古典概型與幾何概型（文科）-2024高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)含解析

專題05古典概型與幾何概型（文科）-2024高考數(shù)（全國通用）

含解析專題05古典概型與幾何概型

考向一古典概型

【母題來源】2022年高考全國甲卷（文科）

【母題題文】從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的

數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

【答案】C

【試題解析】從6張卡片中無放回抽取2張，

共有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6）

15種情況，

其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有（1,4）,（2,4）,（2,6）,（3,4）,（4,5）,（4,6）6種情況，故概率為卷=|.

故選：C.

【命題意圖】本題主要考查古典概型的的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇填空形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為抵擋題目，是歷年高

考的熱點(diǎn).

常見的命題角度有：

（1）列舉法求古典概型的概率；（2）樹狀圖法求古典概型的概率.

【得分要點(diǎn)】

（1）理解古典概型及其概率計(jì)算公式.

（2）會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

考向二幾何概型

⑧題昌魏

【母題來源】2021年高考全國卷（理科）

7

【母題題文】在區(qū)間（0,1）與（1,2）中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于〈的概率為（）

【答案】B

【試題解析】設(shè)從區(qū)間（0,1）,（1,2）中隨機(jī)取出的數(shù)分別為蒼九則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)?/p>

O={（x,y）［0<x<l,l<y<2},設(shè)事件A表示兩數(shù)之和大于:，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?/p>

4=“無,刈0<無<1,1<乂2,尤+日三，分別求出。,4對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積，根據(jù)幾何概型的的概率公式即可解出.

【詳解】

如圖所示:

設(shè)從區(qū)間（0,1）,（1,2）中隨機(jī)取出的數(shù)分別為無，兒則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成

區(qū)域?yàn)镃={(x,y)0v%vl』vyv2},其面積為4=1x1=1.

7

設(shè)事件A表示兩數(shù)之和大于“則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?/p>

A=即圖中的陰影部分，其面積為

5XX

A=I-|||=||>所以尸(A)年=H

【命題意圖】本題主要考查幾何概型的的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇填空形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為抵擋題目，是歷年高

考的熱點(diǎn).

常見的命題角度有:

（1）由長度比求幾何概型的概率；（2）由面積比求幾何概型的概率；（3）由體積比求幾何概型的概率;

（4）由角度比求幾何概型的概率.

【得分要點(diǎn)】

（1）能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.

（2）了解幾何概型的意義.

一、單選題

1.（河南省平頂山市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）6把不同的鑰匙中只有1把可以打開某個(gè)鎖,

從中任取2把能將該鎖打開的概率為（）

A.-B.JC.-D.-

3236

2.（2022?廣東茂名.二模）甲、乙、丙三人是某商場的安保人員，根據(jù)值班需要甲連續(xù)工作2天后休息一天,

乙連續(xù)工作3天后休息一天，丙連續(xù)工作4天后休息一天，已知3月31日這一天三人均休息，則4月份三

人在同一天工作的概率為（）

A.1B.冬C.口D.A

353010

3.（2022?安徽?合肥市第六中學(xué)模擬預(yù)測（文））“田忌賽馬”的故事千古流傳，故事大意是：在古代齊國，馬

匹按奔跑的速度分為上中下三等.一天，齊王找田忌賽馬，兩人都從上、中、下三等馬中各派出一匹馬，

每匹馬都各賽一局，采取三局兩勝制.已知田忌每個(gè)等次的馬，比齊王同等次的馬慢，但比齊王較低等次

的馬快.若田忌不知道齊王三場比賽分別派哪匹馬上場，則田忌獲勝的概率為（）

A.—B.-C.—D.一

2346

4.（2022?四川模擬預(yù)測（理））甲、乙兩名同學(xué)均打算高中畢業(yè)后去A,B,C三個(gè)景區(qū)中

的一個(gè)景區(qū)旅游，甲乙去A,B,C三個(gè)景區(qū)旅游的概率分別如表：則甲、乙去不同景區(qū)旅游的概率為（）

去A景區(qū)旅游去8景區(qū)旅游去C景區(qū)旅游

甲0.40.2

乙0.30.6

A.0.66B.0.58C.0.54D.0.52

5.（2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（文））在區(qū)間［-2,⑵中任取一個(gè)數(shù)無，則xe［8,13］的概率

