福建省漳州市2024屆高三畢業(yè)班第四次教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題

福建省漳州市2024屆高三畢業(yè)班第四次教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.一組數(shù)據(jù)如下：3,7,9,10,13,15,19,21,該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是（）

A.15B.17C.19D.20

2.已知復數(shù)Z=3,則|z2°24_z2°25卜（）

1+11I

A.2B.V2C.1D.0

3.二項式（1-2x）6展開式中，/項的系數(shù)為（）

A.-60B.-15C.15D.60

4.設。>0,6>0,且a+26=1,則log2。+log2b的（）

A.最小值為-3B.最小值為3

C.最大值為-3D.最大值為3

5.已知函數(shù)/■（x）=lnx+x,g（x）是函數(shù)/（2x+l）的導函數(shù)，則g（0）=（）

A.1B.2C.3D.4

6.已知數(shù)列｛4｝是公比不為1的正項等比數(shù)列，貝卜=2是%嗎。=4?%成立的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

7.設函數(shù)/'（x）=（a+>0,aw1）,則函數(shù)/（x）的單調(diào)性（）

A.與a有關，且與b有關B.與a無關，且與b有關

C.與。有關，且與6無關D.與。無關，且與6無關

22

8.已知雙曲線C2=l（a>0/>0）左、右焦點分別為用工，過久的直線與C的漸近線

ab

n--------,--?

l：y=—-%及右支分別交于48兩點，若F1A=AB,F]B?F2B=0,則。的離心率為（）

a

3

A.-B.2rC.V5D.3

二、多選題

試卷第1頁，共4頁

9.已知函數(shù)/'(x)=cos2x+asinx-2,則下列說法正確的是()

A.當。=0時，/(尤)的最小正周期為無

B.當。=1時，/(x)的最大值為

O

C.當°=-3時，/(X)在區(qū)間［0,2可上有4個零點

D.若〃x)在上單調(diào)遞減，則。的取值范圍為［0,+動

10.如圖，四棱錐尸-48C。中，底面48CD,且===，

2

A.PBB.CDC.PCD.PD

11.我們把方程xe'=l的實數(shù)解稱為歐米加常數(shù)，記為Q.Q和e一樣，都是無理數(shù)，Q還被

稱為在指數(shù)函數(shù)中的“黃金比例”.下列有關。的結(jié)論正確的是()

A.Qe(0.5,1)

B.In—=Q

Q

1

C./，其中〃=一

e

D.函數(shù)"#=之辿￡的最小值為/'(C)

()x+1

三、填空題

12.寫出過點尸(-2,-1)且與拋物線/=4彳有唯一公共點的一條直線方程.

13.已知向量1=(1,1),同=4,且另在3上的投影向量的坐標為(-2,-2),則之與日的夾角

為.

14.在矩形48co中，/8=2,2。=1,夕為。。的中點，將尸沿/P折起，把AD4P折成

ASAP,使平面SAP1平面ABCP,則三棱錐S-ABP的外接球表面積為.

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

15.記AABC的內(nèi)角45,C的對邊分別為。也c,已知8=5,6=2行.

⑴若。,6,c成等差數(shù)列，求“BC的面積；

n

(2)若sirU-sinC=——b,求

12

16.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，底面48co為梯形，平面尸48,平面/BCD,

AB//CD,AB^LAD,△PAB是等邊三角形,M為側(cè)棱尸8的中點，.1.AD-DC=2,AB=4.

P

(1)證明：CM〃平面尸4D；

(2)G是線段尸。上異于端點的一點，從條件①、條件②中選擇一個作為已知，求平面GMC與

平面P45所成角的余弦值.

條件①：四棱錐G-ABCD的體積為g；

3

條件②：點G到平面PAB的距離為-.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

17.已知橢圓E：5+.=1(。＞0)的離心率為?點中恰有兩

個點在E上.

(1)求￡的方程；

⑵設〃eN*的內(nèi)角4,Bn,C,t的對邊分別為a?,b,?cn,

bl+Cl=2%,an+i=a?,b?+l=與%,cn+I=.若點B,,C,在x軸上且關于原點對稱，問：是

否存在外,使得點4都在E上，若存在，請求出生,若不存在，請說明理由.

