函數(shù)值域倍增或倍減（周期性與類周期性）（模擬+真題）-2024高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)壓軸題（解析版）

專題1指對幕函數(shù)比較大小

■k最新模擬精練

1.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足/(尤-1)為奇函數(shù)，/(尤-2)為偶函數(shù).若/(2)=2,

則7(2024)=()

A.-2B.0C.2D.2024

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及對稱性即可得函數(shù)周期性，進(jìn)而可求解.

【詳解】由/。-1)為奇函數(shù)，/(尤-2)為偶函數(shù)，可知函數(shù)Ax)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-1,0)中心對稱，且關(guān)于直線

%=-2軸對稱，

故"X)=-"-2-x)=-〃x-2)=-[-〃x-4)]=〃x-4),

所以函數(shù)/(x)是周期為4的函數(shù)，由/(一1)=。.〃2)=2得/(0)=-/(—2)=-/(2)=-2,

所以f(2024)=/(506x4+0)=f(0)=-2.

故選：A

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)若函數(shù)y=/(x)的圖像同時關(guān)于直線x與x=b軸對稱，則函數(shù)/(x)必為周期函

數(shù)，E.T=2\a-b\.

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖像同時關(guān)于點(diǎn)3,0)與點(diǎn)。,。)中心對稱,則函數(shù)“X)必為周期函數(shù),且7=2|。-勿.

(3)若函數(shù)y=/(x)的圖像既關(guān)于點(diǎn)(。,0)中心對稱，又關(guān)于直線x=l，軸對稱，則函數(shù)/(X)必為周期函數(shù),

S.T=4\a-b\.

2.(2023?全國?模擬預(yù)測)己知函數(shù)Ax)的定義域?yàn)镽,f(0)=2,且/\十￡|為奇函數(shù)，為偶函

22

數(shù)，則?(%)=()

k=0

A.23B.-22C.-2D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)條件求出函數(shù)的周期，再根據(jù)函數(shù)的周期性求值即可.

【詳解】因?yàn)榱恕?：為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，

所以)=_小+]

令r=x+1,則X=所以f(lT)=-m,f(-t)=f(t-T),

22

第1頁共18頁

所以/(-Z)=-/(l+t)=f(t-1),f(t+2)=f((t+1)+1)=-f(t+1-1)=-/(/),

則fit+4)=f((t+2)+2)=-/?+2)=/(Z),

所以/(x)的周期T=4f

因?yàn)?(0)=2,

所以/⑴=—/(0)=—2,/(2)=-/(0)=-2,/(3)=-/(1)=2,/(4)=/(0)=2,

22

所以￡/(幻=2+5x0-2-2=-2.

k=0

故選：c.

3.(2023?海南?？?農(nóng)墾中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)〃元)是定義在R上的奇函數(shù)，且"1)=3,

/(5-x)--/(l-x),則“2024)+“2023)=()

A.-3B.0C.3D.6

【答案】A

【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)可得〃x)=0,=再根據(jù)〃5—x)=—"1—力求出函數(shù)的周期，再

根據(jù)函數(shù)的周期即可得解.

【詳解】因?yàn)椤κ嵌x在R上的奇函數(shù)，所以〃x)=0,/(-%)=-/(%),

因?yàn)?5—x)=一〃l—x),所以〃5+司=一〃1+無)，則〃4+x)=_/(x),

所以〃8+x)=-/(4+x)=f(x),

所以/(元)是以8為周期的一個周期函數(shù)，

所以〃2024)+f(2023)=〃253*8)+〃253x8-l)

="0)+"T)="0)-41)=“0)-"1)=-3.

故選：A.

4.(2023?陜西漢中?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，當(dāng)

時,〃尤)=2-2"貝葉(0)+/⑴+/(2)+…+”2024)的值為()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

【分析】由函數(shù)是R上的偶函數(shù)與〃尤)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱可得出函數(shù)的周期，根據(jù)x目?！粫r的

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表達(dá)式可求解出一個周期的函數(shù)值，從而解出本題.