為（）

6.（2022.北京.北大附中三模）有一副去掉了大小王的撲克牌（每副撲克牌有4種花色，每種花色13張牌）,

充分洗牌后，從中隨機(jī)抽取一張，則抽到的牌為“紅桃”或“A”的概率為（）

1817

A.—B.—C.—D.—

52271352

7.（2022?河北邯鄲?二模）甲、乙兩人玩一個(gè)傳紙牌的游戲，每個(gè)回合，兩人同時(shí)隨機(jī)從自己的紙牌中選一

張給對(duì)方.游戲開始時(shí)，甲手中的兩張紙牌數(shù)字分別為I,3,乙手中的兩張紙牌數(shù)字分別為2,4.則一個(gè)

回合之后，甲手中的紙牌數(shù)字之和大于乙手中的紙牌數(shù)字之和的概率為（）

A.1B.-C.-D.-

2448

8.（2022.河南省杞縣高中模擬預(yù)測（理））在區(qū)間［0』上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)差的絕對(duì)值大于|■的概

率為（）

A.-B.!C.-D.-

4248

9.（2022?全國?哈師大附中模擬預(yù)測（文））若在區(qū)間［-M］內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)乙則直線，=比與雙曲線

土-V=i的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)的概率為（）

4

A.-B.gC.-D.-

4284

10.（2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））甲、乙兩人約定某日上午在M地見面，若甲是7

點(diǎn)到8點(diǎn)開始隨機(jī)到達(dá)，乙是7點(diǎn)30分到8點(diǎn)30分隨機(jī)到達(dá)，約定，先到者沒有見到對(duì)方時(shí)等候10分鐘,

則甲、乙兩人能見面的概率為（）.

A.-B.-C.-D.-

3698

二、填空題

11.12020.天津市紅橋區(qū)高考二?！恳活w質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為123,4,5,6,將

這一顆骰子連續(xù)拋擲三次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則三次點(diǎn)數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列的概率為.

12.（2022?黑龍江?哈爾濱三中一模（理））關(guān)于圓周率兀，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著

名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)無的值：先請(qǐng)120名同學(xué)，

每人隨機(jī)寫下一個(gè)尤、y都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)（％y）,再統(tǒng)計(jì)x、y兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形時(shí)的數(shù)對(duì)（％y）

的個(gè)數(shù)m最后再根據(jù)機(jī)來估計(jì)兀的值.假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是%=36,那么兀的估計(jì)值為.

13.（2022.河南?模擬預(yù)測）現(xiàn)有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字-1,0,-2,3的不透明卡片，它們除數(shù)字外其余完全

相同，將它們背面朝上洗均勻，隨機(jī)抽取一張記作機(jī)不放回，再從余下的卡片中取一張記作九則點(diǎn)P（加㈤

在第二象限的概率為.

14.（2021.江西?新余市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））寒假即將來臨，小明和小強(qiáng)計(jì)劃去圖書館看書，約定上午

8：00~8：30之間的任何一個(gè)時(shí)間在圖書館門口會(huì)合.兩人商量好提前到達(dá)圖書館的人最多等待對(duì)方10分

鐘，如果對(duì)方10分鐘內(nèi)沒到，那么等待的人先進(jìn)去.則兩人能夠在圖書館門口會(huì)合的概率是

三、解答題

15.（2022?安徽?合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（文））2022年2月20日，北京冬奧會(huì)在鳥巢落下帷幕，中國隊(duì)

創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績，北京冬奧會(huì)的成功舉辦推動(dòng)了我國冰雪運(yùn)動(dòng)的及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運(yùn)動(dòng).

