止痛劑療效評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)

題目：止痛劑療效評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)摘要隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的開(kāi)展，醫(yī)學(xué)方面的技術(shù)也大步前進(jìn)，給人們的帶來(lái)了很多幫助，減輕了許多病痛。某醫(yī)藥公司本著減少病痛患者的疼痛研制了一種新的止痛藥，現(xiàn)通過(guò)醫(yī)藥實(shí)驗(yàn)來(lái)預(yù)測(cè)其療效。本文根據(jù)該公司的醫(yī)藥實(shí)驗(yàn)所提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行深究，以得出一種模型來(lái)預(yù)測(cè)對(duì)于不同服藥劑量、不同性別以及不同血壓的病人服用該藥起作用所需要的時(shí)間。這是一個(gè)多元線性回歸問(wèn)題，通過(guò)對(duì)該題題意的探究，我們采用統(tǒng)計(jì)回歸方法進(jìn)行解決。我們先用軟件畫(huà)出圖中所給數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，可以分析出需要采用2次項(xiàng)來(lái)建立模型，如圖4.3.2。再根據(jù)對(duì)該問(wèn)題的初步認(rèn)識(shí)建立一個(gè)根本模型：，用MATLAB軟件解出模型，再通過(guò)殘差圖兩次剔除數(shù)據(jù)并且回歸，得到最終結(jié)果，其最正確模型為：，雖然模型看起來(lái)可用，但是作為藥物，其適用范圍只有85.14%，因此再考慮模型改良。在改良模型中，我們對(duì)幾組變量均采用了0—1變量，以增加精確度。和根本模型相同，我們所建立的改良后的模型為：，還是采用MATLAB軟件來(lái)解出模型，由于殘差圖中存在異常數(shù)據(jù)，剔除再回歸，假設(shè)還是有異常數(shù)據(jù)，再剔除，再回歸。通過(guò)三次回歸，得到的最終結(jié)果如表5.2.4，此時(shí)其適用范圍可以到達(dá)99.45%，所以最正確模型為改良后的模型，即：，對(duì)于該模型，只需要了解病人情況，獲得的值代入模型就可以知道其病痛開(kāi)始減輕的時(shí)間了。本文具有一定的實(shí)用性和科學(xué)合理性，只要該公司所給數(shù)據(jù)是真實(shí)可信的，那么可以在新藥推廣中實(shí)踐。關(guān)鍵詞：多元線性回歸統(tǒng)計(jì)回歸方法殘差圖模型改良0-1變量一、問(wèn)題重述一個(gè)醫(yī)藥公司的新藥研究部門(mén)為了掌握一種新止痛劑的療效，設(shè)計(jì)了一個(gè)藥物實(shí)驗(yàn)，給患有同種病痛的病人使用這種新止痛劑的以下4個(gè)劑量中的某一個(gè)：2g,5g,7g和10g,并記錄每個(gè)病人病痛明顯減輕的時(shí)間〔以分鐘計(jì)〕。為了解新藥的療效與病人性別和血壓有什么關(guān)系，試驗(yàn)過(guò)程中研究人員把病人按性別及血壓得低，中，高三檔平均分配來(lái)進(jìn)行測(cè)試。通過(guò)比擬每個(gè)人病人的血壓歷史數(shù)據(jù)，從低到高分成三組，分別計(jì)作0.25，0.50，0.75。實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，公司的記錄結(jié)果見(jiàn)下表〔性別以0表示女，1表示男〕。請(qǐng)你為公司建立一個(gè)模型，根據(jù)病人用藥的劑量、性別和血壓組別，預(yù)測(cè)出服藥后病痛明顯減輕的時(shí)間。病人序號(hào)病痛減輕時(shí)間/min用藥劑量/g性別血壓組別135200.25243200.50355200.75447210.25543210.50657210.75726500.25827500.50928500.751029510.251122510.501229510.751319700.251411700.501514700.751623710.251720710.501822710.7519131000.252081000.502131000.7522271010.2523261010.502451010.75根本假設(shè)假設(shè)病人沒(méi)吃其他止痛藥；假設(shè)題目所給的數(shù)據(jù)真實(shí)可信；假設(shè)題目所給的調(diào)查結(jié)果能夠反映止痛藥對(duì)所有病人的效果；假設(shè)服用止痛劑前后，病人未服用其他抑制止痛藥效果的藥物。符號(hào)說(shuō)明符號(hào)含義單位備注病痛減輕時(shí)間min用藥劑量g性別女-0，男-1血壓組別隨機(jī)誤差待估計(jì)的回歸系數(shù)問(wèn)題分析4.1問(wèn)題背景隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的開(kāi)展，醫(yī)學(xué)方面的技術(shù)也大步前進(jìn)，給人們的帶來(lái)了很多幫助，減輕了許多病痛。醫(yī)藥公司在確定藥物使用劑量之前，都要進(jìn)行藥物實(shí)驗(yàn)，以防劑量服用不當(dāng)而產(chǎn)生副作用。根據(jù)藥物實(shí)驗(yàn)所取得的數(shù)據(jù)要進(jìn)行詳細(xì)分析，得出不同性別和血壓的人最正確服用時(shí)間、劑量，以保證病人的平安。4.2概念分析止痛藥，局部或完全緩解疼痛的藥物。