安徽省合肥市2024屆高三年級下冊二模數(shù)學(xué)試卷 含解析

2024年合肥市高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫在答題卡和試卷上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，務(wù)必擦凈后再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1,設(shè)全集U=R,集合A=2>0}]={中"則（ML）CB=（）

A.1x|l<x<21B.1x|l<%<2}C.{乂x>2}D.1x|l<x<2}

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式得到A,進(jìn)而根據(jù)補(bǔ)集和交集求出答案.

【詳解】A=|x|x2一九一2>。}={R%>2或％<—1},

^jA=|x|-l<x<2},故@A）c3={乂-1Kx<2}c{Xx21}={乂1<xK2}

故選：A

2.已知士~-=2+i,則忖=（）

z

A1B.叵C.1D.2

22

【答案】B

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模長計(jì)算求出即可.

7—iii

【詳解】-=1——=2+inz=-------，

zz-1-i

3.設(shè)名廠是兩個(gè)平面，。力是兩條直線，則&〃4的一個(gè)充分條件是（）

A.a//a,b//（3,a//bB.a±a,b±/3,aLb

C.aLa,b工0,a〃bD,a〃a,b〃P，a與b相交

【答案】C

【解析】

【分析】通過舉反例可判定ABD,利用線面垂直的判定定理及面面平行的判定定理可判定C.

【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)滿足。〃〃尸,a〃萬時(shí)，％乃可能相交，如圖：用四邊形ABCD代表平面

a，用四邊形AEED代表平面/，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：當(dāng)滿足人時(shí)，名尸可能相交，如圖：用四邊形ABCD代表平面

用四邊形AEED代表平面尸，故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：因?yàn)閍J_a,a〃匕=>Z?_La,又b工0,所以

故a_L%b_L〃,a〃方是a〃1的一個(gè)充分條件，故C正確；

當(dāng)滿足?！╝,A〃1，。與b相交時(shí)，名尸可能相交，如圖：用四邊形ABCD代表平面

a,用四邊形AEED代表平面尸，故D錯(cuò)誤;

故選：C.

4.甲、乙兩名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行一場比賽，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結(jié)束）.已知每局比賽甲

獲勝的概率均為則甲以4比2獲勝的概率為（）

13515

A.—B.—C.—D.—

64323264

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意只需前5場甲贏3場，再利用獨(dú)立事件的乘法公式求解.

【詳解】根據(jù)題意，甲運(yùn)動(dòng)員前5場內(nèi)需要贏3場，第6場甲勝，

則甲以4比2獲勝的概率為C；?（；）3.（1）2xl=A.

故選：C.

5.常用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間來描述其衰減情況，這個(gè)時(shí)間被稱做半衰期，記為T（單位:

天）.鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質(zhì)，其半衰期分別為7],開始記錄時(shí)，這兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等,

512天后測量發(fā)現(xiàn)乙的質(zhì)量為甲的質(zhì)量的;‘則工,心滿足的關(guān)系式為（）

C512512c512512

A-2+7=下B2+彳=不

c,512,512.512?512

C.-2+log2—=log2—D.2+log2—=log2-^

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)開始記錄時(shí)，甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1,可得512天后甲，乙的質(zhì)量，根據(jù)題意列出等式即可

得答案.

【詳解】設(shè)開始記錄時(shí)，甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1,

512512

則512天后，甲的質(zhì)量為：(g)丁，乙的質(zhì)量為：(g)豆,

512512512

由題意可得(f互不=(;/不，

512_512

所以2+丁=可.

