2024年湖南省長沙市望城區(qū)部分學校中考數(shù)學一模試卷（含解析）

2024年湖南省長沙市望城區(qū)部分學校中考數(shù)學一模試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列各數(shù)：g3.14,今y,眄中，無理數(shù)有個.（）

A.1B.2C.3D.4

2.亞運會會徽圖案中是軸對稱圖形的是（）

3.下列運算正確的是（）

A.Q+=Q323s332622

B.(a/j)=abC.Sy-3y=15ysD.aa=a

4.華為Ma￡e60Pr。搭載了麒麟9000s芯片，該芯片采用7納米工藝制造，擁有出色的性能和能效比.已知7米

等于7000000000納米.數(shù)據(jù)7000000000用科學記數(shù)法為()

A.0.7x108B.0.7x109C.7x108D.7x109

5.如圖，在△ABC中，4D是NBAC的平分線，AB=8cm,AC=6cm,則SMB。：

S&ACD為（）

A.9：16

B.3：4

C.16：9

D.4：3

6.為了解某小區(qū)居民的用水情況，隨機抽查了若干戶家庭的某月用水量，統(tǒng)計結果如表所示，下列關于

“月用水量”的數(shù)據(jù)分析說法正確的是（）

月用水量/噸68910

戶數(shù)2369

A.平均數(shù)是8B.中位數(shù)是8C.方差是1.5D.眾數(shù)是9

7.如圖，48是。。的直徑，若N8AC=36。，則乙4DC的度數(shù)為（）C

A.36°

B.45c

C.54c

D.72°

8.不等式組｛:的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

-3-2-10123-3-2-10123

-3-2-10123-3-2-10123

9.下列一次函數(shù)中，y隨％增大而增大的有（）

?y=8x-7；@y=6-5x；（3）y=-8+y/~3x；④y=（V3-V"7）x；⑤y=9x.

A.①②③B.①②⑤C.①③⑤D.①④⑤

10.《周髀算經(jīng)》OL章算術》的島算經(jīng)）掰'子算經(jīng)》都是中國古代數(shù)學著作，是中國古代數(shù)學文化的瑰

寶.小華要從這四部著作中隨機抽取兩木學習，則抽取的兩本恰好是倜髀算經(jīng)》和仇章算術》的概率是

11

-C-D

A.68

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

11.分解因式：9/J2-a2=

12.若一組數(shù)據(jù)3,-2,x,-2,3的眾數(shù)是3,則這組數(shù)據(jù)的方拳為—

13.如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形OABC的頂點C在4軸的正半軸

上.若點4的坐標是（3,4）,則點8的坐標為

OC

14.如圖，點M為反比例函數(shù)y=：圖象上的一點，AM_Ly軸于點48為y軸負半軸

上一點，且滿足04=。氏連接MB與％軸交于點C,若S.8oc=l，貝腺=______.

15.如圖，力8是半圓。的直徑，弦CD//AB,8=8,弦CD與直徑AB之間的距

離為3,則48=______.

16.如圖，在AARC中，乙4cB=90。，AC=BC=3,以BC為直徑作半圓。，過

點A作半圓。的切線，切點為D,過點D作D￡〃BC交詫于點E,則DE=

三、計算題：本大題共1小題，共6分。

17.計算：2sin450-78+(7T-1)°+|/2-1|.

四、解答題：本題共8小題，共66分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

18.(本小題6分)

先化簡，再求值：—2(。26+^爐)+(2a2b-3ab2),其中。=1,b=-2.

19.(本小題6分)

如圖，樂樂從地鐵站4出發(fā)，沿北偏東30。方向走1000米到達博物館B處，參觀后又從8處沿正南方向行走

一段距離，到達位于地鐵站南偏東45。方向的圖書館C處.

(1)求樂樂從博物館走到圖書館的途中與地鐵站A之間的最短距離；

(2)如果樂樂以80米/分的速度從圖書館C沿C4回到地鐵站4那么她在10分鐘內能否到達地鐵站4?(72?

1.414,73?1.732).

