湖南省A佳教育2023-2024年高三年級(jí)下冊(cè)5月模擬考試數(shù)學(xué)試題含答案

湖南省A佳教育2023-2024年高三下學(xué)期5月模擬考試

A佳教育-2024年5月高三模擬考試

數(shù)學(xué)

(本試卷共5頁(yè)，19題，考試用時(shí)120分鐘，全卷滿分150分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.某臺(tái)機(jī)器每天生產(chǎn)1060。個(gè)零件，現(xiàn)連續(xù)12天檢測(cè)，得到每天的次品零件個(gè)數(shù)

依次為：8,12,9,18,16,17、15,9；18,20.13.11,則這組樣本數(shù)據(jù)的中位

數(shù)與第60百分位數(shù)之和是

A.29B.30C.30.5D.31

2.雙曲線C：4-，=1(。＞0)的上焦點(diǎn)后到雙曲線一條漸近線的距離為巴，則雙曲線

a2

兩條漸近線的斜率之積為

A.-4B.4C.-2D.2

3.已知加，〃是兩條不重合的直線.a,夕是兩個(gè)不重合由平面，下列命題正確的是

?4

A.若mHa,〃〃仇a〃￡,則加〃〃

B.若mua,nua,加〃￡,n///3,則a〃6

C.若？n_La,m//n,a_L￡,貝U

D.若加_La,nl.ft,mLn,貝！Ja_LQ

4.已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)是/'(x),且/'(x)=x3,p=]n3,q=l0gH3,則下列命題正確

的是

Af(~p)<f(q)B.-(p)>fQq)

5,若5cos2c-sin2a=—----tan22a,貝！］tana=

cos2a

A.-B.—1C.1

3

數(shù)學(xué)試題卷第1頁(yè)共5頁(yè)

6.已知一個(gè)多邊形的周長(zhǎng)等于207cm,所有各邊的長(zhǎng)成等差數(shù)列，最大的邊長(zhǎng)為42cm.

公差為3cm,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為

A.4B.6C.23D6或23

7.某大學(xué)一宿舍4名同學(xué)參加2024年研究生招生考試，其中兩人順利上初試線,還

有兩人差幾分上線，這兩名學(xué)生準(zhǔn)備從A,B,C,D,E,F這6所大學(xué)中任選三所

大學(xué)申請(qǐng)調(diào)劑，則這兩名學(xué)生在選擇了相同大學(xué)的條件下，恰好選擇了兩所相同大

學(xué)的概率為

A18口10「91

A.—B.—C.—D.—

19191919

8.已知尸2是橢圓C：4+4=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)四

ab

作直線與C交于43兩點(diǎn)，若⑷且△。"2的面積為邛火則橢圓。的

6

離心率為

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知f(x)=4sin(t?x+/)(4>0,/>0，。<9(兀)是某個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)解析式,

其部分圖象如圖所示，則下列命題正確的是

A.3=2

B.這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的初相為￡或?qū)W

OO

C./(X)在—,3n上單調(diào)遞減

2

D.將函數(shù)/(x)的圖象向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象7寸應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)

6

數(shù)學(xué)試胭卷第2頁(yè)共5頁(yè)

10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體"CO/iBiGG中，點(diǎn)P是正方體的上底而A\B\C\D\

內(nèi)(不含邊界D的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是棱8C的中點(diǎn)，則以下命題正確的是

A.三棱錐0-PC。的體積是定值

B.存在點(diǎn)P,使得P0與所成的角為60。

C.直線PQ與平面AxADDx所成角的正弦值的取值范圍為

若P*也則尸的軌跡的長(zhǎng)度為警

D.

II,已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(X),g(x),r(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足：

八x)+g(x)=-/'(4-x)+g(x-l)=2,g(x)-2是奇函數(shù)，則下列判斷正確的是

2024

A./(x)是奇函數(shù)B./'(3)=0C.g⑴+g⑵=2D,fg⑴=4048

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若定數(shù)zi,Z2是方程x2-2r+10=0的兩根，貝Uz；++2z2=.

13.已知4B=4,點(diǎn)P是以線段為直徑的圓上任意一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)4的距離是

它與點(diǎn)8的距離的尤倍，則的取值范圍為.

