2024屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)：圓錐曲線常見經(jīng)典壓軸小題

2024屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)

壓軸題型10圓錐曲線常見經(jīng)典壓軸小題

壓軸題解讀

1、圓錐曲線的定義、方程與幾何性質(zhì)是每年高考必考的內(nèi)容.一是求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方

程；二是求橢圓或雙曲線的離心率、與雙曲線的漸近線有關(guān)的問題；三是拋物線的性質(zhì)及應(yīng)用

命題預(yù)測(cè)問題.多以選擇、填空題的形式考查，難度中等.

2、通過對(duì)橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程及幾何性質(zhì)的考查，著重考查了數(shù)學(xué)抽象、

數(shù)學(xué)建模、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算四大核心素養(yǎng).

(1)阿波羅尼斯圓、蒙日?qǐng)A

(2)離心率

高頻考法(3)焦半徑問題

(4)切線、切點(diǎn)弦問題

(5)焦點(diǎn)三角形問題

高分必?fù)?/p>

?題型01阿波羅尼斯圓、蒙日?qǐng)A

pA

1、在平面上給定兩點(diǎn)4,B,設(shè)尸點(diǎn)在同一平面上且滿足一=4,當(dāng)/1〉0且;1/1時(shí)，尸點(diǎn)的軌

PB

跡是個(gè)圓，稱之為阿波羅尼斯圓.(2=1時(shí)P點(diǎn)的軌跡是線段的中垂線)

2、在橢圓上，任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于

橢圓長半軸短半軸平方和的幾何平方根，這個(gè)圓叫蒙日?qǐng)A.

【典例1-1】(2024?全國?模擬預(yù)測(cè))古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：在平面上，若動(dòng)點(diǎn)p到相異兩點(diǎn)A和8

距離比值為不等于1的定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是圓心在直線AB上的圓，該圓被稱為點(diǎn)A和8相關(guān)的阿氏

圓.已知尸在點(diǎn)A和3相關(guān)的阿氏圓。:/+y2=4上,其中點(diǎn)A(-4,0),點(diǎn)。在圓M+(y-3)2=1上，

則|PQ|+g|P4|的最小值為()

A.36-1B.372+1C.4D.6

【答案】C

【解析】方法一：因?yàn)閳A。：/+y=4的圓心為。（0,0）,點(diǎn)A（-4,0）,

由阿氏圓定義知，點(diǎn)8在x軸上，設(shè)B,0）,

圓Od+V=4與x軸的交點(diǎn)片（一2,0）,g（2,0）,

則由阿氏圓定義知丹RB=\需P,B，即匕1+乜2|k-2l

4A\P2A26

解得"-1或"-4（舍），故B（TO）,

PB11....

且不尸石，即5照=網(wǎng)，

故I尸q+JpA|=|PQ[+|P8日可|+儼閭一r"2眼目一r"=5_1=4,

當(dāng)且僅當(dāng)3,P,Q,M四點(diǎn)共線時(shí)，|PQ|+J尸A|取最小值4,故選：C.

方法二：設(shè)P（x。,%）,則年+y：=4,故尤=4-呼，

故小4卜,尤=卜4）：+4一片=

=#；+y；）+2x°+l=J（x°+l）2+y；,即磯-1,0）,則%川=附，

故|PQ|+JPA|=|尸Q|+|P83心|+|尸閭一廠”2根同一廠“=5-1=4，

當(dāng)且僅當(dāng)B,P,Q,M四點(diǎn)共線時(shí)，忸。|+：|尸山取最小值4.

故選：C.

PA\

【典例1?2】（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）已知平面上兩定點(diǎn)4,B,則所有滿足篇=2（4>0且％）的

PB\

點(diǎn)尸的軌跡是一個(gè)圓心在直線45上，半徑為\AB\的圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)

現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在棱長為6的正方體ABCD-44GA的一個(gè)側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足

\PA\=2\PB\,則點(diǎn)尸的軌跡長度為（）

A.弓B.學(xué)C.凡D.晅

332

【答案】B

【解析】在圖1中，以5為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系xBy,如圖2所示，

PA

設(shè)阿氏圓圓心為。（。,0）,半徑為兀因?yàn)?PAi=2歸卻，所以』=2,

FD

29

所以,=匚歹M=§X6=4.

