第28講圓錐曲線的面積問(wèn)題(原卷版+解析)

第28講圓錐曲線的面積問(wèn)題方法總結(jié)：1、面積問(wèn)題的秒殺總結(jié)：（1）求三角形的面積需要尋底找高，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，通常優(yōu)先選擇能用坐標(biāo)直接進(jìn)行表示的底（或高）。（2）面積的拆分：不規(guī)則的多邊形的面積通常考慮拆分為多個(gè)三角形的面積和2、多個(gè)圖形面積的關(guān)系的轉(zhuǎn)化：尋找這些圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點(diǎn)，從而可將面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段的關(guān)系3、面積的最值問(wèn)題：通常利用公式將面積轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的函數(shù)，再求解函數(shù)的最值，典型例題：例1．（2023·山西呂梁·一模（文））已知橢圓的離心率為，點(diǎn)，是橢圓C的左右焦點(diǎn)，且右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)左焦點(diǎn)且與x軸不重合的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.例2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F既是橢圓的右焦點(diǎn)，又是拋物線的焦點(diǎn)．和在第一象限內(nèi)交于．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)的動(dòng)直線l與交于A，B．直線OA與交于M，N，直線OB與交于P，Q．記四邊形MPNQ的面積為，的面積為．求的最大值．例3．（2023·江西贛州·高三期末（文））已知點(diǎn)M是橢圓C：上一點(diǎn)，，分別為橢圓C的上、下焦點(diǎn)，，當(dāng)，的面積為5.(1)求橢圓C的方程：(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線和橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，是否存在直線，使得與（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積比值為5：7.若存在，求出直線的方程：若不存在，說(shuō)明理由.例4．（2023·浙江嘉興·高三期末）已知拋物線上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大.(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)拋物線外一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若三角形ABP的重心G在定直線上，求三角形ABP面積的最大值.例5．（2023·江西贛州·高三期末（理））已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)在y軸上是否存在點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，使得三角形的面積？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.過(guò)關(guān)練習(xí)：1．（2023·重慶長(zhǎng)壽·高三期末）已知曲線過(guò)點(diǎn)和．(1)求曲線C的方程，并指出曲線類(lèi)型；(2)若直線2x－y－2＝0與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，求△OAB的面積（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．2．（2023·陜西武功·二模（文））已知拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5.(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)，圓與x軸交于點(diǎn)M，求面積的最小值.3．（2023·福建福州·高三期末）定義：若點(diǎn)，在橢圓上，并且滿足，則稱(chēng)這兩點(diǎn)是關(guān)于M的一對(duì)共軛點(diǎn)，或稱(chēng)點(diǎn)關(guān)于M的一個(gè)共軛點(diǎn)為.已知點(diǎn)在橢圓，O坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求點(diǎn)A關(guān)于M的所有共軛點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)P，Q在M上，且，求點(diǎn)A關(guān)于M的所有共軛點(diǎn)和點(diǎn)P，Q所圍成封閉圖形面積的最大值.4．（2023·江西九江·一模（文））在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，的最小值為4.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求面積的最小值.5．（2023·江西九江·一模（理））在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，的最小值為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若與A，B不共線的點(diǎn)P滿足，求面積的取值范圍．6．（2023·江西上饒·高三階段練習(xí)（文））已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為，且點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)若四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線AC、BD過(guò)原點(diǎn)O，直線AC和BD的斜率之積－，證明：四邊形ABCD的面積為定值．7．（2023·浙江溫州·高三開(kāi)學(xué)考試）如圖，過(guò)點(diǎn)的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn).(1)求證：點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)之積為定值；(2)若拋物線上存在關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)M，N，直線AM，AN分別交x軸于點(diǎn)D，E，求△BDE的面積的取值范圍.8．（2023·四川·成都七中高三開(kāi)學(xué)考試（文））把拋物線沿軸向下平移得到拋物線.