2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點16 特殊三角形（等腰三角形與直角三角形）（精講）（解析版）7

考點16.特殊三角形（等腰三角形與直角三角形）（精講）【命題趨勢】特殊的三角形重在掌握基本知識的基礎(chǔ)上靈活運用，也是考查重點，年年都會考查，分值為10分左右，預(yù)計2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查等腰（等邊）三角形性質(zhì)與判定和勾股（逆）定理、直角三角形的性質(zhì)、尺規(guī)作圖等知識點結(jié)合考查，這部分知識需要學(xué)生扎實地掌握基礎(chǔ)，并且會靈活運用。在解答題中會出現(xiàn)等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)和判定，這部分知識主要考查基礎(chǔ)。【知識清單】1：等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定（☆☆☆）1）等腰三角形的定義：有兩邊相等的三角形角等腰三角形。2）等腰三角形的性質(zhì)：（1）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）。（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡稱“三線合一”）。3）等腰三角形的判定：若某三角形有兩個角相等，那這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）。4）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，它是特殊的等腰三角形。5）等邊三角形的性質(zhì)：（1）等邊三角形的三條邊相等；（2）三個內(nèi)角都相等，且每個內(nèi)角都是60°；（3）等邊三角形（邊長為a）的面積：。6）等邊三角形的判定：（1）三邊相等或三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形；（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。2：垂直平分線的性質(zhì)與判定（☆☆）1）垂直平分線的定理：經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）。2）垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。3）垂直平分線的判定：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。3：勾股定理與逆定理及其應(yīng)用（☆☆）1）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2．2）勾股定理的逆定理：若三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．4：直角三角形的性質(zhì)及計算（☆☆☆）1）直角三角形的定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．2）直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形兩個銳角互余；（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（3）在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。3）直角三角形的判定：1）兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形；（3）有一個角是直角的三角形叫做直角三角形；（4）滿足勾股定理逆定理的三角是直角三角形。4）直角三角形的面積公式：(其中：c為斜邊上的高，m為斜邊長)?！疽族e點歸納】1.等腰三角形的邊有腰、底之分，角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒有明確是底還是腰，角沒有明是頂角還是底角，需要分類討論。2.如果已知的兩邊沒有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時必須進行分類討論，以免漏解。【核心考點】核心考點1.等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定例1：（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）若等腰三角形有一個內(nèi)角為，則這個等腰三角形的底角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷出的內(nèi)角是這個等腰三角形的頂角，再根據(jù)等腰三角形的定義求解即可得．【詳解】解：等腰三角形有一個內(nèi)角為，∴這個等腰三角形的底角是，故選：C．【點睛】本題考查等腰三角形定義，三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的兩個底角相等．變式1.（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，點D在上，以點B為圓心，長為半徑畫弧，交于點E，連接，則的度數(shù)是度．

【答案】65【分析】據(jù)題意可得，再根據(jù)等腰三角形兩個底角相等和三角形內(nèi)角和為180°進行計算即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，∴，∵，∴．故答案為：65．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等知識點，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．變式2.（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）在中，，，點D在邊上，連接，若為直角三角形，則的度數(shù)是．【答案】或【分析】由題意可求出，故可分類討論①當(dāng)時和②當(dāng)時，進而即可求解．【詳解】解：∵，，∴．∵為直角三角形，∴可分類討論：①當(dāng)時，如圖1，

∴；②當(dāng)時，如圖2，綜上可知的度數(shù)是或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用等腰三角形的性質(zhì)和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．例2：（2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，以A為圓心，長為半徑作弧，交于C，D兩點，分別以點C和點D為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點P，作直線，交于點E，若，，則．