B

20.(本小題8分)

在某中學開展的讀書活動中，為了解年七年級400名學生暑期讀書情況，隨機調查了七年級部分學生暑期

讀書的冊數(shù).根據(jù)調查結果，繪制出如圖的統(tǒng)計圖①和圖②.請整根據(jù)相關信息，解答下列問題:

ia0圖②

(I)本次接受調查的學生人數(shù)為,到①中m的值為______；

(II)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為;求統(tǒng)計的這組數(shù)據(jù)的平均數(shù);

(III)根據(jù)統(tǒng)計的樣本數(shù)據(jù)，估計暑期該校七年級學生讀書的總冊數(shù).

21.(本小題8分)

如圖，A/IBC中，Z-ACB=90°,4D平分OE14B于E.求證：

(1)4E=4C；

(2)直線AC是線段CE的垂直平分線.

22.(本小題9分)

已知某品牌的飲料有大瓶裝與小瓶裝之分某超市花了3800元購進一批該品牌的飲料，共1000瓶，其中大

瓶和小瓶飲料的進價及售價如下表所示：

大瓶小瓶

進價(元/瓶)52

售價(元/瓶)73

(1)該超市購進大瓶和小瓶飲料各多少瓶？

(2)在大瓶飲料售出200瓶，小瓶飲料售出100瓶后，商家決定將剩下的小瓶飲料的售價降低0.5元銷售，并

把其中一定數(shù)量的小瓶飲料作為贈品，在顧客一次性購買大瓶飲料時，每滿2瓶就送1瓶小瓶飲料，送完即

止.超市要使這批飲料售完后獲得的利潤不低于1250元，那么小瓶飲料作為贈品最多只能送出多少瓶？

23.(本小題9分)

如圖，在菱形4BCD中，對角線AC與BD相交于點0,E為CD的中點，連接OE并延長到點F,使得OE=

EF,連接DF.

(1)求證：四邊形OCFO是矩形；

(2)若=5,sinzDOF=求8。的長.

24.(木小題10分)

如圖，4B為O。的直徑，C為。0上一點，連接C8,過C作CD1AB于點D,過C作/DCE,使乙DCE=

2乙BCD,其中CE交AB的延長線于點E.

(1)求證：CE是。。的切線；

(2)如圖2,點戶是0。上一點，且滿足々FCE=24力8C,連接力尸并延長交EC的延長線于點G.

①試探究線段cr與CD之間滿足的數(shù)量關系;

②若CO=4,tanz-BCE=1,求線段”的長.

圖2

25.(本小題10分)

如圖，二次函數(shù)、=/+歷:+。的對稱軸是直線％=1,圖象與％軸相交于點4(-1,0)和點B,交y軸于點C.

(1)求此二次函數(shù)的解析式;

(2)點P是對稱軸上一點，當△BOCs△月尸8時，求點P的坐標(請在圖1中探索);

(3)二次函數(shù)圖象上是否存在點M,使△ABC的面積Si與AABM的面積S2相等？若存在，請求出所有滿足條

件的點M的坐標；若不存在，請說明理由〔請在圖2中探索).

圖1圖2

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：/4=2,是有理數(shù)，不是無理數(shù)，

3.14和當是有理數(shù)，不是無理數(shù)，

所以無理數(shù)有最源（共2個）.

故選：B.

根據(jù)無理數(shù)的定義逐個判斷即可.

本題考查了無理數(shù)，能熟記無理數(shù)的定義（無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)）是解此題的關鍵.

2.【答案】A

【解析】解：力、是軸對稱，符合題意；

8、不是軸對稱圖形，不符合題意；

C、不是軸對稱，不符合題意；

。、不是軸對稱，不符合題意；

故選：A.

根據(jù)軸對稱圖形的概念即可求解.在平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的

圖形為軸對稱圖形.

本題考查了軸對稱圖形，能找準對稱軸是本題的關鍵.

3.【答案】C

【解析】解：A、a與M不是同類項，不能合并，故不合題意；

B、（。2/?）3=。6匕3,故不合題意；

C、5y3.3y2=i5yS,故符合題意；

￡）、a6-ira2=a4,故不合題意；

故選：C.

直接根據(jù)單項式乘單項式、合并同類項、鼎的乘方與積的乘方、同底數(shù)幕的除法運算法則計算即可.