(1)當(dāng)時(shí)，過(guò)拋物線上一點(diǎn)作切線，交拋物線于，兩點(diǎn)，求證：；(2)拋物線上任意一點(diǎn)向拋物線作兩條切線，從左至右切點(diǎn)分別為，.直線交從左至右分別為，兩點(diǎn).求證：與的面積相等.9．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知橢圓和拋物線，斜率為正的直線與軸及橢圓依次交于、、三點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在拋物線上．(1)求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍；(2)設(shè)是拋物線上一點(diǎn)，且位于橢圓的左上方，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍，使得的面積存在最大值．10．（2023·云南師大附中高三階段練習(xí)（理））已知拋物線：，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Р是上任一點(diǎn)（除去原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作的切線交準(zhǔn)線于點(diǎn)Q．(1)求拋物線在處的切線方程；(2)若點(diǎn)Р在第一象限，點(diǎn)R在準(zhǔn)線上且位于點(diǎn)Q右側(cè)．①證明：；②求面積的最小值．11．（2023·四川·威遠(yuǎn)中學(xué)校高三階段練習(xí)（文））已知橢圓C：＝1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(-1，0)的直線l與橢圓C相交于D，E兩點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F，直線DF與x軸相交于點(diǎn)G，記△BEG與△BDG的面積分別為S1，S2，求的最大值.12．（2023·浙江·慈溪中學(xué)高三階段練習(xí)）已知拋物線，直線與拋物線交于點(diǎn)，，且.(1)求的值.(2)已知點(diǎn)，過(guò)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在直線的左側(cè)）作拋物線的切線分別交，于點(diǎn)，，記，的面積分別為，，求的最小值.13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)F(1，0)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F右側(cè).記△AFG，△CQG的面積為，.(1)求p的值及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)求的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo).14．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線：，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)、，分別以、為切點(diǎn)作拋物線的切線、，直線、交于點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)求面積的最小值，并求出此時(shí)直線的方程.15．（2023·廣東高州·二模）已知橢圓C：，經(jīng)過(guò)圓O：上一動(dòng)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線．切點(diǎn)分別記為A，B，直線PA，PB分別與圓O相交于異于點(diǎn)P的M，N兩點(diǎn)．(1)求證：M，O，N三點(diǎn)共線；(2)求△OAB面積的最大值．16．（2023·北京密云·高三期末）已知橢圓過(guò)，兩點(diǎn)．設(shè)為第一象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，求證：三角形的面積等于三角形的面積；(3)指出三角形的面積是否存在最大值和最小值，若存在，寫(xiě)出最大值，最小值（只需寫(xiě)出結(jié)論）．17．（2023·江西·高三階段練習(xí)（理））已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，Q為P在動(dòng)直線y＝t（t＜0）上的投影．當(dāng)△PQF為等邊三角形時(shí)，其面積為．(1)求C的方程；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線l與C相切，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，直線OQ與線段AB交于點(diǎn)M．試問(wèn)：是否存在t，使得△QMA和△QMB面積相等恒成立？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．（2023·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí)）已知橢圓的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，離心率為，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)作不與軸重合的直線與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，直線的方程為：，過(guò)點(diǎn)作垂直于直線m交直線于點(diǎn)E．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)①求證線段必過(guò)定點(diǎn)P，并求定點(diǎn)P的坐標(biāo)；②點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值．19．（2023·河南焦作·一模（理））已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合．(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率不為0的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過(guò)，作的垂線分別與軸交于，，求四邊形面積的最小值．20．（2023·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知點(diǎn)在半圓：上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AP，BP，AB分別與x軸交于點(diǎn)M，N，T，記的面積為，的面積為．