【答案】4【分析】利用圓的性質(zhì)得出垂直平分和，運用勾股定理便可解決問題.【詳解】解：根據(jù)題意可知，以點C和點D為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點P，∴垂直平分,即，∴，又∵在中，以A為圓心，長為半徑作弧，交于C，D兩點，其中，∴，在中，，故答案為：4．【點睛】本題主要考查圓和三角形的相關(guān)性質(zhì)，掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.變式1.（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）圖1為紅斑鐘螺，殼型為圓錐形．多分布在菲律賓、以及我國臺灣墾丁等區(qū)域．現(xiàn)有一個“鐘螺”小擺件，可近似看成圓錐形，圖2為其主視圖，其中，擺件的高度為．現(xiàn)要在上選取一個位置P安裝掛鉤，在該點與C之間布設(shè)導(dǎo)線，線路上安裝微型小彩燈，若掛鉤以及導(dǎo)線連接處等長度損耗忽略不計，則最短線路，即的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點A作于點H，過點C作于點M，由題意可知，，，,由勾股定理得到，則，由得到，得到，根據(jù)垂線段最短，則的最小值即為的長，即的最小值為．【詳解】解：過點A作于點H，過點C作于點M，

由題意可知，，，，∴，∴，∴，即，解得，∴，根據(jù)垂線段最短，則的最小值即為的長，即的最小值為．故選：B【點睛】此題考查了等腰三角形判定和性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短等知識，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式2.（2022·江蘇蘇州·中考真題）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰△ABC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為______．【答案】6【分析】分類討論：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵△ABC是等腰三角形，底邊BC=3∴AB=AC當(dāng)AB=AC=2BC時，△ABC是“倍長三角形”；當(dāng)BC=2AB=2AC時，AB+AC=BC，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，此時A、B、C不構(gòu)成三角形，不符合題意；所以當(dāng)?shù)妊鰽BC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為6．故答案為6．【點睛】本題考查等腰三角形，三角形的三邊關(guān)系，涉及分類討論思想，結(jié)合三角形三邊關(guān)系，靈活運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．例3：（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，分別以A、B為圓心，大于的長度為半徑作弧，交點分別為M、N，連接交于點D，下列說法一定正確的是（）

A．是直角三角形 B．是等腰三角形C．是等腰三角形 D．是等腰三角形【答案】C【分析】根據(jù)作圖可知：點在線段的中垂線上，進而得到，即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意，得：點在線段的中垂線上，∴，∴是等腰三角形；故選項C一定正確，故選C．【點睛】本題考查中垂線的性質(zhì)，等腰三角形的判定．熟練掌握中垂線上的點到線段兩端點的距離相等，是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023·廣東湛江·三模）如圖，在中，，，，和的平分線相交于點，過點作的平行線交于點，交于點．則的周長為(

)A．9 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】本題考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對等邊；根據(jù)角平分線的定義與平行線的性質(zhì)可得，得出，同理可得，進而根據(jù)三角形的周長公式，即可求解．【詳解】解：是的平分線，，，，同理可得，的周長即為．故選：C．變式2．（2021·江蘇揚州市·中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A、B，連接，在網(wǎng)格中再找一個格點C，使得是等腰直角三角形，滿足條件的格點C的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰．【詳解】解：如圖：分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時，符合條件的C點有0個；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有3個．故共有3個點，故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．例4：（2023·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊的中線，以為圓心，的長為半徑畫弧，交的延長線于，連接．求證：．

【答案】見解析【分析】利用三線合一和等腰三角形的性質(zhì)，證出，再利用等邊對等角即可．【詳解】證明：為等邊的中線，，

，，【點睛】本題考查了等邊三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定，理解記憶相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊的邊上的高，以點為圓心，長為半徑作弧交的延長線于點，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由等邊三角形的性質(zhì)求解，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得答案．【詳解】解：∵是等邊的邊上的高，∴，∵，∴，故選C【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記等邊三角形與等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．變式2．（2022·安徽·中考真題）已知點O是邊長為6的等邊△ABC的中心，點P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為，，，．若，則線段OP長的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，可得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得△ABC中AB邊上的高和△PAB中AB邊上的高的值，當(dāng)P在CO的延長線時，OP取得最小值，OP=CP-OC，過O作OE⊥BC，求得OC=，則可求解．【詳解】解：如圖，，，∴=====，∴，設(shè)△ABC中AB邊上的高為，△PAB中AB邊上的高為，則，，∴，∴，∵△ABC是等邊三角形，∴，，∴點P在平行于AB，且到AB的距離等于的直線上，∴當(dāng)點P在CO的延長線上時，OP取得最小值，過O作OE⊥BC于E，∴，∵O是等邊△ABC的中心，OE⊥BC∴∠OCE=30°，CE=∴OC=2OE∵，∴，解得OE=，∴OC=，∴OP=CP-OC=．故選B．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識，弄清題意，找到P點的位置是解題的關(guān)鍵．例5：（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊三角形的邊長為，動點P從點A出發(fā)以的速度沿向點B勻速運動，過點P作，交邊于點Q，以為邊作等邊三角形，使點A，D在異側(cè)，當(dāng)點D落在邊上時，點P需移動s．