14.對(duì)集合A={-\,2,x,y},其中x>0,y>Q,定義向地集合C={0。=(州,〃)，加,

neA},若對(duì)任意qsC,存在。使得。則x+y=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(13分)陽(yáng)春三月，油菜花進(jìn)入最佳觀賞期，長(zhǎng)沙縣江背低、望城光明村彭家老屋、

瀏陽(yáng)達(dá)滸油菜花田、岳麓區(qū)含泰社區(qū)油菜花田都免費(fèi)向市民、游客開放，長(zhǎng)沙某三

所高級(jí)中學(xué)A.B.C組織學(xué)生去這四個(gè)兔區(qū)春游，已知A,B兩所學(xué)校去每個(gè)兔區(qū)

春游的可能性都相同，c學(xué)校去岳笳區(qū)含泰社區(qū)春游的可能性為;，去其它三個(gè)兔

區(qū)春游的可能性相同.

(J)求望城光明村彭家老屋迎來(lái)三所學(xué)校春游的概率；

(2)長(zhǎng)沙縣江背鎮(zhèn)迎來(lái)學(xué)校所數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

數(shù)學(xué)幽卷第3頁(yè)共5頁(yè)

16.(15分)如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是梯形，

BC//AD,R4=AB=BC=1,3=2,PC=6,應(yīng)J"平面

ABCD.

(1)求證：平面PBCJ■平面我8;

(2)在棱尸。上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角E-AC-P的余弦值為y--若存在,

求出PE：EO的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

17.(15分)已知拋物線E：產(chǎn)=2.(p>0)的焦點(diǎn)為死過(guò)尸且斜率為2的直繆

E交于45兩點(diǎn)，國(guó)|=10.

(1)求E的方程；

(2)直線/：x=-4,過(guò)/上一點(diǎn)尸作E的兩條切線PMPN,切點(diǎn)分別為跖N.1

證：直線跖V過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

18.(17分)已知函數(shù)/(力=四2'-(公+2-4%*+1爐

2

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

數(shù)學(xué)試題卷第4頁(yè)共5頁(yè)

19.(17分)角谷猜想，也稱為“3〃+1”猜想.其內(nèi)容是：任取一個(gè)正整數(shù)，如果是

偶數(shù)，將它除以2；如果是奇數(shù)，則將它乘以3再加上1,如此反復(fù)運(yùn)算,該數(shù)最

終將變?yōu)?.這就是對(duì)一個(gè)正整數(shù)運(yùn)算時(shí)“萬(wàn)數(shù)歸1"現(xiàn)象的猜想.假如對(duì)任意正整

數(shù)ao(aoN2),按照上述規(guī)則實(shí)施第1次運(yùn)算后的結(jié)果記為內(nèi)，實(shí)施第2次運(yùn)算后的

結(jié)果記為以，…，實(shí)施第〃-1次運(yùn)算后的結(jié)果記為(t，實(shí)施第〃次運(yùn)算后得到數(shù)

I,停止運(yùn)算,便可以得到有窮數(shù)列｛%｝：g,…，%,1,其遞推關(guān)系式為：

34+1%為奇數(shù)

a(A=0,1,2,….n—\),ao叫做數(shù)列｛為｝的原始項(xiàng).將

y4為偶數(shù)

n%+1|4為奇數(shù)

此遞推關(guān)系式推廣為：4川=〈4w座%(%=°，1，2,…，w-1;2GZ,

y/為偶數(shù)

且40),其它規(guī)則不變，得到的數(shù)列記作出叫數(shù)列，試解答以下問題:

(1)若。。=5,則數(shù)列｛3?%｝的項(xiàng)數(shù)為;

(2)求｛-1?即｝數(shù)列的原始項(xiàng)的的所有可能取值構(gòu)成的集合；

(3)若對(duì)任意的“?如數(shù)列，均有〃4210gz，+d,求d的最小值.

數(shù)學(xué)試題卷第5頁(yè)共5頁(yè)

A佳教育-2024年5月高三模擬考試

數(shù)學(xué)

(本試卷共19題，考試用時(shí)120分鐘，全卷滿分150分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.某臺(tái)機(jī)器每天生產(chǎn)10000個(gè)零件，現(xiàn)連續(xù)12天檢測(cè)，得到每天的次品零件個(gè)數(shù)

依次為：8,12,9,18,16,17,15,9,18,20,13,11,則這組樣本數(shù)據(jù)的中位

數(shù)與第60百分位數(shù)之和是

A.29B.30C.30.5D.31

【答案】B

【解析】零件個(gè)數(shù)按從小到大排列為：8,9,9,11,12,13,15,16,17,18,

18,20,所以中位數(shù)是"/=14；12x0.6=7.2,所以第60百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)

為16.故樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)與第60百分位數(shù)之和14+16=30.故選：B.

