遼寧省七校協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

—2024學(xué)年度（下）七校高二聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，已知，則（）A．1 B．2 C．4 D．82．如圖，由觀測(cè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可知，與的關(guān)系可以用模型擬合，設(shè)，利用最小二乘法求得關(guān)于的回歸方程．已知，，則（）A． B． C．1 D．．3．圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（簡(jiǎn)稱）的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主題圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，則第個(gè)三角形的面積為（）A． B． C． D．4．下列說(shuō)法中正確的有（）A．已知互不相同的30個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，則剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)可能等于原樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)；B．若A、B兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，則組數(shù)據(jù)比組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性強(qiáng)；C．設(shè)隨機(jī)變量，則；D．某人參加一次游戲，游戲有三個(gè)題目，每個(gè)題目答對(duì)的概率都為0.5，答對(duì)題數(shù)多于答錯(cuò)題數(shù)可得4分，否則得2分，則某人參加游戲得分的期望為35．已知函數(shù)，曲線上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與直線平行，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，設(shè)“第一次向上的點(diǎn)數(shù)是2”為事件，“第二次向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”為事件，“兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和能被3整除”為事件，則下列說(shuō)法正確的是（）A．事件與事件互為對(duì)立事件 B．C． D．事件與事件相互不獨(dú)立7．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．是等比數(shù)列B．成等差數(shù)列，公差為－9C．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值D．時(shí)，的最大值為338．設(shè)函數(shù)，若不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（）A．若是等差數(shù)列，，則使的最大正整數(shù)的值為15B．若是等比數(shù)列，（為常數(shù)），則必有C．若是等比數(shù)列，則D．若，則數(shù)列為遞增等差數(shù)列10．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)相約去電影院看春節(jié)檔熱映的《熱辣滾燙》、《飛馳人生、《第二十條》三部電影，每人都要看且限看其中一部．記事件為“恰有兩名同學(xué)所看電影相同”，事件為“只有甲同學(xué)一人看《飛馳人生”，則（）A．四名同學(xué)看電影情況共有種B．“每部電影都有人看”的情況共有72種C．．D．“四名同學(xué)最終只看了兩部電影”的概率是11．已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)存在唯一極值點(diǎn)，且B．令，則函數(shù)無(wú)零點(diǎn)C．若恒成立，則D．若，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則使的最小正整數(shù)的值是______．13．函數(shù)．對(duì)于，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．14．已知有兩個(gè)盒子，其中盒裝有3個(gè)黑球和3個(gè)白球，盒裝有3個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．甲從A盒、乙從B盒各隨機(jī)取出一個(gè)球，若2個(gè)球同色，則甲勝，并將取出的2個(gè)球全部放入盒中，若2個(gè)球異色，則乙勝，并將取出的2個(gè)球全部放入B盒中．按上述方法重復(fù)操作兩次后，B盒中恰有7個(gè)球的概率是_______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．16．（15分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，①求；②若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17．（15分）某學(xué)校號(hào)召學(xué)生參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)，為了解學(xué)生參加活動(dòng)的情況，統(tǒng)計(jì)了全校所有學(xué)生在假期每周鍛煉的時(shí)間，現(xiàn)隨機(jī)抽取了60名同學(xué)在某一周參加鍛煉的數(shù)據(jù)，整理如下列聯(lián)表：性別不經(jīng)常鍛煉經(jīng)常鍛煉合計(jì)男生7女生1630合計(jì)21注：將一周參加鍛煉時(shí)間不小于3小時(shí)的稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”．（1）請(qǐng)完成上面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；（2）將一周參加鍛煉為0小時(shí)的稱為“極度缺乏鍛煉”．在抽取的60名同學(xué)中有5人“極度缺乏鍛煉”．以樣本頻率估計(jì)概率．若在全校抽取20名同學(xué)，設(shè)“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望和方差；（3）將一周參加鍛煉6小時(shí)以上的同學(xué)稱為“運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”．在抽取的60名同學(xué)中有10名“運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”，其中有7名男生，3名女生．為進(jìn)一步了解他們的生活習(xí)慣，在10名“運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.10.050.012.7063.8416.63518．（17分）已知函數(shù)，常數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值-2，求函數(shù)的極大值．（2）設(shè)定義在上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，當(dāng)時(shí)，若在內(nèi)恒成立，則稱點(diǎn)為的“類優(yōu)點(diǎn)”，若點(diǎn)是函數(shù)的“類優(yōu)點(diǎn)”，①求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；②求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（17分）定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“數(shù)列”．（1）已知等比數(shù)列滿足：．求證：數(shù)列為“數(shù)列”；（2）已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足：，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和．①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②設(shè)為正整數(shù)，若存在“-數(shù)列”（），對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有成立，求的最大值．高二數(shù)學(xué)聯(lián)考試題參考答案一、單選題12345678BCBDACDC二、多選題91011BDACDABD三，填空題1213141015.【詳解】（1）由題意得，，①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，解得，，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以，在上恒成立。即在上恒成立．令，當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞增，。所以，，解得，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為．16.【詳解】（1）等差數(shù)列中，設(shè)公差為，則數(shù)列中的前項(xiàng)和為，且，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，②②-①得：，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以．（2）數(shù)列中，，則，所以，對(duì)恒成立，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為．17.【詳解】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表如下；性別不經(jīng)常鍛煉經(jīng)常鍛煉合計(jì)男生72330女生141630合計(jì)213960零假設(shè)為：性別與鍛煉情況獨(dú)立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無(wú)關(guān)；根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計(jì)算可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1．（2）因?qū)W?？倢W(xué)生數(shù)遠(yuǎn)大于所抽取的學(xué)生數(shù)，故近似服從二項(xiàng)分布，易知隨機(jī)抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率，即可得，故，．（3）易知10名“運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”有7名男生，3名女生，所以的所有可能取值為，且服從超幾何分布：故所求分布列為0123可得18.【詳解】（1）由題意，，得，此時(shí)令，得或，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在與上單調(diào)遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，有極大值（2）①，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為②若點(diǎn)是函數(shù)的“類優(yōu)點(diǎn)”，令常數(shù)，則當(dāng)時(shí)，恒有，又，且令，得或則當(dāng)時(shí)，在上遞增。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，恒有成立當(dāng)時(shí)，由，得，在上遞減，。所以在，不成立。當(dāng)時(shí)，由，得，在上遞減，所以在，不成立。綜上可知，若點(diǎn)是函數(shù)的“類優(yōu)點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)19.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以由，得，解得，因此數(shù)列為“—數(shù)列”；（2）①由，得，當(dāng)時(shí)，由，得，整理得，所以數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；②由①知，，因?yàn)閿?shù)列