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文檔簡介
廣東省深圳市格睿特高級(jí)中學(xué)新高考考前模擬數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某四棱錐的三視圖如圖所示,記為此棱錐所有棱的長度的集合,則().A.,且 B.,且C.,且 D.,且2.復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則()A.i B.﹣2i C.2i D.﹣i3.ΔABC中,如果lgcosA=lgsinA.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形4.若平面向量,滿足,則的最大值為()A. B. C. D.5.“幻方”最早記載于我國公元前500年的春秋時(shí)期《大戴禮》中.“階幻方”是由前個(gè)正整數(shù)組成的—個(gè)階方陣,其各行各列及兩條對(duì)角線所含的個(gè)數(shù)之和(簡稱幻和)相等,例如“3階幻方”的幻和為15(如圖所示).則“5階幻方”的幻和為()A.75 B.65 C.55 D.456.已知函數(shù)為奇函數(shù),則()A. B.1 C.2 D.37.已知向量,,則與共線的單位向量為()A. B.C.或 D.或8.已知為非零向量,“”為“”的()A.充分不必要條件 B.充分必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件9.過橢圓的左焦點(diǎn)的直線過的上頂點(diǎn),且與橢圓相交于另一點(diǎn),點(diǎn)在軸上的射影為,若,是坐標(biāo)原點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.10.設(shè),,是非零向量.若,則()A. B. C. D.11.如圖,四邊形為平行四邊形,為中點(diǎn),為的三等分點(diǎn)(靠近)若,則的值為()A. B. C. D.12.已知函數(shù),若方程恰有兩個(gè)不同實(shí)根,則正數(shù)m的取值范圍為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,滿足,則的展開式中的系數(shù)為______.14.的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為_________(用數(shù)字作答).15.(5分)國家禁毒辦于2019年11月5日至12月15日在全國青少年毒品預(yù)防教育數(shù)字化網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上開展2019年全國青少年禁毒知識(shí)答題活動(dòng),活動(dòng)期間進(jìn)入答題專區(qū),點(diǎn)擊“開始答題”按鈕后,系統(tǒng)自動(dòng)生成20道題.已知某校高二年級(jí)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)在這次活動(dòng)中答對(duì)的題數(shù)分別是,則這五位同學(xué)答對(duì)題數(shù)的方差是____________.16.四邊形中,,,,,則的最小值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線和圓,傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點(diǎn),且與圓相切.(1)求的值;(2)動(dòng)點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,動(dòng)點(diǎn)在上,若在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn),設(shè).求證點(diǎn)在定直線上,并求該定直線的方程.18.(12分)如圖,在中,角的對(duì)邊分別為,且滿足,線段的中點(diǎn)為.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)已知,求的大小.19.(12分)已知橢圓,過的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且與軸相交于點(diǎn).(1)若,求直線的方程;(2)設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,證明:直線過軸上的定點(diǎn).20.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)已知是的一個(gè)極值點(diǎn),求曲線在處的切線方程(Ⅱ)討論關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù).21.(12分)在①,②,③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中.若問題中的正整數(shù)存在,求的值;若不存在,說明理由.設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,是等差數(shù)列,__________,,,,是否存在正整數(shù),使得成立?22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,且與直角坐標(biāo)系長度單位相同的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程是.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)A,B,求線段的長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體,根據(jù)三視圖的長度,進(jìn)一步求出個(gè)各棱長.【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:該幾何體為四棱錐體,如圖所示:所以:,,.故選:D..【點(diǎn)睛】本題考查三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換,主要考查運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則實(shí)部為0,虛部不為0,求出,即得.【詳解】∵為純虛數(shù),∴,解得..故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
