烏蘭察布市2024屆高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

烏蘭察布市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.從拋物線/=4x上一點(diǎn)尸（尸點(diǎn)在x軸上方）引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為"，且|PM|=5,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為

F,則直線VF的斜率為（）

A.-2B.2C.-3D.7

22

2.已知命題VXGR,x-x+1<0;命題Q：3XGR,%>2S則下列命題中為真命題的是（）

A.P^QB.—p/\qC.“A.D.—p/\—q

3.閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出的a的值為（)

1開(kāi)始1

a=卜〃=1

~I~Y

a=1——

a

〃=〃+1

S<Q^20182>

/輸出a/

［結(jié)束1

235

A.——B.—C.一D.2

3225

4.設(shè)函數(shù)/(團(tuán)是奇函數(shù)/(x)(xeR)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)了>0時(shí),尸(x)InX<--/(%),則使得(爐—l)/(x)>0成立

X

的x的取值范圍是()

A.(-1,0)0(0,1)B.S-1)(1,+00)

C.(-1,0)7(1,?)D.—

5.已知全集。=R,集合/={x|—3<%<1},N^{x\\x\?1},則陰影部分表示的集合是（）

C.(f—3)U(—l,y)D.(-3,-1)

3x-y-2<0

6.若尤,y滿足,且目標(biāo)函數(shù)z=?x+2外（4>0,/?>0）的最大值為2,則4"+16”的最小值為（）

2x+y>Q

A.8B.4C.2A/2D.6

7.已知機(jī)為實(shí)數(shù)，直線4：nvc+y-l-Q,l2：（3m-2）x+my-2=0,則“TW=1”是“人//夕的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

8.已知命題p：是“2。>2人'的充要條件;4：玉?R,|x+l區(qū)》,則（）

A.（"）vq為真命題B.0Vq為真命題

C.。八4為真命題D.iq）為假命題

9.某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形和邊長(zhǎng)為1的正方形，則該幾何體中最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)

為（）.

A.0B.73C.1D.76

22

10.已知雙曲線C：=-3=1（。>03>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳,耳，過(guò)耳的直線/與雙曲線C的左支交于4、

ab

5兩點(diǎn).若|45|=|伍］,4明=120,則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=+^-xB.y=±^~XC.y=±(百—行)XD.y=±(百—

11.在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，四面體Q鉆C各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為:

0(0,0,0),A(0,0,2),BV3,o,0J,C[^0,|^3,0J.假設(shè)螞蟻窩在O點(diǎn)，一只螞蟻從0點(diǎn)出發(fā)，需要在A5，AC±

分別任意選擇一點(diǎn)留下信息，然后再返回。點(diǎn).那么完成這個(gè)工作所需要走的最短路徑長(zhǎng)度是()

A.2&B.711-721C.&+eD.2也

12.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風(fēng)格獨(dú)特，神獸人們喜愛(ài).下

圖即是一副窗花，是把一個(gè)邊長(zhǎng)為12的大正方形在四個(gè)角處都剪去邊長(zhǎng)為1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部

分中的四個(gè)角處再剪出邊長(zhǎng)全為1的一些小正方形.若在這個(gè)窗花內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)不落在任何一個(gè)小正方

形內(nèi)的概率是()

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，己知半圓。的直徑AB=8,點(diǎn)P是弦AC(包含端點(diǎn)A,C)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。在弧上.若AQ4C是

等邊三角形，且滿足OQ?OP=0,則。P3Q的最小值為.

14.已知函數(shù)小)=門(mén)〉1,則/(〃2))=

15.春天即將來(lái)臨，某學(xué)校開(kāi)展以“擁抱春天，播種綠色”為主題的植物種植實(shí)踐體驗(yàn)活動(dòng).已知某種盆栽植物每株成

活的概率為P,各株是否成活相互獨(dú)立.該學(xué)校的某班隨機(jī)領(lǐng)養(yǎng)了此種盆栽植物10株，設(shè)X為其中成活的株數(shù)，若X

的方差DX=2.1,P(X=3)<P(X=7),貝!!P=.

16.從2、3、5、7、11、13這六個(gè)質(zhì)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表

示)

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=log2(2如2_3尤+8加).