【答案】1【分析】當(dāng)點D落在上時，如圖，，根據(jù)等邊三角形，是等邊三角形，證明，進而可得x的值．【詳解】解：設(shè)點P的運動時間為，由題意得，，

∵，∴，∵和是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得．故答案為：1．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2024·上海普陀·統(tǒng)考一模）已知點P為等邊三角形的重心，D為一邊上的中點，如果這個等邊三角形的邊長為2，那么．【答案】【分析】本題主要考查了重心的概念，等邊三角形的性質(zhì)，解題時要熟練掌握并靈活運用是關(guān)鍵．延長交于點，根據(jù)重心的概念得到，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理求出即可得到答案．【詳解】解：延長交于點，等邊，，D為一邊上的中點，，，點P為等邊三角形的重心，．故答案為：．變式2.（2023·浙江杭州·校聯(lián)考二模）如圖，為等邊三角形，在邊上分別任取一點，使得，連接相交于點，現(xiàn)有如下兩個結(jié)論：①；②若，則；下列判斷正確的是（）

A．①對，②對 B．①對，②錯 C．①錯，②對 D．①錯，②錯【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到①正確；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)線段的和差得到，過作交于，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到②正確．【詳解】解：在等邊中，，在與中，，，，，，，，，故①正確；是等邊三角形，，，，，，如圖，過作交于，

，，，，，，故②正確；故選：A．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．例6：（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，點在內(nèi)部，逆時針旋轉(zhuǎn)得到，請?zhí)砑右粋€條件：．使得是等邊三角形．【答案】或或或者【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)定理和等邊三角形的判定即可得到結(jié)論．【詳解】解：逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則，，若添加條件：或者，則是等邊三角形；若添加條件：，則是等邊三角形；若添加條件：，，，，，是等邊三角形；故答案為：或或或者．變式1．（2022·浙江嘉興·中考真題）小曹同學(xué)復(fù)習(xí)時將幾種三角形的關(guān)系整理如圖，請幫他在橫線上____填上一個適當(dāng)?shù)臈l件．【答案】（答案不唯一）【分析】利用等邊三角形的判定定理即可求解．【詳解】解：添加，理由如下：為等腰三角形，，為等邊三角形，故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查了等邊三角形的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的判斷定理．變式2．（2021·廣東廣州·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，，點E是AC的中點，且（1）尺規(guī)作圖：作的平分線AF，交CD于點F，連結(jié)EF、BF（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，若，且，證明：為等邊三角形．【答案】（1）圖見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)基本作圖—角平分線作法，作出的平分線AF即可解答；（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得到并求出，再根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)得出，從而得到EF為中位線，進而可證，，從而由有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，AF平分，（2）∵，且，∴，，∵，，∴，∴，∴，又∵AF平分，，∴，又∵，∴，，∴，∴又∵∴為等邊三角形．【點睛】本題主要考查了基本作圖和等腰三角形性質(zhì)以及與三角形中點有關(guān)的兩個定理，解題關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一定理、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半以及三角形中位線定理．例7：（2024·福建福州·校考一模）如圖，是等邊三角形內(nèi)的一點，且．

(1)尺規(guī)作圖：作出將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后得到（不要求寫作法，但需保留作圖痕跡）；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）以點B為圓心，為半徑畫弧，以點A為圓心，為半徑畫弧，兩弧交于一點，即為點，連接，即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出，，，證明為等邊三角形，證明為直角三角形，得出，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）解：將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后所得到的，如圖所示：

（2）解：如圖，連接，∵繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后所得到的，∴，，，∴為等邊三角形，∴，，在中，，∴為直角三角形，且，∴．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)作圖，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)．變式1．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點的對應(yīng)點首次落在斜邊上，則點的運動路徑的長為.