18.某汽車廠商生產(chǎn)某型號具有自動駕駛功能的汽車，該型號汽車配備兩個相互獨立的自動

駕駛系統(tǒng)(記為系統(tǒng)A和系統(tǒng)8),該型號汽車啟動自動駕駛功能后，先啟動這兩個自動駕

駛系統(tǒng)中的一個，若一個出現(xiàn)故障則自動切換到另一個系統(tǒng).為了確定先啟動哪一個系統(tǒng)，

試卷第3頁，共4頁

進行如下試驗：每一輪對系統(tǒng)A和3分別進行測試試驗，一輪的測試結(jié)果得出后，再安排下

一輪試驗.當一個系統(tǒng)出現(xiàn)故障的次數(shù)比另一個系統(tǒng)少2次時，就停止試驗，并認為出現(xiàn)故

障少的系統(tǒng)比另一個系統(tǒng)更穩(wěn)定.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若系統(tǒng)A不出

現(xiàn)故障且系統(tǒng)3出現(xiàn)故障，則系統(tǒng)A得1分，系統(tǒng)3得-1分；若系統(tǒng)A出現(xiàn)故障且系統(tǒng)3不

出現(xiàn)故障，則系統(tǒng)A得-1分，系統(tǒng)3得1分；若兩個系統(tǒng)都不出現(xiàn)故障或都出現(xiàn)故障，則兩

個系統(tǒng)均得0分.系統(tǒng)45出現(xiàn)故障的概率分別記為夕和廣，一輪試驗中系統(tǒng)A的得分為X

分.

(1)求X的分布列；

(2)若系統(tǒng)A和B在試驗開始時都賦予2分，p,g0,1,2,3,4)表示“系統(tǒng)A的累計得分為i時,

最終認為系統(tǒng)A比系統(tǒng)8更穩(wěn)定”的概率，則4=0,夕4=1，Pt=ap-+bpj+cpm(i=1,2,3),

其中a=P(X=-1),6=尸(X=0),c=4X=巳.現(xiàn)根據(jù)p2的值來決定該型號汽車啟動自動駕

駛功能后先啟動哪個系統(tǒng)，若則先啟動系統(tǒng)8；若2209,則先啟動系統(tǒng)A；若

0.1<772<0.9,則隨機啟動兩個系統(tǒng)中的一個，且先啟動系統(tǒng)A的概率為。2.

①證明:^2-?2(l-/7)2+(l-a)2/?2；

②若a=0.001,/?=0.002,由①可求得求該型號汽車啟動自動駕駛功能后無需自

動切換到另一?個自動駕駛系統(tǒng)的概率.

19.設。,6eR,函數(shù)/(x)=卜/一2》+。|+卜6",

g(x)=2xex-x2-2x+a+b,h^-x2+的定義域都為一；，1

(1)求g(x)和%(x)的值域;

⑵用max伽,〃｝表示心,力中的最大者，證明：/(x)=max||g(x)|,|/z(x)||；

(3)記/(x)的最大值為尸6),求尸(a,b)的最小值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.B

【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序，利用分位數(shù)的求解方法進行計算.

【詳解】由題意可知，共8個數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)從小到大排序得3,7,9,10,13,15,19,21,

因為8x75%=6,故選擇第6個和第7個數(shù)的平均數(shù)作為75%分位數(shù)，即空譽=17.

故選：B.

2.B

【分析】由復數(shù)乘除法以及復數(shù)模的運算公式即可求解.

1-i(1)2

【詳解】z-幸=—1,

0T(l+i)

所以—24_z2必口1+h行=行

故選：B

3.D

【分析】先求出。-2無葉的展開式的通項，再求出展開式中尤2項系數(shù)即可.

【詳解】根據(jù)題意，二項式（1-2尤）6的展開式的通項&1=晨亡'（-2%）"

其中一項為，6=C；（-2xy=60/,

所以的展開式中爐項的系數(shù)為60.

