廣東省深圳市光明區(qū)某中學(xué)2023-2024學(xué)年高三年級(jí)下冊(cè)5月模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

高三數(shù)學(xué)試題

考生注意：

1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.

3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題

目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0?毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作

答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：高考范圍.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.己知集合4={X|-1<%<3},3={]￡]^|工2-3%,0},則Ac5=（）

A.{x|0?x<3}B.{乂一1<%,3}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}

3.佛蘭德現(xiàn)代藝術(shù)中心是比利時(shí)洛默爾市的地標(biāo)性建筑，該建筑是一座全玻璃建筑，整體成圓錐形，它利用現(xiàn)

代設(shè)計(jì)手法令空間與其展示的藝術(shù)品無縫交融，形成一個(gè)統(tǒng)一的整體，氣勢(shì)恢宏，美輪美央.佛蘭德現(xiàn)代藝術(shù)

中心的底面直徑為8m,高為30m,則該建筑的側(cè)面積為（）

A.lGChirn?B.4J’229兀m?C.8^22971m2D.240兀m?

4.已知向量a=（3,2）,b=（—l,x）,則"》=2行’是"（。+可，（。一耳"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

x2.V

5.己知。>0且若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)。=（）

1

A.3B.9

6.已知直線初x-y+2m+l=0與圓（x+l）2+（y_2）2=16相交于監(jiān)N兩點(diǎn)，則當(dāng)|肱V|取最小值時(shí)，實(shí)數(shù)

m的值為（）

A.2B.lC,-lD,-2

7.己知函數(shù)/（x）=2cos12x-三；把"％）的圖象向左平移|1個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)g（x）的圖象，則

（）

A.g（x）是偶函數(shù)

B.g（%）的圖象關(guān)于直線X=-Tl對(duì)稱

8

C.g（x）在0,-|上的最大值為。

7T

D.不等式g（x）,,0的解集為kn+-,kTi+Ti，4eZ

8.古印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個(gè)人布施，初日施2子安貝（古印度

貨幣單位），以后逐日倍增，問一月共施幾何？在這個(gè)問題中，以一個(gè)月31天計(jì)算，記此人第"日布施了％子

安貝（其中瓚h31,“eN*）,數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為若關(guān)于〃的不等式254<d+「3+i恒成立，

則實(shí)數(shù)/的取值范圍為（）

A.（-oo,28）B.（-oo,30）C.（-00,31）D.（-oo,32）

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知數(shù)據(jù)%,％2,九3,…，%0的平均數(shù)為。，中位數(shù)為），方差為C，極差為d，由這數(shù)據(jù)得到新數(shù)據(jù)

%，%，為，，%，其中￥=2%—3?=1,2,3,,10），則對(duì)于所得新數(shù)據(jù)，下列說法一定正確的是（）

A.平均數(shù)是2aB.中位數(shù)是2?！?

C.方差是4cD.極差是2d—3

22

10.已知直線/：y=—3%+帆（相00）與雙曲線c：二—與=l（a>0,b〉0）交于兩點(diǎn)，P為肱V的中點(diǎn)，

ab

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OP的斜率小于-1,則雙曲線。的離心率可能為（）

A.2B.3C，2A/2D.A/10

2

11.已知函數(shù)“X)是定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)，g(x)=/(x)—2%.若〃尤)是奇函數(shù)，且g(x)的圖象關(guān)于直

線x=l對(duì)稱，貝U()

A.〃2)=2

B.曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,7⑴)處的切線的斜率為2

C.g'(4+x)=g，⑺(g〈x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù))

。.〃％)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,2)對(duì)稱

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知+的二項(xiàng)展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)是18,則根的值為.

22

13.已知耳,%分別為橢圓土+乙=1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)且歸耳|=2歸閭，則因用的面積為

14.在長(zhǎng)方體—中，48="=4,4。=2,點(diǎn)p為側(cè)面用4內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足G。〃平

面ACD,,則QP的最小值為,此時(shí)點(diǎn)P到直線4G的距離為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

已知函數(shù)/(%)=(%-2度-2以2+4依(〃>0).