2.雙曲線C：的上焦點(diǎn)尸2到雙曲線一條漸近線的距離為白，則雙曲線

a2

兩條漸近線的斜率之積為

A.-4B.4C.-2D.2

【答案】A

【解析】尸2(0,c),設(shè)漸近線方程y=ox,由點(diǎn)到直線的距離公式可得：

C

-7—=1=^,：,a=2f兩條漸近線的斜率為質(zhì)=2,友=-2,kiki=-4.故選：A.

VI+a2

3.已知加，〃是兩條不重合的直線，a,。是兩個(gè)不重合的平面，下列命題正確的是

A.若加〃a,n〃B，a"B，J0!|m//n

B.若mua,naa,m//fi,〃〃￡,則

數(shù)學(xué)試題卷第1頁(yè)共16頁(yè)

C.若mJLa,m//nta邛,則〃_L。

D.若膽J_a,nX.fi,mLn,則以_1_￡

【答案】D

【解析】對(duì)于A,若力〃a，a//fit則〃〃以或〃ua,所以m,九相交、平行、異面

都有可能，JA錯(cuò)誤；對(duì)于B,若加ua,"U?,小〃￡,〃〃￡,則ot與￡相交或平

行，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,若/M_La,m//n,則〃_La,又aJL。，所以〃〃6或〃q?,

???C錯(cuò)誤；對(duì)于D,若加_La,n1fltm±w,則由面面垂直的判定定理得aJLQ,

，D正確.故選：D.

4.已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)是/'(X),且/'(x)=7,p=ln3,q=logn3,則下列命題正確

的是

A.f(-p)<f(q)B./?>/(2q)

【答案】B

【解析】由題意知：/(x)=ix4+c,，(x)是偶函數(shù)，且在(0,+00)上單調(diào)遞增,

4

又p=ln3>l,0<^=logu3<l,,*.0<g<l<p,"-p)=/(尸)>f⑷，：?A錯(cuò)

誤；對(duì)于B,Vvp-2g=In3-2logi13=In3-logj19>Ine-logtj11=0,

：.p>2q>Qtf(p)>/(2q),正確；對(duì)于C,由0<q<l<p,

--11c

可得：—>—>o

qp\P)

對(duì)于D,—+1--=log3e+1—log311=log3YY<log31=0,,

fl

f上+l<f,???D錯(cuò)誤.故選：B.

數(shù)學(xué)試題卷第2頁(yè)共16頁(yè)

2

5.若5cos2a-sin2a=——\----tan2at貝！)tana=

cos2a

A.-2B.-1C.1D.一1或2￡

33

【答案】A

【解析】由5cos2a-sin2a=—\—-tan22a,可得

cos2a

5(cos2a-sin2a)-2sinacosa=——l——-=1=sin2a+cos24(cos2a#0),兩邊同

cos2acos22a

2

豺除以2cos2”，并整理可得：3tan2a+tana-2=0,解得：tana=§或tana=-1,當(dāng)

2

tana=-l時(shí)，sina=-cosa,cos2a=0,不符合題意，舍去..*.tana=—.故選：A.

6.已知一個(gè)多邊形的周長(zhǎng)等于207cm,所有各邊的長(zhǎng)成等差數(shù)冽，最大的邊長(zhǎng)為42cm,

公差為3cm,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為

A.4B.6C.23D.6或23

【答案】B

【解析】設(shè)多邊形的邊數(shù)為n,最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為為=42,最短邊長(zhǎng)為斯，則公差〃=-3,

且詼>0,由多邊形的周長(zhǎng)等于207cm,可得42〃+及匚?X(-3)=207,解得：n=6

2

或〃二23,當(dāng)〃=6時(shí)，G6=42+5x(-3)=27,符合題意；當(dāng)〃=23時(shí)，

a23=42+22x(-3)=-24<0,不符領(lǐng)意，舍去.綜上可知：n=6.故選：B.