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)“X)是R上的偶函數(shù)，

所以/(T)=/(X),

因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，

所以?+/(2+句=0,即〃x)+/(2+x)=0,

所以〃2+x)=-〃x),

所以/(4+x)=-〃2+x)"(x),

所以函數(shù)/(x)是R上周期為4的函數(shù)，

當(dāng)xe[0,l]時，/(x)=2-2\

所以“0)=1,/(1)=0,

又〃2)=—〃0)=-1,/(3)=-7(1)=0,

所以〃0)+"1)+〃2)+/⑶=0,

所以/(。)+/。)+/(2)+…+/(2024)=/(2024)=〃0)=1.

故選：D.

5.(2023?四川南充?四川省南充高級中學(xué)?？既?已知定義在R上的奇函數(shù)滿足〃x+2)=〃r),

當(dāng)時，f(x)=x1,則/(2023)=()

A.20232B.1C.0D.-1

【答案】D

【分析】運(yùn)用奇偶性及對稱性可求得函數(shù)"X)的周期，運(yùn)用周期性質(zhì)即可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤╔)在R上為奇函數(shù)，所以/(-x)=—/(x),

又因?yàn)椤▁+2)=/(—x),所以/(x+2)=—/(x)①，

所以/(x+4)=_/(x+2)②，

所以由①②得〃x+4)=〃x),即的一個周期為4,

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所以/(2023)=/(506x4-1)=/(-1)=-/(1).

又因?yàn)楫?dāng)OVxMl時，/(尤)=尤2,所以"1)=1,

所以“2023)=-7?⑴=—1.

故選：D.

6.(2021?貴州銅仁?貴州省思南中學(xué)?？家荒?已知在R上是奇函數(shù)，且滿足〃x+4)=/(x),當(dāng)

xe(O,2)時，/(x)=2x2,則“2019)等于()

A.-2B.2C.-98D.98

【答案】A

【分析】根據(jù)題意結(jié)合周期性、奇偶性分析運(yùn)算.

【詳解】由〃x+4)=〃x),可得是以4為周期的周期函數(shù)，

可得“2019)=/(4x505-1)=〃-1),

因?yàn)椤ㄓ?在R上是奇函數(shù)，則7(2019)=/(-1)=-/(1),

又因?yàn)楫?dāng)xe(O,2)時,/(x)=2x2,則〃2019)=-〃1)=-2.

故選：A.

7.(2019廣東?統(tǒng)考一模)設(shè)函數(shù)〃力的定義域?yàn)??,滿足/(》+1)=2〃尤)，且當(dāng)彳《0,1］時，/(x)=x(l-x).

Q

若存在了?田,利使得則加的最小值是

9578

A.—B.-C.—D.-

4233

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)/'(X)滿足〃x+l)=2〃x),求得函數(shù)在(o,l］,(1,2］,(2,3］上的值域，結(jié)合方程

Q

4(加一2)(3-根)=§,即可求解.

【詳解】由題意,因?yàn)楹瘮?shù)滿足/(x+l)=2〃x),所以/(x)=2/(D

所以當(dāng)xe(O,l］時，/(x)=x(l-x)e0,：；

當(dāng)xe(l,2］時，f(x)=2f(x-l)=2(x-l)(2-x)e0,1；

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當(dāng)X￡(2,3］時,/(x)=4/(x-2)=4(x-2)(3-x)e［0,l］.

Q78

由4(m-2)(3-m)=一，解得加=§或加=§,

結(jié)合題意，可得mN：7,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中解答中熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的值域，列

出方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.

8.(2。22?江西上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測(理))已知小若川)<2022(〃”),

則n的最大值為()

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式依次求丁(9),/(10),/(H),412)即可.