【答案】【分析】首先證明是等邊三角形，再根據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】解：在中，∵，，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，∴是等邊三角形，∴，∴點的運動路徑的長為．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，含直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是證明是等邊三角形．變式2．（2022·湖南懷化·中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，點M為AB邊上任意一點，延長BC至點N，使CN=AM，連接MN交AC于點P，MH⊥AC于點H．(1)求證：MP=NP；(2)若AB＝a，求線段PH的長（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見詳解；(2)0.5a．【分析】（1）過點M作MQCN，證明即可；（2）利用等邊三角形的性質(zhì)推出AH=HQ，則PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）．(1)如下圖所示，過點M作MQCN，∵為等邊三角形，MQCN，∴，則AM=AQ，且∠A=60°，∴為等邊三角形，則MQ=AM=CN，又∵MQCN，∴∠QMP=∠CNP，在，∴，

則MP=NP；(2)∵為等邊三角形，且MH⊥AC，∴AH=HQ，

又由（1）得，，則PQ=PC，∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形全等的判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．核心考點2.垂直平分線的性質(zhì)與判定例8：（2023·廣東清遠·統(tǒng)考二模）如圖，在中，．(1)請用尺規(guī)作圖法，在邊上求作一點E，使得（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，連接，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）作的垂直平分線交于點E即可；（2）結(jié)合（1）利用三角形的外角定義即可解決問題．【詳解】（1）如圖，點E即為所求；（2）∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查作圖-基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作法．變式1．（2023·河北·模擬預(yù)測）在中，是鈍角，則該三角形三邊垂直平分線的交點可能在下圖中的（

）

A．M點 B．N點 C．O點 D．P點【答案】A【分析】作出其中兩條邊的垂直平分線即可判斷．【詳解】解：∵三角形三邊垂直平分線交于一點，∴作出其中兩條邊的垂直平分線即可即可判斷交點位置，如圖，故選：A．

【點睛】本題考查線段的垂直平分線，熟練掌握垂直平分線的作法是解決問題的關(guān)鍵．變式2．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）閱讀以下尺規(guī)作圖的步驟：（1）作射線，在射線上截?。唬?）分別以點、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點、；（3）作直線交于點；（4）在直線上截取；（5）連接，。則可以說明的依據(jù)是（

）

A．線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等B．角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等C．等腰三角形的“三線合一”D．平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】A【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的步驟可得直線垂直平分，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得．【詳解】解：由尺規(guī)作圖的步驟可知，直線垂直平分，則（線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等），故選：A．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、以及性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的尺規(guī)作圖是解題關(guān)鍵．例9：（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于兩點，作直線，交邊于點，連接，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由作圖可得：為直線的垂直平分線，從而得到，則，再由三角形外角的定義與性質(zhì)進行計算即可．【詳解】解：由作圖可得：為直線的垂直平分線，，，，故選：C．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖—作垂線，線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，線段的垂直平分線交于點，交于點，則．

【答案】/10度【分析】由，，求得，根據(jù)線段的垂直平分線、等邊對等角和直角三角形的兩銳角互余求得．【詳解】解：∵，，∴，∵是線段的垂直平分線，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)，熟記直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于、兩點，連接，交于點，以點為圓心，的長為半徑作的弧恰好經(jīng)過點，以點為圓心，的長為半徑作弧交于點，連接，若，則（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，推出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】連接，由題意得，直線是線段的垂直平分線，，

，，，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，作圖基本作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．例10：（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點，．若，則的長是．

【答案】4【分析】由可得，由是的垂直平分線可得，從而可得．【詳解】解：∵，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等角對等邊等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．變式1．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，分別以點A和點C為圓心，大于的長為半徑作弧（弧所在圓的半徑都相等），兩弧相交于M，N兩點，直線分別與邊相交于點D，E，連接．若，則的長為（

）

A．9 B．8 C．7 D．6【答案】D【分析】由作圖可知直線為邊的垂直平分線，再由得到，則可知三點在以為圓心直徑的圓上，進而得到，由勾股定理求出即可．【詳解】解：由作圖可知，直線為邊的垂直平分線，∵∴，∵，∴，∴三點在以為圓心直徑的圓上，∴，∵，∴∴．故選：D．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)和勾股定理，解答關(guān)鍵是熟練掌握常用尺規(guī)作圖的作圖痕跡，由作圖過程得到新的結(jié)論．變式2．（2023·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在中，是的垂直平分線.若，，則的周長是.