7.某大學(xué)一宿舍4名同學(xué)參加2024年研究生招生考試，其中兩人順利上初試線，還

有兩人差幾分上線，這兩名學(xué)生準(zhǔn)備從A,B,C,D,E,F這6所大學(xué)中任選三所

大學(xué)申請(qǐng)調(diào)劑，則這兩名學(xué)生在選擇了相同大學(xué)的條件下，恰好選擇了兩所相同大

學(xué)的概率為

【答案】C

數(shù)學(xué)試題卷第3頁(yè)共16頁(yè)

【解析】由題意可知：這兩名學(xué)生恰好選擇了兩所相同大學(xué)的方法總數(shù)為：

C"CxC=180,這兩名學(xué)生選擇了相同大學(xué)的方法總數(shù)為：

CxCxC+CxCxC+C=380,工尸=鬻=4.故選：C.

22

8.已知乃，后是橢圓C：5+多=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)B

alr

作直線與。交于4。兩點(diǎn)，若M尸2|="|,且△。4%的面積為季氏則橢圓。的

6

離心率為

A.正B.@C.3D.迫

12632

【答案】C

【解析】設(shè)/為4%=&則以心=2x包反二加班”.?.6=3,由

L\UAr2623

ir

\AF^=\AB\,ZBAF2=-,可得△/研為正三角形，

???4?=幽+|典|+⑷=3|盟|,???|網(wǎng)卷，胸|哼=|明,??尸1是"的

22=

中點(diǎn)，???ZB_LFIF2,??.(竺)=4c+f—"I,Ae=4Le=^~.故選：C.

I3)I3)a133

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知，(x)=/sin3x+e)(2>0,t?>0,0<0<兀)是某個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)解析式,

其部分圖象如圖所示，則下列命題正確的是

A.a)=2

B.這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的初相為￡或令

66

數(shù)學(xué)試題卷第4頁(yè)共16頁(yè)

C./(x)在今,3兀上單調(diào)遞減

D.將函數(shù)/(x)的圖象向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)

6

【答案】AD

【解析】由函數(shù)圖象可知，幺=2,當(dāng)x=0時(shí)，/(0)=2sinp=l,又0＜卬(冗,

.??9=3或9=學(xué)~,當(dāng)3=多"時(shí)，XG0,—時(shí)，/(%)不單調(diào)遞增，不符合題意，

666L6_

：.(p=~,AB由/(3]=2siii+二]=2,可得：a)=12k+2,R￡Z),又

6⑷I66/

，冗7T9TT

。>0,周期T~—>4x———,，o<3,**k=Q,(0=2,?*?A正確；

o63

冗

/(x)=2sin2x-\■—,當(dāng)xe時(shí)，5TI+—<2X+—<6TC+—,此時(shí)f(x)不單調(diào)

I6J2666

遞減.，C錯(cuò)誤；對(duì)于D,將函數(shù)/(x)的圖象向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象對(duì)應(yīng)

6

一，元、冗1

的函數(shù)解析式為：g(x)=2sin2x+—+—=2sin(2x+K)=2cos2x,

.V6J6」

???D正確.故選AD.

10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-AiBiCiDi中，點(diǎn)尸是正方體的上底面AiBiCiDi

內(nèi)(不含邊界)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)0是棱BC的中點(diǎn)，則以下命題正確的是

A.三棱錐0-尸8的體積是定值

B.存在點(diǎn)P,使得尸。與例所成的角為60。

C.直線P0與平面4血1所成角的正弦值的取值范圍為

若PDi=PQ,則尸的軌跡的長(zhǎng)度為半

D.

4

數(shù)學(xué)試題卷第5頁(yè)共16頁(yè)

［答案1ACD

ii4

【解析】對(duì)于A,0一尸8=/-℃0=上、上乂卜2、2=—(定值)，???人正確；以小為坐標(biāo)

323

原點(diǎn)，43為x軸，出。1為y軸，441為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

0(2,1,1)，設(shè)P(x,九0)(0<x<2,0<y<2),則聲=(%-2,y-l,2).