【詳解】因?yàn)楫?dāng)x>l時，/(x)=2/(x-l)+l,

所以7(9)=2〃8)+1=2(2,(7)+1)+1=4/(7)+3=8/(6)+7=16/⑸+15

/(9)=32/(4)+31=64/(3)+63=128/(2)+127=256/(1)+255,

又/⑴=2,所以/(9)=2x256+255=767,

所以f(10)=2/(9)+1=1535,/(II)=2/(10)+1=3071,/(12)=2/(11)+1=6143,

所以若/(?)<2022(“e―),則〃的最大值為10,

故選：B.

9.(2021?陜西?長安一中高二期中(文))設(shè)函數(shù)/⑺的定義域?yàn)镽,滿足了(尤+1)=2/(尤)，且當(dāng)尤e(0,l］時，

Q

/(%)=%(%-1).若對任意％W(-OO,汨，都有7(x)2-則加的最大值是()

111357

A.—B.—C.—D.一

3333

【答案】D

【分析】由題先求出x?0,3］的分段函數(shù)表達(dá)式，分析圖象變化規(guī)律，確定〃，范圍，代入給定區(qū)間表達(dá)式即

可求出.

【詳解】當(dāng)xe(0,l］時，/(x)=x(x-l),又/(x+l)=2/(x),故當(dāng)xe(0,l］時，X+1G(1,2］.

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/(x+1)=2/(x)=2x(x-l),即/(x+1)=2x(x—1),令.二九+1c(l,2),

則/⑺=2。-1)(-2),同理，當(dāng)力+。(2,3]時,{+1)=2/⑺=4(1)(52),

x(x-l),XG(0,1]

令幾=/+l?2,3],貝！]/(〃)=4(〃一2)(〃一3),整理得/(%)=<2(X—1)(X—2),XG(1,2],

4(x-2)(x-3),xe(2,3]

當(dāng)尤=|時，/11|=T，畫出大致圖象，函數(shù)類似于周期函數(shù)，每向右移一個單位，函數(shù)最小值變?yōu)樯弦?/p>

Q

個最小值2倍，由圖可知，要使對任意％w(TO,m],都有/(%)之-

用《口，"‘令/(㈤=4(m-2)(m-3)=-3'解得m=：或,(舍去)，故機(jī)的最大值是:

故選：D

10.(2019?新疆?烏市八中高二階段練習(xí)(理))已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足〃x+2)=-2〃x),當(dāng)xe(0,2]

時，f(x)=2\則在區(qū)間(4,6]上滿足〃耳=〃3)+12的實(shí)數(shù)苫的值為()

9

A.6B.5C.-D.10g221

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義求出了⑺在(4,6]上的表達(dá)式，然后解方程可得.

【詳解】0/(x+2)=-2/(x),a/(x)=-2/(x-2),

團(tuán)當(dāng)xe(2,4]時，x-2e(O,2],B/(x)=-2/(x-2)=-2x2X-2=-2r-1,

0/(3)=-23-1=^,

回當(dāng)x?4,6]時，x-2?2,4],0/(x)=-2/(x-2)=-2x,

由2、f=-4+12得，尤=5,

故選：B.

11.(2019?陜西漢中市?高三月考(文))定義在R上的函數(shù)八必滿足八尤+2)=3/(無)，且當(dāng)xeO2)時，

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f{x)=x(2-x),則函數(shù)y=/(無)-g在￡(-4,4)上的零點(diǎn)個數(shù)為

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】

由/(x+2)=3/(x),得到函數(shù)在其他區(qū)間的解析式，作出函數(shù)的圖象，將問題轉(zhuǎn)化為直線y=g與函數(shù)y=/(x)

在(T,4)上的圖象的交點(diǎn)的個數(shù)，即可求出零點(diǎn)個數(shù).