(1)若拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），求p的值和拋物線C的準(zhǔn)線方程：(2)若存在點(diǎn)P，使得，求p的取值范圍．第28講圓錐曲線的面積問(wèn)題方法總結(jié)：1、面積問(wèn)題的秒殺總結(jié)：（1）求三角形的面積需要尋底找高，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，通常優(yōu)先選擇能用坐標(biāo)直接進(jìn)行表示的底（或高）。（2）面積的拆分：不規(guī)則的多邊形的面積通?？紤]拆分為多個(gè)三角形的面積和2、多個(gè)圖形面積的關(guān)系的轉(zhuǎn)化：尋找這些圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點(diǎn)，從而可將面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段的關(guān)系3、面積的最值問(wèn)題：通常利用公式將面積轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的函數(shù)，再求解函數(shù)的最值，典型例題：例1．（2023·山西呂梁·一模（文））已知橢圓的離心率為，點(diǎn)，是橢圓C的左右焦點(diǎn)，且右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)左焦點(diǎn)且與x軸不重合的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.答案:(1)(2)解析：分析：（1）根據(jù)拋物線的方程可求，根據(jù)離心率可求，再求出后可得橢圓方程.（2）設(shè)直線方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消元后利用韋達(dá)定理得到面積的表達(dá)式，利用換元法和導(dǎo)數(shù)可求面積的最大值.(1)易知拋物線的焦點(diǎn)為，所以，又因?yàn)殡x心率，所以，又因?yàn)樗詸E圓C的方程為(2)由題意設(shè)直線方程為，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立消去得：，易知所以，所以因?yàn)榈街本€的距離為所以設(shè)，則，設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即三角形面積的取值范圍為例2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F既是橢圓的右焦點(diǎn)，又是拋物線的焦點(diǎn)．和在第一象限內(nèi)交于．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)的動(dòng)直線l與交于A，B．直線OA與交于M，N，直線OB與交于P，Q．記四邊形MPNQ的面積為，的面積為．求的最大值．答案:(1)(2)解析：分析：（1）根據(jù)題意可得，將點(diǎn)K坐標(biāo)分別代入橢圓和拋物線方程，即可求得a，b值，即可得答案.（2）由（1）知的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)直線l的方程為，與拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，可得，設(shè)設(shè)直線MN的方程為，與橢圓聯(lián)立，可得，與拋物線聯(lián)立，可求得，用代替k可得和，進(jìn)而可得表達(dá)式，結(jié)合基本不等式，即可得答案.(1)由題可知，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)由（1）知的標(biāo)準(zhǔn)方程為．設(shè)，，直線l的方程為．聯(lián)立，得．由韋達(dá)定理得，因?yàn)樗裕O(shè)直線MN的方程為．聯(lián)立，得．聯(lián)立，得．用代替k可得，．所以等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)．故的最大值為．例3．（2023·江西贛州·高三期末（文））已知點(diǎn)M是橢圓C：上一點(diǎn)，，分別為橢圓C的上、下焦點(diǎn)，，當(dāng)，的面積為5.(1)求橢圓C的方程：(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線和橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，是否存在直線，使得與（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積比值為5：7.若存在，求出直線的方程：若不存在，說(shuō)明理由.答案:(1)(2)存在，解析：分析：（1）根據(jù)焦距可求出c,再根據(jù)以及的面積可求出a,b，即得橢圓方程；（2）設(shè)直線方程并和橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)與的面積比值為5：7，得到相關(guān)等式，聯(lián)立根與系數(shù)的關(guān)系式化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)論.(1)由,由,,故,∴,∴,∴，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)假設(shè)滿足條件的直線存在，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不合題意，不妨設(shè)直線：，，，顯然，聯(lián)立，得，所以，因?yàn)镾△OAF2=1即（3），由（1），（3），得（4），將（1）（4）代入（3）得，所以直線的方程為，故存在直線，使得與的面積比值為5：7.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓的位置關(guān)系，涉及到橢圓中的三角形面積問(wèn)題，解答時(shí)一般思路是要將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，再將該關(guān)系式代入到相關(guān)等式中化簡(jiǎn)，其中計(jì)算量大,多是關(guān)于字母參數(shù)的運(yùn)算，要求計(jì)算準(zhǔn)確，需要細(xì)心和耐心.例4．（2023·浙江嘉興·高三期末）已知拋物線上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大.(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)拋物線外一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若三角形ABP的重心G在定直線上，求三角形ABP面積的最大值.答案:(1)；(2).