MA

設(shè)圓。與N3交于點(diǎn)肱由阿氏圓性質(zhì)，知二7M=2=2.

X|MB|=4-|BO|=4-a,所以=2附同=8-2a.又+=6,

所以8—2。+4—a=6,解得a=2,所以。（2,0）,

所以點(diǎn)尸在空間內(nèi)的軌跡為以。為球心，半徑為4的球.

當(dāng)點(diǎn)尸在側(cè)面內(nèi)部時(shí)，如圖2所示，截面圓與AB,8月分別交于點(diǎn)M,R,

所以點(diǎn)尸在側(cè)面內(nèi)的軌跡為“R.

因?yàn)樵谥?，區(qū)。|=4,忸0|=2,所以/R03=j,

7T47r47r

所以MR=；x4=三，所以點(diǎn)尸在側(cè)面ABBW內(nèi)部的軌跡長為望.

故選：B.

【變式1-1］（2024?高三?重慶?階段練習(xí)）法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條互相垂直的直

線交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓

2222

C:=+與=1（。＞6＞0）的蒙日?qǐng)A方程為爐+/="+火現(xiàn)有橢圓C:=+匕=1（。＞4）的蒙日?qǐng)A上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

aba16

M,過點(diǎn)M作橢圓C的兩條切線，與該蒙日?qǐng)A分別交于P、0兩點(diǎn)，若,."PQ面積的最大值為34,則。的

值為（）

A.3cB.8后C.6拒D.4及

【答案】A

【解析】由題意可知橢圓c的蒙日?qǐng)A的半徑為77萬=病了記，因?yàn)椤笆琈。，

所以PQ為蒙日?qǐng)A的直徑，所以|尸。|=2〃2+16,

所以陷尸|2+|MQF=|PQF=4（1+16）,

因?yàn)榈倪辰z幽

=2(/+16)，

當(dāng)且僅當(dāng)iMPkMQH&T^i不時(shí)，等號(hào)成立，

所以工MP。面積的最大值為；|及。卜|加9=片+16,

由，MPQ面積的最大值為34,所以/+16=34,則°=3近，

故選：A.

【變式1-2］（2024?高三?安徽?期末）法國數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)橢圓兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這

個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”，它的圓心與橢圓中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸和短半軸的平方和.如圖所示

22

為稀圓石：。+冬=1（。＞。＞0）及其蒙日?qǐng)A。，點(diǎn)P,C,Z）均為蒙日?qǐng)A與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，尸C,PD分別與E相

ab

切于點(diǎn)A,8,若，PAB與..PCD的面積比為4:9,則E的離心率為（）

與

1Dx

A,也B*Td-f

4

【答案】C

【解析】由題知，蒙日?qǐng)A。為/+/="+廿，設(shè)P（O,777^）,￡＞（V7萬,0）,

則直線PD的方程為y=-X+V77F，

當(dāng)=1

由<b2消》得至!J(a2+b2)x2-2a2^a2+b2x+〃4=o,

y=-x+yla2+b2

顯然有A=（2/八率7）2一4（/+/）/=0，解得XB=

yla1+b2

AB2

又二P45與..PCD的面積比為4:9,所以百一

Q2'

22

X\CD\=2^Ja+b,|AB|=2XB=,=,所以J/_a"_2,

"+bzja'b廣下了=飛

?題型02離心率

解決離心率問題常用方法：定義法、幾何法和坐標(biāo)法.