故選：D.

4.C

【分析】由已知結(jié)合基本不等式先求。6的范圍，然后結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.

【詳解】因為。>0,6>0,且。+26=1,

所以a+2b22^2ab，即Vg,

o

當且僅當。=26時取等號，

0Tlog2tz+log2fe=log2ab<log21=-3,

BPlog2tz+log2Zj<-3.

故選：C.

5.D

答案第1頁，共17頁

【分析】計算/(2x+l)=ln(2x+l)+2x+l的導數(shù)，得到g(x),代值即可.

【詳解】因為/(x)=lnr+x(x>0),

所以〃2x+l)=ln(2x+l)+2x+l,

即心+1F+2,

2

所以g(x)=7；—;+2,

2x+l

所以g(0)=4.

故選：D.

6.A

【分析】利用下標和性質(zhì)判斷充分性，根據(jù)通項公式化簡可判斷必要性.

【詳解】由下標和性質(zhì)可知,若，=2,則％=。”9;

記數(shù)列｛%｝是公比為/若4?%()=4m9，則%嗎『=%夕1⑶"，即〃"9=40+7,

因為數(shù)列｛%｝是公比不為1的正項等比數(shù)列，所以爐=1"7,得'+7=9"=2.

綜上，則/=2是成立的充要條件.

故選：A

7.D

【分析】通過對。進行討論，再用復合函數(shù)的求單調(diào)性的方法，可知該函數(shù)的單調(diào)性與。，b

是否有關.

【詳解】因為函數(shù)/(x)=(q—l)a'+6(a>0,q。1),

所以當0<。<1時，/(x)=｛a-l)ax+b單調(diào)遞增.當a>1時，/(x)=(Q-1)，+b單調(diào)遞增.

則。>0且awl,6GR,f(x)=｛a-V)ax+b的單調(diào)性都為單調(diào)遞增.

所以函數(shù)“對二0-0^+臺的單調(diào)性與①b無關.

故選：D

8.C

【分析】根據(jù)題意分析可知A為月5的中點，且與5,瑪5,結(jié)合點到直線的距離公式可得

H耳1=6,根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合勾股定理運算求解.

答案第2頁，共17頁

【詳解】因為萬，可知A為的中點,

且。為耳工的中點，可知CU〃B&,

又因為麗.郎=0,可知耳2,g3,則丹/，/。,

be

則點耳(-c,0)到直線l-.bx-ay=0的距離|"；|==b,

\la2+b2

可得廬周=2|/周=2仇|叫|=|%|-2a=26-2a,

2

由網(wǎng)「+忸用,=\FtF21可得(Zb?+(26-2/=(Ze?=4(/+〃)，

整理得6=2°,貝!|62=4/=°2一/,整理得02=5〃，

所以C的離心率為e=￡=J[=\[5.

aVa~

故選：C.

【點睛】方法點睛：1.橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的求法：求橢圓、雙曲線的離

心率或離心率的范圍，關鍵是根據(jù)已知條件確定a,b,c的等量關系或不等關系，然后把6

用a,c代換，求e的值；2.焦點三角形的作用：在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義,

三角形中邊角關系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來.

9.AB

【分析】利用三角恒等變換，轉(zhuǎn)化為正弦型或者余弦形函數(shù)即可求出周期，采用換元法結(jié)合

三角函數(shù)的有界性即可求出最值，結(jié)合三角函數(shù)圖像解三角方程即可得出零點的個數(shù)，將三

角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)再結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性的特點即可求出參數(shù).

【詳解】選項A：當“=0時，/(x)=cos2x-2,

其周期由cos2x決定，周期為7=兀，A正確.

選項B：當。=1時，/(x)=cos2x+sinx-2=l-2sin2x+sinx-2=-2sin2x+sinx-l,

答案第3頁，共17頁

在本式中令"sinx可得，力⑺=-2/+/-1,

其定義域為sinx的值域，即,￡卜1川，

當它取最大值時，/=-(=;,;4-1』,可以取到，

將其代回原式得到最大值為-2?)2+1-1=-2選項B正確.

