2022-2023學年福建省三明一中數(shù)學高三第一學期期末監(jiān)測試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,,若,則向量在向量方向的投影為()A. B. C. D.2.如圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象,為了得到這個函數(shù)的圖象,只需將的圖象上的所有的點()A.向左平移個長度單位,再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?,縱坐標不變B.向左平移個長度單位,再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標不變C.向左平移個長度單位,再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變D.向左平移個長度單位,再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標不變3.函數(shù)(其中,,)的圖象如圖,則此函數(shù)表達式為()A. B.C. D.4.函數(shù)在上的大致圖象是()A. B.C. D.5.已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸為,將函數(shù)的圖象向右平行移動個單位長度后得到函數(shù)圖象,則函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.6.正方形的邊長為,是正方形內(nèi)部(不包括正方形的邊)一點,且,則的最小值為()A. B. C. D.7.已知函數(shù)(,是常數(shù),其中且)的大致圖象如圖所示,下列關于,的表述正確的是()A., B.,C., D.,8.記其中表示不大于x的最大整數(shù),若方程在在有7個不同的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍()A. B. C. D.9.復數(shù)(為虛數(shù)單位),則等于()A.3 B.C.2 D.10.已知集合,,則()A. B.C. D.11.集合,則()A. B. C. D.12.要得到函數(shù)的圖像,只需把函數(shù)的圖像()A.向左平移個單位 B.向左平移個單位C.向右平移個單位 D.向右平移個單位二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(5分)已知為實數(shù),向量,,且,則____________.14.經(jīng)過橢圓中心的直線與橢圓相交于、兩點(點在第一象限),過點作軸的垂線,垂足為點.設直線與橢圓的另一個交點為.則的值是________________.15.在平面直角坐標系中,點在曲線:上,且在第四象限內(nèi).已知曲線在點處的切線為,則實數(shù)的值為__________.16.點是曲線()圖象上的一個定點,過點的切線方程為,則實數(shù)k的值為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱柱中,底面是正方形,平面平面,,.過頂點,的平面與棱,分別交于,兩點.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求證:四邊形是平行四邊形;(Ⅲ)若,試判斷二面角的大小能否為?說明理由.18.(12分)如圖,在四面體中,.(1)求證:平面平面;(2)若,二面角為,求異面直線與所成角的余弦值.19.(12分)已知函數(shù)(mR)的導函數(shù)為.(1)若函數(shù)存在極值,求m的取值范圍;(2)設函數(shù)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)),對任意mR,若關于x的不等式在(0,)上恒成立,求正整數(shù)k的取值集合.20.(12分)對于非負整數(shù)集合(非空),若對任意,或者,或者,則稱為一個好集合.以下記為的元素個數(shù).(1)給出所有的元素均小于的好集合.(給出結(jié)論即可)(2)求出所有滿足的好集合.(同時說明理由)(3)若好集合滿足,求證:中存在元素,使得中所有元素均為的整數(shù)倍.21.(12分)已知函數(shù),.(1)討論的單調(diào)性;(2)若存在兩個極值點,,證明:.22.(10分)已知.(1)若是上的增函數(shù),求的取值范圍;(2)若函數(shù)有兩個極值點,判斷函數(shù)零點的個數(shù).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由,,,再由向量在向量方向的投影為化簡運算即可【詳解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影為.故選:B.【點睛】本題考查向量投影的幾何意義,屬于基礎題2、A【解析】

由函數(shù)的最大值求出,根據(jù)周期求出,由五點畫法中的點坐標求出,進而求出的解析式,與對比結(jié)合坐標變換關系,即可求出結(jié)論.【詳解】由圖可知,,又,,又,,,為了得到這個函數(shù)的圖象,只需將的圖象上的所有向左平移個長度單位,得到的圖象,再將的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變)即可.故選:A【點睛】本題考查函數(shù)的圖象求解析式,考查函數(shù)圖象間的變換關系,屬于中檔題.3、B【解析】

由圖象的頂點坐標求出,由周期求出,通過圖象經(jīng)過點,求出,從而得出函數(shù)解析式.【詳解】解:由圖象知,,則,圖中的點應對應正弦曲線中的點,所以,解得,故函數(shù)表達式為.故選:B.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象及性質(zhì),三角函數(shù)的解析式等基礎知識;考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想,數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎題.4、D【解析】

討論的取值范圍,然后對函數(shù)進行求導,利用導數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】當時,,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,則,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),當時,,故切線的斜率變小,當時,,故切線的斜率變大,可排除A、B;當時,,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,,當時,,故切線的斜率變大,當時,,故切線的斜率變小,可排除C,故選:D【點睛】本題考查了識別函數(shù)的圖像,考查了導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系以及導數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.5、C【解析】

