福建省莆田市第八中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年福建省莆田八中八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.使二次根式有意義的的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)≥0，即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意可知：解得：故選B．【點睛】此題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件：被開方數(shù)≥0是解決此題的關(guān)鍵．2.下列各組數(shù)據(jù)分別是線段a，b，c的長，能組成直角三角形的是（）A.7，2，9 B.4，5，6 C.3，4，5 D.5，10，13【答案】C【解析】【分析】據(jù)勾股定理的逆定理，逐項判定即可．【詳解】解：A．，所以7、2、9不能組成直角三角形，故A不符合題意；B．，所以4、5、6不能組成直角三角形，故B不符合題意；C．，所以5可以組成直角三角形，故C符合題意；D．，所以5、10、13不能組成直角三角形，故D不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的兩邊平方和等于第三邊的平方，則該三角形為直角三角形是解題的關(guān)鍵．3.矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）．A.對角線相等 B.對角線平分一組對角C.對角線互相垂直 D.兩組對邊分別平行【答案】A【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)得出即可．【詳解】解：矩形的性質(zhì)是：①矩形的四個角都是直角，②矩形的對邊相等且互相平行，③矩形對角線相等且互相平分；菱形的性質(zhì)是：①菱形的四條邊都相等，菱形的對邊互相平行；②菱形的對角相等，③菱形的對角線互相平分且垂直，并且每條對角線平分一組對角，所以矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是對角線相等．A對角線相等是矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)，故A符合題意；B對角線平分一組對角是菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)，故B不符合題意；C對角線互相垂直是菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)，故C不符合題意；D兩組對邊分別平行是菱形具有而矩形也具有的性質(zhì)，故D不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，能熟記知識點是解此題的關(guān)鍵．4.下列二次根式中，最簡二次根式是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義判斷即可．【詳解】解：A．，故不是最簡二次根式，不符合題意；B．，故不是最簡二次根式，不符合題意；C．，故不是最簡二次根式，不符合題意；D．是最簡二次根式，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不能含有開得盡方的因數(shù)或因式；熟練掌握最簡二次根式必須滿足的兩個條件是解題的關(guān)鍵．5.如圖，點是矩形的對角線上一點，過點作，分別交，于、，連接、．若，，則圖中陰影部分的面積為（）A.10 B.12 C.16 D.18【答案】B【解析】【分析】本題考查矩形的性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是證明．由矩形的性質(zhì)可證明，即可求解．【詳解】解：作于，交于．則有四邊形，四邊形，四邊形，四邊形都是矩形，，，，，，∴，，，，故選：B．6.下列計算，正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，二次根式的運算即可求解．【詳解】解：、、不同類二次根式不能進行加減，故原選項錯誤，不符合題意；、，故原選項錯誤，不符合題意；、，故原選項正確，符合題意；、，故原選項錯誤，不符合題意；故選：．【點睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)及運算，掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．7.如圖：已知點A的坐標為，菱形的對角線交于坐標原點O，則C點的坐標是（）