解析：分析：（1）根據(jù)題意，拋物線上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，然后根據(jù)拋物線的定義即可求得答案.（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，切點(diǎn)，，進(jìn)而設(shè)出切線方程并代入拋物線方程，結(jié)合判別式法和點(diǎn)G在直線上得到的關(guān)系，然后取線段AB的中點(diǎn)Q，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，最后根據(jù)求得答案.(1)根據(jù)題意，拋物線上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，由拋物線的定義可知：，，拋物線C的方程為.(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)，切點(diǎn)，.設(shè)過(guò)A的切線PA方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去x整理得，，所以，所以切線PA方程為，同理可得切線PB方程為，聯(lián)立解得兩切線的交點(diǎn)，所以有.因?yàn)?，又G在定直線，所以有，即P的軌跡為，因?yàn)镻在拋物線外，所以.如圖，取AB中點(diǎn)Q，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以?dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題第（2）問(wèn)運(yùn)算量大，一定要注意對(duì)根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，另外本題為什么要取點(diǎn)Q，一方面是受點(diǎn)G為三角形的重心的影響，另一方面是為了處理三角形的面積，即有，平常一定要多加訓(xùn)練，培養(yǎng)自己做題的感覺(jué).例5．（2023·江西贛州·高三期末（理））已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)在y軸上是否存在點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，使得三角形的面積？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.答案:(1)(2)存在，解析：分析：（1）根據(jù)條件列出相應(yīng)的方程組，即可求得答案；（2）首先利用三角形的面積結(jié)合向量運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，然后設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡(jiǎn)可得答案.(1)由，解得，則橢圓C的方程為；(2)設(shè)存在點(diǎn)，由已知條件可知直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為，則，由，得，即，由得，∴需滿足，∴，∴，∴，∴，∴滿足.∴，∴點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓的位置關(guān)系，涉及到三角形面積問(wèn)題，解答的關(guān)鍵在于利用面積關(guān)系結(jié)合向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，再化簡(jiǎn)求值，計(jì)算量較大，需要耐心.過(guò)關(guān)練習(xí)：1．（2023·重慶長(zhǎng)壽·高三期末）已知曲線過(guò)點(diǎn)和．(1)求曲線C的方程，并指出曲線類(lèi)型；(2)若直線2x－y－2＝0與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，求△OAB的面積（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．答案:(1)曲線的方程為，表示橢圓(2)解析：分析：（1）點(diǎn)代入解方程組即可得出結(jié)果.（2）利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可.(1)曲線C過(guò)點(diǎn)和，則解得∴曲線C的方程為，表示橢圓．(2)由得，．設(shè)，，則．又O到直線2x－y－2＝0的距離為，∴△OAB的面積為．2．（2023·陜西武功·二模（文））已知拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5.(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)，圓與x軸交于點(diǎn)M，求面積的最小值.答案:(1)(2)解析：分析：（1）利用定義求出，即可得到拋物線C的方程；（2）設(shè)，設(shè)直線的方程為：，用韋達(dá)定理表示出，得到，利用二次函數(shù)求最值即可.(1)由拋物線C的方程可得其準(zhǔn)線方程為，依題意得，解得.∴拋物線C的方程為.(2)依題意可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立消去x得.設(shè)，則.∴.依題意，∴.∵，∴，即面積的最小值為.3．（2023·福建福州·高三期末）定義：若點(diǎn)，在橢圓上，并且滿足，則稱(chēng)這兩點(diǎn)是關(guān)于M的一對(duì)共軛點(diǎn)，或稱(chēng)點(diǎn)關(guān)于M的一個(gè)共軛點(diǎn)為.已知點(diǎn)在橢圓，O坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求點(diǎn)A關(guān)于M的所有共軛點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)P，Q在M上，且，求點(diǎn)A關(guān)于M的所有共軛點(diǎn)和點(diǎn)P，Q所圍成封閉圖形面積的最大值.答案:(1)或(2)解析：分析：（1）利用共軛點(diǎn)的定義列方程求解即可，（2）設(shè)直線的方程為，，將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長(zhǎng)公式表示出，分別求出，到直線的距離，代入，即可求出其最大值(1)設(shè)點(diǎn)在橢圓的共軛點(diǎn)為，則，且，解得或，所以點(diǎn)A關(guān)于M的所有共軛點(diǎn)的坐標(biāo)為或(2)因?yàn)椤危?，所以設(shè)直線的方程為，，，將代入中，化簡(jiǎn)得，由，得，，所以，設(shè)，到直線的距離分別為，因?yàn)椤危缘扔?，到直線的距離和，所以，所以，令，則在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值16，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為4．