2025屆黑龍江省大慶四中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測模擬試題含解析

2025屆黑龍江省大慶四中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設(shè)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若最大值為5，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．2．如圖，在平面四邊形ABCD中，若點(diǎn)E為邊CD上的動點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．3．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共線，則四邊形ABCD為()A．平行四邊形 B．矩形 C．梯形 D．菱形4．過點(diǎn)且與點(diǎn)距離最大的直線方程是（）A． B．C． D．5．某單位共有老年人180人,中年人540人,青年人a人,為調(diào)查身體健康狀況,需要從中抽取一個容量為m的樣本，用分層抽樣方法抽取進(jìn)行調(diào)查，樣本中的中年人為6人,則a和m的值不可以是下列四個選項中的哪組（）A．a(chǎn)=810,m=17 B．a(chǎn)=450,m=14C．a(chǎn)=720,m=16 D．a(chǎn)=360,m=126．設(shè)集合A={x|x≥–3}，B={x|–3<x<1}，則A∪B=()A．{x|x>–3} B．{x|x<1}C．{x|x≥–3} D．{x|–3≤x<1}7．圓關(guān)于原點(diǎn)對稱的圓的方程為()A． B．C． D．8．某校高二理（1）班學(xué)習(xí)興趣小組為了調(diào)查學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例，設(shè)計了如下調(diào)查方法：（1）在本校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，并編號1，2，3，…，100；（2）在箱內(nèi)放置了兩個黃球和三個紅球，讓抽取到的100名學(xué)生分別從箱中隨機(jī)摸出一球，記住其顏色并放回；（3）請下列兩類學(xué)生站出來，一是摸到黃球且編號數(shù)為奇數(shù)的學(xué)生，二是摸到紅球且不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生。若共有32名學(xué)生站出來，那么請用統(tǒng)計的知識估計該校學(xué)生中喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例大約是（）A．80% B．85% C．90% D．92%9．直線經(jīng)過點(diǎn)和，則直線的傾斜角為（）A． B． C． D．10．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，那么__________．12．已知兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線的方程為_________.13．用數(shù)學(xué)歸納法證明時，從“到”，左邊需增乘的代數(shù)式是___________.14．若，則的取值范圍是________.15．若，則=.16．若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量，，.（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求向量與的夾角.18．已知函數(shù).（1）求在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在的值域.19．在等差數(shù)列{an}中，2a9＝a12+13，a3＝7，其前n項和為Sn．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求數(shù)列{}的前n項和Tn，并證明Tn＜．20．如圖,在△ABC中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以點(diǎn)A為圓心,r=2為半徑作一個圓,設(shè)PQ為圓A的一條直徑.(1)請用表示,用表示;(2)記∠BAP=θ,求的最大值.21．設(shè)全集為，集合，集合.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

，故的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)軸時，最小，此時，計算得到答案.【詳解】，最大值為5，故的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)軸時，最小，此時，即又因為，可得，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.2、A【解析】

分析：由題意可得為等腰三角形，為等邊三角形，把數(shù)量積分拆，設(shè)，數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，用函數(shù)可求得最小值。詳解：連接BD,取AD中點(diǎn)為O,可知為等腰三角形，而，所以為等邊三角形，。設(shè)=所以當(dāng)時，上式取最小值，選A.點(diǎn)睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時利用向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。3、C【解析】∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，與不平行，∴四邊形ABCD為梯形．4、C【解析】

過點(diǎn)且與點(diǎn)距離最大的直線滿足:，根據(jù)兩直線互相垂直，斜率的關(guān)系可以求出直線的斜率，寫出點(diǎn)斜式方程，最后化成一般方程，選出正確的選項.【詳解】因為過點(diǎn)且與點(diǎn)距離最大的直線滿足:，所以有，而，所以直線方程為，故本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與直線垂直時斜率的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.5、B【解析】

根據(jù)分層抽樣的規(guī)律，計算a和m的關(guān)系為：8+a【詳解】某單位共有老年人180人,中年人540人,青年人a人,樣本中的中年人為6人，則老年人為：180×6540=22+6+代入選項計算，B不符合故答案為B【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣，意在考查學(xué)生的計算能力.6、C【解析】

根據(jù)并集的運(yùn)算律可計算出集合A∪B.【詳解】∵A=xx≥-3，B=x故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集運(yùn)算，解題的關(guān)鍵就是并集運(yùn)算律的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

根據(jù)已知圓的方程可得其圓心，進(jìn)而可求得其關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】由圓，則圓心為，半徑，圓心為關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)為，所以圓關(guān)于原點(diǎn)對稱的圓的方程為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)圓心與半徑求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