22

【典例2-1】（2024?高二?北京東城?期中）已知橢圓C：T+e=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F2,

若橢圓C上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)尸，使得二月8P為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

【解析】如下圖所示:

（1）當(dāng)點(diǎn)P與橢圓短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)，耳工是以耳耳為底邊的等腰三角形，

此時(shí)，有2個(gè)滿足條件的等腰△尸斗尸2；

（2）當(dāng)構(gòu)成以與工為一腰的等腰三角形時(shí)，

以招尸為底邊為例，則|P7=|耳劇或|「閭=|耳中|,此時(shí)點(diǎn)尸在第一或第四象限，

由對(duì)稱性可知，在每個(gè)象限內(nèi)，都存在一個(gè)點(diǎn)P,使得是以與工為一腰的等腰三角形，

不妨設(shè)點(diǎn)尸（尤,y）在第一象限，則產(chǎn)=〃一匕必，其中0<x<a,

a

222222

則歸團(tuán)=J（x+c）2+/=Jx+2cx+c+Z?--^-x=x+lex+a=—x+a=2c，

jct1jdd

||=J（x-c）~+J=I爐—2cx+02+/——%2=J———2cx+=a—x—2c，

ydj

由￡x+a=2c可得xJa—J所以，?！葱投?lt;°,解得工<e=￡<l,

accla

.c_力砥a2-lacUe、1八a1-lac左力”曰1c1

由〃—冗=2。可付了=-------,所以，0<------------<a,角牛得7<e=—<大，

acc3Q2

綜上所述，該橢圓的離心率的取值范圍是1]

故選：D.

22

【典例2-2】（2024?高三?河北邢臺(tái)?期末）在橢圓[+與=1（a>人>0）中，耳，尸?分別是左，右焦點(diǎn),

ab

Si

P為橢圓上一點(diǎn)（非頂點(diǎn)），/為△尸耳工內(nèi)切圓圓心，若三①=3,則橢圓的離心率e為（）

D△尸6耳$

A.-B.1C.WD.立

3232

【答案】B

22

【解析】橢圓二+1=1（a>6>0）中，耳，B分別是左，右焦點(diǎn)，尸為橢圓上一點(diǎn)（非頂點(diǎn)），

ab

/為△PGB內(nèi)切圓圓心，設(shè)△尸久工的內(nèi)切圓半徑為r,

則S彥陽=；rx（|p團(tuán)+戶月|+但典）=（a+c?,S巧&=；僧用r=cr

,S4[F\FCC1

rl|-------------=----------=一

LUs.a得〃+c=3c,即〃二2c,

)△P耳葩Q十CJ

c|

.?.橢圓的離心率為e=—=彳.

a2

故選：B.

22

【變式2-1］（2024?黑龍江雙鴨山?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知橢圓。:三+當(dāng)=1（。＞。＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為

ab

F1,F］,點(diǎn)、M,N在C上，13.周=3|叫|,2〃耳=3耳"，則C的離心率為.

【解析】設(shè)1KM=2凡由2嗎=3耳N,得山閭=3",

又131M耳|=3|咋所以|N閭=13m,

由橢圓的定義知M用+\MF2\=|N用+的用=2m+13m=15m=2a,

所以附用=Um,則|7VF,|2=|MN|2+\MF^,

所以/甲明=90°,

所以（3m）2+（12m）2=（2c）2,即4c2=153m2,

,,24c215377?17

故￡=--y-----7=--,

4a2225m~25

所以e=YH.

5

故答案為：叵

5

【變式2-2］（2024?山東一模）如圖，在ABC中，己知/BAC=120。，其內(nèi)切圓與/C邊相切于點(diǎn)D,且

AD=1,延長A4到E,使BE=BC,連接CE,設(shè)以及C為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)/的橢圓的離心率為《，以及

C為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)/的雙曲線的離心率為02,則e0的取值范圍是

【答案】（1,+s）

【解析】如圖以CE的中點(diǎn)C為原點(diǎn)直角坐標(biāo)系，設(shè)M,G分別是與圓的切點(diǎn),由圓的切線性質(zhì)得

AG=A。=1,

CD=CM=GE=m^m>1),所以AC=l+m,AE=GE-AG-m-1,

在中，CE2=CA2+AE2-2CA-EAcos60°=m2+3,

m2+3

以及C為焦點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)A的雙曲線的離心率為e?