4

(I)當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)/■(*)在d,2]上的值域；

2

(II)若函數(shù)/(X)在(4,+8)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)7”的取值范圍.

x=9+

18.(12分)在直角坐標(biāo)系xQy中，直線/的參數(shù)方程為7'。為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半

[y=t

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕2=]+35布28?

(1)求C和/的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知P為曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線段0尸的中點(diǎn)"到直線/的最大距離.

19.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)」+ln(x+l)(x〉o).

X

k

(1)若/(X)>—7恒成立，求整數(shù)上的最大值；

x+1

(2)求證：(1+1X2〉(1+2X3)[l+?x(n+l)]>e?2,!-3.

20.(12分)已知橢圓6：1+4=1(?！?〉0),上頂點(diǎn)為5(0/)，離心率為巫，直線/:y=Ax—2交y軸于C點(diǎn),

a'b-2

交橢圓于P,。兩點(diǎn)，直線BP,分別交x軸于點(diǎn)加，N.

(I)求橢圓G的方程；

(II)求證：SgoM'為定值?

7T

21.(12分)如圖，四邊形ABC。中，ZADC=-,AD^AB=BC=2CD,AE=EC,沿對(duì)角線AC將AACD

2

翻折成AACD',使得=

(1)證明：BELCD'；

(2)求直線助與平面A3D'所成角的正弦值.

22.(10分)(某工廠生產(chǎn)零件A,工人甲生產(chǎn)一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分別為《，!，!，工人

424

乙生產(chǎn)一件零件4,是一等品、二等品、三等品的概率分別為己知生產(chǎn)一件一等品、二等品、三等品零件A

333

給工廠帶來(lái)的效益分別為10元、5元、2元.

(1)試根據(jù)生產(chǎn)一件零件A給工廠帶來(lái)的效益的期望值判斷甲乙技術(shù)的好壞；

(2)為鼓勵(lì)工人提高技術(shù)，工廠進(jìn)行技術(shù)大賽，最后甲乙兩人進(jìn)入了決賽.決賽規(guī)則是：每一輪比賽，甲乙各生產(chǎn)一

件零件4,如果一方生產(chǎn)的零件A品級(jí)優(yōu)干另一方生產(chǎn)的零件，則該方得分1分，另一方得分“分，如果兩人生產(chǎn)的

零件A品級(jí)一樣，則兩方都不得分，當(dāng)一方總分為4分時(shí)，比賽結(jié)束，該方獲勝.乃+4(i=-4,-3,-2,4)表

示甲總分為，時(shí)，最終甲獲勝的概率.

①寫(xiě)出Po,P8的值；

②求決賽甲獲勝的概率.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點(diǎn)P坐標(biāo)和焦點(diǎn)產(chǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)"的坐標(biāo)，代入斜率公式即可求解.

【詳解】

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(毛,%),%>0,

由題意知，焦點(diǎn)b(1,0),準(zhǔn)線方程/:x=—1,

所以1PM=%+1=5,解得/=4,

把點(diǎn)P(4,%)代入拋物線方程可得，

%=±4,因?yàn)椋?gt;0,所以%=4,

所以點(diǎn)M坐標(biāo)為(—1,4),

代入斜率公式可得，kMF=^-=-2.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力；屬于基礎(chǔ)題.

2、B

【解析】

根據(jù)/<0,可知命題。的真假，然后對(duì)X取值，可得命題q的真假，最后根據(jù)真值表，可得結(jié)果.

【詳解】

對(duì)命題

BJMIA=(-1)2-4<0,

所以X/xeR,x2-x+l>0

故命題P為假命題

命題q：

取x=3,可知32>23

所以mxeR,x2>2X

故命題4為真命題

所以為真命題

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查對(duì)命題真假的判斷以及真值表的應(yīng)用，識(shí)記真值表，屬基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】

根據(jù)給定的程序框圖，計(jì)算前幾次的運(yùn)算規(guī)律，得出運(yùn)算的周期性，確定跳出循環(huán)時(shí)的"的值，進(jìn)而求解。的值，得

到答案.

【詳解】

3

由題意，a=—,n=l,

2

第1次循環(huán)，a=--,n=2,滿足判斷條件；

第2次循環(huán)，a=1■,〃=3,滿足判斷條件；

2

3

第3次循環(huán)，a=-,n=4,滿足判斷條件；

可得。的值滿足以3項(xiàng)為周期的計(jì)算規(guī)律,

所以當(dāng)”=2019時(shí)，跳出循環(huán)，此時(shí)〃和〃=3時(shí)的值對(duì)應(yīng)的a相同，即a=°.

