四川省仁壽縣青神中學(xué)新高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷及答案解析_第1頁
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文檔簡介

四川省仁壽縣青神中學(xué)新高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在棱長為a的正方體中,E、F、M分別是AB、AD、的中點,又P、Q分別在線段、上,且,設(shè)平面平面,則下列結(jié)論中不成立的是()A.平面 B.C.當(dāng)時,平面 D.當(dāng)m變化時,直線l的位置不變2.曲線在點處的切線方程為()A. B. C. D.3.已知,則下列不等式正確的是()A. B.C. D.4.設(shè)復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.5.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體中的最長棱長為()A. B. C. D.6.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時,,則使得成立的的取值范圍是()A. B.C. D.7.某幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的體積為()A. B.1 C. D.8.已知函數(shù),則在上不單調(diào)的一個充分不必要條件可以是()A. B. C.或 D.9.已知是空間中兩個不同的平面,是空間中兩條不同的直線,則下列說法正確的是()A.若,且,則B.若,且,則C.若,且,則D.若,且,則10.拋物線的焦點為,準(zhǔn)線為,,是拋物線上的兩個動點,且滿足,設(shè)線段的中點在上的投影為,則的最大值是()A. B. C. D.11.計算等于()A. B. C. D.12.2019年10月1日,中華人民共和國成立70周年,舉國同慶.將2,0,1,9,10這5個數(shù)字按照任意次序排成一行,拼成一個6位數(shù),則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個數(shù)為A.96 B.84 C.120 D.360二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,已知扇形的半徑為1,面積為,則_____.14.若向量滿足,則實數(shù)的取值范圍是____________.15.已知函數(shù),若的最小值為,則實數(shù)的取值范圍是_________16.已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=kx有兩個不同的實根,則實數(shù)k的取值范圍是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某中學(xué)準(zhǔn)備組建“文科”興趣特長社團,由課外活動小組對高一學(xué)生文科、理科進行了問卷調(diào)查,問卷共100道題,每題1分,總分100分,該課外活動小組隨機抽取了200名學(xué)生的問卷成績(單位:分)進行統(tǒng)計,將數(shù)據(jù)按照,,,,分成5組,繪制的頻率分布直方圖如圖所示,若將不低于60分的稱為“文科方向”學(xué)生,低于60分的稱為“理科方向”學(xué)生.理科方向文科方向總計男110女50總計(1)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為是否為“文科方向”與性別有關(guān)?(2)將頻率視為概率,現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3次,記被抽取的3人中“文科方向”的人數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求的分布列、期望和方差.參考公式:,其中.參考臨界值:0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82818.(12分)已知是遞增的等比數(shù)列,,且、、成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)設(shè),,求數(shù)列的前項和.19.(12分)如圖,在四棱錐中,側(cè)面為等邊三角形,且垂直于底面,,分別是的中點.(1)證明:平面平面;(2)已知點在棱上且,求直線與平面所成角的余弦值.20.(12分)在極坐標(biāo)系中,已知曲線,.(1)求曲線、的直角坐標(biāo)方程,并判斷兩曲線的形狀;(2)若曲線、交于、兩點,求兩交點間的距離.21.(12分)如圖所示,已知平面,,為等邊三角形,為邊上的中點,且.(Ⅰ)求證:面;(Ⅱ)求證:平面平面;(Ⅲ)求該幾何體的體積.22.(10分)已知是圓:的直徑,動圓過,兩點,且與直線相切.(1)若直線的方程為,求的方程;(2)在軸上是否存在一個定點,使得以為直徑的圓恰好與軸相切?若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)線面平行與垂直的判定與性質(zhì)逐個分析即可.【詳解】因為,所以,因為E、F分別是AB、AD的中點,所以,所以,因為面面,所以.選項A、D顯然成立;因為,平面,所以平面,因為平面,所以,所以B項成立;易知平面MEF,平面MPQ,而直線與不垂直,所以C項不成立.故選:C【點睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系.屬于中檔題.2、A【解析】

將點代入解析式確定參數(shù)值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率,即可由點斜式求的切線方程.【詳解】曲線,即,當(dāng)時,代入可得,所以切點坐標(biāo)為,求得導(dǎo)函數(shù)可得,由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知,由點斜式可得切線方程為,即,故選:A.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,在曲線上一點的切線方程求法,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