【詳解】

設(shè)xw[2,4),則X—2e[0,2).因?yàn)橛萫[0,2)時,f(x)=x(2-x),所以/(x-2)=(x-2)(4-x).因?yàn)?/p>

/(x+2)=3/(x),所以當(dāng)xe[2,4)時，/(x)=3(尤-2)(4-尤)

同理可得當(dāng)xe[-2,0)時，/(x)=-1x(x+2)；

當(dāng)無€(-4,-2)時，/(%)=-1(%+2)(%+4)=-1(x2+6%+8),此時最大值為x=-3時，f(x)=1,

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)-:在(T,4)上的零點(diǎn)個數(shù)等價于直線y=g與函數(shù)y=/(x)在(-4,4)上的圖象的交點(diǎn)

的個數(shù)，

結(jié)合"x)的圖象(如圖)，

直線〉=：與函數(shù)、=/(工)在(-4,4)上的圖象有7個交點(diǎn)，即函數(shù)y=/(x)-:在(-4,4)上有7個零點(diǎn).

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)及函數(shù)解析式的求解方法，考查了數(shù)形結(jié)合思想，利用/(x+2)=3/(x)求

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解解析式是解決本題的關(guān)鍵.

12.(2020?全國高三專題練習(xí)(理))定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足+2)=2〃尤)，當(dāng)尤?0,2)時,

,、x2-x,xe[0,l)1

〃x)=JJ若xe[rT,-2)時，t-:恒成立，則實(shí)數(shù)f的取值范圍是.

【答案】(F,-2]_(0,1]

【分析】

由分段函數(shù)根據(jù)單調(diào)性求得“X)在X€[0,2)的最小值，根據(jù)/(X+2)=2/(X)求出xe[T,-2),/(%)的最

t1

小值，將問題轉(zhuǎn)化為了(X)1Tlin解不等式即可得出結(jié)果.

【詳解】

r、，、M-x,xe[0,l)

根據(jù)已知，”[。,2)時，小)小…。

則當(dāng)Xe[0,1)時，/(X)在X=0.5處取到最小值/(0.5)=-0.25,

當(dāng)xe[1,2)時，/(%)在x=1.5處取到最小值/(1.5)=-1,

所以/⑴在尤e[0,2)時在尤=1.5處取到最小值/(1.5)=-1,

又因?yàn)椤▁+2)=2〃x),

可知當(dāng)尤e[-4,一2)時，,⑺在x=-2.5時取到最小值，且/(L5)=2/(-0.5)=4/(-2.5),則

/(-2.5)=^x/(1.5)=-0.25.

為使當(dāng)時xe[T,-2),丁恒成立，to----~~>

'/42f42/4

當(dāng)f>0時，可整理為產(chǎn)+—2W0,解得此(0,1)；

當(dāng)/<0時，可整理為?+—220,解得te(-oo,-2].

綜上，實(shí)數(shù)/的取值范圍是(-s,-2]u(0J

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵，屬于

難題.

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13.(2020?江蘇)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：/(x+2)=2/(x),且當(dāng)xe(0,2]時，f(x)=x(2-x).若

對任意的f(x)V56恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為.

【答案】13-當(dāng)

4

【分析】

直接利用關(guān)系式可得出當(dāng)xcQk,2k+2](keZ)時，/(%)=-2k[{x-2k-1)2-1]<2\結(jié)合題意可得

-26[(加-13)2-1卜56且加<13解出不等式即可求出結(jié)果.

【詳解】

當(dāng)xe(0,2]時，/(%)=%(2-X)=-[U-1)2-1]<1,由/(元+2)=2/(尤)可得，

當(dāng)xe(2,4]時，/(x)=-2[(x-3)2-l]<2；

當(dāng)xe(4,6]時，/(X)=T[(X-5)2-1]V4,

當(dāng)xeQk,2k+2](后eZ)時，/(x)=-2k[(x-2k-l)2-l]<2k,

因?yàn)?$=32,26=64,且對任意的xMm，f(x)V56恒成立，

所以-26[(租-13)2-1卜56且根<13,解得機(jī)413-乎，

故實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為13-￡.