以及c為焦點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)A的橢圓的離心率為4=如上i

2m

rn.im2+3m3

貝UGG=--=—+—，

4m44m

在二ABC中，設(shè)所以5C=m+〃,A5=〃+l,AC=m+lf

由余弦定理可得8C?=AB2+AC2-2AB-ACcosU0°,

3m+3

所以mn=3m+3〃+3,所以〃=----->0,得機(jī)〉3,

m-3

由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)y=：+卷在（3,+8）上單調(diào)遞增,

m3331

所以e.e=—I----->—H--------=I.

'244m44x3

故答案為：（l,+。）.

?題型03焦半徑問題

。。??

1、橢圓焦半徑

L

橢圓

（P國,打）為橢圓上任意一點(diǎn)）

2M2

方程X2/

/+瓦=l(a>b>0)?~>。)

焦點(diǎn)

K為左焦點(diǎn)心為右焦點(diǎn)月為下焦點(diǎn),心為上焦點(diǎn)

焦半徑

|PF1|二a+做,\PF2\=a-ex0\PFt\=a+ey0,\PF2\=a-ey0

記憶口訣左九I右減下加上減

2、雙曲線焦半徑

卜,\《

雙曲線\

（產(chǎn)（為,%）為雙7~^

曲線上任意一點(diǎn)）/

方程2222

=1(。>0,6>0)^-^=l(a>0,b>0)

ab

焦點(diǎn)

4為左焦點(diǎn)，K為右焦點(diǎn)月為下焦點(diǎn)，弱為上焦點(diǎn)

焦半徑PF

\i\=\a+ex0\,\PF2\=\a-ex0\\PFt\=\a+ey0\,\PF2\=\a-ey0\

記憶口訣左加右減下加上減

3、拋物線焦半徑

拋物線的焦半徑公式，根據(jù)定義理解和記憶即可，即：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線

的距離.

拋物線>2=2px{夕>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py{7>0)

焦半徑冏=3附4+%附=5-%

記憶口訣左準(zhǔn)線，左加右準(zhǔn)線，右減下準(zhǔn)線，下加上準(zhǔn)線，上減

【典例3?1】（2024?河南焦作?模擬預(yù)測(cè)）已知直線y=%T交曲線Uy?=4%于A,區(qū)兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的

上方），歹為C的焦點(diǎn)，則|（）

\AF\-\BF\

A.273B.2V2C.2D.V2

【答案】D

fV=x-1

【解析】聯(lián)立方程組2，，消元得尤2-6尤+1=0,

\y=4x

設(shè)A（無i，yj，2（々，%），解得占=3+2逝，X2=3-2A/2,

易知產(chǎn)（1,。）過直線AB,根據(jù)拋物線的定義，

可得|”|=玉+孑=4+2近，\BF|=X2+-^=4-2A/2,

的2\AB\\AF\+\BF\r-

所以-----------=-----------=72

\AF\-\BF\\AF\-\BF\

故選：D.

22

【典例3-2】（2024?四川南充?二模）已知橢圓。:三+乙=1的左右焦點(diǎn)分別為耳,耳.過點(diǎn)可傾斜角為。的

43

直線/與橢圓。相交于A,B兩點(diǎn)（A在％軸的上方），則下列說法中正確的有（）個(gè).

a

1112+cos。

11_4

②同十畫

③若點(diǎn)河與點(diǎn)3關(guān)于x軸對(duì)稱，則..AM耳的面積為=9sinn，2：3

7-cos2，

jr127r

④當(dāng)0=e時(shí)，耳內(nèi)切圓的面積為詈

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】在中，由余弦定理|4月「+閨用2-2同可MEJ.COSO=|A名

即14月「+4,2_4c|A用?cos。=(2a-|A周『,

A2A2

整理得|4耳|=―-——，同理可得忸用二--——

a-c-cos0a+c-COS0

2ab°---1-------1-----a---—--C--'C----o-s-O--_i_-a--+---c----c-o--s-6-——2a

所以凰+忸制=22

a2-c1-cos20|A周忸周一bb-U，

22

對(duì)于橢圓。：土+匕=1，則〃=2、b=V3、c=1,

43

33

所以恒團(tuán)=，M=故①錯(cuò)誤;