（2023·江西九江·一模（文））在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，的最小值為4.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求面積的最小值.答案:(1)；(2)4.解析：分析：（1）由題可得，即求；（2）分類(lèi)討論，利用條件可得，然后利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式及面積公式可表示，即求；(1)當(dāng)垂直于x軸時(shí)，最小，其最小值為，∴，∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)解法一：取，則點(diǎn)M在直線上，且點(diǎn)O為線段的中點(diǎn).∴.當(dāng)垂直于x軸時(shí)，A，B的坐標(biāo)分別為，，，當(dāng)不垂直于x軸時(shí)，設(shè)其斜率為k，則直線的方程為.則點(diǎn)O到直線的距離，聯(lián)立方程，消去y整理得，則，，∴，綜上可得，面積的最小值為4.解法二：當(dāng)垂直于x軸時(shí)，A，B的坐標(biāo)分別為，，由，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P到直線的距離為2，又，所以的面積為，當(dāng)不垂直于x軸時(shí)，設(shè)其斜率為，則直線的方程為，設(shè)P，A，B的坐標(biāo)分別為，，，則，，由，得，，即，故點(diǎn)P在直線上，且此直線平行于直線.則點(diǎn)P到直線的距離，聯(lián)立方程，消去y整理得，則，，∴，綜上可得，面積的最小值為4.解法三：取，則點(diǎn)M在直線上，且點(diǎn)O為線段的中點(diǎn).∴，設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)O到直線的距離.聯(lián)立方程，消去x整理得，則，，∴，綜上可得，面積的最小值為4.5．（2023·江西九江·一模（理））在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，的最小值為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若與A，B不共線的點(diǎn)P滿足，求面積的取值范圍．答案:(1)；(2).解析：分析：(1)根據(jù)通徑的性質(zhì)即可求解；(2)取，則點(diǎn)M在直線上，且點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)．得，設(shè)AB方程，與橢圓方程聯(lián)立，表示出并求其范圍即可.(1)由右焦點(diǎn)知，，當(dāng)垂直于x軸時(shí)，最小，其最小值為．又∵，解得，，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)解法一：取，則點(diǎn)M在直線上，且點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)．∴．當(dāng)垂直于x軸時(shí)，A，B的坐標(biāo)分別為，，；當(dāng)不垂直于x軸時(shí)，設(shè)其斜率為k，則直線的方程為．則點(diǎn)O到直線的距離，聯(lián)立方程，消去y整理得，則，，，，∴，令，則，此時(shí)．綜上可得，面積的取值范圍為．解法二：當(dāng)垂直于x軸時(shí)，A，B的坐標(biāo)分別為，，由，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P到直線的距離為1，又，∴的面積為，當(dāng)不垂直于x軸時(shí)，設(shè)其斜率為k，則直線的方程為，設(shè)P，A，B的坐標(biāo)分別為，，，則，，由，得，，即．故點(diǎn)P在直線上，且此直線平行于直線．則點(diǎn)P到直線的距離，聯(lián)立方程，消去y整理得，則，，，∴，令，則，此時(shí)．綜上可得，面積的取值范圍為．解法三：取，則點(diǎn)M在直線上，且點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)．∴，設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)O到直線的距離．聯(lián)立方程，消去x整理得，則，，，，∴，∴，即面積的取值范圍為．6．（2023·江西上饒·高三階段練習(xí)（文））已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為，且點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)若四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線AC、BD過(guò)原點(diǎn)O，直線AC和BD的斜率之積－，證明：四邊形ABCD的面積為定值．答案:(1)(2)證明見(jiàn)解析解析：分析：（1）根據(jù)題意列出相應(yīng)等式，求得，再根據(jù)點(diǎn)（）是橢圓上一點(diǎn)，求得，即得答案；（2）考慮直線斜率是否存在情況，然后設(shè)直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合可得到，進(jìn)而表示出四邊形ABCD的面積，化簡(jiǎn)可得結(jié)論.(1)不妨取左焦點(diǎn)（－c，0），到漸近線的距離為，解得，∴又∵點(diǎn)（）是橢圓上一點(diǎn)，∴，解得因此，橢圓的方程為(2)證明:：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，則，又，解得，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，不妨取,則，則,所以;當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，設(shè)點(diǎn)聯(lián)立，得，則因?yàn)?，得，即，所以，，解得，，原點(diǎn)到直線AB的距離為，因?yàn)榍宜裕ǘㄖ担?，綜上述四邊形ABCD的面積為定值．7．（2023·浙江溫州·高三開(kāi)學(xué)考試）如圖，過(guò)點(diǎn)的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn).(1)求證：點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)之積為定值；(2)若拋物線上存在關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)M，N，直線AM，AN分別交x軸于點(diǎn)D，E，求△BDE的面積的取值范圍.答案:(1)證明見(jiàn)解析；(2)解析：分析：（1）分過(guò)點(diǎn)的直線l斜率存在與不存在兩種情況去證明；（2）先求得△BDE的面積的的解析式，再求其取值范圍即可解決.