這個(gè)數(shù)是多少？∵[7,8]=56,這個(gè)數(shù)是：56-5=51或56×2-5=107或56×3-5=163又∵163÷9=18……1∴這個(gè)數(shù)是163.【趁熱打鐵-4】滿足被5除余3，被6除余1，被7除余2的最小自然數(shù)是多少？∵(6,7)=42,這個(gè)數(shù)是：42-5=37或42×2-5=79或42×3-5=121或42×4-5=163又∵163÷5=32……3∴這個(gè)數(shù)是163.【例5】一堆蘋果，2個(gè)2個(gè)地?cái)?shù)剩1個(gè)，3個(gè)3個(gè)地?cái)?shù)剩2個(gè)，4個(gè)4個(gè)地?cái)?shù)剩3個(gè)，5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)剩4個(gè)，6個(gè)6個(gè)地?cái)?shù)剩5個(gè)，求這堆蘋果至少有多少個(gè)？[2,3,4,5,6]=6060-1=59（個(gè)）【趁熱打鐵-5】有一袋奶糖發(fā)給學(xué)前班的小朋友，每人得8，最后刻下1糖，每人得10最后也剩下1顆糖，每人得12顆，最后還是剩下1顆糖。這袋奶糖至少有多少顆？[8,10,12]=120120+1=121（顆）【例6】某歌舞團(tuán)200多人在大廳列隊(duì)排練，若排成7排則多2人，排成5排則多4人，排成6排則多3人，問(wèn)該歌舞團(tuán)共有多少人?設(shè)改歌舞團(tuán)的人數(shù)為m，則4m除以7余1,4m除以5余1,4m除以6沒(méi)有余數(shù)。[7,5]=35，且m＞200，則4m＞800?！?m=35×23+1=806（舍去）或4m=35×24+1=841（舍去）或4m=35×25+1=876（滿足題意）∴該歌舞團(tuán)的人數(shù)為：876÷4=219（人）【趁熱打鐵-6】某整數(shù)除以5余4，除以7余2，除以11余8，這個(gè)整數(shù)最小是多少？設(shè)這個(gè)整數(shù)最小是m，則3m除以5余2，除以11余2，除以7余6，[5,11]=55∴3m=55×1+2=57（舍去）或3m=55×2+2=112（舍去）或3m=55×3+2=167或3m=55×4+2=222（舍去）或3m=55×5+2=277（舍去）或3m=55×6+2=332（舍去）或3m=55×7+2=387（舍去）或3m=55×8+2=442（舍去）或3m=55×9+2=497（舍去）或3m=55×10+2=552（滿足題意：552÷7=78……6）∴這個(gè)整數(shù)最小是：552÷3=184.【例7】如果一個(gè)自然數(shù)a除以6余4，除以9余4，且a共有6個(gè)不同的約數(shù)，那么a最小是多少？（6,9）=18∴a=18×1+4=22，22的因數(shù)有1、2、11、22（舍去）或a=18×2+4=40，40的因數(shù)有1、2、4、5、8、10、20、40（舍去）或a=18×3+4=58，58的因數(shù)有1、2、4、7、8、14、28、56（舍去）或a=18×4+4=76，76的因數(shù)有1、2、4、19、38、76（滿足題意）∴a最小是76.【趁熱打鐵-7】一個(gè)自然數(shù)分別用7、8、9去除，余數(shù)分別為1、2、3，三個(gè)商數(shù)的和為570，這個(gè)自然數(shù)是____．∵[7,8,9]=504，三個(gè)商數(shù)的和是570，∴(72+63+56)n-3=570,n=3∴這個(gè)自然數(shù)是504×3-6=1506.【例8】在一根長(zhǎng)木棍上分別用紅、黃、藍(lán)三種顏色做標(biāo)記，將木棍分成了10等份、12等份和15等份。如果沿這三種標(biāo)記把木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？∵[10,12,15]=0,∴設(shè)這根木棍長(zhǎng)60厘米?！?0÷10=6(厘米），60÷12=5(厘米），60÷15=4(厘米）[4,5]=20,[5,6]=30,[4,6]=12∴60÷30-1=1(條），60÷20-1=2(條），60÷12-1=4(條）又∵10等份的為第一種刻度線，共：10-1=9(條）12等份的為第二種刻度線，共：12-1=11(條）15等份的為第三種刻度線，共：15-1=14(條）∴標(biāo)記一共有：9+11+14-1-2-4=27(條）∴木棍總共被鋸成：27+1=28(段）【趁熱打鐵-8】深冬的一個(gè)早晨，小明和爸爸踏著積雪，一前一后沿著圓形跑道從同一起點(diǎn)朝同一方向跑步鍛煉，爸爸每步50厘米，小明每步30厘米，雪地上的腳印時(shí)有重合，一圈跑下來(lái)，一共留有1680個(gè)腳印。這個(gè)跑道一圈的長(zhǎng)度是多少米？解：[50,30]=150,第一次兩人腳印重合時(shí)，爸爸走的步數(shù)：150÷5=3(步）,小明走的步數(shù)：150÷3=5(步）,即爸爸3步與小明5步時(shí)腳印重合一次，此時(shí)有3+5-1=7個(gè)腳印，距離是150厘米，總共有1680個(gè)腳印，應(yīng)重合的次數(shù)：1680÷7=240(次）所以這條路長(zhǎng)是240×150=36000(厘米）36000厘米=360米；答：這個(gè)跑道一圈長(zhǎng)360米.【過(guò)關(guān)精煉】1、某數(shù)除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么這個(gè)數(shù)的最小可能值是_______．解：因?yàn)榇藬?shù)加3以后，能被11,13整除，除以17余15,[11,13]=143,143÷17=8……7,7×7=49,49÷17=2……15.∴最小可能是：143×7-3=998.2、一個(gè)數(shù)除以5余2，除以7余2，除以11余9，滿足條件的最小自然數(shù)是____．[5,7]=3535÷11=3……22×9=18，18÷11=1……7∴最小是：35×9+2=3173、有一個(gè)數(shù)，除以3余數(shù)是2，除以4余數(shù)是1．問(wèn)這個(gè)數(shù)除以12余數(shù)是幾？設(shè)這個(gè)數(shù)為m，則5m除以3余1，除以4余1，[3,4]=12∴5m可能是12×n+1,∴m最小是5；5÷12=0……5∴這個(gè)數(shù)除以12余數(shù)是5.4、用紅筆在一根木棍上做了三次記號(hào)，第一次把木棍分成12等份，第二次把木棍分成15等份，第三次把木棍分成20等份，然后沿著這些紅記號(hào)把木棍鋸開(kāi)。一共鋸成多少小段？∵[12,15,20]