此題考查的是單項式乘單項式、合并同類項、幕的乘方與積的乘方、同底數(shù)暮的除法，掌握其運算法則是

解決此題的關鍵.

4.【答案】D

【解析】解：7000000000大于1,用科學記數(shù)法表示為ax10%其中Q=7,n=9,

---7000000000用科學記數(shù)法表示為7x109.

故選：D.

根據(jù)絕對值大于1的數(shù)，用科學記數(shù)法表示為ax10、其中1Wav10,九的值為整數(shù)位數(shù)少1,進行作答

即可.

本題考查了絕對值大于1的科學記數(shù)法的表示，確定a,n的值是關鍵.

5.【答案】D

【解析】解：作DEJ.4B于E,DF1AC于尸，

是NBAC的平分線，//\

DE=DF,/'、、/

，?I?X

//?'，J./XX

???SAAB。：SHACD=?DE：\AC-DF=AB：AC=8：6=4：/___________

22BDC

3.

故選：D.

作DE148于E,。/，4：于凡由角平分線的性質可知，DE=DF,再由三角形的面積公式求解即可.

本題考查的是角平分線的性質及三角形的面積公式，由角平分線的性質及三角形的面積公式作出輔助線是

解答此題的關鍵.

6.【答案】C

【解析】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6x2+?震及l(fā)°x9=%噸),因此選項A不符合題意；

Z+3+6+9

將這20戶的用水量從小到大排列，處在中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)為攀=9,所以中位數(shù)為9,因此選項

?不符合題意；

這組數(shù)據(jù)的方差為品X[2x(6-9)2+(8-9/x3+(9-9/x6+(10-9)2X9]=1.5,因此選項C符

合題意；

這組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的是10噸，共出現(xiàn)9次，所以用水量的眾數(shù)是10,因此選項。不符合題意；

故選：C.

根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的計算方法分別進行計算即可.

本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差，掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)以及方差的計算方法是正確解答的前

提.

7.【答案】C

【解析】解：如圖，連接BC.

?.TB是直徑，

LACB=90°,

:.匕ABC=90°-乙CAB=54%

:.Z.ADC=Z.ABC=54°,

故選：C.

如圖，連接BC.求出乙4"即可解決問題.

本題考查圓周角定理，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造直角三角形解決問

題,屬于中考?？碱}型.

8.【答案】C

【解析】解：：〈粽，

(X-2>0(2)

解不等式①得：%<-2,

解不等式②得：x>2,

，原不等式組無解，

.?.該不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：

-3-2-10123

故選：C.

按照解一元一次不等式組的步驟進行計算，即可解答.

本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解

題的關鍵.

9.【答案】C

【解析】解：①在一次函數(shù)y=8%-7中，k=8>0,則此函數(shù)中y隨之增大而增大，故本選項符合題意；

②在一次函數(shù)y=6—5%中，k=—5<0,則此函數(shù)中y隨x增大而減小，故本選項不符合題意；

③在一次函數(shù)、=一8+門%中，k=y/l>0,則此函數(shù)中y隨久增大而增大，故本選項符合題意；

④在一次函數(shù)y=(、另一/7)%中，k="寫一V7)V0,則此函數(shù)中y隨%增大而減小，故本選項不符合題

意.

⑤在正比例函數(shù)y=9%中，k=9>0,則此函數(shù)中y隨%增大而增大，故本選項符合題意；

故選：C.

根據(jù)一次函數(shù)的性質對各選項進行逐一分析即可.

本題考查的是一次函數(shù)的性質，即一次函數(shù)丫=/^+匕(4中0)中，當k>0時，y隨”的增大而增大，函數(shù)

從左到右上升；k<0,y隨工的增大而減小，函數(shù)從左到右下降.

10.【答案】B

【解析】解：將四部名著。司髀算經(jīng)》仇章算術》的島算經(jīng)》痣小子算經(jīng)》分別記為A,B,C,0,

用列表法列舉出從4部名著中選擇2部所能產(chǎn)生的全部結果：

ABCD

A-BACADA

BAB-CBDB

CACBC—DC

DADBDCD—

由表中可以看出，所有可能的結果有12種，并且這12種結果出現(xiàn)的可能性相等,

所有可能的結果中，滿足事件的結果有2種，即AB,BA,

所以恰好選中倜髀算經(jīng)》和仇章算術少的概率是白=:，

izo

故選：B.

