浙江省麗水市2022-2023學(xué)年高一年級下冊6月期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

麗水市2022學(xué)年第二學(xué)期普通高中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控

高一數(shù)學(xué)試題卷

本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共6頁，選擇題部分1至3頁，非選擇題部分4至

6頁.滿分150分，考試時間120分鐘.

請考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上.

第I卷選擇題部分（共60分）

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上.

2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題紙上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.不能答在試題卷上.

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的

1.i為虛數(shù)單位，則1'（1-21）=（）

A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i

2.已知向量聯(lián)=（1,2）,b=（cos8,sin。），且向量a與方平行，則tan。的值為（）

A--B.-2C.：D.2

22

3.甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.4,乙的中靶概率為0.5,則兩人各射擊一次，恰有一人中

靶的概率是（）

A.0.2B.0.4C.（）.5D.0.9

4.演講比賽共有9位評委，分別給出某選手的原始評分9.2,9.5,9.6,9.1,9.3,9.0,8.8,9.3,9.7,

評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分和1個最低分，得到7個有效評分.這7個有效評分

與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（）

A.極差B.中位數(shù)C.平均數(shù)D.方差

5.某中學(xué)組織三個年級的學(xué)生進(jìn)行黨史知識競賽.經(jīng)統(tǒng)計，得到前200名學(xué)生分布的扇形圖（如圖）和前

2（）0名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖（如圖），則下列命題錯送的是（）

前200名學(xué)生分布的扇形圖前200名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖

，,頻率

高二0.4

30%高一

0.3

45%

高三0.2

25%0.1

1-5051-100101-150151-200排名

A.成績前2()()名的學(xué)生中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多3()人

B.成績前100名的學(xué)生中，高一人數(shù)不超過50人

C.成績前50名的學(xué)生中，高三人數(shù)不超過32人

D.成績第51名到第100名的學(xué)生中，高二人數(shù)比高一人數(shù)多

6.如圖，A、B、C三點在半徑為1的圓。上運(yùn)動，且M是圓。外一點，OM=2,則

++的最大值是()

C.10D.12

7.一個袋中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅球和2個白球，從中一次性隨機(jī)摸出2個球，則下列

說法正確的是()

A.“恰好摸到1個紅球”與“至少摸到1個白球”是互斥事件

B.“恰好沒摸到紅球”與“至多摸到1個白球”是對立事件

C.“至少摸到1個紅球”的概率大于“至少摸到1個白球”的概率

D.“恰好摸到2個紅球”與“恰好摸到2個白球”是相互獨(dú)立事件

8.將函數(shù)/(x)=sinmx(3>0)的圖象向右平移;匚個單位得到函數(shù)y=g(x)的圖象，點A,6,C是

y=f(x)與y=g(x)圖象的連續(xù)相鄰的三個交點，若JU3C是銳角三角形，則①的取值范圍是()

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.每小題給出的四個選項中有多項符合

題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，錯選得0分.

9.已知復(fù)數(shù)2=。+加（aSeR）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為Z，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.|z|~=a2+b2B.z2=a2+b1

22

C.z.^=a+bD.|0Z|2=/+/

10.已知mn是異面直線，a,/是不同的平面，ml.a,nL（3,直線/滿足/_Lm,lln,則下列關(guān)

系不可熊成立的是（）

A.alI（3B.a工（3

CU/aD.ILa

11.已知。力是單位向量，則下列命題正確的是（）

A.若a=（_￡,f），則

B.若a,〃不共線，則（a+6）_L（a-b）

c.若|a-切26,則a,〃夾角的最小值是」

D.若的夾角是電，則。在“上的投影向量是立a

42

12.如圖，矩形8。所所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，BD=2,DE=\點P是線段E尸

上的動點，則下列命題中正確的是（）

A.不存在點尸，使得直線0P//平面ACF

B.直線OP與8c所成角余弦值的取值范圍是I。半

C.直線OP與平面AC尸所成角的取值范圍是［0,工］

4

D.三棱錐A-CDE的外接球被平面ACF所截得的截面面積是營

8

第II卷非選擇題部分（共90分）

注意事項：

1.用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫在答題紙上，不能答在試題卷上.

