橢圓題型方法總結(jié)

【橢圓題型方法總結(jié)】▲知識(shí)要點(diǎn)→一、橢圓的定義

到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)〔定長(zhǎng)大于兩個(gè)定點(diǎn)間的距離〕的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。即：二、橢圓的方程。〔1〕標(biāo)準(zhǔn)方程：〔〕或〔〕〔其中，〕

〔2〕一般方程：或三、橢圓的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程〔〕〔〕圖形FF1F2MyxOyxOF2F1M性質(zhì)范圍對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)A1(-a,0)，A2(a,0)B1(0,-b)，B2(0,b)A1(0,-a)，A2(0,a)B1(-b,0)，B2(b,0)焦點(diǎn)F1〔－c，0〕、F2〔c，0〕F1〔0，－c〕、F2〔0，c〕兩軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2焦距離心率通徑【易錯(cuò)點(diǎn)】：對(duì)于橢圓定義的把握要明確以下幾點(diǎn)：〔1〕沒(méi)有“平面內(nèi)”這個(gè)條件，那么是橢球而不是橢圓；〔2〕到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為常數(shù)，常數(shù)必須要大于|F1F2【易無(wú)視點(diǎn)】：對(duì)于確定哪種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程那么要看焦點(diǎn)的位置，假設(shè)焦點(diǎn)在x軸上那么x2的分母大，假設(shè)焦點(diǎn)在y軸上那么y2的分母大.【常用的思想方法】：eq\o\ac(○,1)方程的思想，解決橢圓問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是確定a,b,c的關(guān)系〔方程〕，求a,b,c的方法是列方程組求解；eq\o\ac(○,2)數(shù)形結(jié)合的思想，充分運(yùn)用幾何圖形所蘊(yùn)藏的性質(zhì)，注意觀察分析?！}型方法講解→〔一〕橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程例1、△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓EQ\f(x\S(2),3)＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，那么△ABC的周長(zhǎng)是〔〕〔A〕2EQ\r(,3)〔B〕6〔C〕4EQ\r(,3)〔D〕12【析】通過(guò)觀察分析，充分巧妙利用定義〔“”〕是解決問(wèn)題的關(guān)鍵例2、如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸分成等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半局部于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，那么.【析】通過(guò)觀察分析，利用對(duì)稱性并結(jié)合定義處理。例3、如果表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是〔〕A．B．C．D．【析】一般方程→標(biāo)準(zhǔn)化；焦點(diǎn)在y軸上那么y2的分母大例4、方程表示橢圓，求的取值范圍?！疚觥坑^察分析橢圓方程的特征：x2和y2的分母均為正，且不相等〔假設(shè)相等即為圓的方程〕。例5、＜4，那么曲線和有相同的〔〕A.長(zhǎng)軸和短軸B.焦點(diǎn)C.離心率D.焦距【析】通過(guò)觀察分析，充分把握平方關(guān)系“”是解題的關(guān)鍵。例6、根據(jù)以下條件分別求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8；橢圓經(jīng)過(guò)和【析】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，假設(shè)不知道焦點(diǎn)位置，通常設(shè)方程為，解題的關(guān)鍵是建立方程組。【變式思考】1.△ABC兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是A〔－4，0〕、B〔4，0〕，周長(zhǎng)是18，那么頂點(diǎn)C的軌跡方程.2、M為橢圓上一點(diǎn)，為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且,N為中點(diǎn)，那么的長(zhǎng)為.3、橢圓，長(zhǎng)軸在軸上，假設(shè)焦距為4，那么.4、〔2008浙江理12〕為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于，那么=______________.5、〔2009陜西卷文〕“”是“方程”表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的______________.A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6、〔2009北京文、理〕橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)P在橢圓上，假設(shè)，那么；的大小為.7、〔2009廣東卷理〕巳知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率為，且上一點(diǎn)到的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，那么橢圓的方程為．8、橢圓有一個(gè)光學(xué)性質(zhì)：光線由一個(gè)焦點(diǎn)射出經(jīng)橢圓壁反射后必然經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)?，F(xiàn)有一個(gè)橢圓形的臺(tái)球桌，橢圓方程為〔〕，一個(gè)球由該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)處擊出，經(jīng)桌壁反彈后又回到起點(diǎn)，那么球所走的路程為〔〕A．B.C.9、橢圓〔〕的離心率為，且經(jīng)過(guò)〔1〕求橢圓的方程〔2〕設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，判斷以為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系并說(shuō)明理由。