故選：B.

x2-2x,X<1/、/、

6.已知函數(shù)/(%)=<,若關(guān)于X的方程/(力―/(I—a)=0至少有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

九-3|,1X〉1

則。的取值范圍是()

A.(-8,-4]U+8)B,[-1,1]

D.[-4,

【答案】D

【解析】

【分析】作出函數(shù)的圖象，由題意可得y=/(x)的圖象與丫=/(1-。)至少有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，從而得

-1</(1-?)<1,結(jié)合圖象可得1——。<5,求解即可.

x2-2x,x<1

x'-2x,x<1

【詳解】因?yàn)?(%)=<x-2,1<x<3,

1-1x-3|,x)l

-x+4,x>3

作出函數(shù)的圖象，如圖所示：

由此可知函數(shù)y="幻在(-s,1)和(3,+<?)上單調(diào)遞減，在(1,3)上單調(diào)遞增,

且/⑴=7,/(3)=1,

又因?yàn)殛P(guān)于x的方程/(*)-/(1-。)=0至少有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

所以〃x)=/(l-。)至少有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

即V=/(尤)的圖象與y=/(I-。)至少有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以——。)<1,

2

又因?yàn)楫?dāng)xWl時(shí)，/(X)=X-2X,令*2一2*=1,可得x=l—0；

當(dāng)xZ3時(shí)，/(x)=4—x,令4—x=—1,解得x=5,

又因?yàn)橐?</(1—。)<1,所以1—收<1_0<5，解得—4WaW夜.

故選:D.

7.記的內(nèi)角A,5c的對邊分別為。，仇c,已知c=2,-一+^—+—1—=1.則一ABC面積

tanAtanBtanAtanB

的最大值為()

A.1+72B.1+A/3C.2&D.2A/3

【答案】A

【解析】

【分析】由題意及正切與正弦與余弦的關(guān)系，兩角和的正弦公式及余弦公式可得角C的大小，再由余弦定

理及基本不等式可得ab的最大值，進(jìn)而求出該三角形的面積的最大值.

【詳解】因?yàn)椤?—-—+---------=1,可得tanA+tanB+l=tanAtanB,

tanAtan5tanAtanB

sinAsinB,sinAsinB

即an----+-----+1=--------,

cosAcosBcosAcosB

整理可得sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB=sinAsinB,

即sin(A+B)=-cos(A+B),

在三角形中sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,

即sinC=cosC,Ce(O,7i)，可得C=：；

由余弦定理可得c?=b1+a2-2abcos->lab-^lab,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),

4

而。=2,

所以V—―=2(2+^2),

所以sABC=gabsinC<gx2(2+0)X乎=1+四?

即該三角形的面積的最大值為1+行.

故選：A.

22

8.已知雙曲線c：工-1=1(。>03>0)的左、右焦點(diǎn)分別為月,工，點(diǎn)尸在雙曲線左支上，線段P鳥交y

ab

軸于點(diǎn)E,且尸月=3PE.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)G滿足：PO=3GO,GF2PFi=0,則雙曲線C的離心

率為（）

A.B.I+A/2C.1+75D.2+72

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)P（Xo，為）（Xo<O），根據(jù)題設(shè)條件得到％=—],再利用橢圓上，得

至1]。4—12。2。2+444=0，即可求出結(jié)果.

【詳解】如圖,設(shè)尸（為0，4）（/<0），耳（―c,0）,&（c,0）,則直線尸居的方程為y=一^（x—C）,

~'%-c

令x=0,得到>=二^,所以￡（0,04,

XC

Xo-C0~

PF2^（c-x0,-y0）,PE=（-x0,-^-y0）,因?yàn)閜8=3PE,

xo-c

所以c—x0=-3xo,得到毛=一,,故尸（―I，%）,

又P0=3G0,所以G（—1,亭）,得到Gg=（一,一日），尸片=（一:，一%,）,

63632

73,.27M

又GF^PF',所以—五+?=0,得到第=?①，

c旦,

乂因?yàn)椤福ㄒ徊粸椋┰陔p曲線上，所以/__區(qū)=[②，乂/=02一/③，

201bL

由①②③得到04—12a2c2+4/=0,所以②—12e2+4=0,

解得/=6+4，5或/=6—4，^，又e〉l,所以/=6+=(2+,得到e=2+J^，

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.已知圓。：％2+,2=],圓C：(x-a)2+(y-l)2=4,aeR,則()

A.兩圓的圓心距|OC|的最小值為1

B.若圓。與圓C相切，貝Ua=±2夜

C,若圓。與圓C恰有兩條公切線，則-20<a<2&

D,若圓。與圓C相交，則公共弦長的最大值為2

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式，算出兩圓的圓心距221,從而判斷出A項(xiàng)的正誤；根據(jù)兩圓相切、相交的

性質(zhì)，列式算出。的取值范圍，判斷出B,C兩項(xiàng)的正誤；當(dāng)圓。的圓心在兩圓的公共弦上時(shí)，公共弦長有最

大值，從而判斷出D項(xiàng)的正誤.