2.在答題紙上作圖，可先使用2B鉛筆，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑.

三、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.

13.若圓錐的母線長為2,軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的體積是

sina+2cos。

14.若tana=2,則

sina-cosa

15.如圖，平面四邊形ABC。的斜二測直觀圖是等腰梯形A'3'C'。'，A'iy^D'C'=\,那么原平面四邊

形中的邊BC的長是

16.如圖，測量河對岸的塔高可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個基點C和。進(jìn)行測量，現(xiàn)測

得CE>=28米，ZCBD=3Q，在點C和。測得塔頂A的仰角分別為45,30,則塔高AB=米.

17.如圖，從正四面體的4個頂點處截去4個相同的正四面體，得到一個由正三角形與正六邊形構(gòu)成的多

面體.若該多面體的表面積是146，則該多面體外接球的表面積是.

18.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，

亦稱“趙爽弦圖''(由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成).類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如

圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設(shè)

AD=AAB+/JAC,若AD=54E，則九一〃的值是

四、解答題：本大題共5小題，每小題12分，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

19.杭州2022年第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日至10月8日舉行.隨著亞運(yùn)會的臨近，亞運(yùn)會的熱

度持續(xù)提升.為讓更多的人了解亞運(yùn)會運(yùn)動項目和亞運(yùn)精神，某大學(xué)舉辦了亞運(yùn)會知識競賽，并從中隨機(jī)

抽取了100名學(xué)生的成績，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)試根據(jù)頻率分布直方圖求出這10()名學(xué)生中成績低于6()分的人數(shù);

(2)試估計這100名學(xué)生成績的第75百分位數(shù)；

(3)若采用分層抽樣的方法從成績在［70,80),［80,90),［90,100］的學(xué)生中共抽取6人參加志愿者活

動.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人分享活動經(jīng)驗，求抽取的2人成績都在［80,10()］的概率.

7T71

20.已知函數(shù)_/(x)=sin(x+w)+sin(x-：)+cosx+a的最大值為1.

66

(1)求常數(shù)。的值；

⑵求使/(X)>V3-1成立的*的取值集合.

21.在直三棱柱ABC-4與G中，D、E分別是A4、BQ的中點，DC,±BD,AC=BC=\,

A4,=2.

(1)求證：BC上平面MGC；

(2)求點E到平面GBD的距離.

22.在「ABC中，三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,=2DC?BD=2,且(a-c)sin(A+8)=

(。一人)(sinA+sinB).

⑴求8；

(2)當(dāng)2。+c取最大值時，求ABC的周長.

23.如圖，四棱錐尸一A3CD中，底面A3CO為直角梯形，AB//CD,ZBAD=90\AB=2CD=4,

PA1CD,在銳角中，AD=PD=3五，點E在PO上，PE=2ED.

⑴求證：依//平面47E；

（2）若4c與平面PC0所成角為30，求二面角P-AC—E的正切值.

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高一數(shù)學(xué)試題卷

本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共6頁，選擇題部分1至3頁，非選擇題部分4至

6頁.滿分150分，考試時間120分鐘.

請考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上.

第I卷選擇題部分（共60分）

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上.

2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題紙上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.不能答在試題卷上.

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的

1.i為虛數(shù)單位，則＞（1—Z）=（）

A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算律直接求解.

【詳解】i-（l-2i）=i—2i2=2+i,

故選：A.

2.已知向量）=（1,2）,b=（cosasin。），且向量〃與匕平行，則tan。的值為（）

11

A.——B.-2C.-D.2

22

【答案】D

【解析】

【分析】由平行向量的坐標(biāo)表示即可得出答案.

【詳解】向量a=(l,2),b=(cosasin。)，且向量a與b平行，

所以I?sin6-2-cos6=0,即tan6=2.

故選：D.