(1)若a=l,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(o,7(o))處的切線方程；

(2)若/(%)恰有三個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

16.(15分)

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，富裕起來的人們健康意識(shí)日益提升，越來越多的人走向公園、場(chǎng)館，投入健身運(yùn)動(dòng)中，成為

一道美麗的運(yùn)動(dòng)風(fēng)景線.某興趣小組為了解本市不同年齡段的市民每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取400人進(jìn)行調(diào)

查，得到如下表的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

周平均鍛煉時(shí)間少于5小時(shí)周平均鍛煉時(shí)間不少于5小時(shí)合計(jì)

50歲以下80120200

50歲以上(含

50150200

50)

合計(jì)130270400

3

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)￡=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡有關(guān)聯(lián)？

(2)現(xiàn)從50歲以上(含50)的樣本中按周平均鍛煉時(shí)間是否少于5小時(shí)，用分層隨機(jī)抽樣法抽取8人做進(jìn)

一步訪談,再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人填寫調(diào)查問卷.記抽取3人中周平均鍛煉時(shí)間不少于5小時(shí)的人數(shù)為X，

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

9n(ad—bcY

參考公式及數(shù)據(jù)："7―、/,一支，其中〃=a+b+c+d.

0.020.00

a0.010.001

55

5.026.637.8710.82

Xa

4598

17.（15分）

在如圖所示的多面體"MWCD中，四邊形A5CD是邊長(zhǎng)為行的正方形，其對(duì)角線的交點(diǎn)為平

^ABCD,DM//BN,DM=2BN=2,點(diǎn)P是棱的中點(diǎn).

(2)求直線AN和平面所成角的正弦值.

18.(17分)

已知拋物線C:/=2px(0<p<3)的焦點(diǎn)為廠，點(diǎn)人1,1),歸刊=乎.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過點(diǎn)；刀］的動(dòng)直線/與C交于兩點(diǎn)，。上是否存在定點(diǎn)加使得上網(wǎng)+左皿=2(其中左"A，kMB

分別為直線M4,M3的斜率)？若存在，求出〃的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

19.(17分)

已知集合人={<21M2，，%,?},5={4也，…，〃，}，{%}是公比為2的等比數(shù)列且出+3,%+1，%-3構(gòu)成

等比數(shù)列.

4

(1)求數(shù)列｛與｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)｛2｝是等差數(shù)列，將集合的元素按由小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為｛qj.

①若么=5〃-1,數(shù)列｛cj的前”項(xiàng)和為S“，求使S,,,2024成立的”的最大值；

②若Ac5=0,數(shù)列｛%｝的前5項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，且q=l,C9=8,試寫出所有滿足條件的數(shù)列｛2｝.

高三數(shù)學(xué)試題參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則

1.C由集合3=｛尤wNlV-3諼0｝=｛尤wN|0*3｝=｛0,1,2,3｝,又因?yàn)锳=｛x|-l<x<3｝,所以

AnB=｛0,l,2｝.

2.A因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是所以z=l-后，則

1_1_1+后_1叵

z1—^/3i(1-+44

3.C由題知該建筑的母線長(zhǎng)為，4z+3()2=2j^m，則其側(cè)面積為g兀x8x2j^=8@^im2.

4.A由已知得，a+Z?=(2,2+%),〃一/;=(4,2-X).(Q+5)_L(Q-力)。(〃+/?)?(〃一力)=0,即

2x4+4—Y=o,解得]=±26，所以"%=25'是"(a+b)“a—可〃的充分不必要條件.

5.B已知a>0且a#l,若函數(shù)為偶函數(shù)，則有/(—x)=/(x),即(-戈)[3'二三上

優(yōu)+1

化簡(jiǎn)得工=31所以a=9.

3*

6.C由圓的方程(x+1)2+(丁一2)2=16,可知圓心4(—1,2),半徑火=4,直線y—l=〃z(x+2)過定點(diǎn)

5(-2,1),因?yàn)?一2+1)2+(1—2)2=2<16,則定點(diǎn)5(—2,1)在圓內(nèi)，則當(dāng)上取最小值，因

為AB的斜率為1，故加=—1.

5兀?JC\7C?

(%+—I--=2cosI2%+—I=-2sin2x,由于g(%)的定義域?yàn)镽,且

g(-x)=-2sin(-2x)=sin2x=-g(x),故g(%)為奇函數(shù),A錯(cuò)誤;又g1年卜-2sinf^j=0,故g(%)

5

的圖象不關(guān)于直線％對(duì)稱，B錯(cuò)誤；因?yàn)閤e0,￡時(shí)，2龍?0,可，所以y=—2sinz在z?0,可上的

82

最大值為0,最小值為-2,故C正確；g(x)?0,貝!Jsin2%..0,則2%￡[2E,2E+可，左6Z,故

X€ku.knH---,kwZ,D錯(cuò)誤.