【詳解】根據(jù)題意，可得圓。：必+/=1的圓心為。(0,0),半徑廠=1,

圓C:(x—a)2+(y—1)2=4的圓心為以風(fēng)1),半徑R=2.

對于A,因?yàn)閮蓤A的圓心距d==，北+i,所以A項(xiàng)正確；

對于B,兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距d=|OC|=R-r=l,即"H=i，解得a=0.

兩圓外切時(shí)，圓心距d=|OC|=R+r=3,即&+1=3,解得。=±28.

綜上所述，若兩圓相切，則。=0或4=±20'，故B項(xiàng)不正確；

對于C,若圓。與圓C恰有兩條公切線，則兩圓相交，d=\OC\^(R-r,R+r),

即，6+1€(1,3),可得1<，/+1<3,解得—2后<。<2點(diǎn)且aW0，故C項(xiàng)不正確；

對于D,若圓。與圓C相交，則當(dāng)圓。：爐+產(chǎn)=1的圓心。在公共弦上時(shí)，公共弦長等于2r=2,達(dá)到最

大值，

因此，兩圓相交時(shí)，公共弦長的最大值為2,故D項(xiàng)正確.

故選：AD.

10.己知等比數(shù)列｛4｝的公比為q,前幾項(xiàng)和為S“，則()

A.S*i=Si+qS"

B.對任意〃eN*,S",S2n-Sn,S3n-S2n成等比數(shù)列

C.對任意〃eN*，都存在4,使得2s2”,3s3”成等差數(shù)列

D.若％<0,則數(shù)列｛S2“_i｝遞增的充要條件是-l<q<0

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A：分q=1,q兩種情況計(jì)算可判斷A；對于B：q=-l可說明不成立判斷B；,分q=1,

兩種情況計(jì)算可判斷C；根據(jù)S2.M-S2,i=q(l+q)q2"T,若｛S2,-｝是遞增數(shù)列，可求夕判斷D.

【詳解】對于A：當(dāng)4=1時(shí)，S〃+i=5+l)q,+qSn=aA+nax=(n+l)ax,故成立，

當(dāng)qwl時(shí)，S〃M=空二心，H+qS〃=q+qx智二心="二心，所以S〃M=q+4S”成

1-<71-(/1-q

立，故A正確；

對于B：當(dāng)q=—1時(shí)，S2=Q,所以51,52.一5”,53〃—52〃不成等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；

對于C：當(dāng)4=1時(shí)，S"=〃1,2s2”=4",3s3“=9",故2s2〃,3s3〃不成等差數(shù)列，

當(dāng)時(shí),若存在4,使S”,2s2“,3s3"成等差數(shù)列,

貝ij2X2S2?=S?+3S3?,貝ij4x囚尸力="一"+3x,

1-q1-q1-q

整理得4(1+4〃)=1+3(1+廣+4〃)，所以3d"—4〃=0,所以/=；,

所以對任意〃eN*，都存在4,使得邑,2s2”,3s3〃成等差數(shù)列，故C正確;

對于D：$2“+「邑小=4〃+。2.+1=4(1+//1，若⑸?。沁f增數(shù)列，

則可得為(l+q)q2i>0,因?yàn)?<0,所以(l+q)q2"T<0,可解得—l<q<0,

所以若％<0,則數(shù)列｛S2.7｝遞增的充要條件是—l<q<0,故D正確.

故選：ACD.