10、〔2010課標(biāo)全國(guó)〕為橢圓〔〕的左右焦點(diǎn)，設(shè)過(guò)斜率為1的直線與E相較于A、B兩點(diǎn)。且成等差數(shù)列(1)求橢圓的離心率。(2)設(shè)點(diǎn)滿足，求橢圓的方程。11、〔2010安徽理數(shù)〕19、〔本小題總分值13分〕橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，離心率。(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)求的角平分線所在直線的方程；(Ⅲ)在橢圓上是否存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)？假設(shè)存在，請(qǐng)找出；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由?！捕硻E圓的幾何性質(zhì)的考查〔1〕橢圓的幾何性質(zhì)的靈活運(yùn)用例1、在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)在橢圓上，那么.【析】根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程確定a,b,c的值，并結(jié)合正弦定理“”的性質(zhì)“”即可。例2、橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)作垂直于軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為P，那么等于〔〕A．B.C.【析】掌握橢圓通徑長(zhǎng)并結(jié)合橢圓定義即可解決★★★★〔2〕離心率的求法橢圓的離心率問(wèn)題，通常有兩種處理方法：eq\o\ac(○,1)求，求，再求比.eq\o\ac(○,2)數(shù)形結(jié)合，充分利用圖形蘊(yùn)藏的數(shù)量關(guān)系，含和的齊次方程，再化含的方程，解方程即可.例1、如圖，直線過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1和一個(gè)頂點(diǎn)B，該橢圓的離心率為A．B．C．D．例2、設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、、F2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，假設(shè)△F1PF2為等腰直角三角形，那么橢圓的離心率是() A.B.C.D.例3、設(shè)F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，以F2為圓心作圓F2，圓F2經(jīng)過(guò)橢圓的中心，且與橢圓相交于M點(diǎn)，假設(shè)直線MF1恰與圓F2相切，那么該橢圓的離心率e為〔〕A.－1B.2－C.D.【變式思考】1、〔2010廣東文數(shù)〕假設(shè)一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，那么該橢圓的離心率是〔〕A.B.C.D.2、〔2009江西卷理〕過(guò)橢圓()的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，假設(shè)，那么橢圓的離心率為〔〕A．B．C．D．3、為橢圓〔〕的左右焦點(diǎn)，以為邊作正三角形。假設(shè)橢圓恰好平分正三角形的另外兩條邊，那么橢圓的離心率為〔〕A．B．C．D．4、(2008湖北卷10)如下圖，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)軌進(jìn)入以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在變點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，假設(shè)用和分別表示橢軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，給出以下式子：①;②;③;④＜.其中正確式子的序號(hào)是 〔〕A.①③B.②③C.①④D.②④5、〔2008江蘇〕在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，過(guò)點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，那么離心率=．焦點(diǎn)三角形面積公式：橢圓，為橢圓上任一點(diǎn)，，求證:例2、設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，求△的面積。例3、橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)M在橢圓上且那么點(diǎn)M到x軸的距離為〔〕 A． B．C． D．例4、〔2009年上海卷理〕、是橢圓〔＞＞0〕的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.假設(shè)的面積為9，那么=____________.例5、假設(shè)點(diǎn)在橢圓上，、分別是橢圓的兩焦點(diǎn)，且，那么的面積是〔〕A.2B.1C.D.例6、如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，△POF2是面積為的正三角形，那么b2的值是.(4)有關(guān)大小討論的問(wèn)題例1、橢圓的焦點(diǎn)、，點(diǎn)為其上的動(dòng)點(diǎn)，那么使得的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為〔〕A.0B.1C.2例2、橢圓的焦點(diǎn)、，點(diǎn)為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠為鈍角時(shí),點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是。例3、、是橢圓〔＞＞0〕的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.求橢圓離心率的取值范圍。例4、例5、〔2008江西文、理科7〕F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．滿足·＝0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，那么橢圓離心率的取值范圍是〔〕A．