2

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出問(wèn)題，其中解答中認(rèn)真審題，得出程序運(yùn)行時(shí)的計(jì)算規(guī)律是解答的

關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力.

4、D

【解析】

構(gòu)造函數(shù)，令g(%)=lnx"(x)(x>0),則g'(x)=ln/(x)+/卜),

由尸(x)/nx(一工"》)可得g<x)<。

則g(x)是區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)遞減函數(shù)，

且g⑴=lnlx〃l)=0,

當(dāng)x￡(0,1)時(shí),Znx<0J(x)<0,(x2-iy(x)>0;

當(dāng)x￡(l,+oo)時(shí),g(x)v0J：Znx>0,

,?VW)是奇函數(shù)，當(dāng)(?1,0)時(shí)於)>0,(爐?1)於)vo

:.當(dāng)(-8,4)時(shí)3A")>0,(——16工)>0.

綜上所述，使得(*2-1)/(*)>0成立的X的取值范圍是(f,-1)D(O,1).

本題選擇D選項(xiàng).

點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從表面上看似

乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、

化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)

題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解

決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.

5、D

【解析】

先求出集合N的補(bǔ)集樂(lè)N,再求出集合M與許N的交集，即為所求陰影部分表示的集合.

【詳解】

由。=R,N={x||x|,,1},可得eN={x|x<—l或x>l},

又A/={x|-3vxv1}

所以MceN={x—3<x<—1}.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了韋恩圖表示集合，集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

6、A

【解析】

H7

作出可行域，由2=公+2力(々>03>0),可得y=---x+—.當(dāng)直線y=--?x+5過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)3(1,1)時(shí),

2b2b

z最大，可得a+2b=2.再由基本不等式可求4a+16〃的最小值.

【詳解】

作出可行域，如圖所示

2真x+y=0▲3x-y-2=O

QZ

由z=av+2〃y(a>0,b>0),可得y=---x-\---.

lb2b

nzZ

平移直線丁=---X+—,當(dāng)直線過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)8時(shí)，下最大，即z最大,最大值為2.

2b2b2b

3x-y-2=0[x=l/、

解方程組n，得「???81,1).

[x-y=O[y=l

/.a+2b=2(Q>0,Z?>0).

4"+16fo=4a+42Z>>244ax42b==2席=8，

(c?a=1

a=2b

當(dāng)且僅當(dāng)4〃=42J即c,c，,1時(shí)，等號(hào)成立.

[2

.?.4"+16〃的最小值為8.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查基本不等式，屬于中檔題.

7,A

【解析】

根據(jù)直線平行的等價(jià)條件，求出m的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

當(dāng)m=l時(shí)，兩直線方程分別為直線h：x+y-1=0,hsx+y-2=0滿足h〃b,即充分性成立，

當(dāng)m=0時(shí)，兩直線方程分別為y-1=0,和-2x-2=0,不滿足條件.

..3m-2m-2

當(dāng)m邦時(shí)，則h〃12n---------=一W—,

m1-1

3m—2F17

由------=一得nP-3m+2=0得m=l或m=2,

m1

,m-2

由一H—得m,2,則m=l,

1—1

即“m=l”是“h//L”的充要條件，

故答案為：A

【點(diǎn)睛】

(1)本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線平行的等價(jià)條件，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能

力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答，直線qx+4y+G=0和直線。2%+4丁+。2=0平行，則。也一。24=0且兩

直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗(yàn)看兩直線是否重合.

8、B

【解析】

由y=2'的單調(diào)性，可判斷P是真命題；分類討論打開(kāi)絕對(duì)值，可得q是假命題，依次分析即得解

【詳解】

由函數(shù)y=2'是R上的增函數(shù)，知命題P是真命題.

對(duì)于命題q,當(dāng)x+120,即改之一1時(shí)，|x+l|=x+l>x；

當(dāng)x+l<0,即％<-1時(shí)，

由一得彳=-萬(wàn)，無(wú)解，

因此命題q是假命題.所以(-0)vq為假命題，A錯(cuò)誤；

pvq為真命題，B正確；

。人4為假命題，C錯(cuò)誤；

為真命題，D錯(cuò)誤.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題的邏輯連接詞，考查了學(xué)生邏輯推理，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

9、B

【解析】

首先由三視圖還原幾何體，進(jìn)一步求出幾何體的棱長(zhǎng).