化簡得lgcosA=lgsinCsinB=﹣lg2,即cosA=sinCsinB=12,結(jié)合0<A<π,可求A=π【詳解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,可得lgcosA=∵0<A<π,∴A=π3,B+C=2π3,∴sinC=12sinB=12sin2π3-C=34cosC+故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用,兩角差的正弦公式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是靈活利用基本公式,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達(dá),利用向量數(shù)量積的性質(zhì),化簡為三角函數(shù)最值.【詳解】由題意可得:,,,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達(dá)是本題的關(guān)鍵點(diǎn).本題屬中檔題.5、B【解析】
計(jì)算的和,然后除以,得到“5階幻方”的幻和.【詳解】依題意“5階幻方”的幻和為,故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查合情推理與演繹推理,考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
根據(jù)整體的奇偶性和部分的奇偶性,判斷出的值.【詳解】依題意是奇函數(shù).而為奇函數(shù),為偶函數(shù),所以為偶函數(shù),故,也即,化簡得,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
根據(jù)題意得,設(shè)與共線的單位向量為,利用向量共線和單位向量模為1,列式求出即可得出答案.【詳解】因?yàn)?,,則,所以,設(shè)與共線的單位向量為,則,解得或所以與共線的單位向量為或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線定理和單位向量的定義.8、B【解析】
由數(shù)量積的定義可得,為實(shí)數(shù),則由可得,根據(jù)共線的性質(zhì),可判斷;再根據(jù)判斷,由等價(jià)法即可判斷兩命題的關(guān)系.【詳解】若成立,則,則向量與的方向相同,且,從而,所以;若,則向量與的方向相同,且,從而,所以.所以“”為“”的充分必要條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、數(shù)量積的應(yīng)用.9、D【解析】
求得點(diǎn)的坐標(biāo),由,得出,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的坐標(biāo),代入橢圓的方程,可得出關(guān)于、、的齊次等式,進(jìn)而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可得、.由,得,則,即.而,所以,所以點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,則,整理可得,所以,所以.即橢圓的離心率為故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解,解答的關(guān)鍵就是要得出、、的齊次等式,充分利用點(diǎn)在橢圓上這一條件,圍繞求點(diǎn)的坐標(biāo)來求解,考查計(jì)算能力,屬于中等題.10、D【解析】試題分析:由題意得:若,則;若,則由可知,,故也成立,故選D.考點(diǎn):平面向量數(shù)量積.【思路點(diǎn)睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點(diǎn),作為一類既能考查向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及平面幾何知識(shí),又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題,實(shí)有其合理之處.解決此類問題的常用方法是:①利用已知條件,結(jié)合平面幾何知識(shí)及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易);②將條件通過向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再利用①求解(較難);③建系,借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算,此法對(duì)解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.11、D【解析】
使用不同方法用表示出,結(jié)合平面向量的基本定理列出方程解出.【詳解】解:,又解得,所以故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的基本定理及其意義,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
當(dāng)時(shí),函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示,方程兩個(gè)不同實(shí)根,即函數(shù)和有圖像兩個(gè)交點(diǎn),計(jì)算,,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,故函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:方程,即,即函數(shù)和有兩個(gè)交點(diǎn).,,故,,,,.根據(jù)圖像知:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題,確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
根據(jù)二項(xiàng)式定理求出,然后再由二項(xiàng)式定理或多項(xiàng)式的乘法法則結(jié)合組合的知識(shí)求得系數(shù).【詳解】由題意,.∴的展開式中的系數(shù)為.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理,掌握二項(xiàng)式定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵.14、5670【解析】
根據(jù)二項(xiàng)式展開的通項(xiàng),可得二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng),可求得其系數(shù).【詳解】二項(xiàng)展開式一共有項(xiàng),所以由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng),系數(shù)為.故答案為:5670【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理展開式的應(yīng)用,由通項(xiàng)公式求二項(xiàng)式系數(shù),屬于中檔題.15、2【解析】
由這五位同學(xué)答對(duì)的題數(shù)分別是,得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù),則方差.16、【解析】