2-cos02+cos。

112a4

+==

\AFI\\BF^\V3^故②正確;

lab212AEL

所以|AB\=，°.AMF]=—SABM，

a2-c2-cos2^4-cos2。AB

=^\BM\\xA-xB\=\BFl\sin0-iAB\

又S,ABM?cos6\

12cos6

------------sin夕

2+cos。4一cos2。

312sin6cose

2+cos64-cos20

36sin20

2+cos8/1+cos23

4-----------

2

312sin26>

2+cDS。7—cos20

3

純_2-cosO2+cos。

AB124

4一cos?。

LLII02+cos0312sin26>9sin26

所以S-4X2cos^,=,故③錯(cuò)誤;

+7-cos237—cos26

當(dāng)時(shí)，直線/的方程為

33'

,消去無整理得5/—2百y-9=0,顯然A>0,

g、i2A/39

yA+yB=――>力%__1

又|4胤=2,忸耳|=|，則|A閭=2"|A團(tuán)=2,忸用=2。一忸￡|=t，

設(shè)△山碼內(nèi)切圓的半徑為r,則S件=；閨用1以一力|=；〃（|A同+1A用+忸用），

所以21友［+4><2=/{2+9+2+q］,解得/=垃，

5I5I55；5

127r

所以△AB&內(nèi)切圓的面積S=Ttr2="詈，故④正確;

故選：B

22

【變式3-1］（2024?高二?全國?課后作業(yè)）過橢圓，+二=1.>。>0）的一個(gè)焦點(diǎn)尸作弦AB,若口司=4,

ab

\BF\=dl,則;+;的數(shù)值為（）

4a2

A.4B.I?C.與D.與弦AB斜率有關(guān)

aba

【答案】B

【解析】令"c，。）,設(shè)4%,口）,8（孫必），

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線A8的方程為無=c,

x=c/b2b211_2a

由J解得y=±—,則4=4=—,所以7+了二三；

-yH---5—1Cla"102"

、ab

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-c）,

y=k(x-c)

由J/2,整理得：(〃2%2+02)%2一2。2女24+〃2女2，一〃2力2=0,

二+一二1

[ab

201k2ca2k2c2-a2b2

所以演+工2=

crk2+b2'a2k2+b2

22

oc2akc

J_+J_=2a-e(%+xJ=a吏/+〃=竺

又4=a_GM,d2=a-ex2f

4d(a-ex)(a-ex)\,^b2

212U2—C(X2-+rAxjH--《玉xx々

-112a

綜上，&+工二聲

故選：B.

【變式3-2X2024?高三?北京海淀?階段練習(xí)）已知拋物線C：9=?的焦點(diǎn)為F,A,B兩點(diǎn)在C上，|人同=2,

忸同=5,則直線AB斜率的最小值和最大值分別是（）

2222

A.—,—B.—,2C.—2,—D.—2,2

3333

【答案】D

【解析】由題意知/（L0）,設(shè)4（$%）,B（"2），

則由|A刊=2,得西+1=2,得%=1,

代入C：y2=4x,得％=±2,所以4（1,2）或A（l,-2）；

由忸川=5,得/+1=5,得巧=4,代入C：y2=4x,得%的,

所以8（4,4）或8（4,-4）；

4-224+2°-4-2\-4+22

所以直線斜率有0=3——=2,=-2,--------=——四種情況,

4-14-14-13

則直線AB斜率的最小值為-2,最大值為2.

故選：D.

?題型04切線、切點(diǎn)弦問題

1、點(diǎn)“（七,%）在圓/+y2=/上，過點(diǎn)M作圓的切線方程為%x+Noy=r.

2、點(diǎn)”（%,%）在圓一十/二戶外，過點(diǎn)加作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則切點(diǎn)弦AB的

直線方程為%x+y（）y=尸.