【詳解】

解：根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示，

所以，該四棱錐體的最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為三色工了=若.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查由三視圖還原幾何體，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

10、D

【解析】

設(shè)|鉆|=加，利用余弦定理，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】

設(shè)=|A周=m,.?.忸耳|=一21ABM4甩?cosl2C）=百根，由雙曲線的定義可知：|人用=m—2a,

因此忸制=2a,再由雙曲線的定義可知：忸局-忸周=2。=>〃2=苧4,在三角形4耳《中，由余弦定理可知：

閨閶?二|前「+1但『_2卜?os120°n°?=（5-2石）/=^?2+&2=（5-2石）4

n〃=（4—2也Mn：=（4—2百）n?=6—1,因此雙曲線的漸近線方程為：

aa

y=±(6-l)x.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用，考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了雙曲線的漸近線方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

11、C

【解析】

將四面體Q鉆C沿著。4劈開(kāi)，展開(kāi)后最短路徑就是△AO。的邊OO',在90。中，利用余弦定理即可求解.

【詳解】

將四面體Q4BC沿著。4劈開(kāi)，展開(kāi)后如下圖所示：

最短路徑就是△AO。'的邊OO'.

易求得NOAB=ZO'AC=30°,

由AO=2,0B=^6知AB=+g

33

AC=-V3,BC=yJOB2+OC2=-76

33

AB?+AC?-BC?

ncosABAC=

2AB-AC

16168

J+J_3^3

2°x—4產(chǎn)x-4-=4

V3V3

由余弦定理知OO'2=AO2+AO'2-2AO-AO'-cosZOAO'

其中AO=AO'=2,cosAOAO'=cos(60°+ABAC)=3"^

；?OO'2=5+后,nOO'=75+721

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.

12、D

【解析】

由幾何概型可知,概率應(yīng)為非小正方形面積與窗花面積的比，即可求解.

【詳解】

由題,窗花的面積為122-4xl=140,其中小正方形的面積為5x4=20,

Ir>140-206

所以所求概率P=———=—,

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何概型的面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

建系，設(shè)AP=77Z,表示出尸點(diǎn)坐標(biāo)，則。尸.8。=。尸.(0。-08)=-0尸.。8=16-2根，根據(jù)加的范圍得出答案.

【詳解】

解：以。為原點(diǎn)建立平面坐標(biāo)系如圖所示：則A(-4,0),8(4,0),C(-2,26)，

設(shè)人尸=m((度弧4),則尸4相一4,曲m),

22

。尸=(g機(jī)一4,與n),OB=(4,0),

OQ-OP=Q,

???OP.BQ=OP.(OQ-OB)=-OP-OB=16-2m,

顯然當(dāng)”?取得最大值4時(shí)，。尸出。取得最小值1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題.

1

14、

2

【解析】

先由解析式求得/(2),再求/(/(2)).

【詳解】

1

f(2)=的;2=!/(_1)=2-=1,

所以/(7(2))=/(一l)=g,

故答案為：—

2

【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，分段函數(shù)求值關(guān)鍵是“對(duì)號(hào)入座”，屬于容易題.

15、0.7

【解析】

/、-10p(l-p]=2.1

由題意可知：X?B(10,2)，且Lv_?v從而可得?值.

【詳解】

由題意可知：X~B(10,/?)

.[10p(l-p)=2.1[100/72-100/7+21=0

]P(X=3)<P(X=7)Qp>0.5

.?.p=0.7

故答案為：0.7

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

1

16、-

5

【解析】

依據(jù)古典概型的計(jì)算公式，分別求“任取兩個(gè)數(shù)”和“任取兩個(gè)數(shù)，和是質(zhì)數(shù)”的事件數(shù)，計(jì)算即可。

【詳解】

“任取兩個(gè)數(shù)”的事件數(shù)為=15,“任取兩個(gè)數(shù)，和是質(zhì)數(shù)”的事件有(2,3),(2,5),(2,11)共3個(gè)，所以任取

兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是夕=3指=《1。

【點(diǎn)睛】

本題主要考查古典概型的概率求法。

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

、苧3

17(I)log!lOJogj(II)—,+co

_44°_10

【解析】

(I)把力=1代入，可得/。)=1叫(2/-3%+8),令y=2/—3x+8,求出其在［±2］上的值域，利用對(duì)數(shù)函

22

數(shù)的單調(diào)性即可求解.