選項C,當。=-3時，

/(x)=cos2x-3sinx-2=-2sin2x_3sinx-l=-(sinx+l)(2sinx+l),

令/(x)=0,可得sinx=—l或sinx=—g,

sinx=-l的解在［0,2可間的有且只有工=|■兀，

1711

sinx=-j的解在［0,2兀］間的有且只有》=不兀和》=不兀，

因此在［0,2可上總共有3個零點，選項C錯誤.

選項D,f(x)=cos2x+asinx-2=-2sin2x+asinx-2,

在該式中令/^sinx,則

h(t)=-2t2+at-l,tE［-l,l］,為開口向下的二次函數(shù)，所以頂點右側(cè)為單調(diào)遞減函數(shù)，

其頂點橫坐標,

2a4

當a24時，/(X)在定義域上單調(diào)遞增，

當。＜4時，存在單調(diào)遞減區(qū)間，則單調(diào)遞減區(qū)間為

原式中單調(diào)遞減區(qū)間為即

因為也＜1,所以僅需要即可，解出

故a的取值范圍是(-8,0］,選項D錯誤.

故選：AB.

10.BCD

【分析】利用線面所成的角判斷A；利用線面垂直的判定定理可知CD，平面B4。，利用線

面平行的判定定理證明4E//平面PAD,由線面平行的性質(zhì)定理可得4E//I,進而可證明/1

答案第4頁，共17頁

平面尸DC,可判斷BCD

【詳解】分別取PZ人尸C的中點，連接4B、EF、BF,

因為EF是△尸。C的中位線，所以斯||DC且放

2

又AB=、CD旦4B"CD,所以EF〃4B且EF=4B,

2

所以四邊形/2FE是平行四邊形，

所以4E〃BF,且NE=8尸，

又/Eu平面RW,8廠Z平面力。，所以/￡//平面為￡）,

又平面尸/。與平面尸3C交線為/,/^（=平面我。，所以/E",

又PA=AD,￡是「。的中點，所以4E_LPD,

因為P/L底面/BCD,CDu平面/BCD,所以尸/LCD,

又/ADC=9Q。,所以/D_LDC,又PDCl/。=u平面燈。，

所以CD_L平面RID,又NEu平面BID,

所以/E_LCD,AE1PD,PDcCD=D,PD,CZ）u平面PDC,

所以NE_L平面尸DC,又NE〃/,所以//平面PDC,

又尸C,CD,PDu平面PDC,

所以PC，/,CD，/,尸。，/,故BCD對

由AE//1,所以“/BF,

所以,與尸2所成的角就是BF與與PB所成的角即ZPBF,

^-PA=AB=AD=-CD=a,

2

PD=42a,AE=BF=與a,PB=&a,PF=,C=（龍）1加丫=g

?+l_3

PB2+BF1-PF22+T-o

在尸中，由余弦定理得cos/P8F=------=----幺*

2PBBF2xgx也

2

IT7T

NPBFw0,-,所以/尸8尸=右，故/與PB不垂直，故A錯；

答案第5頁，共17頁

11.ABC

【分析】對于A：構(gòu)建g(x)=xe:1,利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理分析判

斷；對于B：對Oe「=l,取對數(shù)整理即可；對于C：設/=°,整理得=如

結(jié)合選項A分析判斷；對于D：結(jié)合不等式e，2x+1分析可知/(x)>l,當且僅當--lnx=O

X

時，等號成立，結(jié)合加(x)=：-Inx的零點分析判斷.