本題需要兩步完成，所以可采用樹狀圖法或者采用列表法求解.

本題考查了用列表法或樹狀圖法求概率，解答本題的關鍵是掌握概率的求法.

11.【答案】(3匕+a)(3b—a)

【解析】解:原式=(3協(xié)2_d

=(3b4-a)(3b—a).

故答案為：(3b+a)(3b-a).

直接利用平方差公式進行分解即可.

此題主要考查了平方公式分解因式，關鍵是熟練掌握平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).

12.【答案】6

【解析】解：???數(shù)據(jù)3,-2,x,-2,3的眾數(shù)是3,

x=3>

則數(shù)據(jù)為3,-2,3,-2,3

??.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：-2—2:3+3+3=],

???這組數(shù)據(jù)的方差為：|X[2X(-2-1)24-3X(3-I)2]=6；

故答案為：6.

先根據(jù)眾數(shù)的概念得出％=3,再依據(jù)方差的定義計算可得.

本題主要考查眾數(shù)和方差，掌握方差的計算是解題的關鍵.

13.【答案】(8,4)

【解析】解：?.?點A的坐標是(3,4),

0A=5,

???四邊形04BC為菱形，

/.0A=AB=5,

則點B的坐標為(8,4).

故答案為：(8,4).

根據(jù)點A的坐標是(3,4),可得04的長，再根據(jù)菱形的四條邊都相等即可得點B的坐標.

本題考查了菱形的性質、坐標與圖形的性質，解決本題的關鍵是掌握菱形的性質.

14.【答案】4

【解析】解：連接0M,

,:0A=0B,

???AB=0A4-OB=20B,

???AMly軸于點4,。。_1、軸于點。,

AM//0C,

/.△ABM^h0BC,

,:OA=OB,AM1y軸于點4,

S^AOM=SABOM，

,*,51川=^AAOM,

\k\=4,

???點M為反比例函數(shù)y=:在第一象限圖象上的一點,

???k>0,

???k=4,

故答案為：4.

連接0M,證明MBMSAOBC,利用三角形中線性質得到0C=竽則如|=S-OM，根據(jù)反比例函數(shù)圖象

所在象限即可得到答案.

此題考查了利用圖形面積求反比例函數(shù)的比例系數(shù)，掌握反比例函數(shù)k的幾何意義是關鍵.

15.【答案】10

【解析】解：過。作O，_LCD于H,

CH=1cD=1x8=4,/、、、、：\

—三——

：AB//CD,

OHLAB,

???OH=3,

OC=VOH2+CH2=5，

.??AB=2OC=10.

故答案為：10.

過。作OH1CD于H,由垂徑定理得到CH="CO=4,由得到OHJ.AB,因此。H=3,由勾股

定理求出OC=/OH?+CH?=5,即可得到4B=2OC=10.

本題考查垂徑定理，勾股定理，關鍵是由勾股定理求出OC的長.

16.【答案】|

【解析】解：延長AD交C8的延長線于尸點，過。點作DG1BC于G點，過A

。點作OH_LDE于H點，連接0D,如圖，

VLACB=90°,AC=BC=3,

???AC為。。的切線，

?.TO為。。的切線，

ODLADfAD=AC=3,

???LFDO=90。，

Z.DFO=Z.CFA,Z-FDO=/-FCA,

3

F00D-

21

--=7-=-=-

F4c32

設廠。=工?則兄4=2x,

???FD=2x—3,

在RtAFD。中，(1)2+(2x-3)2=x2,

解得力=獲

即0/=全

??《DGOF=；0D?DF,

??.0G=J(*?2=強

???DE//BC,DG1BC,OH1DE,

.??四邊形OGDH為矩形，

9

:.DH=OG=熱

???OH工DE,

DH=EH,

9

DE=2DH=

故答案為：

延長40交CB的延長線于F點，過。點作OGIBC于G點，過。點作0,，DE于，點，連接0D,如圖，先證

明AC為。。的切線，則利用切線的性質和切線長定理得到。。14",AD=AC=3,接著證明△產(chǎn)DOs4

FCA,利用相似比得到獸=整=；,則設尸。二%,FA=2%,所以FO=2%-3,接下來在RC△尸00中利

FAAC2

用勾股定理得到?)2+(2%—3)2=/,解方程得到。/=費則利用面積法可求出0G=(,然后利用勾股

定理計算HIOG=K，最后利用垂徑得到DE的長.