/7C?7C

11.已知函數(shù)/(x)=sin[x+%J-sinx-sina,則(

JT

A.函數(shù)“力在-,71上單調(diào)遞減

B.函數(shù)y=+；為奇函數(shù)

C.當(dāng)xe時(shí)，函數(shù)丁=4/(力+1恰有兩個(gè)零點(diǎn)

20242027

D.設(shè)數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列，則Z=/(q)=--—

66,=i2

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用三角恒等變換化簡/(九)，再利用正弦函數(shù)單調(diào)性奇偶性判斷ABC,利用裂項(xiàng)相消及累加求

和判斷D.

r、辛的y且如?7兀.「兀叫6夜1夜瓜+6

【詳斛】易知sin——=sin—+—=--------1----=------，

12[34)22224

日工用.717兀—

I可理sm——=cos——=--------，

12124

6-2.11V6-V2.1

------sinxH—cosx—--------sin

2222

7T/7tLJTC1_z7T

對A,xG—,7i,x+——e,/(%)先減后增，故A錯(cuò)誤;

乙JL乙X乙J.乙

工

對B，>=/A卜+5記m+51=、向一行sinx為奇函數(shù),故B正確;

22

71717兀711371,一7171

對c,xet—X-\---G，貝!Jsin,在單調(diào)遞增,

12121292

711371單調(diào)遞減，即/(X)在]71)[7171]

在，一不單調(diào)遞增，在-5,單調(diào)遞減,

291T12

1

又/>——

4

V6-V2.1V6-V276-721g1

-------sin-----=--------------------=----<——,

412244244

故函數(shù)y=4/(x)+l恰有兩個(gè)零點(diǎn)，故C正確;

71-sin%,則〃x)=g(x)_g,

對D,易知為兀，令g(x)=sinXH--

66

.兀.兀

g(%)=sin---sin—,

36

.兀

g(a2)=sin|-sin—,

3

20247c7t2023兀Kj

g(%024)=sin6+6-sin6+6r

i=l2024兀7t71J___3

則藍(lán)g(2=而-sin—=sin337K+—

66622--2

Z=112027.-

故S=/(?,.)=Eg(fl,.)-2024x—=------,故D正確.

2024202422

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)列求和應(yīng)用，關(guān)鍵是利用利用裂項(xiàng)相消及累加求和判

斷D.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

I的展開式中，/的系數(shù)為.

【答案】15

【解析】

6

【分析】利用的通項(xiàng)公式T]=（—lye；/一三（0v廠V64￡N），即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?x—十]的展開式的通項(xiàng)公為Tr+l=C"6f（_｝），=（—1），C"6-5（O<r<6,reN）,

由6—±r=3,得到r=2,所以V的系數(shù)為（—l-C；=15,

2

故答案為：15.

13.拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,A為C上一點(diǎn)，以點(diǎn)尸為圓心，以|AF|為半徑的圓與/交于

點(diǎn)、B,D,與x軸交于點(diǎn)M,N,若AB=FM，則卜.

【答案】473

【解析】

【分析】首先得到拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，設(shè)準(zhǔn)線與％軸交于點(diǎn)E,根據(jù)圓的性質(zhì)及拋物線的定義可

得△ABE為等邊三角形，即可求出忸同，再在△AfM中利用余弦定理計(jì)算可得.

【詳解】拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為尸（1,0）,準(zhǔn)線/：x=-l,設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)E,則￡（—1,0）,

依題意B、。均在>軸的左側(cè)，又AB=FM，所以M也在>軸的左側(cè)且B點(diǎn)在x軸上方，

兀

又AD為圓尸的直徑，所以NABD=—,即ABL5D，

2

由拋物線的定義可知|A6|=|A耳，又忸耳=|”|,

7171

所以△ABE為等邊三角形，所以/BAF=NAEB=—,則N3M0=NAFN=—

33

\EF\

所以忸8=—1~1=4,

cos/BFM

所以忸尸|二|A典=|MF|=4,ZAFM=^-,

在AAFM^\AM\=JAF|2+|MF|2-2|AF||MF|COSZAFM

=4A/3.

故答案為：4\/3?