根據(jù)輔助角公式化簡三角函數(shù)式,結(jié)合為函數(shù)的一條對稱軸可求得,代入輔助角公式得的解析式.根據(jù)三角函數(shù)圖像平移變換,即可求得函數(shù)的解析式.【詳解】函數(shù),由輔助角公式化簡可得,因為為函數(shù)圖象的一條對稱軸,代入可得,即,化簡可解得,即,所以將函數(shù)的圖象向右平行移動個單位長度可得,則,故選:C.【點睛】本題考查了輔助角化簡三角函數(shù)式的應用,三角函數(shù)對稱軸的應用,三角函數(shù)圖像平移變換的應用,屬于中檔題.6、C【解析】

分別以直線為軸,直線為軸建立平面直角坐標系,設,根據(jù),可求,而,化簡求解.【詳解】解:建立以為原點,以直線為軸,直線為軸的平面直角坐標系.設,,,則,,由,即,得.所以=,所以當時,的最小值為.故選:C.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示,屬于基礎題.7、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項.【詳解】從題設中提供的圖像可以看出,故得,故選:D.【點睛】本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征,本題屬于基礎題.8、D【解析】

做出函數(shù)的圖象,問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在有7個交點,而函數(shù)在上有3個交點,則在上有4個不同的交點,數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示,由圖可知方程在上有3個不同的實數(shù)根,則在上有4個不同的實數(shù)根,當直線經(jīng)過時,;當直線經(jīng)過時,,可知當時,直線與的圖象在上有4個交點,即方程,在上有4個不同的實數(shù)根.故選:D.【點睛】本題考查方程根的個數(shù)求參數(shù),利用函數(shù)零點和方程之間的關系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點是解題的關鍵,運用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點問題的基本思想,屬于中檔題.9、D【解析】

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,從而求得,然后直接利用復數(shù)模的公式求解.【詳解】,所以,,故選:D.【點睛】該題考查的是有關復數(shù)的問題,涉及到的知識點有復數(shù)的乘除運算,復數(shù)的共軛復數(shù),復數(shù)的模,屬于基礎題目.10、C【解析】

求出集合,計算出和,即可得出結(jié)論.【詳解】,,,.故選:C.【點睛】本題考查交集和并集的計算,考查計算能力,屬于基礎題.11、D【解析】

利用交集的定義直接計算即可.【詳解】,故,故選:D.【點睛】本題考查集合的交運算,注意常見集合的符號表示,本題屬于基礎題.12、A【解析】

運用輔助角公式將兩個函數(shù)公式進行變形得以及,按四個選項分別對變形,整理后與對比,從而可選出正確答案.【詳解】解:.對于A:可得.故選:A.【點睛】本題考查了三角函數(shù)圖像平移變換,考查了輔助角公式.本題的易錯點有兩個,一個是混淆了已知函數(shù)和目標函數(shù);二是在平移時,忘記乘了自變量前的系數(shù).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、5【解析】

由,,且,得,解得,則,則.14、【解析】

作出圖形,設點,則、,設點,利用點差法得出,利用斜率公式得出,進而可得出,可得出,由此可求得的值.【詳解】設點,則、,設點,則,兩式相減得,即,即,由斜率公式得,,,故,因此,.故答案為:.【點睛】本題考查橢圓中角的余弦值的求解,涉及了點差法與斜率公式的應用,考查計算能力,屬于中等題.15、【解析】

先設切點,然后對求導,根據(jù)切線方程的斜率求出切點的橫坐標,代入原函數(shù)求出切點的縱坐標,即可得出切得,最后將切點代入切線方程即可求出實數(shù)的值.【詳解】解:依題意設切點,因為,則,又因為曲線在點處的切線為,,解得,又因為點在第四象限內(nèi),則,.則又因為點在切線上.所以.所以.故答案為:【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義,以及導數(shù)的運算法則和已知切線斜率求出切點坐標,本題屬于基礎題.16、1【解析】

求出導函數(shù),由切線斜率為4即導數(shù)為4求出切點橫坐標,再由切線方程得縱坐標后可求得.【詳解】設,由題意,∴,,,即,∴,.故答案為:1.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義,函數(shù)圖象某點處的切線的斜率就是該點處導數(shù)值.本題屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)不能為.【解析】