3、點(diǎn)M(x0,%)在圓V+y2=產(chǎn)內(nèi)，過點(diǎn)M作圓的弦鉆(不過圓心)，分別過A,B作圓的切線,

則兩條切線的交點(diǎn)P的軌跡方程為直線x/+%>=戶.

4、點(diǎn)M(x0,%)在圓。-。)2+(丁-6)2=/上，過點(diǎn)M作圓的切線方程為

(x0-a)(x-a)+(y0-b){y-b)=r-.

5、點(diǎn)M(x0,%)在圓(x-a)2+(y-6)2=產(chǎn)外，過點(diǎn)M作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則切

2

點(diǎn)弦AB的直線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r.

6、點(diǎn)M(x0,%)在圓(x-a)2+(y-b)2=/內(nèi)，過點(diǎn)M作圓的弦AB(不過圓心)，分別過A,B作

圓的切線，則兩條切線的交點(diǎn)尸的軌跡方程為(毛-a)(x-a)+(%-6)(y-6)=戶.

7、點(diǎn)M(x。，%)在橢圓￡+4.=1(。>6>0)上，過點(diǎn)〃作橢圓的切線方程為警+誓=1.

cibcib

8、點(diǎn)M(x0,%)在橢圓二+4=l(a>b>0)外，過點(diǎn)M作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為4,B,

ab

則切點(diǎn)弦4?的直線方程為警+浮=1.

ab

22

9、點(diǎn)M(%,%)在橢圓［+與=內(nèi)，過點(diǎn)M作橢圓的弦AB(不過橢圓中心)，分別

ab

過A,8作橢圓的切線，則兩條切線的交點(diǎn)尸的軌跡方程為直線弊+岑=1.

ab

丫2v2

10、點(diǎn)M(x0,%)在雙曲線==l(a>0,。>0)上，過點(diǎn)M作雙曲線的切線方程為

ab

/b2~,

yv2

n、點(diǎn)M(X。，％)在雙曲線二-==I(Q>O,b>o)外，過點(diǎn)“作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為

ab

A,B,則切點(diǎn)弦小?的直線方程為與-羋=1.

ab

22

12、點(diǎn)M(x0,%)在雙曲線三-與=l(a>0,6>0)內(nèi)，過點(diǎn)M作雙曲線的弦AB(不過雙曲線中

ab

心)，分別過A,8作雙曲線的切線，則兩條切線的交點(diǎn)尸的軌跡方程為直線警一綽=1.

ab

13、點(diǎn)M(x0,%)在拋物線丁=2px(p>0)上，過點(diǎn)M作拋物線的切線方程為%y=p(x+x0).

14、點(diǎn)M(x0,%)在拋物線丁=2px(p>0)外，過點(diǎn)M作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,

則切點(diǎn)弦AB的直線方程為%y=p(x+x0).

15、點(diǎn)MJ。，%）在拋物線丁=2.（p>0）內(nèi)，過點(diǎn)M作拋物線的弦AB,分別過A,8作拋物線

的切線，則兩條切線的交點(diǎn)P的軌跡方程為直線yoy=p（x+xo）.

【典例4-1】（2024?河北滄州?一模）已知點(diǎn)尸為拋物線x2=8y上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作圓C:V+（y-5）?=1的兩

條切線，切點(diǎn)分別為N,貝UcosNMPN的最小值為（）

A⑺R29DH

A.D.—C.—JJ.—

231012

【答案】D

【解析】因?yàn)镹MPN=2NMPC,sinZMPC=^^=-^-,

I尸cII產(chǎn)。I

「產(chǎn)、（產(chǎn)、2,4/1,

設(shè)尸f,一,貝U|PC|2=「+I--5=———+25=—（？-8?+24

（8）64464、'

當(dāng)d=8時(shí)，|PC1nmi=2",此時(shí)/MPN最大，cos/MPN最小，

11

且（cos/M尸N）.=l—2sii?NMPC=l—2x

\/min12

故選：D.