舊+y2+z2+^-2)2+j2+z2+^/(^-1)2+/+(z-2)2+J(x-1)2+(y-2)2+Z2的最小值為

【答案】2百+2行

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，將所求轉(zhuǎn)化為距離和的最小值，利用幾何關(guān)系求得最值.

【詳解】如圖，設(shè)正方體的邊長為2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)P(x,y,z)為空間任意一點(diǎn)，因?yàn)閥+z—2=0,則P在平面ABGR所在的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，

&2+y2+z2+J(x—2)2+y2+z2表示P與點(diǎn)4(0,0,0)和點(diǎn)4(2,0,0)的距離之和，

因?yàn)锳關(guān)于平面ABCXD.的對稱點(diǎn)為D,故+尸42DB{=2G,

當(dāng)且僅當(dāng)P。用中點(diǎn)即F為正方體中心時(shí)等號(hào)成立；

尤—1)2+y2+(Z_2)~+_1)2+(y―2)2+z-

表示尸與點(diǎn)“(1,0,2)和點(diǎn)N(l,2,0)的距離之和，則PM+PN>MN=272>

當(dāng)且僅當(dāng)尸在MN所在直線上時(shí)等號(hào)成立，

故^x2+y2+z2+^/(x-2)2+y2+z2+^/(x-1)2+y2+(z-2)2+y/(x-l)2+(y-2)2+z2

的最小值為26+2力，當(dāng)且僅當(dāng)尸為正方體中心時(shí)等號(hào)成立

故答案為：26+2亞

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間中距離最值問題，關(guān)鍵是利用空間坐標(biāo)系將所求轉(zhuǎn)化為距離和，并注

意等號(hào)成立條件.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在四棱錐P—A6CD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，NBA。=60°,M是側(cè)棱尸。的中點(diǎn)，

側(cè)面為正三角形，側(cè)面隊(duì)底面ABCD.

P

(1)求三棱錐V—ABC的體積；

(2)求AM與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)|

⑵

11

【解析】

【分析】(1)作出輔助線,得到線線垂直，進(jìn)而得到線面垂直，由中位線得到M到平面ABCD的距離為W

2

進(jìn)而由錐體體積公式求出答案；

(2)證明出60,A。，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，進(jìn)而由法向量的夾角余弦值的絕對值

求出線面角的正弦值.

【小問1詳解】

如圖所示，取AD的中點(diǎn)。，連接P0.

因?yàn)槭钦切?，所?/p>

又因?yàn)槠矫鎻腄_L底面ABCD,POu平面RID,平面平面A6CE>=AD，

所以P01平面ABCD,且P0=J5.

又因?yàn)?是尸C的中點(diǎn)，M到平面ABCD的距離為也，

2

S^ABC=1x2x2xsiny=A/3,

所以三棱錐M—ABC的體積為』X6X，3=」.

322

【小問2詳解】

TT

連接30,3。，因?yàn)镹R4D=—,

3

所以△A3。為等邊三角形，所以50LAD,

以。為原點(diǎn)，QA,O5,OP所在直線分別為x軸，>軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則P（0,0,⑹,4（1,0,0）,網(wǎng)0,幅0）,。卜2,后0）,

ZA

j^c

々y

所以中考，芬麗=卜*§,=（0,瘋—⑹,3C=（一2,0,0）.

22）

設(shè)平面PBC的法向量為〃=（蒼y,z）,

則產(chǎn)?〃，即盧-任=（

，解得x=0,取z=l，則y=L

IBCh=0-12x=0

所以〃=（0,1,1）.

設(shè)AM與平面PBC所成角為氏

1-2卓用.（0,1,1）

??\AM-nlI22J_底

則sin。=cosAW,〃---；~L-

11\AM\-\H\/+：+：義向11

即AM與平面PBC所成角的正弦值為叵.

11

16.已知橢圓（？：￡+:■=1（。〉6〉0）的右焦點(diǎn)為b，左頂點(diǎn)為A,短軸長為2百，且經(jīng)過點(diǎn)

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)/的直線/（不與無軸重合）與C交于RQ兩點(diǎn)，直線與直線x=4的交點(diǎn)分別為

M,N,記直線八下的斜率分別為%證明：《?42為定值?