根據(jù)疼痛程度、規(guī)律及首次有效止痛時(shí)間，應(yīng)按時(shí)給予止痛藥，以保持藥物在血液中的濃度，將疼痛刺激控制在痛閾之下。根據(jù)實(shí)際需要，在確保平安的前提下，藥物劑量由小到大，直到病人止痛為止。比方恨不得病馬上好，擅自加大藥量；或者不把吃藥當(dāng)回事，想起來(lái)吃點(diǎn)，想不起來(lái)就算了，或者兩次藥并成一次吃，都是不對(duì)的。4.3數(shù)據(jù)分析要對(duì)該題深入了解，首先是要先進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，以便確定模型方向。根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，畫(huà)出的散點(diǎn)圖如下：〔圖〕：由上圖可知：對(duì)可用二次函數(shù)擬合，擬合后如圖。圖〔圖〕：圖〔圖〕：圖由以上散點(diǎn)圖可以知道在模型建立中要采用2次項(xiàng)才能保證模型的可靠性。4.4問(wèn)題分析本問(wèn)題是一個(gè)在新藥推廣中，醫(yī)藥公司的新藥研究部門(mén)設(shè)計(jì)了一種藥物給患有同種疾病的病人使用后，根據(jù)病人的用藥劑量、性別和血壓組別，預(yù)測(cè)病痛時(shí)間減輕多少的統(tǒng)計(jì)回歸問(wèn)題。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，我們采用了兩種方法解答，并且用MATLAB軟件的Regress求解。五、模型的建立與求解5.1問(wèn)題的模型建立與求解根據(jù)題意需要，設(shè)根據(jù)散點(diǎn)圖的分析，可以知道對(duì)可用二次函數(shù)擬合，所以有：，而對(duì)、可用線性模型表示：和，所以與之間的多元線性回歸模型為：用MATLAB求解得到數(shù)據(jù)如表5.1：表5.1.1參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間63.1291[48.717377.5409]-10.2706[-14.9243-5.6169]5.6667[-0.021311.3546]-1.5000[-15.432512.4325]0.5111[0.13190.8903]=0.8275F=22.7903P=0.0000=44.3109由表5.1可以看出，因變量的82.75%由模型確定，擬合度不高，，值遠(yuǎn)超臨界值，所以模型整體來(lái)看是可用的，但的置信區(qū)間含有零點(diǎn)，這兩個(gè)個(gè)系數(shù)的解釋是不可靠的。所以要對(duì)模型進(jìn)行殘差分析，首次回歸所得圖形如圖5.1：出現(xiàn)兩個(gè)異常數(shù)據(jù)，剔除第3和第24個(gè)數(shù)據(jù)后再次回歸，結(jié)果如表5.1.2：參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間58.3561[46.002870.7094]-9.6490[-13.7231-5.5748]8.1419[3.188813.0950]-1.6471[-14.139410.8453]0.5078[0.17650.8392]=0.8594F=25.9679P=0.0000=29.8002的置信區(qū)間還是含有零點(diǎn)，再次進(jìn)行殘差分析，如圖：圖剔除第五個(gè)異常數(shù)據(jù)再次回歸，結(jié)果如表5.1.3：參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間55.8121[44.391867.2324]-8.0962[-12.0605-4.1320]7.1311[2.553911.7083]-6.3868[-18.53485.7612]0.4025[0.08690.7181]=0.8514F=22.9153P=0.0000=24.1056殘差圖見(jiàn)圖5.1.3：此時(shí)，該模型在大程度上都有了提升，也無(wú)異常數(shù)據(jù)，模型根本可用。所以最正確模型為：模型似乎可以使用了，但是為了得到更準(zhǔn)確的模型，我們將對(duì)其進(jìn)行改良。5.2模型的改良現(xiàn)對(duì)模型進(jìn)行改良，在這里增加一個(gè)0—1變量：所以血壓低〔0.25〕時(shí)可以用表示，血壓中用表示，血壓高用表示。線性回歸假設(shè)用藥劑量、性別、血壓組別無(wú)交互作用，那么用MATLAB求得以下數(shù)據(jù)：參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間49.3652[39.730858.9996]-4.1373[-5.2888-2.9857]5.6667[-1.047912.3812]-0.7500[-8.97367.4736]-2.3750[-10.59865.8486]F=15.0126p=0.0000由此可見(jiàn)：置信區(qū)間都包含零點(diǎn)，解釋不可靠，而且明顯偏低，又偏高，所以該線性模型不可用。