本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了切線長足理、垂徑定理和勾股定理.

17.【答案】解：2sin45°-78+(7r-1)°+|/2-1|,

=2X竽—2V~2+1+>J~2—1?

=<2-2/2+1+/2-1?

=0.

【解析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答.

本題考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)暴，特殊角的三角函數(shù)值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

18.【答案】解：原式=-2a2b+|ab2—b2+2a2b—3ab2

=—b2-^ab2,

當a=1,b=-2時，

原式="(-2)2-|x1x(-2)2

【解析】先去括號，再合并同類項，化簡后將a,b的值代入即可.

本題考查整式的化簡求值，解題的關鍵是掌握去括號，合并同類項的法則把所求式子化簡.

19.【答案】解:(1)如圖，過點4作4D1BC于點D,

在RCA40B中，48=1000米，48=30°,

則4D=；4B=500(米)，北

答：樂樂從博物館走到圖書館的途中與地鐵站A之間的最短距離為500米；7

(2)在RMADC中，ZC=45°,打

則AC=>[2AD=500口(米)，

???500/2?707,707-5-80?8.8<10,

???樂樂在10分鐘內能到達地鐵站力.

【解析】(1)過點4作4。1BC于點D,根據(jù)含30。角的直角三角形的性質求出AD；

(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質求出/C,根據(jù)題意求出樂樂以80米/分的速度從圖書館C沿。4回到地鐵站4

所需的時間，比較大小得到答案.

本題考查的是解直角三角形的應用一方向用問題，熟記直角三角形的性質是解題的關鍵.

20.【答案】40253和3

【解析】解：(I)本次接受調查的學生人數(shù)為：4+10%=40(人)，

m%=12x100%=25%,

即圖①中的m的值是25,

故答案為：40,25；

出我-1x4+2x8+3x15+4x10+5x3”業(yè)、

(II)平均數(shù)：X=------------------------------=3(冊)，

???3出現(xiàn)的次數(shù)最多，

???眾數(shù)是3冊，

被抽查的40個學生讀書冊數(shù)從小到大排列，排在第20和21位的兩個數(shù)分別為3,

故中位數(shù)是3冊.

即本次調杳獲取的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3冊、眾數(shù)是3冊、中位數(shù)是3冊.

故答案為：3,3；

(III)v3X400=1200,

???根據(jù)統(tǒng)計的樣本數(shù)據(jù)，估計暑期該校七年級學生讀書的總冊數(shù)為1200冊.

(I)由兩個統(tǒng)計圖可知，讀書1冊的有4人，占調查人數(shù)的10%,可求出調查人數(shù)；進而求出讀書4冊的人

數(shù)的所占的百分比，確定m的值：

(II)根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的計算方法進行計算即可；

(HI)樣本估計總體，計算樣本讀書的總數(shù)，估計總體即可.

本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用.讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解

決問題的關鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大

小.

21.【答案】證明：(1)???=90。，

:.DC1AC,

又???AD平分ZBAC,DELAB,

:，DE=DC,

在AAED^Rt△AC。中,

(AD=AD

IDE=DC'

???Rt△AED^Rt△ACD(HL),

:.AE=ACx

(2)-AE=AC,

.?.點4在線段CE的垂直平分線上，

???DE=DC,

.?.點。在線段CE的垂直平分線上，

???4。是線段CE的垂直平分線.

【解析】(1)根據(jù)角平分線的性質求出DE=DC,△AED^Rt△ACD,根據(jù)全等三角形的性

質即可得訐：

(2)根據(jù)線段垂直平分線的判定定理即可得證.

本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，線段垂直平分線的性質，熟練掌握全等三角形的

判定與性質是解題的關鍵.