3.甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.4,乙的中靶概率為0.5,則兩人各射擊一次，恰有一人中

靶的概率是()

A.0.2B.0.4C.().5D.0.9

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率即可求得甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率.

【詳解】記甲中靶為事件4,乙中靶為事件B,

則P(A)=0.4,P(A)=1-0.4=0.6,P(B)=0.5,P(月)=1—0.5=0.5,

甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶，分甲中乙不中和甲不中乙中兩種情況，

則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為

P=P(A)?P⑻+P(B)P(A)=0.4x0.5+0.6x0.5=0.5.

故選：C

4.演講比賽共有9位評委，分別給出某選手的原始評分9.2,9.5,9.6,9.1，9.3,9.0,8.8,9.3,9.7,

評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分和1個最低分，得到7個有效評分.這7個有效評分

與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是()

A.極差B.中位數(shù)C.平均數(shù)D.方差

【答案】B

【解析】

【分析】分別計算9個原始評分和7個有效評分的極差、中位數(shù)、平均數(shù)和方差的，即可得出答案.

【詳解】從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分為：

9.2,9.5,9.6,9.1,9.3,9.0,9.3,

極差：9.6-9.0=0.6,

將7個有效評分從小到大排列為：9.0,9.1,9.2,9.3,9.3,9.5,9.6,

所以中位數(shù)為:9.3；

9.0+9.1+9.2+9.3+9.3+9.5+9.6…

平均數(shù)：%=

7

2_（9.0-9.29）2+（9.1-9.29『+（9.2-9.29）2+（9.3-9.29）2+（9.3-9.29）2+（9.5-9.29）2+（9.6-9.29）2

S,=

17

?0.0431

9個原始評分的極差為：9.6-8.8=0.8,

將9個有效評分從小到大排列沏8.8,9.0,9.1,9.2,9.3,9.3,9.5,9.6,9.7,

所以中位數(shù)為：9.3；

平均數(shù)為：x,=---------------------------------------------------?9.27,

22222

2_（8.8-9.27）2+（9Q_9.27）2+（9.1-9.27）+（9.2-9.27）+（9.3-9.27）+（9.3-9.27）+（9.5-9.27）+（9.6-

G=9

?0.073

所以不變的數(shù)字特征是中位數(shù).

故選：B.

5.某中學(xué)組織三個年級的學(xué)生進(jìn)行黨史知識競賽.經(jīng)統(tǒng)計，得到前200名學(xué)生分布的扇形圖（如圖）和前

200名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖（如圖），則下列命題錯送的是（）

A.成績前200名的學(xué)生中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多30人

B.成績前100名的學(xué)生中，高一人數(shù)不超過50人

C.成績前5（）名的學(xué)生中，高三人數(shù)不超過32人

D.成績第51名到第1（）0名的學(xué)生中，高二人數(shù)比高一人數(shù)多

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)餅狀圖和條形圖提供的數(shù)據(jù)判斷.

【詳解】由餅狀圖，成績前200名的200人中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多200x（45%-30%）=30,A正

確；

由條形圖知高一學(xué)生在前200名中，前100和后100人數(shù)相等，因此高一人數(shù)為200x45%xg=45<50,B

正確；

成績前50名的50人中，高一人數(shù)為200x45%x0.2=18,因此高三最多有32人，C正確；

第51至IJ100名的50人中，高一人數(shù)為200x45%x0.3=27,故高二最多有23人，因此高二人數(shù)比高一

少，D錯誤.

故選：D.

6.如圖，A、B、C三點在半徑為1的圓。上運(yùn)動，且M是圓。外一點，OM=2,則

++2Mq的最大值是（）

【答案】C

【解析】

【分析】連接A3,可知。為A8的中點，計算得出〔M4+MB+2Mqm4MO+2OC],利用向量模的三

角不等式可求得\MA+MB+2M《J的最大值.