(II)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得g(x)=2rwc2-3x+8/77在(4,+8)上單調(diào)遞增，再利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得

m>0,

3

—<4,解不等式組即可求解.

4/77

g(4)>0,

【詳解】

/(x)=logj-3x+8),

(I)當(dāng)m=1時(shí),

2

此時(shí)函數(shù)/■(*)的定義域?yàn)間,2

因?yàn)楹瘮?shù)y=2x2-3x+8的最小值為4x2x8-3-=55

88

最大值為2x2?—3x2+8=10,故函數(shù)/(x)在1,2

上的值域?yàn)閘ogl10,log,

_44.

(II)因?yàn)楹瘮?shù)y=i°g［X在(。,+8)上單調(diào)遞減,

4

m>0,

A<,

故g(九)=2mx2-3x+8m在(4,+oo)上單調(diào)遞增，則＜4

4m

g(4)>0,

33

解得加之一，綜上所述，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍—,+?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域、利用對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍以及二次函數(shù)的圖像與

性質(zhì)，屬于中檔題.

220萬(wàn)

18、(1)土+匕=1.%-V3y-9=0.(2)最大距離為史上.

1642

【解析】

(1)直接利用極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的公式計(jì)算得到答案.

x=4cosa,/、

(2)曲線。的參數(shù)方程為..，設(shè)尸(4cosa,2sin。)，計(jì)算點(diǎn)到直線的距離公式得到答案.

y=2sma

【詳解】

1A

(1)由夕2=......-,得夕2+302side=16,

l+3sin0

則曲線。的直角坐標(biāo)方程為必+4產(chǎn)=16,即土+22=1.

164

直線I的直角坐標(biāo)方程為x-石y-9=0.

x=4cosa,

(2)可知曲線。的參數(shù)方程為0.(。為參數(shù)),

y=2sma

設(shè)尸(4cosa,2sino),ae[0,2^-),

則M(2cosa,sina)到直線l：x-6y-9=0的距離為

|2coscr-V3sinor-91|A/7sin(^-6/)-9|9+近

d——《

2

所以線段OP的中點(diǎn)M到直線/的最大距離為出且.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程，距離的最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

19、(1)整數(shù)上的最大值為3；(2)見(jiàn)解析.

【解析】

/、出一"q”\k(x+l)+(x+l)ln(x+l)XA.3RS、(x+l)+(x+l)ln(x+l)十皿

(1)將不等式/(x)>—Y變形為左——U——」——構(gòu)造函數(shù)"zx)=^——二——U——L,利用

?X十JCX

導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=h(x)的單調(diào)性并確定其最值，從而得到正整數(shù)k的最大值；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論得到ln[l+"(〃+l)]>2-扁旬=2-3([-5)，利用不等式的基本性質(zhì)可證得結(jié)論.

【詳解】

(1)由Jg+1)〉上得左<(x+l)+(x+l)g+l),

Xx+1X

令〃(力=(2)+。+1)1仆+1),小卜——呼加),

XX

令g(x)=x-l-M(x+l)，g[x)=l——匚>0對(duì)也>0恒成立，

所以，函數(shù)y=g(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，

g(0)=-l<0,g⑴<0,g⑵<0,g⑶>0,

故存在曲e(2,3)使得g?)=0,BPx0-l=ln(x0+l),

從而當(dāng)x>不時(shí)，有g(shù)(x)>g(%o)=O,hr(x)>0,所以，函數(shù)丁=〃(可在(%0，+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x<x()時(shí)，有g(shù)(x)<g(%)=0,h,(x)<0,所以，函數(shù)y=〃(尤)在(0,%)上單調(diào)遞減.

