2025屆上海市寶山區(qū)數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2025屆上海市寶山區(qū)數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知且為常數(shù),圓,過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn),當(dāng)弦最短時(shí),直線的方程為,則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．52．三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，⊥底面，且，則此三棱錐外接球的半徑為（）A． B． C． D．3．下列極限為1的是（）A．（個(gè)9） B．C． D．4．將邊長(zhǎng)為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積為（）A． B． C． D．5．已知A={第一象限角}，B={銳角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C關(guān)系是()A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C6．函數(shù)是（）A．奇函數(shù) B．非奇非偶函數(shù) C．偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)7．“”是“、、”成等比數(shù)列的（）條件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要8．在△中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．己知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x0134y1469則y與x的線性回歸直線y=A．(2,5) B．(5,9) C．(0,1) D．(1,4)10．已知數(shù)列中，,則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線l在y軸上的截距為1，且垂直于直線，則的方程是____________.12．某工廠生產(chǎn)三種不同型號(hào)的產(chǎn)品,產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為的樣本,樣本中種型號(hào)產(chǎn)品有16件,那么此樣本的容量=13．_______________.14．秦九韶是我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作《數(shù)書(shū)九章》中有己知三邊求三角形面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)一為從陽(yáng)，開(kāi)平方得積.”如果把以上這段文字寫(xiě)成公式就是，其中是的內(nèi)角的對(duì)邊為.若，且，則面積的最大值為_(kāi)_______.15．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則該數(shù)列的前1025項(xiàng)的和___________.16．直線與間的距離為_(kāi)_______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，為中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值.18．已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）解關(guān)于不等式:.19．如圖，已知四棱錐，底面為菱形，，,平面，分別是的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若為上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值．20．設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為．已知，，，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，.（1）求通項(xiàng)公式；（2）若，求正整數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

由圓的方程求出圓心坐標(biāo)與半徑，結(jié)合題意，可得過(guò)圓心與點(diǎn)（1，2）的直線與直線2x﹣y＝0垂直，再由斜率的關(guān)系列式求解．【詳解】圓C：化簡(jiǎn)為圓心坐標(biāo)為，半徑為．如圖，由題意可得，當(dāng)弦最短時(shí)，過(guò)圓心與點(diǎn)（1，2）的直線與直線垂直．則，即a＝1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．一般直線和圓的題很多情況下是利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決的，聯(lián)立的時(shí)候較少；在求圓上的點(diǎn)到直線或者定點(diǎn)的距離時(shí)，一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者圓心到定點(diǎn)的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；涉及到圓的弦長(zhǎng)或者切線長(zhǎng)時(shí)，經(jīng)常用到垂徑定理.2、D【解析】

過(guò)的中心M作直線,則上任意點(diǎn)到的距離相等，過(guò)線段中點(diǎn)作平面，則面上的點(diǎn)到的距離相等，平面與的交點(diǎn)即為球心O，半徑，故選D.考點(diǎn)：求解三棱錐外接球問(wèn)題.點(diǎn)評(píng)：此題的關(guān)鍵是找到球心的位置（球心到4個(gè)頂點(diǎn)距離相等）.3、A【解析】

利用極限的運(yùn)算逐項(xiàng)求解判斷即可【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，極限為1，對(duì)于B項(xiàng)，極限不存在，對(duì)于C項(xiàng)，極限為1．對(duì)于D項(xiàng)，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的極限的運(yùn)算及性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題4、C【解析】

試題分析：將邊長(zhǎng)為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為底面為半徑為的圓、高為1的圓柱，其側(cè)面展開(kāi)圖為長(zhǎng)為，寬為1，所以所得幾何體的側(cè)面積為.故選C.5、B【解析】

由集合A，B，C，求出B與C的并集，判斷A與C的包含關(guān)系，以及A，B，C三者之間的關(guān)系即可．【詳解】由題BA，∵A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即BC，則B不一定等于A∩C，A不一定是C的真子集，三集合不一定相等，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了集合間的基本關(guān)系及運(yùn)算，熟練掌握象限角，銳角，以及小于90°的角表示的意義是解本題的關(guān)鍵，是易錯(cuò)題6、C【解析】

利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)，然后利用定義判斷出函數(shù)的奇偶性.【詳解】由誘導(dǎo)公式得，該函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，因此，函數(shù)為偶函數(shù)，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，解題時(shí)要將函數(shù)解析式進(jìn)行簡(jiǎn)化，然后利用奇偶性的定義進(jìn)行判斷，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

利用充分必要條件直接推理即可【詳解】若“、、”成等比數(shù)列，則；成立反之，若“”，如果a=b=G=0則、、”不成等比數(shù)列，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判定，熟記等比數(shù)列的性質(zhì)是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題8、C【解析】

由正弦定理分別檢驗(yàn)問(wèn)題的充分性和必要性，可得答案.【詳解】解：充分性：在△中，由，可得,所以,故充分性成立；必要性：在△中，由及正弦定理，可得，可得,,故，必要性成立；故可得：在△中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，則“”是“”的充分必要條件，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷，相對(duì)不難，注意正弦定理的靈活運(yùn)用.9、A【解析】