對(duì)于B,AA.=(0,0,2),P0與44i的夾角a滿足:

居?羽|2x2

priQCf-J________L_____________________________e(|,1),

8S”網(wǎng).網(wǎng)-2XJ(A2>+(…)2+4

??.B錯(cuò)誤；對(duì)于C,平面44DA的法向量為：w=(l,0,0),

???直線PQ與平面A\ADD\所成的角p的正弦值為：

.0\x-2\/n隊(duì)

sm尸二/；2五(°'丁)，，C正確；

V(X-2)2+(^-1)2+42

對(duì)于D,2)1(0,2,0),D^P=(x,y-2,0),由尸Zh=P0,

可得：2產(chǎn)=(%-2)2+(y-1)2+4,化簡(jiǎn)可得：4x-2y-5=0,在xAiy平面內(nèi),

35

令％=2,得尸-冷尸0,得％=彳，所以尸的軌跡的長(zhǎng)度為:

??.D正確.故選：ACD.

11.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/Q),g(x),/'(X)是，a)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足：

f\x)+g(x)=-ff(4-x)+g(x-l)=2,g(x)-2是奇函數(shù)，則下列判斷正確的是

2024

A.7'(")是奇函數(shù)B.八3)=0C.g(l)+g⑵=2D.￡g(z)=4048

/=1

［答案】ABD

［解析1??"‘a(chǎn))+g(x)=2,??.r(r)+g(-x)=2,

:./'(%)+g(x)+f'(.-x)+g(-x)=4,又g(x)-2是奇函數(shù)，

數(shù)學(xué)試題卷第6頁(yè)共16頁(yè)

:.g(-x)-2=4g(x)-2],從而氟一%)+氟x)=4;，/'(x)+/'(一x)=0,

即/'(T)=-/'(%),???/'(乃是奇函數(shù)，，A正確；對(duì)于B,在虱-力+的)=4

中，令x=0,可得：狼0)=2,在-/'(4r)+g(x-l)=2中，令x=l,可得：

-/'(3)+g(0)=2,從而/'(3)=0,，B正確；對(duì)于C,在-/'(4-x)+g(x-l)=2

中，以4一%代”,可得：一/'(x)+g(3—汾=2,與/'Q)+g(x)=2求和，可得：

以3-力+虱X)=4,令x=2,可得式1)+式2)=4,，C錯(cuò)誤；對(duì)于D,

由虱一%)+虱%)=4以及或3_/+虱力=4,可得：g(-x)=g(3-x),

從而虱3+%)=虱%),，或x)是周期為3周期函數(shù)，g(3)=g(0)=2,

2024

￡g(0=674x榜(1)+g(2)+虱3)]+虱1)+式2)=674x6+4=4048.

；.D正確；故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若復(fù)數(shù)Zi,Z2是方程3-2?+10=0的兩根，則z；+z/2+2z2=.

【答案】4

【解析】法一：由f-2x+10=0,可得：a-lpn-9,；?X-I=±3i,不妨令

2

zi=l+3i,z2=l-3i,/.+ziz2+2z2=(1+3i)+(1+3i)-(1-3i)+2(1-3i)=4.

法二：由韋達(dá)定理可得：Zl+Z2=2,Z122=10,

:.42+z\zi+2Z2=—10+2zi+ziZ2+%=—10+2(zi+22)+2121=-10+4+10=4.

13.已知48=4,點(diǎn)尸是以線段相為直徑的圓上任意一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)4的距離是

它與點(diǎn)B的距離的也倍，則|PM的取值范圍為.

【答案】[0,8+4^]

【解析】以48的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)

數(shù)學(xué)試題卷第7頁(yè)共16頁(yè)

+2222

系，設(shè)4（一2,0）,5（2,0）,M（xty）,則：7（*）+/=>/2yl（x-2）+y,化簡(jiǎn)

得:爐+爐一121：+4=0,即（％-6）2+「=32,所以點(diǎn)M的軌跡是以0（6,0）為圓

心，45歷為半徑的一個(gè)圓，。。與。。的位置關(guān)系是相交，所以04PMi48+4>歷.

14.對(duì)集合A={-lt2,x,y}t其中x>0,y>Qt定義向量集合G={。|。=伽,篦），m,

neA}t若對(duì)任意.GQ,存在使得娛則x+片.