先分別計算號數(shù)為奇數(shù)的概率、摸到黃球的概率、摸到紅球的概率，從而可得摸到黃球且號數(shù)為奇數(shù)的學(xué)生，進(jìn)而可得摸到紅球且不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生人數(shù)，由此可得估計該校學(xué)生中喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例．【詳解】解：由題意，號數(shù)為奇數(shù)的概率為0.5，摸到黃球的概率為，摸到紅球的概率為那么按概率計算摸到黃球且號數(shù)為奇數(shù)的學(xué)生有個共有32名學(xué)生站出來，則有12個摸到紅球且不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生，不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生有：，喜歡數(shù)學(xué)課的有80個，估計該校學(xué)生中喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例大約是：．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．9、D【解析】

算出直線的斜率后可得其傾斜角.【詳解】設(shè)直線的斜率為，且傾斜角為，則，根據(jù)，而，故，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查直線傾斜角的計算，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

畫出長方體,將平移至,則,則即為異面直線與所成角,由余弦定理即可求解.【詳解】根據(jù)題意,畫出長方體如下圖所示:將平移至,則即為異面直線與所成角,,由余弦定理可得故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了長方體中異面直線的夾角求法,余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2017【解析】，故，由此得.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)解析式的求解方法，考查等比數(shù)列前項和的計算公式.對于函數(shù)解析式的求法，有兩種，一種是換元法，另一種的變換法.解析中運(yùn)用的方法就是變換法，即將變換為含有的式子.也可以令.等比數(shù)列求和公式為.12、【解析】

求出直線的斜率和線段的中點(diǎn)，利用兩直線垂直時斜率之積為可得出線段的垂直平分線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式可寫出中垂線的方程．【詳解】線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，所以，線段的垂直平分線的斜率為，其方程為，即.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線方程的求解，有如下兩種方法求解：（1）求出中垂線的斜率和線段的中點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式得出中垂線所在直線方程；（2）設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)為，利用動點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等列式求出動點(diǎn)的軌跡方程，即可作為中垂線所在直線的方程．13、.【解析】

從到時左邊需增乘的代數(shù)式是，化簡即可得出．【詳解】假設(shè)時命題成立，則，當(dāng)時，從到時左邊需增乘的代數(shù)式是．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．14、【解析】

利用反函數(shù)的運(yùn)算法則，定義及其性質(zhì)，求解即可．【詳解】由，得所以，又因為，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查反余弦函數(shù)的運(yùn)算法則，反函數(shù)的定義域，考查學(xué)生計算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】.16、【解析】

利用三角函數(shù)的定義可計算出，然后利用誘導(dǎo)公式可計算出結(jié)果.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，由誘導(dǎo)公式可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式求值，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）由向量平行的坐標(biāo)表示可構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）利用向量夾角公式可求得，進(jìn)而根據(jù)向量夾角的范圍求得結(jié)果.【詳解】（1），解得：（2）又【點(diǎn)睛】本題考查平面向量共線的坐標(biāo)表示、向量夾角的求解問題；考查學(xué)生對于平面向量坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算掌握的熟練程度，屬于基礎(chǔ)應(yīng)用問題.18、(1)和.(2)【解析】

（1）利用輔助角公式可將函數(shù)化簡為；令可求出的單調(diào)遞增區(qū)間，截取在上的部分即可得到所求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）利用的范圍可求得的范圍，對應(yīng)正弦函數(shù)的圖象可求得的范圍，進(jìn)而得到函數(shù)的值域.【詳解】（1）令，解得：令，可知在上單調(diào)遞增令，可知在上單調(diào)遞增在上的單調(diào)遞增區(qū)間為：和（2）當(dāng)時，即在的值域為：【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間和值域的求解問題；解決此類問題的常用方法是采用整體對應(yīng)的方式，將整體對應(yīng)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或整體所處的范圍，從而結(jié)合正弦函數(shù)的知識可求得結(jié)果.19、（1）（2）見解析【解析】

（1）等差數(shù)列{an}的公差設(shè)為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項公式，解方程可得首項和公差，進(jìn)而得到所求通項公式；（2）運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，求得（），再由數(shù)列的裂項相消求和可得Tn，再由不等式的性質(zhì)即可得證．【詳解】（1）等差數(shù)列{an}的公差設(shè)為d，2a9＝a12+13，a3＝7，可得2（a1+8d）＝a1+11d+13，a1+2d＝7，解得a1＝3，d＝2，則an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）Snn（3+2n+1）＝n（n+2），（），前n項和Tn（1）（1）（）．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運(yùn)用，以及數(shù)列的裂項相消求和，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．20、（1）；（2）22.【解析】

利用向量的三角形法則即可求得答案由，，可得，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示的表達(dá)式，利用三角函數(shù)知識可求最值【詳解】(1)=-.(2)∵∠BAC=60°,設(shè)∠BAP=θ,∴∠CAP=60°+θ,∵AB=8,AC=3,AP=2,∴=()·(-)=8-6cos(θ+60°)+16cosθ=3sinθ+13cosθ+8