A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查菱形的對稱性，菱形即是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，通過題目可以發(fā)現(xiàn)A點和C點關(guān)于原點中心對稱，可以直接計算出點C點的坐標．【詳解】解：∵四邊形為菱形，∴，，∵點O為坐標原點，∴點A和點C關(guān)于原點對稱，點B和點D關(guān)于原點對稱，∵點A的坐標為，∴C點坐標為，故選：B．8.如圖，已知平行四邊形的對角線與相交于點，下列結(jié)論中不正確的是（）A.當(dāng)時，四邊形是菱形B.當(dāng)時，四邊形是菱形C.當(dāng)時，四邊形是矩形D.當(dāng)時，四邊形是菱形【答案】D【解析】【分析】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)及菱形的判定方法，利用矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)及菱形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項，牢記判定方法是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：．∵，∴平行四邊形是菱形，故結(jié)論正確，不符合題意；．∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴平行四邊形是菱形，故結(jié)論正確，不符合題意；．∵四邊形是平行四邊形，∴，，又∵，∴，∴平行四邊形是矩形，故結(jié)論正確，不符合題意；．當(dāng)時，四邊形不一定是菱形，故結(jié)論錯誤，符合題意；故選：．9.如圖，在中，，是的中點，過點作的平行線交于點，作的垂線交于點，若，且的面積為，則的長為（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)．熟練掌握三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由題意知，是的中位線，則，設(shè)，則，由勾股定理得，，如圖，過作，交的延長線于，證明，則，由，，可得，即，計算求出滿足要求的，進而可求．【詳解】解：∵是的中點，，∴是的中位線，∴，設(shè)，∵，∴，由勾股定理得，，如圖，過作，交的延長線于，∴，，∴，∴，∴，，∴，即，解得，或（舍去），∴，故選：A．10.如圖，四邊形為矩形，對角線與相交于點O，點E在邊上，連接，過D做，重足為F，連接，若，，則的最小值為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先說明的形狀固定，點F的位置固定，點O為對角線與的交點，點O在的垂直平分線，作的垂直平分線，交于點M，交于點N，過點F作，延長交于點G，根據(jù)垂線段最短，得出此時最短，根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)求出的長即可．【詳解】解：∵，，，∴，，∵，∴，∴的形狀固定，點F的位置固定，∵點O為對角線與的交點，∴點O在的垂直平分線，如圖，作的垂直平分線，交于點M，交于點N，過點F作，延長交于點G，∵垂線段最短，∴此時最短，∵，∴四邊形為矩形，∴，，∵，∵，∴，∵，∴，∴，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是找出使最小時，點O的位置．二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．11.的值是______．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義作答即可．【詳解】解：，故答案為：5．【點睛】本題主要考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，熟記算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．12.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，若OA＝2，則BD的長為_____．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分的性質(zhì)計算，得BD＝AC＝2OA，即可得到答案．【詳解】∵ABCD是矩形∴OC＝OA，BD＝AC又∵OA＝2，∴AC＝OA+OC＝2OA＝4∴BD＝AC＝4故答案為：4．【點睛】本題考查了矩形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形對角線的性質(zhì)，從而完成求解．13.已知：，，則___．【答案】4【解析】【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，用到的知識點是完全平方公式，二次根式的運算，關(guān)鍵是對要求的式子進行變形．利用完全平方公式先把進行變形，得到，再把，的值代入即可求出答案．【詳解】解：，，；故答案為：4．14.如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分別以四邊形的四條邊為邊向外作四個正方形，若，，則S2=________．【答案】86【解析】【分析】利用勾股定理的幾何意義解答．【詳解】解：由題意可知：，，，，連接，如下圖：在直角和中，，即，因此，故答案為：86．【點睛】本題主要考查的是勾股定理的靈活運用，解題的關(guān)鍵是利用兩個直角三角形公共的斜邊．15.如圖，、分別是平行四邊形的邊、上的點，與相交于點，與相交于點，若，，則陰影部分的面積為___．【答案】44【解析】【分析】作出輔助線，利用同底等高的兩個三角形面積相等，陰影圖形的面積即可求解．本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形的面積，解答此題關(guān)鍵是作出輔助線，找出同底等高的三角形．【詳解】解：如圖，連接，與同底等高，，即，即，同理可得，陰影部分的面積為．故答案為：44．16.如圖，將矩形紙片沿折疊后，點、分別落在點、的位置，的延長線恰好經(jīng)過點，若，，則等于______．【答案】【解析】【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)矩形及折疊的性質(zhì)可知，，，則，設(shè)，則，，利用勾股定理可得：，即，求出即可求得的長度．由矩形與翻折的性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，