(1)由平面平面,可得平面,從而證明;(2)由平面與平面沒有交點,可得與不相交,又與共面,所以,同理可證,得證;(3)作交于點,延長交于點,連接,根據(jù)三垂線定理,確定二面角的平面角,若,,由大角對大邊知,兩者矛盾,故二面角的大小不能為.【詳解】(1)由平面平面,平面平面,且,所以平面,又平面,所以;(2)依題意都在平面上,因此平面,平面,又平面,平面,平面與平面平行,即兩個平面沒有交點,則與不相交,又與共面,所以,同理可證,所以四邊形是平行四邊形;(3)不能.如圖,作交于點,延長交于點,連接,由,,,所以平面,則平面,又,根據(jù)三垂線定理,得到,所以是二面角的平面角,若,則是等腰直角三角形,,又,所以中,由大角對大邊知,所以,這與上面相矛盾,所以二面角的大小不能為.【點睛】本題考查了立體幾何中的線線平行和垂直的判定問題,和二面角的求解問題,意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力;解答本題關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉(zhuǎn)化,屬中檔題.18、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)取中點連接,得,可得,可證,可得,進而平面,即可證明結(jié)論;(2)設分別為邊的中點,連,可得,,可得(或補角)是異面直線與所成的角,,可得,為二面角的平面角,即,設,求解,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)證明:取中點連接,由則,則,故,,平面,又平面,故平面平面(2)解法一:設分別為邊的中點,則,(或補角)是異面直線與所成的角.設為邊的中點,則,由知.又由(1)有平面,平面,所以為二面角的平面角,,設則在中,從而在中,,又,從而在中,因,,因此,異面直線與所成角的余弦值為.解法二:過點作交于點由(1)易知兩兩垂直,以為原點,射線分別為軸,軸,軸的正半軸,建立空間直角坐標系.不妨設,由,易知點的坐標分別為則顯然向量是平面的法向量已知二面角為,設,則設平面的法向量為,則令,則由由上式整理得,解之得(舍)或,因此,異面直線與所成角的余弦值為.【點睛】本題考查空間點、線、面位置關系,證明平面與平面垂直,考查空間角,涉及到二面角、異面直線所成的角,做出空間角對應的平面角是解題的關鍵,或用空間向量法求角,意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學計算能力,屬于中檔題.19、(1)(2){1,2}.【解析】

(1)求解導數(shù),表示出,再利用的導數(shù)可求m的取值范圍;(2)表示出,結(jié)合二次函數(shù)知識求出的最小值,再結(jié)合導數(shù)及基本不等式求出的最值,從而可求正整數(shù)k的取值集合.【詳解】(1)因為,所以,所以,則,由題意可知,解得;(2)由(1)可知,,所以因為整理得,設,則,所以單調(diào)遞增,又因為,所以存在,使得,設,是關于開口向上的二次函數(shù),則,設,則,令,則,所以單調(diào)遞增,因為,所以存在,使得,即,當時,,當時,,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,因為,所以,又由題意可知,所以,解得,所以正整數(shù)k的取值集合為{1,2}.【點睛】本題主要考查導數(shù)的應用,利用導數(shù)研究極值問題一般轉(zhuǎn)化為導數(shù)的零點問題,恒成立問題要逐步消去參數(shù),轉(zhuǎn)化為最值問題求解,適當構(gòu)造函數(shù)是轉(zhuǎn)化的關鍵,本題綜合性較強,難度較大,側(cè)重考查數(shù)學抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng).20、(1),,,.(2);證明見解析.(3)證明見解析.【解析】

(1)根據(jù)好集合的定義列舉即可得到結(jié)果;(2)設,其中,由知;由可知或,分別討論兩種情況可的結(jié)果;(3)記,則,設,由歸納推理可求得,從而得到,從而得到,可知存在元素滿足題意.【詳解】(1),,,.(2)設,其中,則由題意:,故,即,考慮,可知:,或,若,則考慮,,,則,,但此時,,不滿足題意;若,此時,滿足題意,,其中為相異正整數(shù).(3)記,則,首先,,設,其中,分別考慮和其他任一元素,由題意可得:也在中,而,,,對于,考慮,,其和大于,故其差,特別的,,,由,且,,以此類推:,,此時,故中存在元素,使得中所有元素均為的整數(shù)倍.【點睛】本題考查集合中的新定義問題的求解,關鍵是明確已知中所給的新定義的具體要求,根據(jù)集合元素的要求進行推理說明,對于學生分析和解決問題能力、邏輯推理能力有較高的要求,屬于較難題.21、(1)見解析;(2)見解析【解析】

(1)求得的導函數(shù),對分成兩種情況,討論的單調(diào)性.(2)由(1)判斷出的取值范圍,根據(jù)韋達定理求得的關系式,利用差比較法,計算,通過構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)證得,由此證得,進而證得不等式成立.【詳解】(1).當時,,此時在上單調(diào)遞減;當時,由解得或,∵是增函數(shù),∴此時在和單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(2)由

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