22

【答案】（1）—+^=1;

43

（2）證明見解析.

【解析】

3

【分析】（1）由題意得將點(diǎn)（1,5）代入橢圓的方程可求得/的值，進(jìn)而可得橢圓的方程；

（2）設(shè)/：x=）+l,尸（內(nèi)，％）,Q（X2,%）,聯(lián)立直線/和橢圓的方程，可得x+%=—石/，

%%=——S-—，直線的方程為y=—（X+2）,令x=4,得M（4,"、），同理N（4,‘乂。）,

12

3/+4為+2芯+2X2+2

由斜率公式計(jì)算即可.

【小問1詳解】

_（3、221Q

因?yàn)?6=2行，所以6=6，再將點(diǎn)1,彳代入、+匕=1得=+—=1,

I2；a23a24

解得"=4,故橢圓C的方程為三+乙=1；

43

【小問2詳解】

由題意可設(shè)/：%=）+1,。（七,必）,。（42，%），

x=ty-\-l

由/產(chǎn)可得（3/+4）y?+6ty—9=0,

—+—=1

143

6t9

易知A>0恒成立，所以必+%=一3喜，%%二—311，

又因?yàn)锳（—2,。）,

所以直線E4的方程為>=己5（》+2）,令x=4,則>故

同理N（4,-^紇］,

、9+2,

6-

從而_川+2_6%_6%

「4-1-3⑥+3)'「3(^+3)

36

36%為4yly23『+4

故桃?=——=-1為定值.

9(0]+3)(佻+3)+3《%+%)+99/18?2

+9

―3/+4-3/+4

17.樹人中學(xué)高三（1）班某次數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測（滿分150分）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:

性參加考試人平均成標(biāo)準(zhǔn)

別數(shù)績差

男3010016

女209019

在按比例分配分層隨機(jī)抽樣中，已知總體劃分為2層,把第一層樣本記為石,斗，&「，》“，其平均數(shù)記為最,

方差記為s；；把第二層樣本記為%,%，%…，%，其平均數(shù)記為亍，方差記為只；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)

記為三，方差記為$2.

（1）證明：$2

（2）求該班參加考試學(xué)生成績的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差（精確到1）；

（3）假設(shè)全年級學(xué)生的考試成績服從正態(tài)分布N（〃,b2）,以該班參加考試學(xué)生成績的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分

別作為〃和a的估計(jì)值.如果按照16%,34%,34%,16%的比例將考試成績從高分到低分依次劃分為

A,3,C,。四個(gè)等級，試確定各等級的分?jǐn)?shù)線（精確到1）.

附：P(//-o-<X<//+cr)?0.68,V302?17,7322-18,7352-19.

【答案】（1）證明見解析;

（2）平均數(shù)為96分，標(biāo)準(zhǔn)差為18分;

（3）將乂》114定為A等級，96<X<114定為B等級，78<X<96定為C等級，X<78定為D等

級.

【解析】

【分析】（1）利用平均數(shù)及方差公式即可求解;

（2）利用平均數(shù)及方差公式，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)差公式即可求解;

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論及正態(tài)分布的特點(diǎn)即可求解.

【小問1詳解】

m

^)2+E(x-z)2

%一元+元一彳J+一y+了一彳）2

i=l

+-y)2+(y-z)2+2(j.-y)(y-z)>

,/-x)(x-z)^j=2(x-z)y^(x;-x)=2(x-￡)(%1+/+%3++xn-nx)=0,

i=li=\

同理￡[2（口7）（歹一利=0.

?=1

1

所以/9=-----n,22+〃2區(qū)+(5—為［｝

m+n

【小問2詳解】

將該班參加考試學(xué)生成績的平均數(shù)記為I,方差記為$2,

_1

則2=—(30x100+20x90)=96,

50v7

所以S2=+20322

又底1x18,所以s*18.