【典例4-2】（2024?高三?河南?階段練習(xí)）已知點(diǎn)M在曲線V=4x上，過〃作圓（？:"-3）?+儼=1的切

線，切點(diǎn)分別為4B,則四邊形M4cg的面積的最小值為（）

A.272B.V7C.3D.9

【答案】B

【解析】

如圖，設(shè)點(diǎn)M（x,y）,連接MC,四邊形M4C3的面積為5=25.。=2*；|朋4|*1=|肱4|=而祈二L

而|MC|=上7）、/,又點(diǎn)”（x,y）在曲線儼=4x上，則有|MC|=J（x-3）2+4x=Jd）?+8,

依題意，尤20,故當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，|MC|m/2夜，此時(shí)四邊形MACB的面積取得最小值一1=4.

故選:B.

【變式4-1］（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：x2=4v,過直線/：x+2y=4上的動(dòng)點(diǎn)尸可作C的兩

條切線，記切點(diǎn)為48,則直線AB（）

A.斜率為2B.斜率為±2C.恒過點(diǎn)（0,-2）D.恒過點(diǎn)（-1,-2）

【答案】D

【解析】設(shè)4（工,為），2（巧，必），則￡=4/，/=4%，

由于/=；x,故過點(diǎn)4（占,%）的切線方程為y-%=；再（x-玉），

即,一%=；龍逮一；再2=^x1x-2yI,即y+乂=；尤述，

同理可得過點(diǎn)B的切線方程為＞+%=；9*，

設(shè)尸（4-2〃,〃）,過點(diǎn)4（&%）,2（尤2,%）的兩切線交于點(diǎn)尸（4-2〃,〃），

故"+%=gx］（4-2〃），整理得必+〃=（2_“）再，

同理〃+%=3%（4-2〃），整理得%+〃=（2，

故直線AB的方程為y+〃=（2-〃）x,

斜率不為定值，AB錯(cuò)誤，當(dāng)產(chǎn)-1時(shí)，產(chǎn)-2,恒過點(diǎn)（-1,-2）,C錯(cuò)誤，D正確.

故選：D

【變式4-2］（2024?高三?全國?專題練習(xí)）已知拋物線「/=8y的焦點(diǎn)為尸，直線/與拋物線「在第一象限

相切于點(diǎn)P,并且與直線尸-2和X軸分別相交于/,8兩點(diǎn)，直線尸尸與拋物線r的另一個(gè)交點(diǎn)為。.過點(diǎn)

B作BC//AF交PF于點(diǎn)C,若|尸口=血尸|,則|尸耳等于（）

附加結(jié)論：拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)42的坐標(biāo)分別為4（國,%）,以%,%）,以48為切點(diǎn)的切線為，PB

相交于點(diǎn)尸，我們稱弦為阿基米德,的底邊.

推論:若阿基米德三角形的底邊即弦N2過拋物線內(nèi)定點(diǎn)。（。,，"）（，"＞。），則另一頂點(diǎn)尸的軌跡方程為'=一叫

A.V5-1B.2+75C.3+V5D.5+75

【答案】C

【解析】因?yàn)橹本€P。過拋物線的焦點(diǎn)/（。,2）,

由推論可知以尸。為底邊的阿基米德三角形的另一個(gè)頂點(diǎn)P的軌跡方程為y=-2,

又因?yàn)榍芯€PA與直線y=-2相交于點(diǎn)/,

故△AP。為拋物線的阿基米德三角形，/。也與拋物線相切.

如圖，設(shè)點(diǎn)尸，。在直線尸-2（拋物線的準(zhǔn)線）上的射影分別為P,Q',

連接PP,QQ',PP與X軸相交于點(diǎn)D

...............\QQr\PD

因?yàn)閨PC|=|Q刊=|QQ[,則*=而..

又因?yàn)閨尸尸|=|尸尸'|,所以=|尸必.

設(shè)P(Xi，yJ,Q(孫泗)，則有為+2=%①.

由定理可得號(hào)=-2,得看第=162,

O

即8yl-8%=162,故％%=4②.

聯(lián)立①②兩式，解得％=岔+1,

故|尸司=乂+2=6+3.

故選：C.