【答案】13【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，即可求解．【詳解】解：是的垂直平分線．，，的周長，故答案為：13．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．核心考點3.勾股定理與逆定理及其應(yīng)用例11：（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬：有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺：豎放，竿比門高長出2尺：斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是尺．【答案】8【分析】設(shè)門高尺，則竿長為尺，門的對角線長為尺，門寬為尺，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：設(shè)門高尺，依題意，竿長為尺，門的對角線長為尺，門寬為尺，∴，解得：或（舍去），故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，根據(jù)題意建立方程是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)公式的是中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》．現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇數(shù)，則（用含的式子表示）．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，直角邊小于斜邊得到，為直角邊，為斜邊，根據(jù)勾股定理即可得到的值．【詳解】解：由于現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中，均小于，，為直角邊，為斜邊，，，得到，，，是大于1的奇數(shù)，．故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，分清楚，為直角邊，為斜邊是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對的點處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為．（杯壁厚度不計）

【答案】10【分析】如圖（見解析），將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點，根據(jù)兩點之間線段最短可知的長度即為所求，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：如圖，將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點，作，交延長線于點，連接，

由題意得：，，∵底面周長為，，，由兩點之間線段最短可知，螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為，故答案為：10．【點睛】本題考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵．同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．變式3.（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，小紅家購置了一臺圓形自動掃地機，放置在屋子角落（書柜、衣柜與地面均無縫隙）．在沒有障礙物阻擋的前提下，掃地機能自動從底座脫離后打掃全屋地面．若這臺掃地機能從角落自由進出，則圖中的x至少為（精確到個位，參考數(shù)據(jù)：）．

【答案】【分析】先建立直角三角形，利用勾股定理解決實際問題．【詳解】解：如圖過點A、B分別作墻的垂線，交于點C，則，，在中，，即∵這臺掃地機能從角落自由進出，∴這臺掃地機的直徑不小于長，即最小時為，解得：（舍），，∴圖中的x至少為，故答案為：．

【點睛】本題考查勾股定理的實際應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．例12：（2022·湖南永州·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識地給出了勾股定理的證明.如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則______．【答案】3【分析】根據(jù)題意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，設(shè)AF=DE=CH=BG=x，結(jié)合圖形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，∴AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，根據(jù)題意，設(shè)AF=DE=CH=BG=x，則AE=x-1，在Rt?AED中，，即，解得：x=4（負值已經(jīng)舍去），∴x-1=3，故答案為：3．【點睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)，勾股定理解三角形，一元二次方程的應(yīng)用等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．變式1.（2023·廣東東莞·校聯(lián)考二模）如圖，正方形的邊長為4，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查規(guī)律型：圖形變化類，由特殊情況總結(jié)出一般規(guī)律，先用勾股定理求出第二個正方形的邊長，進而找到與之間的關(guān)系，依次類推，得出規(guī)律，進而得出答案．【詳解】解：∵正方形的邊長為4，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，同理，，∴，∴，故選：A．變式2．（2023·浙江溫州·?？级＃┰凇端聫R難題》書中，有這樣一道題：五個正方形ABCD，CEFG，F(xiàn)HMN，GNPQ，DGST如圖所示排列，其中點A、B、E、H、M共線，可得結(jié)論：正方形CEFG與的面積相等．若正方形CEFG與的面積之和為120，則正方形DGST與正方形GNPQ面積之和為（