(1)過(guò)點(diǎn)的直線l斜率不存在時(shí)，方程為，令，，則A，B的縱坐標(biāo)之積為.過(guò)點(diǎn)的直線l斜率存在時(shí)，方程可設(shè)為，令，由可得，，則綜上，點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)之積為定值.(2)由題意可知直線MN斜率存在且不為0，直線MN的方程可設(shè)為，令，由，可得，則，設(shè)，，則中點(diǎn)為，代入得，即，代入，得由，即，可得，則由，，可得，則則故△BDE的面積為又，則故△BDE的面積的取值范圍為【點(diǎn)睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類(lèi)似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．8．（2023·四川·成都七中高三開(kāi)學(xué)考試（文））把拋物線沿軸向下平移得到拋物線.(1)當(dāng)時(shí)，過(guò)拋物線上一點(diǎn)作切線，交拋物線于，兩點(diǎn)，求證：；(2)拋物線上任意一點(diǎn)向拋物線作兩條切線，從左至右切點(diǎn)分別為，.直線交從左至右分別為，兩點(diǎn).求證：與的面積相等.答案:(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析解析：分析：（1）根據(jù)給定條件求出拋物線在點(diǎn)處切線方程，再將此切線與拋物線的方程聯(lián)立，計(jì)算線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)即可得解.（2）設(shè)出過(guò)點(diǎn)M的拋物線的切線方程，與拋物線的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求出點(diǎn)C，D坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線CD方程，把直線CD與拋物線的方程聯(lián)立，計(jì)算線段CD與EF的中點(diǎn)坐標(biāo)推理作答.(1)當(dāng)時(shí)，，顯然拋物線在點(diǎn)處切線斜率存在，設(shè)切線AB方程為，由消去y并整理得：，則，解得，于是得切線AB的方程為：，拋物線，，由消去y并整理得：，顯然，設(shè)，則，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為與切點(diǎn)P重合，即點(diǎn)P是線段AB中點(diǎn)，所以.(2)顯然過(guò)點(diǎn)M的拋物線的切線斜率存在，設(shè)此切線方程為：，且，由消去y并整理得：，，關(guān)于的方程，于是得切線的斜率是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，分別令為，有，切點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是方程的等根，則點(diǎn)，同理可得切點(diǎn)，則直線斜率為，直線：，由消去y并整理得：，即，，設(shè)直線CD與拋物線的交點(diǎn)，則，即線段中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，又線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，因此，線段與有相同中點(diǎn)，由題意知，即，因此的底邊與的底邊相等，高都是點(diǎn)M到直線CD的距離，所以與的面積相等，即.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：拋物線在點(diǎn)處的切線斜率；拋物線在點(diǎn)處的切線斜率.9．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知橢圓和拋物線，斜率為正的直線與軸及橢圓依次交于、、三點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在拋物線上．(1)求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍；(2)設(shè)是拋物線上一點(diǎn)，且位于橢圓的左上方，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍，使得的面積存在最大值．答案:(1)；(2).解析：分析：（1）設(shè)直線的方程為，則，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，可得出，結(jié)合可得出的取值范圍，進(jìn)而可求得的取值范圍，即可得解；（2）設(shè)點(diǎn)，計(jì)算得出的面積，令，記，則，求導(dǎo)，分析可知函數(shù)在內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)，且為極大值點(diǎn)，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于的不等式組，解出的取值范圍，即可得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.(1)解：由題意可設(shè)直線的方程為，則，聯(lián)立可得，，可得，①設(shè)點(diǎn)、，由韋達(dá)定理可得，，設(shè)點(diǎn)，則，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程得，則，代入①可得，可得，解得，因此.因此，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是.(2)解：設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，，故的面積，②將代入②得，令，記，則，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，函數(shù)在內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)，且為極大值點(diǎn)，所以，，可得，③因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的左上方，則，④由③④可得，因此，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．10．（2023·云南師大附中高三階段練習(xí)（理））已知拋物線：，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Р是上任一點(diǎn)（除去原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作的切線交準(zhǔn)線于點(diǎn)Q．