2

8.C由題意可知，數(shù)列｛a,J是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故q=2"(啜%31,?eN*),所以

S=2(1—2")=2角—2?由S“一254<-柩向，得2向—256<22n+2-t-2n+1，整理得"冬+2n+1-1

"1-22

對(duì)任意掇女31,且〃eN*恒成立.又駕+2"M—L2,

—1=31,當(dāng)且僅當(dāng)2"+i=16,即〃=3時(shí)

2"+I

等號(hào)成立，所以/<31,即實(shí)數(shù)7的取值范圍是(-8,31).

9.BC%,%，%-%)的平均數(shù)是2。一3,中位數(shù)是2/?-3,方差是4c,極差是2d.

y=-3x+m,

bI—

10.BC由題意知一一w—3,ewJ10,設(shè)/(5,%),?/(%，%)，由<X2y2>可得

a一序下1

僅2一912)元2+6相/九一12加2一。=0,八=(6松2『4^2一9a?)(

2b2+02ml+12b2)=4a2b之(療+/_9a2)>0

212

mi、?6moi.、1Sma+2m{b-9a)2mb?

,可得

'所以9+%=—，y1+y2=-3(x1+x2)+2m=

b2-9a2b2-9a2

22

'3mamb、,所以左="二=_^<一i,即。2>3/2—/>3/,可得e>2且

P222

~b-9a"b-9a\—5ma—5a

ewV10

11.BC由題意有/(O)=O,/(x)=-/(-x),g(2-x)=g(x)^>/(2-x)-4+2x=/(x)-2x,令x=0,

有

/(2)-4=/(0)^/(2)=4,故A錯(cuò)誤;

/(2-x)-4+2x=/(x)-2x^/,(2-x)+/,(x)=4,令x=l得/'(1)=2,故B正確；

g(%)為奇函數(shù),即g(%)=—g(-％)=g'(%)=g'(-x)?，又因?yàn)間(2—％)=g(x)n—g'(2—x)=g'(x),

所以_g'(2_x)=g'(-x),所以_g'(2+x)=g'(x),所以g'(2-x)=g'(2+x),g'(_x)=g'(4+x),即

6

g'（4+x）=g［x）,故c正確;

因?yàn)間（2—x）=g（x）,g（%）=—g（—x）,所以g（2—x）=—g（—x）,g（2+x）=g（—x）,得

g（2-%）+g（2+x）=0,即g（x）關(guān)于（2,0）對(duì)稱,所以〃2T）+/（2+X）=8,即/（x）=g（x）+2為關(guān)

于（2,4）對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.

12.31+生］展開式的通項(xiàng)為之］=《％6七（生］=”二產(chǎn)2仙令6—2左=4,得左=1,所以/項(xiàng)的

系數(shù)為根C；=6m=18,所以根=3.

22________

13.2后由橢圓土+乙=1可知〃=3上/=JT6,c=Ji/Td=2j5,故盧4|+|%|=2〃=6e，結(jié)

1810

合戶耳|=2戶閭，可得歸耳|=40,歸閭=2夜，而出閭=2c=4jL故刊祀為等腰三角形，其面積

為gX2/XJ（4&）2—（物2=2A

14,273（2分）2等（3分）如圖所示，因?yàn)锳3〃GA且AB=G。，故四邊形A3GA為平行四邊

形，則8G//AD,,因?yàn)?C］?平面AC2，AD］u平面ACR,所以BQ〃平面AC。，同理可證//

平面AC。，因?yàn)锳^cBG=昆4比8。1u平面4BG，所以平面〃平面ACR,因?yàn)镻G平面

AA.B.B,要使得G?！ㄆ矫鍭C。1，則GPu平面因?yàn)槠矫鍭&B/c平面=4臺(tái)，故點(diǎn)p

的軌跡為線段當(dāng)GP取最小值時(shí)，C^PLA.B,則P為48的中點(diǎn)，。］尸=26.以。為原點(diǎn)，

的方向分別為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，易知

A（2,0,4），G（0,4,4）,P（2,2,2），AG=（—2,4,0）,^^=（0,2,-2）,取

。=4P=（0,2,—2）,M=t（-L2,0）,則l=8,a.腐=勺5,所以點(diǎn)尸到直線4G的距離為

|AC1|°5

/T――不_2屈

yjci-（a?u）————?