【詳解】連接AB，如下圖所示：

因為4C1BC,則4B為圓。的一條直徑，故。為AB的中點，

所以，MA+MB=（MO+OA^+（MO+OB^=2MO,

所以，|蛇+加8+2Mq=|2MO+2（MO+OC）=^4MO+2OC\<4|MC>|+2|（7c|

=4x2+2x1=10,

當(dāng)且僅當(dāng)〃、0、。共線且例0、OC同向時，等號成立，

因此，|KA+M8+2M4的最大值為10.

故選：C.

7.一個袋中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅球和2個白球，從中一次性隨機(jī)摸出2個球，則下列

說法正確的是（）

A.“恰好摸到1個紅球”與“至少摸到1個白球”是互斥事件

B.“恰好沒摸到紅球”與“至多摸到1個白球”是對立事件

C.“至少摸到1個紅球”的概率大于“至少摸到1個白球”的概率

D.“恰好摸到2個紅球”與“恰好摸到2個白球”是相互獨(dú)立事件

【答案】B

【解析】

【分析】利用互斥事件的定義可判斷A選項；利用對立事件的定義可判斷B選項；利用古典概型的概率公

式可判斷C選項；利用獨(dú)立事件的定義可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，“恰好摸到1個紅球”為1紅1白，“至少摸到1個白球”包含：1紅1白、2白，

所以，“恰好摸到1個紅球”與“至少摸到1個白球”不是互斥事件，A錯；

對于B選項，“恰好沒摸到紅球”為2白，“至多摸到1個白球”包含：2紅、1紅1白，

所以，“恰好沒摸到紅球"與''至多摸到1個白球”是對立事件，B對；

對于C選項，2個紅球分別記為。、b,2個白球分別記為A、B,

從2個紅球和2個白球中一次性隨機(jī)摸出2個球，所有的基本事件有：ab、ciA.aB、hA.bB、

AB，

其中，事件“至少摸到1個紅球”包含的基本事件有：ab、aA,aB、bA,bB,其概率為

6

事件“至少摸到1個白球”包含的基本事件有：aA,aB、bA,bB、AB，其概率為*，

6

所以，“至少摸到1個紅球”的概率等于“至少摸到1個白球”的概率，c錯；

對于D選項，記事件E:恰好摸到2個紅球，事件恰好摸到2個白球，

則P（E）=P（尸）=LP（EF）=O,則P（M）HP（￡），（E）,

所以，“恰好摸到2個紅球”與“恰好摸到2個白球”不是相互獨(dú)立事件，D錯.

故選：B.

-TT

8.將函數(shù)/（x）=sinox（3>0）的圖象向右平移;上個單位得到函數(shù)y=g（x）的圖象，點是

3co

y=f（x）與y=g（x）圖象的連續(xù)相鄰的三個交點，若..ABC是銳角三角形，則。的取值范圍是（）

A.（0,弓兀）B.（0,孝兀）

C.71,+00)D.(----7t,+oo)

【答案】c

【解析】

TT

【分析】由條件，可得g(x)=sin(ox-§),作出函數(shù)的圖象，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及已知條件列

出不等式求解即可.

JIjIji

【詳解】依題意，g(x)=f(x----)=sin[69(x----)]=sin(5——),函數(shù)》=/0),丁=雙幻周期

3G3a)3

T3

co

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)丁=/(工),丫=8。)的圖象，如圖,

￡＞為AC的中點,

2兀

2AD=AC=T=—

co

由sincox=sin(69x—,整理得sin^x=-GCOSGX，

?zG

又sin26yx+cos?cox=1，解得sincox=±—，

2

于是點A,8的縱坐標(biāo)力，力有力=-%，即8。=2|詞=6,

7TTT

要使一ABC為銳角三角形，當(dāng)且僅當(dāng)一＜/B4C＜一,

42

即tanNBAC=g^=32＞l，解得。＞立兀，

AD713

所以①的取值范圍是兀,+8).

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理轉(zhuǎn)化條件，得到關(guān)于①的不

等式.

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.每小題給出的四個選項中有多項符合

題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，錯選得0分.