5.2.2增加交互項(xiàng)假設(shè)方程：首次回歸，用MATLAB解得數(shù)據(jù)如表5.2.1：表5.2,1參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間56.2761[45.972166.5802]-9.2951[-12.2689-6.3213]2.2500[-6.939711.4397]24.3382[13.889934.7866]2.9706[-7.477813.4190]0.5111[0.28330.7389]1.0000[-0.17182.1718]-3.7647[-5.1999-2.3295]-0.6618[-2.09700.7734]-5.0000[-13.36853.3685]-2.7500[-11.11855.6185]=0.9600F=31.2308P=0.0000=15.0053由表5.4可以看出：由表二可以看出：置信區(qū)間都包含零點(diǎn)，再看殘差圖圖：圖第1組和第23組數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常，剔除后回歸。再次回歸，得到的數(shù)據(jù)見(jiàn)表5.2.2：參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間60.3492[47.554973.1435]-9.4786[-12.4356-6.5215]1.0011[-8.227710.2298]19.2994[9.344729.2541]2.1418[-9.101713.3853]0.4913[0.29850.6841]0.8599[-0.22921.9491]-3.2731[-4.4996-2.0466]-0.8718[-2.32190.5782]-2.9107[-9.63503.8136]-3.6429[-11.12803.8422]=0.9818F=59.3390P=0.0000=7.9468表5.5中增大，說(shuō)明回歸有效，只是置信區(qū)間仍然包含零點(diǎn)，觀察殘差圖圖5.2.2：只有第22組數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常，剔除后再一次進(jìn)行回歸?；貧w所的數(shù)據(jù)如表5.2.3：參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間68.1995[54.797581.6014]-11.3881[-14.5394-8.2368]-4.6058[-14.24215.0304]13.0185[2.494023.5430]-2.1172[-12.64178.4073]0.5974[0.40190.7928]1.6088[0.42142.7962]-2.4120[-3.7599-1.0640]-0.3477[-1.69561.0002]0.7492[-6.04587.5442]-1.4151[-8.21015.3799]=0.9868F=74.6792P=0.0000=5.7386本此回歸之后，的置信區(qū)間還是存在零點(diǎn)，繼續(xù)進(jìn)行殘差分析，如圖：圖同樣按照之前的步驟再進(jìn)行回歸，結(jié)果如下表5.2.4：參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間71.6544[62.126681.1821]-12.4291[-14.7077-10.1505]-5.9647[-12.68540.7559]11.4307[4.081718.7798]-6.4184[-14.19811.3613]0.6694[0.52660.8122]1.7661[0.93872.5934]-2.2165[-3.1571-1.2760]0.0013[-0.95710.9598]1.5797[-3.14956.3090]1.4122[-3.62216.4464]=0.9945F=162.1908P=0.0000=2.6629表5.7中增大，說(shuō)明回歸有效，只是置信區(qū)間仍然包含零點(diǎn)，但是接下來(lái)的循環(huán)回歸我們發(fā)現(xiàn)，的增長(zhǎng)數(shù)非常小，所以到這第二次回歸就已經(jīng)足夠了，從開(kāi)始假設(shè)的線性模型到四次回歸，不難看出、F的變化情況，即：由此可以得出，最優(yōu)模型為：5.3模型的結(jié)果分析將原模型和改良后的模型進(jìn)行比擬，不難發(fā)現(xiàn)，改良后的模型要比原模型大得多，適用范圍也就廣得多，采用改良后的模型療效更好也更平安，因此最正確模型為：使用該模型時(shí)，只需用把用藥劑量、性別、血壓組別所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)代入模型，就可以得出服藥病痛減輕的大概時(shí)間。六、模型評(píng)價(jià)、改良與推廣6.1模型的評(píng)價(jià)6.1.1優(yōu)點(diǎn)1.本文的模型在建立的過(guò)程中充分考慮到止痛藥與病人的重要相關(guān)因素，得出我們建立的模型中的最正確模型。2.充分利用MATLAB等軟件進(jìn)行畫(huà)圖求證，所以誤差較小，數(shù)據(jù)準(zhǔn)確合理。3.該模型實(shí)用性強(qiáng)，對(duì)現(xiàn)實(shí)有較強(qiáng)的指導(dǎo)意義。4.在求解模型時(shí)屢次回歸，直到無(wú)異常數(shù)據(jù)，因此該模型準(zhǔn)確度高。6.1.2缺點(diǎn)1.本文在解決問(wèn)題中使用的數(shù)據(jù)大局部為實(shí)驗(yàn)值，本身存在誤差，我們沒(méi)有使用實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)。2.在模型建立中，所建模型相對(duì)復(fù)雜，與建模要求中模型的簡(jiǎn)單、明了不符。6.2改良與推廣1.我們建的模型不僅可用于醫(yī)藥公司新藥的推廣，也可用于其它資源的安排，還可用于諸如像工資薪金模型的其它類型的問(wèn)題。2.