∴，，，，∴，∵將矩形紙片沿折疊后，點、分別落在點、的位置，的延長線恰好經(jīng)過點，

∴，

∴，

∴，

設(shè)，∴，，

在中，，

即，解得：，

∴．故答案為：．三、計算題：本大題共1小題，共6分．17.計算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再根據(jù)二次根式的乘法進行計算再進行加減計算即可求解；（2）先利用二次根式的乘法和除法計算，再合并，即可求解．【小問1詳解】解：．【小問2詳解】解：．【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．四、解答題：本題共8小題，共96分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．18.已知，，分別求下列代數(shù)式的值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）31【解析】【分析】(1)先計算，再根據(jù)代入計算即可．(2)根據(jù)代入計算即可．【小問1詳解】∵，，∴，∴．【小問2詳解】∵，，∴，，∴．【點睛】本題考查了平方差公式，二次根式的乘法，完全平方公式，熟練掌握公式并活用公式計算是解題的關(guān)鍵．19.如圖，四邊形是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是邊上的點，，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明，即可；【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴四邊形EBFD是平行四邊形．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定，屬于中考基礎(chǔ)題．20.如圖，一架長為5米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻ON上，梯子底端距離墻ON有3米．（1）求梯子頂端與地面的距離OA的長．（2）若梯子頂點A下滑1米到C點，求梯子的底端向右滑到D的距離．【答案】（1）4米（2）1米【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理直接求出OA的長度即可；（2）先求出OC的長度，然后根據(jù)勾股定理求出OD的長度，用OD-OB即可得出答案．【小問1詳解】解：∵∠AOB=90°，米，米，∴AO＝＝4（米），答：梯子頂端與地面的距離OA的長為4米．【小問2詳解】解：∵（米），米，∴OD＝＝4（米），∴BD＝OD﹣OB＝4﹣3＝1（米）．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的內(nèi)容，如果一個直角三角形的兩條直角邊為a、b，斜邊為c，那么．21.圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段的端點均在格點上．只用無刻度的直尺，按要求在圖①、圖②、圖③中以為邊各畫一個菱形．要求：菱形的頂點C、D均在格點上，且所畫的三個菱形不全等．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)網(wǎng)格特點，利用勾股定理和菱形的判定解答即可．【詳解】

【點睛】本題考查勾股定理與網(wǎng)格問題、菱形的判定，熟練掌握菱形的判定是解答的關(guān)鍵．22.四邊形如圖所示，已知，，，，．求四邊形的面積．【答案】9【解析】【分析】先利用勾股定理求解再利用勾股定理的逆定理判斷再利用四邊形的面積等于兩個三角形的面積之和即可得到答案．詳解】解：∵，，，∴∵，，∴∴∴∴【點睛】本題考查是勾股定理及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，熟練的利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形是解本題的關(guān)鍵．23.如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長，那么我們稱這個三角形為“美麗三角形”．（1）如圖，在中，，，求證：是“美麗三角形”；（2）在中，，，若是“美麗三角形”，求的長．【答案】（1）詳見解析（2）或【解析】【分析】（1）作中線，根據(jù)三線合一得出，勾股定理求得，根據(jù)美麗三角形的定義即可得出結(jié)論；（2）①作的中線，根據(jù)是“美麗三角形”,得出，根據(jù)勾股定理求得；②作的中線，勾股定理求得，根據(jù)美麗三角形的定義得出，進而即可求解．【小問1詳解】證明：如圖，作的中線，，是的中線，，，在中，由勾股定理得，，是美麗三角形.【小問2詳解】解:①如圖，作的中線，是“美麗三角形”,當(dāng)時，則,由勾股定理得②如圖作的中線，是“美麗三角形”,當(dāng)時則，，在中，由勾股定理得，則，解得，∴綜上：或．【點睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，勾股定理，理解新定義是解題的關(guān)鍵．24.如圖，在平面直角坐標系中，已知，，，且已知．（1）求證：．（2）如圖1，過軸上一點作于，交軸于點，求點的坐標；（3）將沿軸向左平移，邊與軸交于一點不同于和兩點），過作一直線與的延長線交于點，與軸交于點，且，在平移過程中，點的坐標是否發(fā)生變化？寫出你的結(jié)論及理由．【答案】（1）見解析（2）（3）不發(fā)生變化，為【解析】【分析】本題考查了絕對值的非負性、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)非負性可求、，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明即可；（2）證明，則，進而可求點的坐標；（3）過點作交于，證明，證明，則，根據(jù)，計算求解可得結(jié)果．【小問1詳解】證明：∵，