利用特殊值代入法,作差法,排除不符合條件的選項,得到符合條件的選項.【詳解】已知,賦值法討論的情況:(1)當(dāng)時,令,,則,,排除B、C選項;(2)當(dāng)時,令,,則,排除A選項.故選:D.【點睛】比較大小通常采用作差法,本題主要考查不等式與不等關(guān)系,不等式的基本性質(zhì),利用特殊值代入法,排除不符合條件的選項,得到符合條件的選項,是一種簡單有效的方法,屬于中等題.4、B【解析】

易得,分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知,,所以.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運算,考查學(xué)生的基本計算能力,是一道容易題.5、C【解析】

根據(jù)三視圖,可得該幾何體是一個三棱錐,并且平面SAC平面ABC,,過S作,連接BD,,再求得其它的棱長比較下結(jié)論.【詳解】如圖所示:由三視圖得:該幾何體是一個三棱錐,且平面SAC平面ABC,,過S作,連接BD,則,所以,,,,該幾何體中的最長棱長為.故選:C【點睛】本題主要考查三視圖還原幾何體,還考查了空間想象和運算求解的能力,屬于中檔題.6、D【解析】構(gòu)造函數(shù),令,則,由可得,則是區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù),且,當(dāng)x∈(0,1)時,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(-1,0)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴當(dāng)x∈(-∞,-1)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項.點睛:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān),但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系,抓住其本質(zhì),那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題,能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識,并掌握好使用的技巧和方法,這是非常必要的.根據(jù)題目的特點,構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用它的單調(diào)性進行解題,是一種常用技巧.許多問題,如果運用這種思想去解決,往往能獲得簡潔明快的思路,有著非凡的功效.7、C【解析】該幾何體為三棱錐,其直觀圖如圖所示,體積.故選.8、D【解析】

先求函數(shù)在上不單調(diào)的充要條件,即在上有解,即可得出結(jié)論.【詳解】,若在上不單調(diào),令,則函數(shù)對稱軸方程為在區(qū)間上有零點(可以用二分法求得).當(dāng)時,顯然不成立;當(dāng)時,只需或,解得或.故選:D.【點睛】本題考查含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及充分不必要條件,要注意二次函數(shù)零點的求法,屬于中檔題.9、D【解析】

利用線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理,對選項做出判斷,舉出反例排除.【詳解】解:對于,當(dāng),且,則與的位置關(guān)系不定,故錯;對于,當(dāng)時,不能判定,故錯;對于,若,且,則與的位置關(guān)系不定,故錯;對于,由可得,又,則故正確.故選:.【點睛】本題考查空間線面位置關(guān)系.判斷線面位置位置關(guān)系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理.一般可借助正方體模型,以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)確判斷.10、B【解析】

試題分析:設(shè)在直線上的投影分別是,則,,又是中點,所以,則,在中,所以,即,所以,故選B.考點:拋物線的性質(zhì).【名師點晴】在直線與拋物線的位置關(guān)系問題中,涉及到拋物線上的點到焦點的距離,焦點弦長,拋物線上的點到準(zhǔn)線(或與準(zhǔn)線平行的直線)的距離時,常常考慮用拋物線的定義進行問題的轉(zhuǎn)化.象本題弦的中點到準(zhǔn)線的距離首先等于兩點到準(zhǔn)線距離之和的一半,然后轉(zhuǎn)化為兩點到焦點的距離,從而與弦長之間可通過余弦定理建立關(guān)系.11、A【解析】

利用誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值,結(jié)合對數(shù)運算,求得所求表達(dá)式的值.【詳解】原式.故選:A【點睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式,考查對數(shù)運算,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行,得所有不以0開頭的排列數(shù)共個,其中含有2個10的排列數(shù)共個,所以產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個數(shù)為.故選B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)題意,利用扇形面積公式求出圓心角,再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出,利用向量的數(shù)量積公式求出.【詳解】設(shè)角,則,,所以在等腰三角形中,,則.故答案為:.【點睛】本題考查扇形的面積公式和向量的數(shù)量積公式,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)題意計算,解得答案.【詳解】,故,解得.故答案為:.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積,意在考查學(xué)生的計算能力.15、【解析】