由于題目給出的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)不是很精確，如果我們能對(duì)統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行改良，估計(jì)時(shí)間可以更加精確。這個(gè)模型比擬接近現(xiàn)實(shí)，它很有實(shí)用價(jià)值，可以為以后其他新藥的推廣提供參考。七、參考文獻(xiàn)[1]數(shù)學(xué)模型〔第四版〕.姜啟源，謝金星，葉俊.北京，高等教育出版社，2011[2]張立軍任英華，多元統(tǒng)計(jì)分析實(shí)驗(yàn)，北京，中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2009.3附錄Y對(duì)x1的散點(diǎn)圖>>x1=[222222555555777777101010101010];>>y=[354355474357262728292229191114232022138327265];>>plot(x1,y,'*');擬合曲線>>x1=[222222555555777777101010101010];>>y=[354355474357262728292229191114232022138327265];>>p=polyfit(x1,y,2);>>x1x1=linspace(min(x1),max(x1));>>yy=polyval(p,x1x1);>>plot(x1,y,'o',x1x1,yy);Y對(duì)x2的散點(diǎn)圖>>x2=[000111000111000111000111];>>y=[354355474357262728292229191114232022138327265];>>plot(x2,y,'*')Y對(duì)x3的散點(diǎn)圖>>x3=[0.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.75];>>y=[354355474357262728292229191114232022138327265];>>plot(x3,y,'*');首次回歸：>>x1=[222222555555777777101010101010];x2=[000111000111000111000111];x3=[0.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.75];y=[354355474357262728292229191114232022138327265];x=[ones(24,1),x1',x2',x3',(x1.^2)'];>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x,0.05)rcoplot(r,rint)%殘差圖5.1.1剔除第3和第24個(gè)異常數(shù)據(jù)再回歸：>>x1=[222225555557777771010101010];x2=[0011100011100011100011];x3=[0.250.500.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.50];y=[354347435726272829222919111423202213832726];x=[ones(22,1),x1',x2',x3',(x1.^2)'];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x,0.05)>>rcoplot(r,rint)%殘差圖5.1.2剔除第5個(gè)異常數(shù)據(jù)后再次回歸：>>x1=[22225555557777771010101010];x2=[001100011100011100011];x3=[0.250.500.250.500.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.50];y=[3543474326272829222919111423202213832726];x=[ones(21,1),x1',x2',x3',(x1.^2)'];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x,0.05)>>rcoplot(r,rint)%殘差圖5.1.3模型改良增加交互項(xiàng)后：首次回歸：>>x1=[222222555555777777101010101010];x2=[000111000111000111000111];x3=[001001001001001001001001];x4=[010010010010010010010010];y=[354355474357262728292229191114232022138327265];x=[ones(24,1),x1',x2',x3',x4',(x1.^2)',(x1.*x2)',(x1.*x3)',(x1.*x4)',(x2.*x3)',(x2.*x4)'];>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x,0.05)>>rcoplot(r,rint)%殘差圖5.2.1剔除第1和第23個(gè)異常數(shù)據(jù)后再次回歸：>>x1=[222225555557777771010101010];x2=[0011100011100011100011];x3=[0100100100100100100101];x4=[1001001001001001001000];y=[43554743572627282922291911142320221383275];x=[ones(22,1),x1',x2',x3',x4',(x1.^2)',(x1.*x2)',(x1.*x3)',(x1.*x4)',(