故答案為：13-號.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識要點(diǎn)：直接利用關(guān)系式的應(yīng)用，定義域的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思

維能力，屬于難題.

14.(2019?浙江高二期末)設(shè)函數(shù)AM的定義域?yàn)镽,滿足f(x+l)=2f(x),且當(dāng)時,/(x)=x(x-l).

3,.

若對任意的X6(-°°，加1,都有/(無注-],則加的取值氾圍是.

【答案】

【分析】

由/(x+l)=2/(x),得“?=2/(尤-1),分段求解析式，結(jié)合圖象可得m的取值范圍.

【詳解】

解:.?/(%+l)=2/(x),.-./?=2/(%-1),

.尤e(0,l]時，/(尤)=尤0—1)€[—,0],

第9頁共18頁

.?.X￡(l,2]時，x-1G(0,1],/(x)=2/(x-1)=2(x-l)(x-2)e-1,0；

/.x￡(2,3]時，X-1G(1,2],/(x)=2/(x_1)=4(x-2)(%-3)e[-l,0]；

/.%￡(3,4]時，X-1G(2,3],/(%)=2于(x-1)=8(%-3)(x-4)G[-2,0]；

當(dāng)xe(3,4]時，由8(x-3)(x-4)=解得x=?或x=：，

244

313

若對任意無e(F,m|,都有了⑺之一：，則mW

故答案為1-00,'.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，訓(xùn)練了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，

屬中檔題.

15.(2023?全國?高三專題練習(xí))定義在R上函數(shù)人力滿足+=尤)，且當(dāng)xe[(M)時，

/(x)=l-|2x-l|.若當(dāng)時，〃尤)V上，則加的最小值等于.

【答案】V

4

【分析】轉(zhuǎn)化條件為在區(qū)間[〃,〃+l)(〃eZ)上，〃尤)=￡[1_|2A+作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)

合即可得解.

【詳解】當(dāng)》中,2)時，故〃口=；〃工-1)=；(1_|2》一3|),

當(dāng)xe[2,3)時，故〃x)=g〃xT)=；(lT2A5l..,

第10頁共18頁

可得在區(qū)間[〃,〃+1乂〃eZ)上，/(x)=^[l-|2x-(2n+1)|]<卷,

所以當(dāng)時，作函數(shù)y=/(x)的圖象，如圖所示,

16

(，4＞寸，由/(x)="(l_|2x_7|)=。得15

當(dāng)xex=一

4

由圖象可知當(dāng)無冷時，”小人，所以加的最小值為?

4''164

故答案為：V-

4

16.(2024?全國?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,〃x+l)為奇函數(shù)，〃x+2)為偶函數(shù)，且當(dāng)xe[l,2]

時，f(x)=log2x,則/(1)+〃2)+〃3)+…+”2023)=

【答案】1

【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到〃尤)的一個周期為4,再結(jié)合題意求得〃1),/(2),“3),〃4),進(jìn)

而求解即可.

【詳解】由〃x+l)為奇函數(shù)，則=

又〃x+2)為偶函數(shù)，則f(-x+2)=/(x+2),用x+1替換x,貝！］/(—x+l)=f(x+3),

所以/■(x+3)=—/(x+1),用—I替換無，則/(x+2)=—/(x),

所以/(x+4)=—〃x+2)=〃x),即〃x)的一個周期為4,

又當(dāng)xe［1,2］時，/(x)=log2x,

則/(1)=噫1=0,/(2)=log22=l,

所以〃3)=/(1)=0,/(4)=-/(2)=-1,

第11頁共18頁

所以〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=O,

故/。)+〃2)+/(3)+…+/(2023)=/(l)+〃2)+/(3)=l.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性，考查考生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力.

17.(2023?廣東?校聯(lián)考二模)設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)镽,且/(X+1)是偶函數(shù)，若"1)=7,則

/(2023)+/(2024)=.