某校體育組組織了一次冰雪運(yùn)動(dòng)趣味知識(shí)競賽，并對(duì)成績前15名的參賽學(xué)生進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)品為冬奧吉祥物

冰墩墩玩偶，現(xiàn)將100名喜愛冰雪運(yùn)動(dòng)的學(xué)生參賽成績制成如下頻率分布表，若第三組與第五組的頻之和

是第一組的6倍，試回答以下問題；

成績分組(50,60](60,70](70,80](80,90](90,100]

頻率b0.26a0.180.06

（1）求表中。，6的值及受獎(jiǎng)勵(lì)的分?jǐn)?shù)線的估計(jì)值：

（2）如果規(guī)定競賽成績在（80,90]為“良好”，競賽成績在（90,100]為“優(yōu)秀”，從受獎(jiǎng)勵(lì)的15名學(xué)生中利用

分層抽樣抽取5人，現(xiàn)從這5人中抽取2人，試求這2人成績恰有一個(gè)“優(yōu)秀”的概率.

16.（2020?江蘇?一模）2021年江蘇省高考實(shí)行“3+1+2”模式，“3+1+2”模式是指“3”為全國統(tǒng)考科目語文、

數(shù)學(xué)、外語，所有考生必考；“1”為首選科目，考生須在高中學(xué)業(yè)水平考試的物理、歷史2個(gè)科目中選擇1

科；“2”為再選科目，考生可在化學(xué)、生物、政治、地理4個(gè)科目中選擇2科，共計(jì)6個(gè)考試科目.

（1）若學(xué)生甲在“1”中選物理，在“2”中任選2科，求學(xué)生甲選化學(xué)和生物的概率；

（2）設(shè)爐+2辦+廿=0是關(guān)于x的一元二次方程，若ae[0,3],be[0,2],求方程有實(shí)數(shù)根的概率.

專題05古典概型與幾何概型

考向一古典概型

【母題來源】2022年高考全國甲卷（文科）

【母題題文】從分別寫有1，2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到

的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

1122

A.-B.-C.—D.一

5353

【答案】C

囹題倒圈

【試題解析】從6張卡片中無放回抽取2張，

共有

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6）

15種情況，

其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有（1,4）,（2,4）,（2,6）,（3,4）,（4,5）,（4,6）6種情況，故概率為

62

15-5'

故選：C.

【命題意圖】本題主要考查古典概型的的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇填空形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為抵擋題

目，是歷年高考的熱點(diǎn).

常見的命題角度有：

（1）列舉法求古典概型的概率；（2）樹狀圖法求古典概型的概率.

【得分要點(diǎn)】

（1）理解古典概型及其概率計(jì)算公式.

（2）會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

考向二幾何概型

【母題來源】2021年高考全國卷(理科)

7

【母題題文】在區(qū)間S,D與(L2)中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)’則兩數(shù)之和大于I的概率為()

232

ADC.2D.

-?32329

【答案】B

固題閡回

【試題解析】設(shè)從區(qū)間(0,1),(1,2)中隨機(jī)取出的數(shù)分別為x,y,則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域

為。={5刈0<尤設(shè)事件A表示兩數(shù)之和大于:，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?/p>

A=](x,刈0<x<l,l<y〈2,x+y)，，分別求出A對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積，根據(jù)幾何概型的的概

率公式即可解出.

【詳解】

如圖所示：

設(shè)從區(qū)間(。,1),(1,2)中隨機(jī)取出的數(shù)分別為九,九則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果

構(gòu)成區(qū)域?yàn)镼={(x,y)|0<x<l/<y<2},其面積為為=1x1=1.