）A．270 B．300 C．320 D．350【答案】B【分析】如圖，過作交DC的延長線與K，交NF的延長線與J，證明可得同理：可得證明再結(jié)合勾股定理可得：，從而可得答案．【詳解】解：如圖，過作交DC的延長線與K，交NF的延長線與J，∵正方形ABCD，HMNF，同理：正方形CEFG與的面積相等，正方形CEFG與的面積之和為120，正方形CEFG為60，由勾股定理可得：故選B【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，作出合適的輔助線構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵．例13：（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）在△ABC中，，，，則______________．【答案】或【分析】畫出圖形，分△ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討論即可．【詳解】解：情況一：當(dāng)△ABC為銳角三角形時，如圖1所示：過A點作AH⊥BC于H，∵∠B=45°，∴△ABH為等腰直角三角形，∴,在Rt△ACH中，由勾股定理可知：，∴．情況二：當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，如圖2所示：由情況一知：，，∴．故答案為：或．【點睛】本題考察了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是能將△ABC分成銳角三角形或鈍角三角形分類討論．變式1.（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點在邊上，且平分的周長，則的長是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖所示，過點B作于E，利用勾股定理求出，進而利用等面積法求出，則可求出，再由平分的周長，求出，進而得到，則由勾股定理得．【詳解】解：如圖所示，過點B作于E，∵在中，，∴，∵，∴，∴，∵平分的周長，∴，即，又∵，∴，∴，∴，故選C．

【點睛】本題主要考查了勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，．連接，在和上分別截取，使．分別以點E和點F為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點G．作射線交于點H，則線段的長是．

【答案】/【分析】過H作于Q，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和勾股定理列方程求解．【詳解】解：設(shè)，

過H作于Q，在矩形中，，∴，由作圖得：平分，∴，∵，，∴，∴，∴，在中，有，即：，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了基本作圖，掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．變式3．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點在邊上．將沿折疊，使點落在點處，連接，則的最小值為．

【答案】【分析】由折疊性質(zhì)可知，然后根據(jù)三角不等關(guān)系可進行求解．【詳解】解：∵，∴，由折疊的性質(zhì)可知，∵，∴當(dāng)、、B三點在同一條直線時，取最小值，最小值即為；故答案為．【點睛】本題主要考查勾股定理、折疊的性質(zhì)及三角不等關(guān)系，熟練掌握勾股定理、折疊的性質(zhì)及三角不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例14：（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐主題：制作無蓋正方體形紙盒素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．猜想與證明：

(1)直接寫出紙板上與紙盒上的大小關(guān)系；(2)證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）和均是等腰直角三角形，；（2）證明是等腰直角三角形即可.【詳解】（1）解：（2）證明：連接，

設(shè)小正方形邊長為1，則，，，為等腰直角三角形，∵，∴為等腰直角三角形，，故【點睛】此題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．變式1.（2023·浙江紹興·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知的三邊長分別為，，，過的某個頂點將該三角形剪成兩個小三角形，再將這兩個小三角形拼成，若與不全等，則這條剪痕的長可能為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了折疊問題，勾股定理及其逆定理的應(yīng)用；根據(jù)勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且．根據(jù)題意可得這條剪痕可能是或邊的中線．分別根據(jù)中線的性質(zhì)以及勾股定理求得，即可求解．【詳解】解：如圖，中，，，，，是直角三角形，且．過的某個頂點將該三角形剪成兩個小三角形，再將這兩個小三角形拼成，與不全等，這條剪痕可能是或邊的中線．如果這條剪痕是邊的中線，那么，，，；如果這條剪痕是邊的中線，那么，，，；這條剪痕的長可能為．故選：C．核心考點4.直角三角形的性質(zhì)及計算例15：（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），問題：圖（1）為中國古代一種強弩圖，圖（2）為這種強弩圖的部分組件的示意圖，若矩，欘，則度．

【答案】//．【分析】根據(jù)矩、宣、欘的概念計算即可．【詳解】解：由題意可知，矩，欘宣矩，，故答案為：．【點睛】本題考查了新概念的理解，直角三角形銳角互余，角度的計算；解題的關(guān)鍵是新概念的理解，并正確計算．變式1.（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角的大面小，需將轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與相等的角是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知：與互余，與互余，根據(jù)同角的余角相等可得結(jié)論．【詳解】由示意圖可知：和都是直角三角形，，，，故選：B．【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握直角三角形的兩個銳角互余是解題的關(guān)鍵．變式2.（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設(shè)計直角三角形，得出了一個結(jié)論：如圖，是銳角的高，則．當(dāng)，時，．

【答案】【分析】根據(jù)公式求得，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：∵，，∴∴,故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的高的定義，正確的使用公式是解題的關(guān)鍵．例16：（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，．

(1)在斜邊上求作線段，使，連接；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