(1)求拋物線在處的切線方程；(2)若點(diǎn)Р在第一象限，點(diǎn)R在準(zhǔn)線上且位于點(diǎn)Q右側(cè)．①證明：；②求面積的最小值．答案:(1)(2)①證明見(jiàn)解析；②解析：分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求出斜率，然后可得答案；（2）①設(shè)，然后求出的坐標(biāo)，然后證明即可，②算出和點(diǎn)到切線的距離，然后可得，然后利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即可.(1)由得，，則切線斜率為，故切線方程為，即．(2)①設(shè)，由（1）得切線斜率為．所以，且切線為，即．令得，即．當(dāng)時(shí)，，；，，滿足．當(dāng)時(shí)，，，所以．因?yàn)樵诘谝幌笙?，所以，，故．綜上，．②由①得，，點(diǎn)到切線的距離為，所以，令，，則，所以當(dāng)，；當(dāng)，．故當(dāng)時(shí)，取最小值．所以當(dāng)時(shí)，取最小值．11．（2023·四川·威遠(yuǎn)中學(xué)校高三階段練習(xí)（文））已知橢圓C：＝1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(-1，0)的直線l與橢圓C相交于D，E兩點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F，直線DF與x軸相交于點(diǎn)G，記△BEG與△BDG的面積分別為S1，S2，求的最大值.答案:(1)(2)解析：分析：（1）按照題目所給的條件，可以直接算出結(jié)果；（2）將直線方程設(shè)為橫截式，用水平底鉛錘高表達(dá)面積，將其表示為關(guān)于的函數(shù)，利用對(duì)勾函數(shù)求其最值.(1)由已知的a=2，假設(shè)橢圓的方程為，將點(diǎn)代入橢圓方程，得b=1，∴橢圓方程為.(2)作圖如下：設(shè)過(guò)點(diǎn)B的直線方程為（依題意，并且存在），點(diǎn)，，則；聯(lián)立方程；解得：，…①…②，直線FD的方程為：，令y=0解得：，將①②并，帶入，解得x=-4，即點(diǎn)；，，，，由于點(diǎn)D與點(diǎn)E必然在x軸的兩邊，與異號(hào)，∴=，，當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)，取得最大值.12．（2023·浙江·慈溪中學(xué)高三階段練習(xí)）已知拋物線，直線與拋物線交于點(diǎn)，，且.(1)求的值.(2)已知點(diǎn)，過(guò)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在直線的左側(cè)）作拋物線的切線分別交，于點(diǎn)，，記，的面積分別為，，求的最小值.答案:(1)1；(2)2.解析：分析：（1）將代入拋物線方程，求得，坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)滿足拋物線方程即可求得結(jié)果；（2）聯(lián)立直線DE的方程與拋物線的方程，由切線可知，進(jìn)而得直線DE的方程為，將DE的方程與AM的方程聯(lián)立得，同理可得，易得，可知，利用二次函數(shù)性質(zhì)可得解.(1)將代入拋物線方程，得，即，由，即，解得.(2)設(shè)點(diǎn)，，設(shè)直線DE的方程為，將與拋物線方程聯(lián)立，得到，由，可得，即直線DE的方程為.由已知得直線AM的方程為，將DE的方程與AM的方程聯(lián)立得，同理可得，易得，由，，則，所以，而.故.故的最小值為2，此時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的求解，以及拋物線中三角形面積的最值問(wèn)題；解決問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造面積關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系，屬綜合題.13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)F(1，0)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F右側(cè).記△AFG，△CQG的面積為，.(1)求p的值及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)求的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo).答案:(1)2，；(2)最小值1＋，G(2，0).解析：分析：(1)由拋物線的性質(zhì)可得：，由此能求出拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)，，，，，，重心，，令，，則，從而得直線的方程，代入拋物線方程求出B，由重心在軸上，得到C和G，進(jìn)而得直線的方程，從而得Q的坐標(biāo)，由此結(jié)合已知條件能即能求出結(jié)果．(1)由題意得＝1，即p＝2.∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)設(shè)，，，，，，重心，，令，，則，由于直線過(guò)，故直線的方程為，代入，得：，，即，，，又，，重心在軸上，，，，，，直線的方程為，得，，在焦點(diǎn)的右側(cè)，，，令，則，，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查三角形的面積的比值的最小值及相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查拋物線、直線方程、重心性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．14．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線：，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)、，分別以、為切點(diǎn)作拋物線的切線、，直線、交于點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)求面積的最小值，并求出此時(shí)直線的方程.答案:(1)(2)1，解析：分析：（1）設(shè)，，分別求出以為切點(diǎn)的切線方程，聯(lián)立兩切線方程表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)直線的方程為：，與拋物線的方程聯(lián)立，代入可得點(diǎn)的軌跡方程；

（2）由（1）知和到直線的距離，利用三角形面積公式求得面積，可求得S的最小值和直線的方程.(1)設(shè)，，，則以A為切點(diǎn)的切線為，整理得：，同理：以為切點(diǎn)的切線為：，聯(lián)立方程組：，解得，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程組，整理得：，恒成立，

