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文檔簡介
2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知等式成立,則()A.0 B.5 C.7 D.132.已知七人排成一排拍照,其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰,甲、丁兩人必須相鄰,則滿足要求的排隊方法數(shù)為().A.432 B.576 C.696 D.9603.地球上的風(fēng)能取之不盡,用之不竭.風(fēng)能是淸潔能源,也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風(fēng)力發(fā)電,近10年來,全球風(fēng)力發(fā)電累計裝機(jī)容量連年攀升,中國更是發(fā)展迅猛,2014年累計裝機(jī)容量就突破了,達(dá)到,中國的風(fēng)力發(fā)電技術(shù)也日臻成熟,在全球范圍的能源升級換代行動中體現(xiàn)出大國的擔(dān)當(dāng)與決心.以下是近10年全球風(fēng)力發(fā)電累計裝機(jī)容量與中國新增裝機(jī)容量圖.根據(jù)所給信息,正確的統(tǒng)計結(jié)論是()A.截止到2015年中國累計裝機(jī)容量達(dá)到峰值B.10年來全球新增裝機(jī)容量連年攀升C.10年來中國新增裝機(jī)容量平均超過D.截止到2015年中國累計裝機(jī)容量在全球累計裝機(jī)容量中占比超過4.過拋物線的焦點且與的對稱軸垂直的直線與交于,兩點,,為的準(zhǔn)線上的一點,則的面積為()A.1 B.2 C.4 D.85.已知函數(shù),,若,對任意恒有,在區(qū)間上有且只有一個使,則的最大值為()A. B. C. D.6.已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.7.設(shè)為等差數(shù)列的前項和,若,,則的最小值為()A. B. C. D.8.已知,,則等于().A. B. C. D.9.已知函數(shù)f(x)=,若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.10.已知函數(shù),若時,恒成立,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.11.已知等差數(shù)列的公差為,前項和為,,,為某三角形的三邊長,且該三角形有一個內(nèi)角為,若對任意的恒成立,則實數(shù)().A.6 B.5 C.4 D.312.觀察下列各式:,,,,,,,,根據(jù)以上規(guī)律,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若方程的解為,(),則_______;_______.14.在中,內(nèi)角的對邊長分別為,已知,且,則_________.15.某部門全部員工參加一項社會公益活動,按年齡分為三組,其人數(shù)之比為,現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本,若組中甲、乙二人均被抽到的概率是,則該部門員工總?cè)藬?shù)為__________.16.二項式的展開式的各項系數(shù)之和為_____,含項的系數(shù)為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),直線的參數(shù)方程(為參數(shù)),若直線的交點為,當(dāng)變化時,點的軌跡是曲線(1)求曲線的普通方程;(2)以坐標(biāo)原點為極點,軸非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,設(shè)射線的極坐標(biāo)方程為,,點為射線與曲線的交點,求點的極徑.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),以坐標(biāo)點O為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+)=1.(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程;(2)已知點M(2,0),若直線l與曲線C相交于P、Q兩點,求的值.19.(12分)如圖,是正方形,點在以為直徑的半圓弧上(不與,重合),為線段的中點,現(xiàn)將正方形沿折起,使得平面平面.(1)證明:平面.(2)三棱錐的體積最大時,求二面角的余弦值.20.(12分)已知的圖象在處的切線方程為.(1)求常數(shù)的值;(2)若方程在區(qū)間上有兩個不同的實根,求實數(shù)的值.21.(12分)這次新冠肺炎疫情,是新中國成立以來在我國發(fā)生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度最大的一次重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件.中華民族歷史上經(jīng)歷過很多磨難,但從來沒有被壓垮過,而是愈挫愈勇,不斷在磨難中成長,從磨難中奮起.在這次疫情中,全國人民展現(xiàn)出既有責(zé)任擔(dān)當(dāng)之勇、又有科學(xué)防控之智.某校高三學(xué)生也展開了對這次疫情的研究,一名同學(xué)在數(shù)據(jù)統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn),從2020年2月1日至2月7日期間,日期和全國累計報告確診病例數(shù)量(單位:萬人)之間的關(guān)系如下表:日期1234567全國累計報告確診病例數(shù)量(萬人)1.41.72.02.42.83.13.5(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),運用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說明,是否可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系?(2)求出關(guān)于的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01).并預(yù)測2月10日全國累計報告確診病例數(shù).參考數(shù)據(jù):,,,.參考公式:相關(guān)系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,.22.(10分)已知橢圓C:()的左、右焦點分別為,,離心率為,且過點.(1)求橢圓C的方程;(2)過左焦點的直線l與橢圓C交于不同的A,B兩點,若,求直線l的斜率k.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進(jìn)行求解即可.【詳解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故選:D【點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用,考查了特殊值代入法,考查了數(shù)學(xué)運算能力.2、B【解析】