【詳解】對于選項A：構(gòu)建g(x)=xe*-1,則。為g(x)的零點，

因為g'(x)=(x+l)e，，

若x<-l,則g'(x)<0,可知g(x)在(-8,-1)內(nèi)單調(diào)遞減,且g(x)<0,

所以g(x)在內(nèi)無零點；

若x>-l,則g")>0,可知g(x)在(T+8)內(nèi)單調(diào)遞增,

g(O.5)=手一1<0且g(l)=e-l>0,所以g(x)在(T+⑹內(nèi)存在唯一零點Qe(O.5,l)；

綜上所述：Qe(0.5,1),故A正確；

對于選項B：因為。e0=l,Qe(0.5,1),即'=e'

兩邊取對數(shù)可得：In：=Ine"=。，故B正確；

對于選項C：設/'=°,則/=.,整理得/=a,即=a,

可得ae"=l,所以。=。，即￡}=〃""，故C正確；

對于選項D：構(gòu)建力(x)=e*-x-l,則〃(x)=e*-l,

令〃(x)>0,解得x>0；令"(x)<0,解得x<0；

可知〃(x)在(-叫0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

則訪@"訪(0)=0,可得e'2x+l,當且僅當x=0時，等號成立，

答案第6頁，共17頁

則/(x)=

當且僅當—bln—=0,即—lnx=0時，等號成立，

xxx

因為了=Ly=-Inx在（0,+8）內(nèi)單調(diào)遞減，

x

可知%（x）=L-lnx在（0,+8）內(nèi)單調(diào)遞減,且切⑴=1>0,加（e）=<0,

可知在（0,+8）內(nèi)存在唯一零點尤°e（l,e）,即不>。，

所以/（x）的最小值為/（%）=1,不為/（。），故D錯誤；

故選：ABC.

【點睛】方法點睛：對于函數(shù)零點的個數(shù)的相關問題，利用導數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想來求

解.這類問題求解的通法是：

（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關鍵點和難點，并求其定義域；

（2）求導數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點；

（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進而求解.

12.y=—1,y=x+1,y=——X—2（寫對一、個方程即可）

【詳解】如圖，當直線/斜率為0時，與拋物線必=4x有唯一公共點，此時方程為y=T；

當斜率不為0時，設/的方程為x=機（了+1）-2,

[y2=4%心，.

聯(lián)立〈/x消去x,整理得：y-4my+8-4m=0,

x=+1)-2

因為直線/與拋物線「=4x有唯一公共點，所以A=16療—4（8-4加）=0,

角畢得冽=1或冽=一2,所以/為x=（y+l）—2或工=一2（歹+1）—2,

即尸％+1或尸——x-2.

綜上，過點尸（-2,-1）且與拋物線必=4x有唯一公共點的直線方程為:

y=-1或y=x+i或y=——x-2.

故答案為：y=-1(或y=x+i或y=-y-2).

答案第7頁，共17頁

【分析】根據(jù)投影向量公式得B在3上的投影向量為Wc°s3j,結(jié)合已知可得結(jié)果.

【詳解】設口與B的夾角為。，且。目0,可，W=jF+F=后,

b一b....................

則B在3上的投影向量為Wcos%=cos?,a-cos0,-,(1,1)=(-2,-2)=—2(1,1),

a

b?7T

即cos9?==—2,所以cos6=—衛(wèi)，所以。=:，

a24

故答案為：不

14.4兀

【分析】利用勾股定理逆定理證明8尸，/尸，由面面垂直的性質(zhì)得到5尸，平面皮尸，求出

△“尸外接圓的半徑廠=3/尸，設三棱錐S-/3尸的外接球的半徑為R,則尺2=/+1?],

最后由球的表面積公式計算可得.

【詳解】因為48=2,AD=\,尸為DC的中點,

貝I]有/尸=JF+仔=e，BP=Vl2+12=V2>

ffi^AP2+BP2=AB2>所以

又平面"尸_L平面48CP,平面5L4Pc平面48c尸=/尸，BPu平面48cp.

所以AP_L平面S4尸，

又△”尸為等腰直角三角形，所以其外接圓的半徑/=_1/尸=1,

22

設三棱錐5-48尸的外接球的半徑為R,則斤=/

所以R=l,所以三棱錐5-48尸的外接球的表面積5=4成2=4兀.

答案第8頁，共17頁

故答案為：47t

【點睛】關鍵點點睛：本題解答的關鍵是證明3尸，平面皿尸，再由直棱錐的外接球的模型

計算外接球的半徑.