【答案】-7

【分析】根據(jù)所給函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)周期，利用周期化簡即可得解.

【詳解】因?yàn)椤墒瞧婧瘮?shù)，且〃x+l)是偶函數(shù)，

所以/?(尤+1)=/(—》+1)=—/(%—1),

所以〃x+2)=—〃x),Up/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

故是4為周期的周期函數(shù)，且有，(。)=0,

貝IJ"2023)+/(2024)=/(-1)+/(0)=-/(1)=-7.

故答案為：-7

18.(2023?陜西商洛?鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)镽,為偶函數(shù)，〃x+l)為奇

函數(shù)，貝°"2023)=.

【答案】0

【分析】根據(jù)已知條件可知f(x)關(guān)于點(diǎn)。,0)中心對稱，結(jié)合偶函數(shù)定義可推導(dǎo)得到f(x)的周期，根據(jù)周

期性和奇偶性可得"2023)=/(-1)=/(1).

【詳解】Q〃x+1)為奇函數(shù)，\/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對稱，.?.F(X+2)+〃T)=0,

又定義域?yàn)镽，=

為偶函數(shù)，，/(x)=/(-x)=—〃x+2),.?.〃x+4)=—f(x+2)=〃x),

\是周期為4的周期函數(shù)，

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/(2023)=/(4X506-1)=/(-1)=/(1)=0.

故答案為：0.

19.(2020?陜西榆林?陜西省神木中學(xué)?？家荒?設(shè)無)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x,恒有

/(x+4)=f(x).當(dāng)xa0,2］時，/(x)=2x-x2,則“2019)=.

【答案】-1

【分析】由題意可得函數(shù)的周期為4,然后利用函數(shù)的周期性和奇偶性可求得結(jié)果

【詳解】因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)x,恒有〃x+4)=/(x),

所以/(x)是以4為周期的周期函數(shù),

因?yàn)椤癤)是定義在R上的奇函數(shù)，xw［0,2］時，“尤)=2尤-f,

所以/(2019)=/(505x4-l)=/(-1)=-/(1)=-(2x1-1)=-1,

故答案為：-1

20.(2023?黑龍江佳木斯?佳木斯一中?？寄M預(yù)測)定義在R上的函數(shù)“X)滿足/⑺=J",且當(dāng)

XG[0,4),/(X)=X+1,貝I]"2023)=

【答案】y/0.25

4

【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性即可代入求解.

［詳解］由可得/口+a=，所以“X+8)=/\+4)寸(x),故“X)為周期函數(shù)，

且周期為8,

了(2。23)”尸點(diǎn)=；,

故答案為：:

4

2023

21.(2023?山東煙臺?統(tǒng)考三模)已知定義在R上的偶函數(shù)/⑺，滿足/(x+2)=-/(x),若工/伏)=T，

k=T

則〃0)的值為.

【答案】1

2023

【分析】根據(jù)〃x+2)=-〃x)得“X)的周期為4,且/⑴+〃2)+/(3)+〃4)=0,再由乞/(卯=-1可

k=l

得答案.

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【詳解】因?yàn)椤▁+2)=—〃x),所以〃x+4)=-〃x+2)=〃x),所以的周期為4,

所以"2)=-〃0),/(3)=-/(1),/(4)=-/(2)=/(0),

即〃1)+/(2)+/⑶+〃4)="1)-〃0)-了(1)+〃0)=0,

2023

若￡/(上=-1,則/(1)+〃2)+〃3)+〃4)++/(2023)=-1,

k=\

Qp505x[f(l)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(l)+f(2)+/(3)=-l,

可得〃1)+/(2)+〃3)=〃1)一〃0)—〃1)=-1,所以"0)=1.

故答案為：L

22.(2021?全國?高一專題練習(xí))定義在R上的函數(shù)AM滿足/(X+1)=；/(》)，且當(dāng)無武0』時，

/(x)=2-|4x-2|,若當(dāng)無e氏內(nèi))時，/(%)<-,則％的最小值是.