先把沒有要求的3人排好,再分如下兩種情況討論:1.甲、丁兩者一起,與乙、丙都不相鄰,2.甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰.【詳解】首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好,共有種不同排列方式,甲、丁排在一起共有種不同方式;若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰,插入余下三人產(chǎn)生的空檔中,共有種不同方式;若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰,插入余下三人產(chǎn)生的空檔中,共有種不同方式;根據(jù)分類加法、分步乘法原理,得滿足要求的排隊方法數(shù)為種.故選:B.【點睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用,在分類時,要注意不重不漏的原則,本題是一道中檔題.3、D【解析】
先列表分析近10年全球風(fēng)力發(fā)電新增裝機(jī)容量,再結(jié)合數(shù)據(jù)研究單調(diào)性、平均值以及占比,即可作出選擇.【詳解】年份2009201020112012201320142015201620172018累計裝機(jī)容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增裝機(jī)容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中國累計裝機(jī)裝機(jī)容量逐年遞增,A錯誤;全球新增裝機(jī)容量在2015年之后呈現(xiàn)下降趨勢,B錯誤;經(jīng)計算,10年來中國新增裝機(jī)容量平均每年為,選項C錯誤;截止到2015年中國累計裝機(jī)容量,全球累計裝機(jī)容量,占比為,選項D正確.故選:D【點睛】本題考查條形圖,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.4、C【解析】
設(shè)拋物線的解析式,得焦點為,對稱軸為軸,準(zhǔn)線為,這樣可設(shè)點坐標(biāo)為,代入拋物線方程可求得,而到直線的距離為,從而可求得三角形面積.【詳解】設(shè)拋物線的解析式,則焦點為,對稱軸為軸,準(zhǔn)線為,∵直線經(jīng)過拋物線的焦點,,是與的交點,又軸,∴可設(shè)點坐標(biāo)為,代入,解得,又∵點在準(zhǔn)線上,設(shè)過點的的垂線與交于點,,∴.故應(yīng)選C.【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì),解題時只要設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,就能得出點坐標(biāo),從而求得參數(shù)的值.本題難度一般.5、C【解析】
根據(jù)的零點和最值點列方程組,求得的表達(dá)式(用表示),根據(jù)在上有且只有一個最大值,求得的取值范圍,求得對應(yīng)的取值范圍,由為整數(shù)對的取值進(jìn)行驗證,由此求得的最大值.【詳解】由題意知,則其中,.又在上有且只有一個最大值,所以,得,即,所以,又,因此.①當(dāng)時,,此時取可使成立,當(dāng)時,,所以當(dāng)或時,都成立,舍去;②當(dāng)時,,此時取可使成立,當(dāng)時,,所以當(dāng)或時,都成立,舍去;③當(dāng)時,,此時取可使成立,當(dāng)時,,所以當(dāng)時,成立;綜上所得的最大值為.故選:C【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點和最值,考查三角函數(shù)的性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.6、A【解析】
用排除法,通過函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個選項進(jìn)行判斷,找出不符合函數(shù)解析式的圖像,最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【詳解】設(shè),由于,排除B選項;由于,所以,排除C選項;由于當(dāng)時,,排除D選項.故A選項正確.故選:A【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì),屬于中檔題.7、C【解析】
根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的通項公式,判斷出最小時的值,由此求得的最小值.【詳解】依題意,解得,所以.由解得,所以前項和中,前項的和最小,且.故選:C【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式和前項和公式的基本量計算,考查等差數(shù)列前項和最值的求法,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
由已知條件利用誘導(dǎo)公式得,再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號,即可得到答案.【詳解】由題意得,又,所以,結(jié)合解得,所以,故選B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號與位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】
由已知可將問題轉(zhuǎn)化為:y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個交點,作出圖象,由圖可得:點(1,0)必須在直線y=kx-的下方,即可求得:k>;再求得直線y=kx-和y=lnx相切時,k=;結(jié)合圖象即可得解.【詳解】若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個不相等的實數(shù)根,則y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個交點.作出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖,故點(1,0)在直線y=kx-的下方.∴k×1->0,解得k>.當(dāng)直線y=kx-和y=lnx相切時,設(shè)切點橫坐標(biāo)為m,則k==,∴m=.此時,k==,f(x)的圖象和直線y=kx-有3個交點,不滿足條件,故所求k的取值范圍是,故選D..【點睛】本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力,還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計算能力、觀察能力,屬于難題.10、D【解析】