15.(1)36

(2)4

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到a+c=助，再利用余弦定理求得ac的值，進而利用

三角形的面積公式求解；

(2)根據(jù)已知條件代入，并用三角恒等變換化簡求得力,再利用正弦定理求解.

【詳解】(1)因為。,6,c成等差數(shù)列，所以0+c=26,

又6=2百，所以O+C=4AG①，

在。中，由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accosB,

又8=1，所以12=a?+/—ac=(q+op—3ac②，

由①②得QC=12,

所以。6c的面積S=LacsinS=Lxl2x且=3百.

222

L61

(2)因為6=26與11^一5也。=背6,所以sirt4-sinC=5,

又因為4+2+。=兀且3=?,所以c=4一/,

所以sirU一立cos/-」siiL4=工，所以'sirU-gcos/=工，

222222

所以sin]/_：)=；,

又因為0<4<兀，所以-?</-[<￥，所以/一2=2,所以/=1，

333362

所以。=々；=4.

sinB

16.(1)證明見解析;

答案第9頁，共17頁

(2)子.

【分析】(1)解法一關鍵取P/的中點。，去構(gòu)建平行四邊形0MC。，從而去證明線面平行;

解法二關鍵構(gòu)建平行平面。CM,從而去證明線面平行.

(2)首先證明正交基底垂直關系OC_LAS,OP_L平面4BCD,然后建立空間坐標系，根據(jù)

選擇的條件①或條件②，來確定各點坐標，從而利用空間向量法求兩個平面的法向量，根據(jù)

空間向量求空間角的思想，最后可求得結(jié)果.

【詳解】(1)解法一:證明：取尸區(qū)的中點。，

連接。機。。，貝=且QM"AB,

又因為=,48,NB//CD,

2

所以=且QM〃C。，

所以四邊形QMCD為平行四邊形，

所以CM〃紗，

又因為CM0平面尸平面P4D,

所以直線CM〃平面尸4D.

解法二：證明：如圖，取N3的中點。，連接OC,?！?

因為M為側(cè)棱尸8的中點，

所以。M//PA,

因為OMa平面PAD,PAU平面PAD,

所以0M〃平面尸4D,

因為DC=2,/B=4,/5HCD,

所以0c=/O,DC〃/O,

所以四邊形/OCO為平行四邊形，

答案第10頁，共17頁

所以OC〃AD.

因為OC<Z平面PAD,ADu平面PAD,

所以OC〃平面P/O,

因為。CnOW=O,（Wu平面OCM,OCu平面OCW

所以平面OCMH平面PAD.

因為CMu平面。CM,所以CM〃平面P/O.

因為是等邊三角形，。為的中點，

所以

因為平面PAB1平面ABCD,

平面PABc平面ABCD=AB,OPu平面PAB,

所以OP_L平面48cD,

又。Cu平面/BCD,所以0P_L0C.

以。為原點，OC所在直線為無軸，03所在直線為了軸，。尸所在直線為z軸，建立空間直

角坐標系。-統(tǒng)，則

F（0,0,2^p（0,^,0）,5（0,2,0）C^,0,0）D2,々0）,A/（0,1,73）,

選擇①：設麗=X麗=212,2,2抬"）=12A,2A,260,1）,

,11（2+4）x2廠

Vrt

由G-ABCD=]S/BCD，h=~x-xh=yj39

其中〃為點G到平面48s的距離，得〃=且，

2

又因為點P到平面ABCD的距離PO=243,

答案第11頁，共17頁

而”DGh1所以V，

所以而=

PO4

=叵￡_3顯

所以力=麗+麗=（0,-2,0）+

2，-2'V

設平面GMC的法向量為而=（x,y,z）,

又力=（1,0,0）是平面尸/8的一個法向量,

所以平面GMC與平面PAB所成角的余弦值為

選擇②：設萬不=無幣=/1（一2,2,2班）=（-2九2九26）；1€0,1）,

因為OC〃D4,。。，平面P/8,所以D/_L平面尸

所以點。到平面PAB的距離為ZM=2,

3

又點G到平面PAB的距離為h=~,

2

所以生=&=。，所以0G=!PZ）,所以2=9，

PDDA444

以下與選擇①的解題過程相同.