9.已知復(fù)數(shù)2=。+萬（a,0eR）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.|z|2-a2+h2B.z2=a2+b1

22

C.z.^=a+hD.|。2?=/+/

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)模的計算公式和復(fù)數(shù)的乘法可判斷ACD的正誤，取特例根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計算后可判斷B的正

誤.

【詳解】因為z=a+〃，故目=|OZ卜J/+/,故|OZ『="+/,⑸2=/+〃

而z?z=（“+歷）（“一歷）=a?+h2,故ACD正確.

取。=11=1,故z=l+i,則z2=2i,/+從=2*2#〃+從，故B錯誤.

故選：ACD.

10.已知北，是異面直線，a,/是不同的平面，mla,n±/3,直線/滿足/_Lm,lln,則下列關(guān)

系不可熊成立的是（）

A.?///?B.a_L￡

C.IllaD.IA,a

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)可判斷A,由題目所給條件及兩平面垂直的性質(zhì)判斷B,根

據(jù)特殊情況判斷C,由線面垂直的性質(zhì)判斷D.

【詳解】若。//4，可得加，尸，又〃，尸，可得m〃n,與加，〃是異面直線矛盾，故A不能成

立；

若a，/?,nL/3,則也〃可能異面或相交，故B可能成立；

當(dāng)加，e,nLp,直線/滿足/_Lm,/In,當(dāng)直線與兩個平面的交線平行且在平面外時，滿足

Ula,如圖,

故C可能成立;

當(dāng)/_La時，由"_La知〃2〃/,這與/_L〃z矛盾，故D不可能成立.

故選：AD

11.已知。力是單位向量，則下列命題正確是（）

A.若a=，則？=g

B.若a,〃不共線,則（a+加_L（〃-匕）

C.若|a-加2#,則a,6夾角的最小值是j

D.若的夾角是空，則6在a上的投影向量是也a

42

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)向量a,6是單位向量，結(jié)合向量模，數(shù)量積和投影向量公式，即可判斷選項.

【詳解】A.因為向量。是單位向量，

所以同=J一曰+*=i，得r=±g，故A錯誤；

B.（a+力）?（Q—b）=Q~-=1—1=0,所以（a+b）_L（〃—Z?）,故B正確；

C.\a-b\-J（a-b）-y]a2-2a-b+h2-不2_2cos（a,b）>也>

得cosRMw-g,則心出卜y,7T,所以a,。夾角的最小值是與，故C正確；

上的投影向量是Wcos(a,/?)a=~~^~a,

D.A在a故D錯誤.

故選：BC

12.如圖，矩形8。萬戶所在平面與正方形ABC。所在平面互相垂直，BD=2,DE=1，點P是線段E尸

上的動點，則下列命題中正確的是（）

E

A.不存在點尸，使得直線OP//平面ACF

B.直線。尸與8c所成角余弦值的取值范圍是［0,孚］

C.直線OP與平面AC產(chǎn)所成角的取值范圍是［0,四］

4

9兀

D.三棱錐A-CDE的外接球被平面AC產(chǎn)所截得的截面面積是一

【答案】BCD

【解析】

【分析】當(dāng)點尸是線段EF中點時判斷A,利用向量法求出異面直線夾角的余弦的范圍判斷B,利用線面

角的定義轉(zhuǎn)化為正弦值計算判斷C,求出AAC戶外接圓面積判斷D.