通過分析函數(shù)與的圖象,得到兩函數(shù)必須有相同的零點,解方程組即得解.【詳解】如圖所示,函數(shù)與的圖象,因為時,恒成立,于是兩函數(shù)必須有相同的零點,所以,解得.故選:D【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點問題,考查不等式的恒成立問題,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.11、C【解析】
若對任意的恒成立,則為的最大值,所以由已知,只需求出取得最大值時的n即可.【詳解】由已知,,又三角形有一個內(nèi)角為,所以,,解得或(舍),故,當(dāng)時,取得最大值,所以.故選:C.【點睛】本題考查等差數(shù)列前n項和的最值問題,考查學(xué)生的計算能力,是一道基礎(chǔ)題.12、B【解析】
每個式子的值依次構(gòu)成一個數(shù)列,然后歸納出數(shù)列的遞推關(guān)系后再計算.【詳解】以及數(shù)列的應(yīng)用根據(jù)題設(shè)條件,設(shè)數(shù)字,,,,,,,構(gòu)成一個數(shù)列,可得數(shù)列滿足,則,,.故選:B.【點睛】本題主要考查歸納推理,解題關(guān)鍵是通過數(shù)列的項歸納出遞推關(guān)系,從而可確定數(shù)列的一些項.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
求出在上的對稱軸,依據(jù)對稱性可得的值;由可得,依據(jù)可求出的值.【詳解】解:令,解得因為,所以關(guān)于對稱.則.由,則由可知,,又因為,所以,則,即故答案為:;.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱軸,考查了誘導(dǎo)公式,考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的易錯點在于沒有正確判斷的取值范圍,導(dǎo)致求出.在求的對稱軸時,常用整體代入法,即令進(jìn)行求解.14、4【解析】∵∴根據(jù)正弦定理與余弦定理可得:,即∵∴∵∴故答案為415、60【解析】
根據(jù)樣本容量及各組人數(shù)比,可求得C組中的人數(shù);由組中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C組的總?cè)藬?shù),即可由各組人數(shù)比求得總?cè)藬?shù).【詳解】三組人數(shù)之比為,現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本,則三組抽取人數(shù)分別.設(shè)組有人,則組中甲、乙二人均被抽到的概率,∴解得.∴該部門員工總共有人.故答案為:60.【點睛】本題考查了分層抽樣的定義與簡單應(yīng)用,古典概型概率的簡單應(yīng)用,由各層人數(shù)求總?cè)藬?shù)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
將代入二項式可得展開式各項系數(shù)之和,寫出二項展開式通項,令的指數(shù)為,求出參數(shù)的值,代入通項即可得出項的系數(shù).【詳解】將代入二項式可得展開式各項系數(shù)和為.二項式的展開式通項為,令,解得,因此,展開式中含項的系數(shù)為.故答案為:;.【點睛】本題考查了二項式定理及二項式展開式通項公式,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)將兩直線化為普通方程,消去參數(shù),即可求出曲線的普通方程;(2)設(shè)Q點的直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為,求出,代入曲線C可求解.【詳解】(1)直線的普通方程為,直線的普通方程為聯(lián)立直線,方程消去參數(shù)k,得曲線C的普通方程為整理得.(2)設(shè)Q點的直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為,由可得代入曲線C的方程可得,解得(舍),所以點的極徑為.【點睛】本題主要考查了直線的參數(shù)方程化為普通方程,普通方程化為極坐標(biāo)方程,極徑的求法,屬于中檔題.18、(1)l:,C方程為;(2)=【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.
(2)利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】(1)曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),兩式相加得到,進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為.直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+)=1,則轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.(2)將直線的方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入得到(t1和t2為P、Q對應(yīng)的參數(shù)),所以,,所以=.【點睛】本題考查參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換,一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題型.19、(1)見解析(2)【解析】
(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面,由此證得,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)證得,由此證得平面.(2)判斷出三棱錐的體積最大時點的位置.建立空間直角坐標(biāo)系,通過平面和平面的法向量,計算出二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因為平面平面是正方形,所以平面.因為平面,所以.因為點在以為直徑的半圓弧上,所以.又,所以平面.(2)解:顯然,當(dāng)點位于的中點時,的面積最大,三棱錐的體積也最大.不妨設(shè),記中點為,以為原點,分別以的方向為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè)平面的法向量為,則令,得.設(shè)平面的法向量為,則令,得,所以.由圖可知,二面角為銳角,故二面角的余弦值為.【點睛】本小題主要考查線面垂直的證明,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.20、(1);(2)或.【解析】
(1)求出,由,建立方程求解,即可求出結(jié)論;(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,極值
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