22

17.⑴土+匕=1

43

（2）存在，%=2.

【分析】（1）分析出42在￡上,C不在E上，直接代入求解即可;

（2）根據(jù)題意用外表示出?+c“,再根據(jù)橢圓的定義判斷出點4在以Bn,Cn為焦點,2%為

長軸長的橢圓上，結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可判斷結(jié)果.

答案第12頁，共17頁

【詳解】⑴因為d同與關于x軸對稱，￡也關于x軸對稱，",C中恰有兩

個點在E上，所以43在￡上，C不在E上，

9

所以1工41，

/b2

2

又因為e=￡=±c=~b,a>b>0f

,a2

所以〃=2,b=\/3,c=1f

所以E的方程為《+亡=1.

43

(2)存在囚=2,使得點4都在E上.理由如下：

因為%+1=。“，所以%=%,

因為a+Lq^c+L”區(qū)，

所以包+1+Cn+l=|(^?+c?)+a?,即b?+l+C"+1=g(4+C")+%,

所以bll+1+C"M-2q=g(bn+c?-2?!),

又因為4+6=2%,所以4+q-2%=0,

所以。+?！?2%=0，即〃+&=〃，

所以4G+4紇=肛>%=用C”，

所以點4在以3“,C”為焦點，2%為長軸長的橢圓上，

又因為E的焦點為(±1,0),長軸長為4,點色,G在x軸上且關于原點對稱，

f2a.=4

所以點4都在橢圓E上。八00%=2,

B

[?C?=al=2

所以存在6=2,使得點4都在E上.

【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查橢圓的定義和橢圓的性質(zhì)，關鍵在于表示出兩邊之和的

關系，利用橢圓的定義得到4的軌跡，以此來得到結(jié)果.

18.(1)答案見解析;

(2)①證明見解析；②0.9988.

答案第13頁，共17頁

【分析】(1)由題意可得X的所有可能取值為-1,0」，再由相互獨立試驗的概率求出各取值

的概率，列出分布列即可；

(2)①將⑴中概率代入R=%_[+她+%+i(i=l,2,3)進行化簡，結(jié)合A=0,"=l進行

計算，即可得到??；

②根據(jù)獨立試驗概率公式代入計算即可.

【詳解】(1)X的所有可能取值為-1,0』.

P(X=_l)=a(l_?),P(X=l)=(l_a)￡,

=0)=1-P(X--1)-P(X-1)=l-a(l-/?)-(1-?)/?=1-a-/7+2a/7,

所以X的分布列為

X-101

Pa。-尸)1—a—，+2aB(l-a)?

(2)①由題意，

得R=a(l-/7)pi+[l-a(l-6)一(1一,所以

[a(l-夕)+(l-a)閉口=a(1-/?)+(1-a)13pM

訴”[?(1-^)+(1-?)^]P~a(1-/?)A-i.

所以P"-----------7]-匕-------------1=123,

又20=°，24=1，

[&(1-￡)+(1-￡)口】口一。(1-⑸。o

所以Pi=

(~)￡

_[a(1/)+(0)刃Pi

[Q(1-￡)+(1-0￡他一研1一⑸0|

夕

3=(?)月

答案第14頁，共17頁

[a(l_0+(l_a)刃

(「a.

四2-a￡(l-?)”￡)

(l-a),-[tz(l-￡)+(l-tz)夕]P”

_[a(l-U)+(l-a現(xiàn)03-。(1-?！?_

PL

所以

「*6)+(1a\B\[a(l-〃)+(l-a)￡『-a￡Q-a)Q-〃)”,.

1a(l-￡)+(1-c)川?一(106.卬1￡)+(1"—「小▼物”

訴”“一"a)/

所以外一優(yōu)”02+(1_4加’

②記“該型號汽車啟動自動駕駛功能后無需自動切換到另一個自動駕駛系統(tǒng)”為事件T,“該

型號汽車啟動自動駕駛功能后先啟動系統(tǒng)A