7

設(shè)事件A表示兩數(shù)之和大于“則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?/p>

y〈2,x+y)^,即圖中的陰影部分，其面積為

空,八/八SA23

所以尸(A)=,=&7

A24432

【命題意圖】本題主要考查幾何概型的的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇填空形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為抵擋題

目，是歷年高考的熱點(diǎn).

常見的命題角度有：

(2)由長度比求幾何概型的概率；(2)由面積比求幾何概型的概率；(3)由體積比求幾

何概型的概率；

(4)由角度比求幾何概型的概率.

【得分要點(diǎn)】

(1)能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.

(2)了解幾何概型的意義.

一、單選題

1.（河南省平頂山市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）6把不同的鑰匙中只有1把

可以打開某個(gè)鎖，從中任取2把能將該鎖打開的概率為（）

【答案】C

【解析】

【分析】

將6把鑰匙編號(hào)為。、b、c、d、e、f,不妨設(shè)能打開鎖的為鑰匙。，列舉出所有的基本

事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】

將6把鑰匙編號(hào)為b、c、d、e、f,不妨設(shè)能打開鎖的為鑰匙a.

從中任取2把，有：ab、ac、ad、ae、af、be、bd、be、bf、cd、ce、cf、de、df、

ef,共15種情況，

能將鎖打開的情況有5種，分別為小吟ad、ae、af,故所求概率為1一

故選：C.

2.（2022?廣東茂名?二模）甲、乙、丙三人是某商場的安保人員，根據(jù)值班需要甲連續(xù)工作

2天后休息一天，乙連續(xù)工作3天后休息一天，丙連續(xù)工作4天后休息一天，已知3月31

日這一天三人均休息，則4月份三人在同一天工作的概率為（）

.1c211r3

A.—B.—C.—D.—

353010

【答案】B

【解析】

【分析】

列舉出三人所有工作日，由古典概型公式可得.

【詳解】

解：甲工作的日期為1,2,4,5,7,8,10,29.

乙工作的日期為1,2,3,5,6,7,9,10,30.

丙工作的日期為1,2,3,4,6,7,8,9,29.

在同一天工作的日期為1,2,7,11,13,14,17,19,22,23,26,29

122

三人同一天工作的概率為尸=巨=g.

故選：B.

3.（2022?安徽?合肥市第六中學(xué)模擬預(yù)測（文））“田忌賽馬”的故事千古流傳，故事大意是：

在古代齊國，馬匹按奔跑的速度分為上中下三等.一天，齊王找田忌賽馬，兩人都從上、中、

下三等馬中各派出一匹馬，每匹馬都各賽一局，采取三局兩勝制.已知田忌每個(gè)等次的馬，

比齊王同等次的馬慢，但比齊王較低等次的馬快.若田忌不知道齊王三場比賽分別派哪匹馬

上場，則田忌獲勝的概率為（）

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)齊王有上、中、下三等的三匹馬A、B、C,田忌有上、中、下三等的三匹馬b、c,

列舉出所有比賽的情況，以及齊王第一場比賽會(huì)派出上等馬的比賽情況和田忌使自己獲勝時(shí)

比賽的情況，結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】

設(shè)齊王有上、中、下三等的三匹馬A,B,C,田忌有上、中、下三等的三匹馬a,b,c,所

有比賽的方式有：Aa,Bb,Cc；Aa,Be,Cb；Ab,Ba,Cc；Ab,Be,Ca；Ac,

Ba,Cb；Ac,Bb,Ca,一共6種.其中田忌能獲勝的方式只有Ac,Ba,種，故

此時(shí)田忌獲勝的概率為）.故選：D.

0

4.（2022?四川模擬預(yù)測（理））甲、乙兩名同學(xué)均打算高中畢業(yè)后去A,B,

C三個(gè)景區(qū)中的一個(gè)景區(qū)旅游，甲乙去4B,C三個(gè)景區(qū)旅游的概率分別如表：則甲、乙

去不同景區(qū)旅游的概率為（）

去A景區(qū)旅游去8景區(qū)旅游去C景區(qū)旅游

甲0.40.2

乙0.30.6

A.0.66B.0.58C.0.54D.0.52

【答案】A

【解析】

【分析】

由題可得甲、乙去同一景區(qū)旅游的概率，然后利用對(duì)立事件的概率公式即得.