所以，A(x)mn=MW=(x0+l)+「+l)ln(x0+l)=(%+l)+(—=%+1e(3,4),

%xo

.,.左<3,因此，整數(shù)人的最大值為3；

,、」，、八l+ln(x+l)31/八3%y右3

(2)由(1)知----------L〉----恒成u,/.ln(x+l)>--------1=2-------->2一一,

xx+1x+1x+1x

，1

令x=+￡N*)則+n+l)l>2--=2-3|---—

」+1)Inn+1

川〉2-3%占

ln(l+lx2)>2-3,ln(l+2x3)>2-3n+

23

上述等式全部相力口得In(1+1x2)+In(1+2x3)++ln[l+?(?+l)]>>2n-3,

所以，In[(l+lx2)(l+2x3)++>2〃-3,

因此，(l+lx2).(l+2x3)[l+nx(?+l)]>e2,!"3

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、最值中的應(yīng)用，以及放縮法證明不等式的技巧，屬于難題.

X21

20、(I)++V=i；(II)%0M.s叩=予證明見(jiàn)解析.

【解析】

(I)根據(jù)題意列出關(guān)于。，b,c的方程組，解出。，b,c的值，即可得到橢圓G的方程；

-1x

（U）設(shè)點(diǎn)尸（為，%），點(diǎn)。（々，%），易求直線82的方程為：y-^=--X,令y=o得，同理可得

X]1-71

[13x,x

Sg°M—CN=-xlx|xM|x-x3x|^|=-x|年：—|,聯(lián)立直線/與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入上式,

2249—3左（菁+%2）+左玉%2

化簡(jiǎn)即可得到%加?5ABe.=；?

【詳解】

必=1

a=^2

C_41

（I）解：由題意可知:解得。=1

a2

c=1

a2=b2+c2

二橢圓G的方程為：y+y2=l；

（II）證：設(shè)點(diǎn)尸（占，%），點(diǎn)。（%，%），

y=kx-2

聯(lián)立方程/,消去y得：（1+2/濡-8日+6=0,

——+工=]

8k國(guó)”一^①,

121+242121+2左2

點(diǎn)尸（玉，M）,3（0,1）,

.y,-1x

，直線93的方程為：y-i=--%,令y=0得，x=L.??M（4，0）,

石1—必1-%

x

同理可得N（-2，0）,

If

113

S^OM-SABCN=]X1X|XM|X-X3X|X

WI=-x|xM.xw|=1

ri-Jii-y2

XXXX

=-x|——注x2-----|=-x|x2

2I,

4（3—辰]）（3—仇）49一34（石+々）+左石入2

6

31+2/6l+2k2

把①式代入上式得：S^OM.SABCN=$

24k26k241+2左2929

9------7------T

l+2k21+2k2

?*,SgoM，SgCN為定值g.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、定值問(wèn)題的求解；關(guān)鍵是能夠通過(guò)直線與橢圓聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，利用

韋達(dá)定理化簡(jiǎn)三角形面積得到定值；考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中檔題.

21、(1)見(jiàn)證明；(2)

6

【解析】

(1)取C。'的中點(diǎn)K,連EK,5K.可證得上K_LC。，BKLCD',于是可得C。'，平面5KE,進(jìn)而可得結(jié)論成

立.(2)運(yùn)用幾何法或向量法求解可得所求角的正弦值.

【詳解】

(1)證明：取C。'的中點(diǎn)K,連EK,BK.

；AE=EC,

EK//AD'.

又ADUCD',

:.EK上CD'.

在ABCD'中，BC=BD',

BK±CD'.

又EKcBK=K,

：.CD'，平面5KE,

又3Eu平面3KE,

：.BE±CD'.

(2)解法1：取AD'的中點(diǎn)P，連結(jié)防,6尸，

'：AE=EC,

：.EFIICD',

又CD'上AD',

:.AD'±EF.

又由題意得?AB。'為等邊三角形,

:.AD'±BF,

?:BFcEF=F,

，A。'J_平面5￡戶.

作EHLBF,則有石漢，平面ABD',

，/EBF就是直線BE與平面ABD'所成的角.

設(shè)CD'=1,則EF=!，

在等邊?ABD中，BF=顯義2=瓜

又在?ABC中，AB=BC=2,\C=逐,故BE=

A/33

在*EBF中,由余弦定理得cos/EBF=

~6~

：?sinZEBF=—

6

二直線5E與平面ABD'所成角的正弦值為B.

6

解法2：由題意可得所，平面AC。'，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系小yz.

X

不妨設(shè)C￡>=1,則在直角三角形AC。'中，可得AO'=2,AC=b，

作D