在中利用正弦定理得出,進(jìn)而可知,當(dāng)時(shí),取最小值,進(jìn)而計(jì)算出結(jié)果.【詳解】,如圖,在中,由正弦定理可得,即,故當(dāng)時(shí),取到最小值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形,同時(shí)也考查了常見的三角函數(shù)值,考查邏輯推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)點(diǎn)在定直線上.【解析】
(1)設(shè)出直線的方程為,由直線和圓相切的條件:,解得;(2)設(shè)出,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率,求得為切點(diǎn)的切線方程,再由向量的坐標(biāo)表示,可得在定直線上;【詳解】解:(1)依題意設(shè)直線的方程為,由已知得:圓的圓心,半徑,因?yàn)橹本€與圓相切,所以圓心到直線的距離,即,解得或(舍去).所以;(2)依題意設(shè),由(1)知拋物線方程為,所以,所以,設(shè),則以為切點(diǎn)的切線的斜率為,所以切線的方程為.令,,即交軸于點(diǎn)坐標(biāo)為,所以,,,.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,則,所以點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程和性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系的判斷,考查直線方程和圓方程的運(yùn)用,以及切線方程的求法,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于綜合題.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由正弦定理邊化角,再結(jié)合轉(zhuǎn)化即可求解;(Ⅱ)可設(shè),由,再由余弦定理解得,對(duì)中,由余弦定理有,通過勾股定理逆定理可得,進(jìn)而得解【詳解】(Ⅰ)由正弦定理得.而.由以上兩式得,即.由于,所以,又由于,得.(Ⅱ)設(shè),在中,由正弦定理有.由余弦定理有,整理得,由于,所以.在中,由余弦定理有.所以,所以.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理的綜合運(yùn)用,屬于中檔題19、(1)或;(2)見解析【解析】
(1)由已知條件利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程,則可表示出點(diǎn)的坐標(biāo),再由的關(guān)系表示出點(diǎn)的坐標(biāo),而點(diǎn)在橢圓上,將其坐標(biāo)代入橢圓方程中可求出直線的斜率;(2)設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),則點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示出,然后直線的方程與橢圓方程聯(lián)立成方程,消元后得到關(guān)于的一元二次方程,再利用根與系數(shù)的關(guān)系,再結(jié)合直線的方程,化簡可得結(jié)果.【詳解】(1)由條件可知直線的斜率存在,則可設(shè)直線的方程為,則,由,有,所以,由在橢圓上,則,解得,此時(shí)在橢圓內(nèi)部,所以滿足直線與橢圓相交,故所求直線方程為或.(也可聯(lián)立直線與橢圓方程,由驗(yàn)證)(2)設(shè),則,直線的方程為.由得,由,解得,,當(dāng)時(shí),,故直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】此題考查的是直線與橢圓的位置關(guān)系中的過定點(diǎn)問題,計(jì)算過程較復(fù)雜,屬于難題.20、(Ⅰ);(Ⅱ)見解析【解析】
(Ⅰ)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用x=2是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),得f'(2)=0建立方程求出a的值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可;(Ⅱ)利用參數(shù)法分離法得到,構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)?,則,因?yàn)槭堑囊粋€(gè)極值點(diǎn),所以,即,所以,因?yàn)椋?,則直線方程為,即;(Ⅱ)因?yàn)?,所以,所以,設(shè),則,所以在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),故,所以,所以,設(shè),則,所以在上是減函數(shù),上是增函數(shù),所以,所以當(dāng)時(shí),,函數(shù)在是減函數(shù),當(dāng)時(shí),,函數(shù)在是增函數(shù),因?yàn)闀r(shí),,,,所以當(dāng)時(shí),方程無實(shí)數(shù)根,當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根,當(dāng)或時(shí),方程有1個(gè)實(shí)根.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)中由極值點(diǎn)求參,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,還考查了利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的個(gè)數(shù)問題,屬于難題.21、見解析【解析】
根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及、,可求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,由即可求得的值;根據(jù)等式,變形可得,分別討論?、佗冖壑械囊粋€(gè),結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式代入化簡,檢驗(yàn)是否存在正整數(shù)的值即可.【詳解】∵在等差數(shù)列中,,∴,∴公差,∴,∴,若存在正整數(shù),使得成立,即成立,設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的公比為的公比為,若選①,∵,∴,∴,∴,∴當(dāng)時(shí),滿足成立.若選②,∵,∴,∴,∴,∴方程無正整數(shù)解,∴不存在正整數(shù)使得成立.若選③,∵,∴,∴,∴,∴解得或(舍去),∴
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