【詳解】

由題可得甲乙去A,B,C三個(gè)景區(qū)旅游的概率分別如表:

去A景區(qū)旅游去8景區(qū)旅游去C景區(qū)旅游

甲0.40.20.4

乙0.10.30.6

故甲、乙去同一景區(qū)旅游的概率為0.4x0.1+0.2x0.3+0.4x0.6=0.34,

故甲、乙去不同景區(qū)旅游的概率為1-0.34=0.66.

故選：A.

5.（2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（文））在區(qū)間［-2,12］中任取一個(gè)數(shù)x,則

xe［8,13］的概率為（）

A.—B.-C.-D.-

14753

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)幾何概型的概率公式可求出結(jié)果.

【詳解】

12—82

根據(jù)幾何概型的概率公式得Xe［8,13］的概率為；=不

1Z—（—Z）/

故選：B.

6.（2022?北京?北大附中三模）有一副去掉了大小王的撲克牌（每副撲克牌有4種花色，每

種花色13張牌），充分洗牌后，從中隨機(jī)抽取一張，則抽到的牌為“紅桃”或“A”的概率為

（）

A.±B,Ac."D.U

52271352

【答案】C

【解析】

【分析】

直接根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式即可得結(jié)果.

【詳解】

依題意，樣本空間包含樣本點(diǎn)為52,抽到的牌為“紅桃”或“A”包含的樣本點(diǎn)為16,

所以抽到的牌為“紅桃”或“A”的概率為q16=三4，故選：C.

7.（2022?河北邯鄲?二模）甲、乙兩人玩一個(gè)傳紙牌的游戲，每個(gè)回合，兩人同時(shí)隨機(jī)從自

己的紙牌中選一張給對(duì)方.游戲開始時(shí)，甲手中的兩張紙牌數(shù)字分別為1,3,乙手中的兩

張紙牌數(shù)字分別為2,4.則一個(gè)回合之后，甲手中的紙牌數(shù)字之和大于乙手中的紙牌數(shù)字

之和的概率為（）

A.1B.-C.-D.-

2448

【答案】B

【解析】

【分析】

用列舉法，結(jié)合古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

甲手中的兩張紙牌數(shù)字用｛1,3｝表示，乙手中的兩張紙牌數(shù)字用｛2,4｝表示，

一個(gè)回合之后，甲、乙兩人手中的兩張紙牌數(shù)字分別為：（1）｛2,3｝、｛1,4｝；

（2）｛4,3｝>｛2,1｝；（3）｛1,2｝,｛3,4｝：（4）｛1,4｝、｛2,3｝共4種情況，

其中甲手中的紙牌數(shù)字之和大于乙手中的紙牌數(shù)字之和共有一種情況，

所以甲手中的紙牌數(shù)字之和大于乙手中的紙牌數(shù)字之和的概率為:，故選：B

8.（2022?河南省杞縣高中模擬預(yù)測（理））在區(qū)間［0』上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)差的絕

對(duì)值大于1的概率為（）

A.-B.；C.-D.-

4248

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)在［0』上取的兩數(shù)為x,y,滿足畫出不等式表示的平面區(qū)域，結(jié)合面積比的

幾何概型，即可求解.

【詳解】

111

設(shè)在［0』上取的兩數(shù)為尤，y,則即或畫出可行域，如圖

所示,

則或x-y〈-〈所表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，易求陰影部分的面積為:，故所

￡

求概率p41；

14

故選：C.