【詳解】取E尸中點G,連OG,令A(yù)CnBO=0,連尸O,如圖，

在正方形ABCQ中，。為8。中點，而8DEF是矩形，

則DO//GF且DO=GF,即四邊形DGFO是平行四邊形，

即有OG"FO,而FOu平面AC凡￡>Gz平面ACF,

于是得QG〃平面ACF,當(dāng)點尸與G重合時，直線。P〃平面ACF,故A錯誤；

因平面8￡>￡尸_1_平面月BCD,平面BDEFc平面ABCD=8D,ED工BD，EDu平面BDEF，

所以即，平面ABC。，因為BF/IED,所以3尸_L平面A8CQ,

因為AD,AB,BC,BDu平面ABCD,所EOJ_AD,E。_LBD,BF1AB,BFA.BC,

因為5D=2,DE=1，所以AD=五,EA=6,DF=也,AF=CF=y5,

又8C〃AQ,所以直線與8C所成角為（或其補(bǔ)角），

因為.￡>P=ZM?（QE+EP）=ZM?（OE+XEfj=XZM.OB

=2V22COS45°=22（0<2<1）,

3

而|。/『=（。￡+/1石/）2=1+4丸2,10Al=正，所以|。尸|=JI+4^2，

DA-DP22八

當(dāng)；1=0時，cosZADP

\DA\-\DP\V2V1+4A2

,…DADP2222_VIo

當(dāng)0<%Wl時，’_\DA\-\DP\V2V1+4A2上IK5

綜上，0<cosZADP<—,故B正確；

5

設(shè)短到平面AC戶的距離為d，因為AF=FC=6，AC=BD=2,

所以K"C=；AC.OF=；X2XV5=0,又S4ABC=；ABBC=；X立x且=1,

IIF)

由等體積法，VB.AFC=VF_ABC=-dS?AFC=-FB-S^ABC,即、&=1，解得d=注，

332

設(shè)直線OP與平面ACF所成角為e,

當(dāng)尸與G重合時，直線0P〃平面ACF,直線DP與平面ACE所成角8=0,

當(dāng)P點由G向旦尸運(yùn)動時，。變大，當(dāng)運(yùn)動到￡時，因為DE〃BF，

所以sine=」-=4l,由ovewZ知，0=-,

BF224

%一辦不II179?ndV2V10\[2

當(dāng)坦動到F時，sin0—=—尸=----<—，

DF2y/5102

7T

綜上知，0e[O-]故C正確；

4t

在△ACF中，AF=CF7BC、BF2=5顯然有FO_LAC，sinZFAC=—=^B°2±BF~=

AFAFJ3

CF33

由正弦定理得△Ab外接圓直徑27?=-^^=-^,八不,

sinNE4c，22,2

以ZM,OC,￡>￡為長寬高作長方體，如圖,

則三棱錐A—CDE的外接球即為長方體的外接球,

97r

三棱錐A-CDE的外接球被平面ACF所截得的截面是△人，戶的外接圓，其面積為兀代=一，故D正

8

確.

故選：BCD.

TT

【點睛】關(guān)鍵點點睛：線面角的范圍為0<64一，求點到平面的距離可以利用等體積法，當(dāng)兩條直線平

2

行時，直線與同一平面所成角相等，當(dāng)直線與平面不平行線時，直線上一點到平面的距離與斜線長的比為

線面角的正弦值.

第n卷非選擇題部分（共90分）

注意事項：

i.用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫在答題紙上，不能答在試題卷上.

2.在答題紙上作圖，可先使用2B鉛筆，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑.

三、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.

13.若圓錐的母線長為2,軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的體積是.

【答案】述兀##2/生

33

【解析】

【分析】根據(jù)軸截面可求圓錐的高和底面半徑，故可求圓錐的體積.

【詳解】因為圓錐的母線長為2,軸截面是等腰直角三角形，

故圓錐的高為血且底面半徑為血，

故體積為gx兀*（血）XV2=71,

故答案為：述7t.

3

,,八rtsma+2cosa

14.若tana=2,貝ij-----------------=.

sina-cosa

【答案】4

【解析】

【分析】求值式分子分母同除以cosa,化為tan。后代入tana的值計算.

【詳解】丁tana=2,

?sina+2cos。tana+2-2+2一

??一——r.

sina-cosatanez-12-1

故答案為：4.

15.如圖，平面四邊形ABC。的斜二測直觀圖是等腰梯形A‘3'C'。'，A'iy^D'C'=\,那么原平面四邊

【答案】76.

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合斜二測畫法規(guī)則還原平面四邊形A5CD,再計算邊長作答.