7

15.解：(1)a=l時(shí)，/(x)=(x-2)ev-2x2+4%,所以/■'(%)=-4X+4,

所以/(O)=—2"'(O)=3,

所以曲線y=/(￡)在點(diǎn)(0,〃0))處的切線方程為y+2=3x,即3x—y—2=0.

(2)因?yàn)?(x)=(x-2產(chǎn)-2G;2+4依=(尤-2)(6"-2汨,

所以％=2是"％)的一個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)?(九)恰有三個(gè)零點(diǎn)，

1Y

所以方程e，—2依=0有兩個(gè)不為2實(shí)數(shù)根，即方程一=F有兩個(gè)不為2實(shí)數(shù)根,

2ae

令/?(%)=j所以〃(%)=二^,

ee

令"(x)＜0,得x＞l,令得了＜1,

所以人⑴在區(qū)間(-a」)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+a)上單調(diào)遞減,

1

當(dāng)時(shí)，人(4)的值域?yàn)椤狾O,—；當(dāng)X￡(l,+8)時(shí)，"(X)的值域?yàn)?/p>

e

所以＜工＜工I2e1

0且—w—,所以一，且—，

2ae2ae224

22

(ee^fe1

所以。的取值范圍是—u—,+^.

(24八(44J

16.解：(1)零假設(shè)“°：周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡無關(guān)聯(lián)-

400(120x50-150x80)2

由表格數(shù)據(jù)得：力?x10.256>6.635=x,

200x200x270x130001

根據(jù)小概率值。=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷“。不成立，即認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡有關(guān)聯(lián)，此推斷犯

錯(cuò)誤的概率不大于0.01.

8

（2）抽取的8人中，周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)少于5小時(shí)的有8x51=2人，不少于5小時(shí)的有8x型=6人,

200200

則X所有可能的取值為1,2,3,

o1cc35

所以P（X=1）=^^=—;P（X=2）=^^=一;P（X=3）=V=一

、7C28v7C28v7d14

ooo

所以X的分布列為:

X123

3155

p

282814

31559

所以數(shù)學(xué)期望磯X）=lx—+2x—+3x—=—

',2828144

17.（1）證明：連接PN,QN.

因?yàn)镈M，平面ABCD,AD,DC,DBu平面ABCD,所以。M，AD,PD1DC.

因?yàn)椤=2BN=2,尸是O暇中點(diǎn)，所以四邊形P03N為矩形，PN=BD=2,PD=NB=1.

因?yàn)?。是正方形A3CD的對(duì)角線交點(diǎn)，所以。為AC,中點(diǎn)，PQ=NQ=J5,

所以P￡+NC=PN2,PQLQN.

因?yàn)镻A=PC=J5,Q為AC中點(diǎn)，所以PQLAC.

又ACcNQ=Q,AC,NQu平面⑷V。，所以P。，平面⑷VC.

（2）解：由（1）知，兩兩垂直，以。為原點(diǎn)，以所在直線分別為羽y,z軸建立

空間直角坐標(biāo)系，

則A（V2,0,0）,C（0,V2,0）,M（0,0,2）,N（也0,1）,則

CN=（0,0,1）,MN=（0,應(yīng),—1）,A7V=（0,點(diǎn),1）,

設(shè)平面CMN的法向量為力=（x,y,z）,

fi-MN=0,A/2X+0y-z=Q,

所以由一得「

n-CN=0,[V2x+z=0,

令z=0，可得〃=卜1,2,0）,

9

限叫_3&_屈

設(shè)直線AN和平面CMN所成角為。，則sin。=

同石,不7

所以直線AN和平面CMN所成角的正弦值為叵.

7

解得p=l或p=3(舍去),

所以拋物線C的方程為/=2x.

(2)假設(shè)在C上存在定點(diǎn)”(%),%),使得上“4+匕《；=2.

當(dāng)直線/的斜率不存在或斜率為0時(shí)，不合題意；

設(shè)直線/的方程為>=左x+；,與>2=2x聯(lián)立方程組，消去了并整理

,2

得y—y+l=0,

k一

4,,

由A=萬一4>0,得網(wǎng)<1且左二O

2

設(shè)A(%，%)，5(%2，%)，則%+%