【答案】5或1+近

【解析】取"1=（2,2）,。2=（5,。，由。可得：。1。。2=0,從而：s+f=0,

:.s,t一定是一正一負(fù)，不妨令s<f,則s=-1,t—1,??t=1^A,

??A={_1,2,1,m}（m>0）,取。1=伽，2）,由01，畋=0,可知：畋=（一1,6）或

畋=?,-l）（Z>>0）,當(dāng)收=（一1,b）時(shí),由（小，2）-（-1,協(xié)=0可得：m=2b,

又8￡{-1,2,1,m）,???5=1或2,從而m=2或4.若m=2,此時(shí)集合Z不滿

足集合中元素的互異性，???m=4.當(dāng)。2=@,-1）時(shí)，由伽，2）?（瓦-1）=0,可得：

加1=2,此時(shí)8=1,m=2（不滿足題意，舍去）；或m=1,6=2（不滿足題意，舍

去）；或方=冽=&.綜上可知：x+y=4+l=5,或x+y=l+>/^.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（13分）陽(yáng)春三月，油菜花進(jìn)入最佳觀賞期，長(zhǎng)沙縣江背鎮(zhèn)、望城光明村彭家老屋、

瀏陽(yáng)達(dá)滸油菜花田、岳麓區(qū)含泰社區(qū)油菜花田都免費(fèi)向市民、游客開放，長(zhǎng)沙某三

所高級(jí)中學(xué)A,B,C組織學(xué)生去這四個(gè)景區(qū)春游，已知A,B兩所學(xué)校去每個(gè)景區(qū)

春游的可能性都相同，c學(xué)校去岳麓區(qū)含泰社區(qū)春游的可能性為;，去其它三個(gè)景

區(qū)春游的可能性相同.

（1）求望城光明村彭家老屋迎來(lái)三所學(xué)校春游的概率；

（2）長(zhǎng)沙縣江背鎮(zhèn)迎來(lái)學(xué)校所數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

數(shù)學(xué)試題卷第8頁(yè)共16頁(yè)

io

【答案】（1）白（2）分布列見解析；數(shù)學(xué)期望：1

963

【解析】（1）由題意知：A,B兩所學(xué)校去每個(gè)景區(qū)春游的概率都是……2分

C學(xué)校去岳麓區(qū)含泰社區(qū)春游的概率為工，去其它三個(gè)景區(qū)春游的概率為L(zhǎng)…4分

26

所以望城光明村彭家老屋迎來(lái)三所學(xué)校春游的概率為：P=丫X2.=J_；…6分

⑷696

（2）由題意可得：長(zhǎng)沙縣江背鎮(zhèn)迎來(lái)學(xué)校所數(shù)X的可能值為：0,1,2,3,

3

PCX=0)=仆Yx-=—；p(jr=i)=|-8分

632'“(416244632

…小CY5-13111…八f1Y11

P(X=2)=_x—f-Cx_x_x_=—;P(X=3)=_Ix_=—.10分

71^4J62744696(4J696

所以長(zhǎng)沙縣江背鎮(zhèn)迎來(lái)學(xué)校所數(shù)X的分布列為:

X0123

1513111

P■,一

32329696

1513111?

W^^)=0x-+1x-+2x-+3x-=................................................13分

16.（15分）如圖，四棱錐P-4BCD的底面QCD是梯形，

BC//AD,PA=AB=BC=\,AD=2,PC=百，平面

ABCD.

（1）求證：平面尸3CJL平面EIS；

（2）在棱加上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角E-AC-P的余弦值為主.若存在,

求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

1

【答案】（1）見解析2)2-

【解析】（1）:久，平面48cD,：,P4±AC,P4±BC,2分

數(shù)學(xué)試題卷第9頁(yè)共16頁(yè)

-AC=>IPC2-P^=A/T4=^?..........................................................................3分

丸?：AB=BC=1,:.AB2+BC=Ae,：.AB±BC,..............................................5分

?,.BC_L平面E45,工平面尸3C_L平面9;..........................................................6分

⑵由(1)知：BC1AB,又〃皿,3_1平面癡，..............7分

以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，45為入軸，40為y軸，4P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，…