9.（2022.全國.哈師大附中模擬預(yù)測（文））若在區(qū)間［-1』內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)l則直線丁=比

與雙曲線土-y2=i的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)的概率為（）

4

A.-B.4C.-D.-

4284

【答案】B

【解析】

【分析】

求出雙曲線漸近線的斜率，根據(jù)已知條件可得出，的取值范圍，結(jié)合幾何概型的概率公式可

求得所求事件的概率.

【詳解】

雙曲線的漸近線斜率為土;，則即-；＜/＜；,故所求概率為尸=：,

故選：B.

10.（2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））甲、乙兩人約定某日上午在M地見

面，若甲是7點(diǎn)到8點(diǎn)開始隨機(jī)到達(dá)，乙是7點(diǎn)30分到8點(diǎn)30分隨機(jī)到達(dá)，約定，先到者

沒有見到對(duì)方時(shí)等候10分鐘，則甲、乙兩人能見面的概率為（）.

A.-B.-C.-D.-

3698

【答案】B

【解析】

【分析】

從早上7點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，設(shè)甲經(jīng)過尤十分鐘到達(dá)，乙經(jīng)過y十分鐘到達(dá)，可得x、y滿足的不

等式線組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D的正方形ABCD,而甲乙能夠見面，X、y滿足的平面區(qū)域

是圖中的四邊形跳68.分別算出圖中正方形和四邊形的面積，根據(jù)面積型幾何概型的概

率公式計(jì)算可得.

【詳解】

解：從早上7點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，設(shè)甲經(jīng)過x十分鐘到達(dá)，乙經(jīng)過y十分鐘到達(dá)，

fO<x<6

則X、y滿足/C，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，得到圖中的正方形

[3<<9

若甲乙能夠見面,則X、y滿足|x-y區(qū)面

該不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是圖中的四邊形EFG8,

^ABCD=6x6=36,SEFGH=SBEH—SBFG=—x4x4——x2x2=6

因此，甲乙能見面的概率尸=沁=5=:

^ABCD0

故選：B.

11.【2020.天津市紅橋區(qū)高考二模】一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為

123,4,5,6,將這一顆骰子連續(xù)拋擲三次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則三次點(diǎn)數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列

的概率為.

【答案】卷

【解析】基本事件總數(shù)為6x6x6,事件“三次點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列”包含的基本事件有

(1,1,1),(1,2,3),(3,2,1),(2,2,2),(1,3,5),(5,3,1),(2,3,4),(4,3,2),(3,3,3),(2,4,6),(6,4,2),

1Q

(3,4,5),(5,4,3),(4,4,4),(4,5,6),(6,5,4),(5,5,5),(6,6,6)共18個(gè)，所求事件的概率

__1_

=n-

12.(2022?黑龍江?哈爾濱三中一模(理))關(guān)于圓周率兀，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)

意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來

估計(jì)兀的值：先請(qǐng)120名同學(xué)，每人隨機(jī)寫下一個(gè)x、y都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)（x,y）,再統(tǒng)計(jì)

x、y兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形時(shí)的數(shù)對(duì)（x,y）的個(gè)數(shù)加，最后再根據(jù)機(jī)來估計(jì)兀的值.假

如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是根=36,那么兀的估計(jì)值為.

【答案】3.2

【解析】

【分析】

（x，y）表示的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，小y兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形時(shí)的數(shù)對(duì)（x,y）表示的

點(diǎn)構(gòu)成圖中陰影部分，分別求出其面積，由幾何概型概率公式求得其概率后可得.

【詳解】

（羽，）表示的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，如圖正方形Q4SC（不含邊界），x、y兩數(shù)能與1構(gòu)成

[x+V>1

鈍角三角形滿足條件221，ay）表示的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域是圖中陰影部分（不含邊界），

[x+/<1

711

因此所求概率為n一;_萬1.36,估計(jì)萬a3.2.