分別求出x,y均值即得．【詳解】x=0+1+3+44=2，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線方程，線性回歸直線一定過(guò)點(diǎn)(x10、B【解析】

由數(shù)列的遞推關(guān)系，可得數(shù)列的周期性，再求解即可.【詳解】解:因?yàn)?①則,②①+②有:,即,則,即數(shù)列的周期為6,又,得，,則,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，重點(diǎn)考查了數(shù)列周期性的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、；【解析】試題分析：設(shè)垂直于直線的直線為，因?yàn)橹本€在軸上的截距為，所以，所以直線的方程是.考點(diǎn)：兩直線的垂直關(guān)系.12、1．【解析】

解：A種型號(hào)產(chǎn)品所占的比例為2/(2+3+5)=2/10，16÷2/10=1，故樣本容量n=1，13、2【解析】

利用裂項(xiàng)求和法將化簡(jiǎn)為，再求極限即可.【詳解】令...故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列求和中的列項(xiàng)求和，同時(shí)考查了極限的求法，屬于中檔題.14、【解析】

根據(jù)正弦定理和余弦定理，由可得，再由及函數(shù)求最值的知識(shí)，即可求解.【詳解】，又，，時(shí)，面積的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了理解辨析能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.15、2039【解析】

根據(jù)所給分段函數(shù),依次列舉出當(dāng)時(shí)的值,即可求得的值.【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,,共1個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共3個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共7個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共15個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共31個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共63個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共127個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共255個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共511個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共1個(gè)2.所以由以上可知故答案為:2039【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用,由所給式子列舉出各個(gè)項(xiàng),即可求和,屬于中檔題.16、【解析】

根據(jù)兩平行線間的距離，，代入相應(yīng)的數(shù)據(jù)，整理計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)橹本€與互相平行，所以根據(jù)平行線間的距離公式，可以得到它們之間的距離，.【點(diǎn)睛】本題考查兩平行線間的距離公式，屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】

(1)連接交于,連接,再證明即可.(2)根據(jù)(1)中的可知異面直線與所成角的為,再計(jì)算的各邊長(zhǎng)分析出為直角三角形,繼而求得即可.【詳解】(1)連接交于,連接.則為中點(diǎn)因?yàn)榉謩e為中點(diǎn),故為中位線,故.又面,面.故平面.(2)由(1)有異面直線與所成角即為與所成角即,設(shè)正四棱錐的各邊長(zhǎng)均為2,則,,.因?yàn)?故.則.即異面直線與所成角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的證明以及異面角的余弦求解,需要根據(jù)題意找到中位線證明線面平行,同時(shí)要將異面角利用平行轉(zhuǎn)換為平面角,利用三角形中的關(guān)系求解.屬于基礎(chǔ)題.18、（1）2，證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）由函數(shù)為奇函數(shù)，得，化簡(jiǎn)得，所以，.再轉(zhuǎn)化函數(shù)為，由定義法證明單調(diào)性.（2）將可化為，構(gòu)造函數(shù)，再由在上是單調(diào)遞增函數(shù)求解.【詳解】（1）根據(jù)題意，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即，即，即，化簡(jiǎn)得，所以.所以，證明：任取且，則因?yàn)?，所以，，，，所以∴，所以在上單調(diào)遞增；（2）可化為，設(shè)函數(shù)，由(1)可知，在上也是單調(diào)遞增，所以，即，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.19、(1)見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）證明，利用平面即可證得，問(wèn)題得證．（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接.當(dāng)與垂直時(shí)，與平面所成最大角，利用該最大角的正切值為即可求得，證明就是二面角的一個(gè)平面角，解即可．【詳解】（1）因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以為等邊三角形，又為中點(diǎn)所以，又所以因?yàn)槠矫妫矫嫠?，又所以平面?）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接當(dāng)與垂直時(shí)，與平面所成最大角.由（1）得，此時(shí).所以就是與平面所成的角.在中，由題意可得：,又所以.設(shè)，在中由等面積法得：解得：，所以因?yàn)槠矫?，平面所以平面平面，又平面平面，，平面所以平面，又平面所以，又，所以平面，所以所以就是二面角的一個(gè)平面角因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且所以，又所以在中，求得：,,由可得：,即：，解得：所以所以所以二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的證明，考查了轉(zhuǎn)化能力，還考查了線面角知識(shí)，考查了二面角的平面角作法，考查空間思維能力及解三角形，考查了方程思想及計(jì)算能力，屬于難題．20、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】

（1）利用前10項(xiàng)和與首項(xiàng)、公差的關(guān)系，聯(lián)立方程組計(jì)算即可；（2）當(dāng)d＞1時(shí)，由（1）知cn，寫(xiě)出Tn、Tn的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可．【詳解】解：（1）設(shè)a1＝a，由題意可得，解得，或，當(dāng)時(shí)，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；當(dāng)時(shí)，an（2n+79），bn＝9?；（2）當(dāng)d＞1時(shí)，由（1）知a