由韋達(dá)定理得：，，故，所以點(diǎn)的軌跡方程為；(2)解：由（1）知：，

到直線的距離為：，

∴，

∴時(shí)，取得最小值，此時(shí)直線的方程為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線的交點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題，涉及到拋物線的切線和三角形的面積的最值，直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類(lèi)似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系．屬中檔題.15．（2023·廣東高州·二模）已知橢圓C：，經(jīng)過(guò)圓O：上一動(dòng)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線．切點(diǎn)分別記為A，B，直線PA，PB分別與圓O相交于異于點(diǎn)P的M，N兩點(diǎn)．(1)求證：M，O，N三點(diǎn)共線；(2)求△OAB面積的最大值．答案:(1)證明見(jiàn)解析；(2).解析：分析：（1）根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，設(shè)在第一象限，討論、斜率不存在或?yàn)?、斜率存在且不為0兩種情況，再設(shè)切線方程并聯(lián)立橢圓，由及韋達(dá)定理，求證即可證結(jié)論.（2）同（1）設(shè)在第一象限，，，討論、斜率不存在或?yàn)?、斜率存在且不為0兩種情況，分別求△OAB面積情況，注意斜率存在且不為0時(shí)，根據(jù)P在、上求直線的方程，再聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)線距離公式及三角形面積公式得到關(guān)于所設(shè)參數(shù)的表達(dá)式，最后應(yīng)用基本不等式求范圍確定面積的最大值.(1)由圓的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)在第一象限，若斜率不存在，則直線為，所以，則另一條切線為(即斜率為0)，此時(shí)；若、斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)切線方程為，聯(lián)立橢圓方程有，整理得，所以，整理得，且，所以，又，故，即；綜上，有，又M，N兩點(diǎn)圓O上，即，由圓的性質(zhì)知：是圓O的直徑，所以M，O，N三點(diǎn)共線，得證；(2)同（1），由圓的對(duì)稱(chēng)性，設(shè)在第一象限，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，、斜率都存在且不為0，令為，聯(lián)立橢圓并整理得：，由，整理得，所以，又在橢圓上，則，故，所以直線的方程為，化簡(jiǎn)得，即；同理可得：直線的方程為，又在直線、直線上，則，所以直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得：，又，則，故，所以，，又不共線，，，而O到直線的距離，所以，令，，且，即或，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)；綜上，，當(dāng)時(shí)△OAB面積的最大值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，分類(lèi)討論切線、斜率情況分別求三角形面積，在斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)及切線方程求直線、，再由在直線上求直線關(guān)于m、n的方程，聯(lián)立橢圓及在圓上，結(jié)合韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式等求三角形面積表達(dá)式，最后應(yīng)用基本不等式求范圍.16．（2023·北京密云·高三期末）已知橢圓過(guò)，兩點(diǎn)．設(shè)為第一象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，求證：三角形的面積等于三角形的面積；(3)指出三角形的面積是否存在最大值和最小值，若存在，寫(xiě)出最大值，最小值（只需寫(xiě)出結(jié)論）．答案:(1)，；(2)證明見(jiàn)解析；(3)存在最大值，且最大值為.解析：分析：(1)根據(jù)橢圓過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)可得，進(jìn)而求出c，即可得出結(jié)果；(2)設(shè)點(diǎn)，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線MA、MB的方程，求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出，利用分析法證明即可；(3)由(2)可得，進(jìn)而可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求出即可得出結(jié)果.(1)由題意知，橢圓C：過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以橢圓C的方程為：，離心率為；(2)由題意知，，設(shè)點(diǎn)，得，所以直線MA的方程為：，直線MB的方程為：，所以，所以，故，，要證，只需證，只需證，只需證，又點(diǎn)在橢圓上，所以，即，所以；(3)三角形MPQ的面積存在最大值.由(2)知，，，得，，令，則，令，函數(shù)單調(diào)遞增，令，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時(shí)，有最大值，且最大值為，無(wú)最小值.所以三角形MPQ的面積存在最大值，無(wú)最小值，且最大值為.17．（2023·江西·高三階段練習(xí)（理））已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，Q為P在動(dòng)直線y＝t（t＜0）上的投影．當(dāng)△PQF為等邊三角形時(shí)，其面積為．(1)求C的方程；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線l與C相切，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，直線OQ與線段AB交于點(diǎn)M．試問(wèn)：是否存在t，使得△QMA和△QMB面積相等恒成立？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案:(1)(2)存在，解析：分析：（1）設(shè)，根據(jù)等邊三角形的面積公式得到，再根據(jù)拋物線的定義得到，即可得到，從而求出，即可得到拋物線方程；（2）設(shè)，，