【詳解】在等腰梯形A'3'C'。'中，NO'A8'=45，A'O'=O'C'=1,

則A'B'=2-A'。'cosZD'A'B'+O'C'=夜+1，

由斜二測畫法規(guī)則知，四邊形ABCZ）的頂點A與原點。重合，點B,力分別在x軸、y軸上，DC//AB,

且4。=24。'=2,0。=。'。'=1,45=48'=&+1,如圖，

顯然四邊形ABCD為直角梯形，于是得=Off=瓜.

故答案為：y/6

16.如圖，測量河對岸的塔高AB，可以選取與塔底8在同一水平面內(nèi)的兩個基點C和。進(jìn)行測量，現(xiàn)測

得C￡>=28米，ZCBD=30，在點C和。測得塔頂A的仰角分別為45,30,則塔高4?=米.

A

【答案】28

【解析】

【分析】設(shè)A3=〃米，進(jìn)而可得BC,BD,然后利用余弦定理求解.

【詳解】設(shè)AB=力米，

AD

在,ABC中，BC=---------=h,

tan45

AQL

△A3。中，BD=------=V3/i,

tan30

在△BCO中，CD?=CB?+DB?-2CB?DB?CGS30，

即28?=/+（商『一2/z.岑，

所以力2=28?，

解得〃=28（米）.

故答案為：28.

17.如圖，從正四面體的4個頂點處截去4個相同的正四面體，得到一個由正三角形與正六邊形構(gòu)成的多

面體.若該多面體的表面積是146，則該多面體外接球的表面積是.

【答案】11無

【解析】

【分析】求出原正四面體外接球的半徑，從而可求出多面體外接球的球心到底面的距離，求出多面面體的棱

長，即可求出其外接球的半徑，從而可求出外接球的表面積.

【詳解】由題意可得多面體的棱長為原正四面體棱長的一，設(shè)原正四面體的棱長為。，

3

則其表面積為4*走乂/=百",由圖易知該多面體與原正四面體相比較,

4

表面積少了8個邊長為的正三角形的面積,

3

所以該多面體的表面積為6/一8乂岑乂@4=當(dāng)且=14出,

所以a=3V2■

如圖，。1是下底面正六邊形A3CD上廠的中心，。2是上底面正三角形MNG的中心,

由正四面體的對稱性可知截角四面體的外接球的球心。在原正四面體的高產(chǎn)。上，

<9,G=V2x^x-=—,QQ,二'歷小丘立二］=迪.

22331233^23）3

設(shè)球。的半徑為R，在Rtz^OQA中，0A2=0/2+。。：，所以收=2+。0；,

在Rt^O^G中，0G2=00；+。2G2,所以火2=O2G2+竽一001=g+［華一，

所以O(shè)Q：+2=1+［孚-oq,解得0。=母，所以R=,00：+2=當(dāng)，

所以該多面體外接球的表面積5=4兀/?2=1E.

故答案為：IE.

18.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，

亦稱“趙爽弦圖''（由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）.類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如

圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間?個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設(shè)

AD=AAB+^iAC,若A￡>=5AF，則義一〃的值是.

c

【答案】—

31

【解析】

【分析】先設(shè)。尸=4A尸=4,根據(jù)題意可知NA￡>8=120°,求出A8=JJ1，延長A￡）交8c于〃，求

出DM的長，再由平面向量基本定理即可得出結(jié)果.