,可得在時,最小值為,時,要使得最小值為,則對稱軸在1的右邊,且,求解出即滿足最小值為.【詳解】當(dāng),,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.當(dāng)時,為二次函數(shù),要想在處取最小,則對稱軸要滿足并且,即,解得.【點睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題,對每段函數(shù)先進行分類討論,找到每段的最小值,然后再對兩段函數(shù)的最小值進行比較,得到結(jié)果,題目較綜合,屬于中檔題.16、【解析】由圖可知,當(dāng)直線y=kx在直線OA與x軸(不含它們)之間時,y=kx與y=f(x)的圖像有兩個不同交點,即方程有兩個不相同的實根.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)列聯(lián)表見解析,有;(2)分布列見解析,,.【解析】

(1)由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在、之間的學(xué)生人數(shù),可得列聯(lián)表.根據(jù)列聯(lián)表計算的值,結(jié)合參考臨界值表可得到結(jié)論;(2)從該校高一學(xué)生中隨機抽取1人,求出該人為“文科方向”的概率.由題意,求出分布列,根據(jù)公式求出期望和方差.【詳解】(1)由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在之間的學(xué)生人數(shù)為,在之間的學(xué)生人數(shù)為,所以低于60分的學(xué)生人數(shù)為120.因此列聯(lián)表為理科方向文科方向總計男8030110女405090總計12080200又,所以有99%的把握認(rèn)為是否為“文科方向”與性別有關(guān).(2)易知從該校高一學(xué)生中隨機抽取1人,則該人為“文科方向”的概率為.依題意知,所以(),所以的分布列為0123P所以期望,方差.【點睛】本題考查獨立性檢驗,考查離散型隨機變量的分布列、期望和方差,屬于中檔題.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題中條件求出的值,結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可得出數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)求得,然后利用裂項相消法可求得.【詳解】(Ⅰ)設(shè)數(shù)列的公比為,由題意及,知.、、成等差數(shù)列成等差數(shù)列,,,即,解得或(舍去),.數(shù)列的通項公式為;(Ⅱ),.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項的求解,同時也考查了裂項求和法,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)由平面幾何知識可得出四邊形是平行四邊形,可得面,再由面面平行的判定可證得面面平行;(2)由(1)可知,兩兩垂直,故建立空間直角坐標(biāo)系,可求得面PAB的法向量,再運用線面角的向量求法,可求得直線與平面所成角的余弦值.【詳解】(1),,又,,,而、分別是、的中點,,故面,又且,故四邊形是平行四邊形,面,又,是面內(nèi)的兩條相交直線,故面面.(2)由(1)可知,兩兩垂直,故建系如圖所示,則,,,,設(shè)是平面PAB的法向量,,令,則,,直線NE與平面所成角的余弦值為.【點睛】本題考查空間的面面平行的判定,以及線面角的空間向量的求解方法,屬于中檔題.20、(1)表示一條直線,是圓心為,半徑為的圓;(2).【解析】

(1)直接利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程,進而可判斷出曲線的形狀,在曲線的方程兩邊同時乘以得,由可將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程,由此可判斷出曲線的形狀;(2)由直線過圓的圓心,可得出為圓的一條直徑,進而可得出.【詳解】(1),則曲線的普通方程為,曲線表示一條直線;由,得,則曲線的直角坐標(biāo)方程為,即.所以,曲線是圓心為,半徑為的圓;(2)由(1)知,點在直線上,直線過圓的圓心.因此,是圓的直徑,.【點睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化,同時也考查了直線截圓所得弦長的計算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.21、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析;(Ⅲ).【解析】

(I)取的中點,連接,通過證明四邊形為平行四邊形,證得,由此證得平面.(II)利用,證得平面,從而得到平面,由此證得平面平面.(III)作交于點,易得面,利用棱錐的體積公式,計算出棱錐的體積.【詳解】(Ⅰ)取的中點,連接,則,,故四邊形為平行四邊形.故.又面,平面,所以面.(Ⅱ)為等邊三角形,為中點,所以.又,所以面.又,故面,所以面平面.(Ⅲ)幾何體是四棱錐,作交于點,即面,.【點睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查面面垂直的證明,考查四棱錐體積的求法,考查空間想象能力,所以

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