即該班參加考試學(xué)生成績的平均數(shù)為96分，標(biāo)準(zhǔn)差約為18分.

【小問3詳解】

由⑵知〃=96,。=18,所以全年級學(xué)生的考試成績X服從正態(tài)分布網(wǎng)96,182),

所以尸(96—18VXW96+18卜。68,尸(XN96)=O5.

P(78<X<96)=P(96<X<114)-0.34,尸(X>114)=P(X<78)?0.16.

故可將X2114定為A等級，96<乂<114定為8等級，78<乂<96定為?等級，X<78定為D等級.

18.已知曲線C"(x)=e、—北在點(diǎn)4(1,/(功處的切線為/.

(1)求直線/的方程；

(2)證明：除點(diǎn)A外，曲線C在直線/的下方；

(3)設(shè)/'(玉)=/(&)=/,七工%2，求證：+%<-.

'-2e

【答案】(1)y=-ex+e；

(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，得到/(l)=0,/'(l)=-e,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程；

(2)令g(x)=-ex+e-e*+xe*,二次求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)函數(shù)值，得到所以

g(x)>g(l)=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=l等號(hào)成立，得到證明；

(3)求導(dǎo)得到〃龍)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象得到0</<1,不妨令苞<0,0<々<1,結(jié)合曲線。在(1,0)

點(diǎn)的切線方程為0(x)=—ex+e,得到％<%=」+1,轉(zhuǎn)化為證明工1<2"2,又"P-x聲，只要

e

證再<2e』-2邛為-2,令/(x)=2e“—2xe”—％—2,x<0,求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)函數(shù)值得

到答案.

【小問1詳解】

因?yàn)椤▁)=e*-xeX,

所以/(1)=0,/'(x)=-xe\r(l)=-e

所以直線/的方程為：y=-e(x-l),即丁=—ex+e

小問2詳解】

令g(%)=-ex+e-eA+xev,貝Ug'(x)=-e-e'+e'+xex=-e+xex,

令/z(x)=g，(x),則〃(x)=(x+l)e”,

由"(x)>0,解得％〉一1,由“(x)<0,解得x<—l,

所以/l(x)在(—8,—1)上單調(diào)遞減，在(—1,+8)上單調(diào)遞增,

當(dāng)X——co時(shí),--e,7z(l)=0,

所以g(x)在上單調(diào)遞減，在(1,+。)上單調(diào)遞增，

所以g(x)2g(l)=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=l等號(hào)成立，

所以除切點(diǎn)(1,0)之外，曲線C在直線/的下方.

【小問3詳解】

由/'(%)=—xe">。,解得％<0,/'(%)=—xe*<。,解得x>。,

所以/(%)在0)上單調(diào)遞增，在(0,+“)上單調(diào)遞減，

/(^=/(0)=1,/(1)=0,

當(dāng)Xf-00時(shí),/(x)f0.

因?yàn)?(石)=/(/)=/,石w%2，則0</<1，不妨令王<0,0<々<1.

因?yàn)榍€。在。,0)點(diǎn)的切線方程為(P(x)=—ex+e,

設(shè)點(diǎn)(七/)在切線上，有/=故毛=一上+1，

e

由(1)知xe(0,l)時(shí)，0(x)>/(%),

則0（%2）>/（%2）=1=0（項(xiàng)），即％2<%3=_2+1，

e

要證：%+%<2%-----1,

e

只要證：1]+/<%+1—<2t------1,

ee

只要證：石<2%-2,

又/二e』一再匕司，

只要證：再<2eX1-2七9一2,

令F（x）-2ex-2xex-x-2,x<0,

則/'（x）=—2xe'—1,

易證廣（X）在（一8,—1）上單調(diào)遞增，在（-1,0）上單調(diào)遞減，

9

所以b'（九/1）=——1<0,

e

所以F（x）在（—8,0）上單調(diào)遞減，所以F（x）>F（0）=0成立，

所以原命題成立.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是利用函數(shù)在零點(diǎn)處的切線方程，得到退=-1+1,且馬<忍=-1+1,