―1-42~120

故答案為：3.2

13.（2022?河南?模擬預(yù)測）現(xiàn)有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字-1,0,-2,3的不透明卡片，它們除

數(shù)字外其余完全相同，將它們背面朝上洗均勻，隨機(jī)抽取一張記作機(jī)不放回，再從余下的

卡片中取一張記作則點(diǎn)尸（牡〃）在第二象限的概率為.

【答案】|

0

【解析】

【分析】

列出所有可能的情況，根據(jù)古典概型的方法求解即可

【詳解】

由題,點(diǎn)尸仙〃）所有可能的情況為（-1,0），（-1,-2）,（-1,3）,（0,-1）,（0,-2）,（0,3）,（-2,-1）,

（-2,0）,（-2,3）,（3,-1）,（3,0）,（3,—2）共12種情況,其中在第二象限的為（-2,3）,（-1,3）,

7i

故點(diǎn)P（m,n）在第二象限的概率為二=1

126

故答案為：—

0

14.（2021?江西?新余市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））寒假即將來臨，小明和小強(qiáng)計(jì)劃去圖書館

看書，約定上午8：00~8：30之間的任何一個(gè)時(shí)間在圖書館門口會(huì)合.兩人商量好提前到達(dá)

圖書館的人最多等待對(duì)方10分鐘，如果對(duì)方10分鐘內(nèi)沒到，那么等待的人先進(jìn)去.則兩人

能夠在圖書館門口會(huì)合的概率是.

【答案】|

【解析】

先把兩人能夠會(huì)合轉(zhuǎn)化為幾何概型，利用幾何概型的概率公式直接求解.

【詳解】

設(shè)小明到達(dá)的時(shí)刻為8時(shí)x分，小強(qiáng)到達(dá)的時(shí)刻為8時(shí)y分，其中0Wx430,0VyW30,

則當(dāng)I尤WW10時(shí)，兩人能夠在圖書館門口會(huì)合.

如圖示：兩人到達(dá)時(shí)刻（尤，y）構(gòu)成正方形區(qū)域，記面積為S,而事件人兩人能

夠在圖書館門口會(huì)合構(gòu)成陰影區(qū)域，記其面積為5

S,_900-2x200_5

所以P（A）

丁-—9009

故答案為：—■

【點(diǎn)睛】

（1）幾何概型的兩個(gè)特征——無限性和等可能性，只有同時(shí)具備這兩個(gè)特點(diǎn)的概型才是幾

何概型；

（2）幾何概型通常轉(zhuǎn)化為長度比、面積比、體積比.

三、解答題

15.（2022?安徽?合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（文））2022年2月20日，北京冬奧會(huì)在鳥巢落

下帷幕，中國隊(duì)創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績，北京冬奧會(huì)的成功舉辦推動(dòng)了我國冰雪運(yùn)動(dòng)的及，讓越來

越多的青少年愛上了冰雪運(yùn)動(dòng).某校體育組組織了一次冰雪運(yùn)動(dòng)趣味知識(shí)競賽，并對(duì)成績前

15名的參賽學(xué)生進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)品為冬奧吉祥物冰墩墩玩偶，現(xiàn)將100名喜愛冰雪運(yùn)動(dòng)的學(xué)

生參賽成績制成如下頻率分布表，若第三組與第五組的頻之和是第一組的6倍，試回答以下

問題;

成績分組(50,60](60,70](70,80](80,90](90,100]

頻率b0.26a0.180.06

（1）求表中a,b的值及受獎(jiǎng)勵(lì)的分?jǐn)?shù)線的估計(jì)值:

（2）如果規(guī)定競賽成績在（80,90］為“良好”，競賽成績在（90,100］為“優(yōu)秀”，從受獎(jiǎng)勵(lì)的

15名學(xué)生中利用分層抽樣抽取5人，現(xiàn)從這5人中抽取2人，試求這2人成績恰有一個(gè)“優(yōu)

秀”的概率.

3

【答案】（1）6=008,4=0.42,估計(jì)值為85