?題型05焦點(diǎn)三角形問題

1、橢圓焦點(diǎn)三角形的常用性質(zhì)

ci)橢圓焦點(diǎn)三角形的周長C=2a+2c

S_工

(2)焦點(diǎn)三角形的面積》△叫為一a.

tan—

2

2、雙曲線焦點(diǎn)三角形的常用性質(zhì)

(1)過雙曲線焦點(diǎn)工的弦尸。的長為，，則三角形△尸。耳的周長。=4〃+2"

A2

(2)焦點(diǎn)三角形的面積=-----.

tan—

2

(3)雙曲線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓與耳工相切于實(shí)軸的頂點(diǎn)上，且點(diǎn)尸在雙曲線的左支時(shí)，切點(diǎn)為左

頂點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)尸在雙曲線的右支時(shí)，切點(diǎn)在右頂點(diǎn).

22

【典例5-1】(2024?青海?模擬預(yù)測(cè))已知耳，歹2分別是雙曲線。2r=ig>o,6>o)的左、右焦點(diǎn),

ab

上勾=2c,點(diǎn)尸在C的右支上，且△代&的周長為6c,則歸用=()

A.3caB.3c+aC.2c-aD.2c+a

【答案】D

【解析】由雙曲線定義可知：\PF^\PF^2a,

則三角形AP耳耳的周長為閨國+|P4|+|P&|=2c+|P段+|P4|-2a=6c,

故|尸耳|=2c+a.

故選：D.

22

【典例5-2]（2024?遼寧?二模）已知橢圓E:=+與=1（。>6>0）與拋物線C:y2=2px（p>0）在第一象限的

ab

公共點(diǎn)為/，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為耳工，其中右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，已知乙4居名=30,貝IJ

cosZAF2Fi=()

A.立B.—C.—D.—

3326

【答案】B

【解析】如圖，依題可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-c,

過點(diǎn)A作A4'垂直x=-c交于點(diǎn)A,

作軸，交于點(diǎn)M,

則NA'A尸=NA片工=30,

設(shè)|AK|=2〃,則|從耳|=〃,|4川=耳,

則|AM|=|A周=n,\AF2\=|A4[=也n,\FXM\=#1TI,

\MF2\=-\AMf=

g、l/4I7Z7M周"zA/6

d3n3

【變式5-1]（多選題）（2024?山東濟(jì)南?一模）已知橢圓C：3/+4/=48的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳，區(qū),P

是C上任意一點(diǎn)，則（）

A.C的離心率為B.△尸百鳥的周長為12

2

C.|尸團(tuán)的最小值為3D.|尸印忖閭的最大值為16

【答案】BD

22

【解析】由橢圓C:3/+4y2=48,得土+匕=1,

1612

c1

則。=4,Z?=2A/3,c=2,所以e=—=大，故A錯(cuò)誤；

a2

易知△尸7譙的周長為耳工+P4+/=2〃+2c=8+4=12故B正確;

當(dāng)尸在橢圓長軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，|尸耳|取得最小值，最小值為a-c=4-2=2,故C錯(cuò)誤;

由基本不等式得|P制療同W（因?明）2=16,當(dāng)且僅當(dāng)I尸周=\PF2\時(shí)取等，

則|尸7訃|P閶取得最大值16,故D正確.

故選：BD.

22

xy

【變式5-2］（多選題）（2024?江蘇南通?二模）已知橢圓C:=1（a>A>0）的左，右焦點(diǎn)分別

為耳，F(xiàn)2,上，下兩個(gè)頂點(diǎn)分別為叫與，瓦片的延長線交C于A,且|A凰=。|與聞，貝IJ（）

A.橢圓C的離心率為正

3

B.直線A片的斜率為百

C.△A耳后為等腰三角形

D.口見：|4周=血:3G

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,連接用匕，AF2,:片（一c,。）,耳（。,6）,82（0,-6）,a=\BF^,

ii3

"A周=5忸㈤，?平娟A圖=5"，

3

:\AF\+\AF^=2a,.-.\AF2\=-a,

99

222

-+Q--Q

441

在中，

ABXAF2cosZAB.F2