22.【答案】解：(1)設該超市購進％瓶大瓶飲料，y瓶小瓶飲料，

根據(jù)題意得:露2；喘0,

解得:湍

答：該超市購進600瓶大瓶飲料，400瓶小瓶飲料；

(2)設小瓶飲料作為贈品送出m瓶，

根據(jù)題意得：7X60U+3X1U0+(3-U.5)(,4U0-10U-m)-3800>1250,

解得：mW80,

??.m的最大值為80.

答：小瓶飲料作為贈品最多只能送出80瓶.

【解析】(1)設該超市購進X瓶大瓶飲料，y瓶小瓶飲料，利用進貨總價=進貨單價x進貨數(shù)量，結合該超市

花了3800元購進1000瓶該品牌的飲料，可列出關于％,y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

(2)設小瓶飲料作為贈品送出m瓶，利用總利潤=銷售單價x銷售數(shù)量-進貨總價，結合總利潤不低于1250

元，可列出關于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結論.

本題考查了二元一次方程組應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：(1)找準等量關系，正確列

出二元一次方程組；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式.

23.【答案】⑴證明：???￡1為CD的中點，

---EC=ED.

EF=EO,

四邊形OCFO是平行四邊形，

?.?四邊形A8CD是菱形，

AC1BD,

:.Z.DOC=90°,

???四邊形OCFD是矩形；

(2)解：?.?四邊形4BCD是菱形，

CD=AB=5,BD=20D,

???四邊形OCFO是矩形，

OF=CD=5,Z-ODF=90°,OC=DF,

?:sin乙DOF=

OF5

onDF3

即可=T

:.OC=DF=3,

在R￡ACOD中，由勾股定理得：0。=VCD2一。田2=>/52-32=4,

???BD=2OD=2x4=8.

【解析】(1)先證四邊形OC廣。是平行四邊形，再由菱形的性質得出NDOC=90。，即可得出結論；

(2)由菱形的性質得出CD=4B=5,BD=20D,再由矩形的性質得出OF=CD=5,Z.ODF=90°,

OC=DF,進而由銳角三角函數(shù)定義求出OC=DF=3,然后由勾股定理求出0D4,即可得出答案.

本題考查了矩形的判定與性質、菱形的性質、平行四邊形的判定、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義等知

識，熟練掌握矩形的判定與性質以及菱形的性質是解題的關鍵.

24.【答案】(1)證明：如圖1,連接。C,

A

圖1

???OB=OC,

...Z.OBC=乙OCB,

,:CD1AB,

AOBC+ABCD=90。，

乙DCE=2乙BCD,

???乙BCE=乙BCD,

:.Z.OCB+乙BCE=90°,

即。C_LCE,

??.CE是O。的切線；

(2)解：①線段C/與CD之間滿足的數(shù)量關系是：CF=2CD,

理由如下：如圖2,過。作0HleT于點H,連接C。，

A\~oDB_E

CF=2CH,

???Z.FCE=2Z.ABC=2Z.OCB,且匕BCD=乙BCE,

LOCH=mCD,

???0C為公共邊，

.??△COH以CODQLIS),

CH=CO,

:.CF=2CD；

②過點C作CP1FG,連接BF,過點C作C”1BF,

???/B是O。的直徑，

???LAFB=90°,

???乙BCD=乙BCE,tan/BCE=

???tanzBCD=

???CD=4,

p

:.BD=CD?tanz.BCD=2,

BC=CD2+BD2=2/5?

由①得：CF=2CD=8,

設0C=08=%,則0。=*-2,

222

在RtAODC中，OC=OD+CDt

Ax2=(x-2)2+42?

解得：x=5,即08=5,

OCLGE,

乙OCF+乙FCG=90°,

??乙OCD+乙COD=90°,LFCO=“CD,

???乙GCF=乙COB,

???四邊形4BCF為O。的內接四邊形，

:.Z.GFC=Z.ABCt

GFCs△CBO>

.FG_FC_GC

??而二而=而'

.FG_8_GC

/*=5=T>

”=岑^］。=8.

???CPLFG,

k1,8/5

???PF=n-zFG=-=-，

PC=VCF2-PF2=J