(0，1) B．(0，] C．(0，) D．[，1)〔三〕點(diǎn)、線與橢圓的位置關(guān)系〔1〕位置關(guān)系的討論問(wèn)題▲點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系：eq\o\ac(○,1)在橢圓上。eq\o\ac(○,2)在橢圓外。eq\o\ac(○,3)在橢圓內(nèi)?！芯恐本€與橢圓位置關(guān)系的問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為研究方程解得問(wèn)題，要回根據(jù)韋達(dá)定理和判別式解決問(wèn)題。例1、當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓相交？相切？相離？例2、以F1〔2,0〕，F(xiàn)2〔2,0〕為焦點(diǎn)的橢圓與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，那么橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為〔〕A. B. C. D.例3、直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，那么b的取值范圍是〔〕 A．〔0，1〕 B．〔0，5〕 C． D．例4、設(shè)橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，方程的兩個(gè)實(shí)根分別為和，那么點(diǎn)〔〕Ａ．必在圓內(nèi) Ｂ．必在圓上Ｃ．必在圓外 Ｄ．以上三種情形都有可能〔2〕弦長(zhǎng)公式：例1、斜率為1的直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F2，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求：〔1〕弦長(zhǎng)|AB|；〔2〕△ABF1的面積。例2、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且∠，那么Δ的面積為〔〕A．B．C．D．例3、過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),那么△的面積為.例4、AB是過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F的弦，假設(shè)AB的傾斜角為，求弦AB的長(zhǎng)例5、〔2008北京文科19〕△ABC的頂點(diǎn)A，B在橢圓上，C在直線l：y=x+2上，且AB∥l．當(dāng)AB邊通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，求AB的長(zhǎng)及△ABC的面積；例6、橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，假設(shè),且的中點(diǎn)與橢圓中心連線的斜率為，求實(shí)數(shù)的值。例7、假設(shè)直線y=x+t與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)t變化時(shí)，求|AB|的最大值．〔3〕與橢圓有關(guān)的中點(diǎn)弦問(wèn)題例1、橢圓，求過(guò)點(diǎn)且被平分的弦所在的直線方程．【分析一】：一點(diǎn)求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為，利用條件求．解法一：設(shè)所求直線的斜率為，那么直線方程為代入橢圓方程，并整理得．由韋達(dá)定理得．∵是弦中點(diǎn)，∴．故得．所以所求直線方程為．【分析二】：設(shè)弦兩端坐標(biāo)為、，列關(guān)于、、、的方程組，從而求斜率：．解法二：設(shè)過(guò)的直線與橢圓交于、，那么由題意得①－②得．⑤將③、④代入⑤得，即直線的斜率為．所求直線方程為．【說(shuō)明】：有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問(wèn)題常用的方法是：“韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點(diǎn)差法”．【變式思考】1、橢圓內(nèi)有一點(diǎn)P〔3，2〕過(guò)點(diǎn)P的弦恰好以P為中點(diǎn)，那么這弦所在直線的方程為 〔〕 A． B． C． D．2、過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程．3、過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，假設(shè)線段AB的中點(diǎn)恰為P點(diǎn)，求AB所在的直線的方程和線段AB的長(zhǎng)度．4、傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程．5、直線y=-x+1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線l:x-2y=0上.〔1〕求此橢圓的離心率；〔2〕假設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的在圓x2+y2=4上，求此橢圓的方程.〔4〕與橢圓有關(guān)的最值與取值范圍問(wèn)題例1、橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是 〔〕A．3 B．C．D．例2、求橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值．例3、直線和橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)m變化時(shí)；求的最大值求面積的最大值〔O是坐標(biāo)原點(diǎn)〕例4、設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，那么的最大值為；最小值為；例5、〔2010福建文〕11．假設(shè)點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，那么的最大值為A．2 B．3 C．6 D．8例6、橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線交橢圓于B、D兩點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于A、C兩點(diǎn)，且，垂足為P.〔Ⅰ〕設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，證明：；〔Ⅱ〕求四邊形ABCD