8分

如圖，貝1C(l,1,0),?(0,0,1),。(0,2,0),

PD=(0,2,-1),

設(shè)麗=丸的=(0,24,_；1),(0<2<1),

則AE=AP+PE=(QfQ,^)+(0,22,-2)=(0,22,1-2),

就=(1,1,0),設(shè)平面E4C的法向量為〃=(沏，yi,zi),

,,ulAEe24%+(1-2)z=0

則由〈可得:1

ulAC%+必=0

?。骸?1,則沏=-1,zi=---,?=(-1,1,---),...........................9分

4—1A—1

同理可求得：平面E4C的法向量為丫=(-1,1,0),.......................................11分

???二面角E-AC-P的余弦值為近,

3

C1+1V6

cos0=-------1=,解得：

31=g,13分

,01+1+1衛(wèi)T

：.PE=-PD,PE：ED=~.T5分

32

17.(15分)已知拋物線E：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸且斜率為2的直線與

數(shù)學(xué)試題卷第10頁(yè)共16頁(yè)

E交于4,3兩點(diǎn)，即|=10.

（1）求E的方程；

（2）直線/：x=-4,過(guò)/上一點(diǎn)P作E的兩條切線RH,PN,切點(diǎn)分別為M,N.求

證：直線MN過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】(1)/=8x(2)(4,0)

【解析】⑴設(shè)㈤5的方程為與，Zgji）,B（X2,jz）,.....................1分

y=2px

由＜1p，可得：，-砂―/=°，，乂+%=。，........................................3分

x=-y+—

I22

???|典=石+巧+0=；%+介12+介0=2尸+齊學(xué)=10,5分

，p=4,拋物線E的方程為：3=8x;................................................................6分

（2）設(shè)的方程為％=叩+篦，Af（天,%），〃（%4，y4），

由”-8x,可得：j2=8my+8n,即/-8叩-8〃=0,

x=my+n

：■必+為=8m，y3y4=-3n，..............................................8分

-萬(wàn)

不妨令戶＞0,當(dāng)?。?時(shí)，爐=8x可以化為：y=2j2x,y'=子，

J2,\

:.以〃為切點(diǎn)的拋物線的切線PM■的方程為：y-y3=-j=（x-x3）,

a

必

9^y=-x+10分

2，

y3

4yA

同理可得：直線的方程為：y=-x+^-f...................................................12分

為2

聯(lián)立9與刖的方程，解得：與="=~,，％”=-32=—8”，n=4,…14分

8

數(shù)學(xué)試題卷第11頁(yè)共16頁(yè)

直線肱V的方程為：％=如+4,，直線過(guò)定點(diǎn)(4,0).15分

18.(17分)已知函數(shù)/(%)=。02*-(0^+2-4)片+；，.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

【答案】見解析

［解析1(1)由于f(x)=aQ2x-(ax+2-a)ex+^x2，

itf(x)=2ae2x-(ax+2)ex+x=(ae1-l)(2ex-x),.............................................2分

Ve^x+1,???2ex-m+l>0.

①當(dāng)a這。時(shí)，ae-l<Q,從而/'(x)<0恒成立，/(x)在R上單調(diào)遞減；……3分

②當(dāng)a>0時(shí)，令：/'(x)=0,從而口^一1=0,得x=-Ina.

X(-00,-Ina)-Ina(―lna,+oo)

f'(x)—0+

/W單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，/(x)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)Q>0時(shí)，/(%)在(-8,-Ina)上單調(diào)遞減,在(-Ina,+a?)上單調(diào)遞增......6分

(2)由(1)知，當(dāng)aWO時(shí)，/(%)在R上單調(diào)遞減，/(%)在R上至多一個(gè)零點(diǎn),

不滿足條件.......................................................7分

當(dāng)a>0時(shí)，/(x)min=/(-lna)=l--+lna+^5-^-,令g(a)=1-+Ina+,

a2a2

用“、11Ina1<1.,If1,,1L】Y|2八

貝4g(a)=丁"I1------=——i-l+lna=——Fl-In—2——F1+1—=—>0,

??.鼠4)在R上單調(diào)遞增,9分

數(shù)學(xué)試題卷第12頁(yè)共16頁(yè)

而米1)=0,

故當(dāng)0<a<l時(shí)，虱a)<0;當(dāng)0=1時(shí)，g(a)=0;當(dāng)a>l時(shí)，g(a)>0........10分