【答案】？

0

【分析】根據(jù)已知條件分別求出xe[l,2],xe[2,3],xe[3,4]的解析式，再作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即

可求解.

【詳解】由/(x+1)=；于(X)可得/(x)=1/(x-l)

當(dāng)尤e[l,2]時，X-1G[0,1],/(x)=1/(x-l)=|(2-|4.r-4-2|)=|(2-|4%-6|),

當(dāng)xe[2,3]時，x-le[l,2]

/?=1/(^-l)=|xl(2-|4(x-l)-6|)=|(2-|4x-10|),

當(dāng)xe[3,4]時，x-le[2,3]

/(x)=1/(x-l)=1xl(2-|4(x-l)-10|)=^(2-|4x-14|),

作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示：

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7H

解得：王或

66

11?

當(dāng)時，/(入了入恒成立，

當(dāng)xe［2,3］時，/(x)=1(2-|4x-10|),

當(dāng)尤=|時〃，).=/［曰="|2—卜、|一1。:|,

2

所以當(dāng)工22時，恒成立，

11?

綜上所述：當(dāng)工之7時，/(元)(丁恒成立，

69

若當(dāng)無￡法,+8)時，/(%)?2!，則上的最小值是1?1,

96

故答案為：

6

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■真題實(shí)戰(zhàn)演練

23.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,1./(%+y)+f(x-y)=/(%)/(j),/(I)=1,則

22

()

k=T

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個周期為6,求出函數(shù)一個周期中的/。)"(2),,/(6)

的值，即可解出.

【詳解】［方法一］：賦值加性質(zhì)

因?yàn)椤?y)+〃x_y)=/(x)/(y),令尤=l,y=0可得，2/(1)=/(1)/(0),所以〃0)=2,令x=0可得，

/(y)+/(-y)=2/(y),即/'(y)=〃r),所以函數(shù)外可為偶函數(shù)，令y=i得，

/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有f(x+2)+f(x)=t(x+l),從而可知J(x+2)=—〃x—l),

/(x-l)=-/(x-4),故〃x+2)=〃x-4),即/(x)=/(x+6),所以函數(shù)的一個周期為6.因?yàn)?/p>

/(2)=/(1)-/(0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,

/(5)=/(—1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一個周期內(nèi)的/。)+/(2)++f(6)=0.由于22除以6余4,

22

所以2/僅)=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1-1-2-1=-3.故選：A.

k=l

［方法二］:【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)

由〃x+y)+/(x-y)=〃x)〃y),聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式

cos(尤+y)+cos(x-y)=2cosxcosy,可設(shè)=acoso龍,則由方法一中/⑼=2,/1⑴=1知a=2,acos0=l,

171

解得COSG=;;,取@==，

23

所以/(x)=2cos§x,則

/(■^+y)+/(-^-y)=2cos^x+^^+2cos^yx-y^=4cosyxcosyy=/(x)/(y),所以=2cos(x

7=也=6

符合條件，因此Ax)的周期至一°,/(0)=2,/(1)=1,且

3

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/(2)=-1,/(3)=-2,/(4)=-1J⑸=1,〃6)=2,所以/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

由于22除以6余4,

22

所以Z〃Z)=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1_1_2_1=_3.故選：A.

k=l

【整體點(diǎn)評】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；

法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，

簡單明了，是該題的最優(yōu)解.

24.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,“X+2)為偶函數(shù)，f(2x+l)為奇函數(shù)，則

()

A.=0B./(-1)=0C.42)=0D."4)=0

【答案】B

【分析】推導(dǎo)出函數(shù)/'(》)是以4為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出了⑴=0,結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x+2)為偶函數(shù)，則〃2+力=〃2-x),可得4%+3)=/(1—%),

因?yàn)楹瘮?shù)〃2x+l)為奇函數(shù)，則〃l—2x)=-〃