【詳解】因為AQ=5AF，

不妨設(shè)。尸=4AF=4，

因此BD=AF=1,AD=5,

由題意得NADB=120°,

所以AB?=AD2+BD2-2AD-BDcosZADB

25+l-2x5xlx31,

所以AB=JJT，

延長AO交BC于M,

記/DAB=8,Z.AMB=cc,

心十介-必

則cos0=

2ADAB

25+31-111^1

-2x5xV31-62

所以sin。=叵，

62

又由題意易知ZDAB=ZDBM，

則a=120°—6,

在三角形DBM中，

由正弦定理得.以DMBD

sinZMDBsinZDBMsinZDMB

BMDM1

BII----------------=-------------=----------------------------------

1sin60°sin。sin(1200-6>),

sin60°

因此=sin(120。叫

Li一=叵，BC,

旦。*266

22

sin。

DM=

sin(120°-^)

sin。

6,

——cos61+—sint/

22

31

所以AM=AO+OM

~~6

AD=—AM,

31

因為BM=LBC,

6

即AM-AB=-\AC-AB\,

6')

整理得AM=3A6+』AC,

66

所以AO=型AM

3131(66)

255

—AB+—AC

3131

又因為AO=/148+〃4C,

…255

則A=—,〃=—

3131

所以義_〃=疝20.

…—20

故答案為：—

31

四、解答題：本大題共5小題，每小題12分，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

19.杭州2022年第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日至10月8日舉行.隨著亞運(yùn)會的臨近，亞運(yùn)會的熱

度持續(xù)提升.為讓更多的人了解亞運(yùn)會運(yùn)動項目和亞運(yùn)精神，某大學(xué)舉辦了亞運(yùn)會知識競賽，并從中隨機(jī)

抽取了100名學(xué)生的成績，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)試根據(jù)頻率分布直方圖求出這10()名學(xué)生中成績低于6()分的人數(shù);

(2)試估計這1()0名學(xué)生成績的第75百分位數(shù);

(3)若采用分層抽樣的方法從成績在［70,80),［80,90),［90,100］的學(xué)生中共抽取6人參加志愿者活

動.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人分享活動經(jīng)驗，求抽取的2人成績都在［80,1()()］的概率.

【答案】(1)18人(2)82.5

1

(3)?

【解析】

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖直接計算即可得解；

⑵由百分位數(shù)的定義直接計算即可；

(3)根據(jù)分層抽樣，列出基本事件，由古典概型的概率公式求解.

小問1詳解】

由頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)可知：(0.002+0.016)xl0xl00=18(人)

【小問2詳解】

成績小于80的頻率為10x(0.()()2+0.016+0.()22+().()30)=0.7,成績在［80,90)的頻率為

10x0.020=0.2,因為0.7<0.75<0.9,

所以這100名學(xué)生成績的第75百分位數(shù)在［80,90)內(nèi)，

所以隨機(jī)抽取的100名學(xué)生成績的第75百分位數(shù)為80+lOx上七一」=82.5.

0.9-0.7

【小問3詳解】

因為成績在［70,80),［80,90),［90,100］的學(xué)生人數(shù)所占比例為3:2:1,

所以從成績在［70,80),［80,90),［90,100］所抽取人數(shù)分別應(yīng)抽取3人，2人，1人.

記抽取成績在［70,80)的3人為a,4c,成績在［80,100］為。,E,尸.

從這6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能為：(a,圾(a,c),(。,。),(a,￡),(?,F),S,c),S,D),也E),

(b,F),(c,D),(c,E)，(c,尸)(D,￡),(￡>*),(E,尸),共15種，

抽取的2人成績都在^。/。。］的是⑷,^),。/7),3，)，共3種,

抽取的2人成績都在［80,100］的概率為百a三1.

TTTT

20.已知函數(shù)/(x)=sin(x+—)+sin*-二)+8§工+。的最大值為1.

66

(1)求常數(shù)〃的值；

⑵求使f(x)>V3-1成立的X的取值集合.

【答案】(1)-1

(2)sx|—+2ki<x<—+2k7r,Z:eZ>

【分析】(1)對/(x)進(jìn)行整理化簡，然后根據(jù)最大值得到〃的值;

(2)根據(jù)(1)將不等式轉(zhuǎn)化為sinx+-\>—,從而解得解集.

I6j2

【小問1詳解】

f(x)=sinx+-+sin+COSX+。

6

區(qū)inx+、°sx+且sinx——cosx+cosx+a

2222

=A/3sinX+COSX+Q

=2sinx+—\+