⑴若Q1,則/(項(xiàng)血=冢。)>0,故/。)>0恒成立，八力無(wú)零點(diǎn)；……11分

|

(ii)若a=l,J3J/(x)mjn=g(a)=0,

故/(x)=0僅有一個(gè)實(shí)根x=-lna=0,/(%)無(wú)兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件；……12分

(iii)若則“%溫=g@<0,

注意到一lna>0,/(-2)=4+^T^+2=-^4^-a+2—^->0,

e4e2e4e2

故/Xx)在(-2,-Ina)上有一個(gè)實(shí)根，

(3y1

而又In—1>In-=-Ina,

Ja

3

=(3-a)--In14分

33x-4

令3)=x-ln(3廠1)(21),^^)=1--=—,

(f.4、}{4}/4、4

所以他0在Lg單調(diào)遞減，在小4+?單調(diào)遞增，h(x)^h-=--ln3>0,

Ck33J/1133)V133y3

-

>0,-5L0<1,?*?3-a>0,(3^)L-ln——1>0

((3Yi>0,故/(x)在-Ina,In--1^1

即fIn--1上有一個(gè)實(shí)根.

I\aJ)[I。J)

又/(x)在(-oo,-Ina)上單調(diào)遞減，在(-Ina,+8)上單調(diào)遞增,

故/1(X)在R上至多兩個(gè)實(shí)根.16分

數(shù)學(xué)試題卷第13頁(yè)共16頁(yè)

又一(%)在(-2,-Ina)及—Ina,In^--IJ上均至少有一個(gè)實(shí)根，

故/(力在R上恰有兩個(gè)實(shí)根.

綜上，0＜。＜1時(shí)，f(x)在R上恰有兩個(gè)實(shí)根........................17分

19.(17分)角谷猜想，也稱為“3〃+1”猜想.其內(nèi)容是：任取T正整數(shù)，如果是

偶數(shù)，將它除以2；如果是奇數(shù)，則將它乘以3再加上1,如此反復(fù)運(yùn)算，該數(shù)最

終將變?yōu)?.這就是對(duì)一個(gè)正整數(shù)運(yùn)算時(shí)“萬(wàn)數(shù)歸P現(xiàn)象的猜想.假如對(duì)任意正整

數(shù)ao(ao'2),按照上述規(guī)則實(shí)施第1次運(yùn)算后的結(jié)果記為oi,實(shí)施第2次運(yùn)算后的

結(jié)果記為。2,…，實(shí)施第〃-1次運(yùn)算后的結(jié)果記為/_】，實(shí)施第〃次運(yùn)算后得到數(shù)

1,停止運(yùn)算，便可以得到有窮數(shù)列｛%｝:ai,6,…，j1,其遞推關(guān)系式為:

3/+1%為奇數(shù)

(無(wú)如叫做數(shù)列佃｝的原始項(xiàng).將

.|見為偶數(shù)=0,1,2,n-1),

|2at+l|4為奇數(shù)

此遞推關(guān)系式推廣為:生出為偶數(shù)(左=0，1，2，.、〃一】；一

2

且4/0),其它規(guī)則不變，得到的數(shù)列記作｛"%數(shù)列，試解答以下問題:

(1)若的=5,則數(shù)列｛3~?。捻?xiàng)數(shù)為

(2)求｛-1?跖｝數(shù)列的原始項(xiàng)ao的所有可能取值構(gòu)成的集合;

(3)若對(duì)任意的｛1~3數(shù)列，均有〃4210g2%+d,求d的最小值.

【答案】(1)5(2)｛x|x^2,xeN｝(3)d的最小值為2

【解析】(1)刖=5,ai=3x5+l=16,。2=16+2=8,。3=8子2=4,04=4+2=2,

的=2+2=1,所以數(shù)列｛3~詼｝的項(xiàng)數(shù)為5;.....................................................4分

(直接寫出結(jié)果，不需要提供運(yùn)算過(guò)程)

數(shù)學(xué)試題卷第14頁(yè)共16頁(yè)

\ak-1,為奇數(shù)

（2）aai=｛見心屈有（無(wú)=°，1，2,…，n-1）;

Iy應(yīng)為偶數(shù)

下面證明對(duì)于任意的正整數(shù)之2,當(dāng)oo=f時(shí)，均存在數(shù)列｛斯｝為｛-1~G“｝數(shù)列，

ao=2時(shí)，6=1,〃=1符合題意,................................