人教版九年級上冊數(shù)學：《二次函數(shù)》教學學案

22.1.1二次函數(shù)

i.理解、掌握二次函數(shù)的概念和一般形式.

2.會利用二次函數(shù)的概念解決問題.

3.列二次函數(shù)表達式解決實際問題.

一、情境導入

已知長方形窗戶的周長為6米，窗戶面積為y(米與，窗戶寬為x(米)，你能寫出y與x

之間的函數(shù)關系式嗎？它是什么函數(shù)呢？

二、合作探究

探究點一：二次函數(shù)的有關概念

［類型一］二次函數(shù)的識別

@D下列函數(shù)哪些是二次函數(shù)？

My—2—x(2)y~x^_?：

(3)y=2x(l+4x);(4)y=f-(l+x)2.

解析：(1)是二次函數(shù)：(2)三匕是分式而不是整式，不符合二次函數(shù)的定義式，故y

］不是二次函數(shù);(3)把y=2x(l+4x)化簡為7=8/+2入，顯然是二次函數(shù)；(4)片=/

一(1+x)，化簡后變?yōu)閥=-2%—1,它不是二次函數(shù)而是一個一次函數(shù).

解:二次函數(shù)有⑴和(3).

方法總結:判定一個函數(shù)是否是二次函數(shù)常有三個標準:①所表示的函數(shù)關系式為整式;

②所表示的函數(shù)關系式有唯一的自變量；③所含自變量的關系式最高次數(shù)為2,且函數(shù)關系

式中二次項系數(shù)不等于o.

［類型二］確定二次函數(shù)中待定字母的取值

n如果函數(shù)尸(4+2)x*2—2是y關于x的二次函數(shù)，則4的值為多少？

解析：緊扣二次函數(shù)的定義求解.注意易錯點為忽視才+2W0的條件.

"2=2,k=+2,

解：根據(jù)題意知解得

A+2W0,k#—2,

方法總結：緊扣定義中的兩個特征：①a#0；②自變量最高次數(shù)為2的二次三項式aV

+bx-\-c.

【類型三】求函數(shù)值

回E1當x=-3時，函數(shù)y=2—3x—1的值為_.

解析：把片=一3直接代入函數(shù)的表達式得y=2-3X(一3)一(一3尸=2+9-9=2.即函

數(shù)的值為2.

方法總結：求函數(shù)值實際上就是求代數(shù)式的值.用所給的自變量的值替換函數(shù)關系式中

的自變量，然后計算，注意運算順序不要改變.

［類型四］確定自變量的取值

畫EJ當x=時，函數(shù)y=f+5x—5的函數(shù)值為1.

解析：令y—l,即f+5x—5=1,解這個一元二次方程得小=-6,及=1.即x=-6

或1.

方法總結：求二次函數(shù)自變量的值實際上就是解一元二次方程.直接轉化為關于自變量

的一元二次方程，通過解方程確定自變量的取值.

探究點二：列二次函數(shù)的解析式

一個正方形的邊長是12cm,若從中挖去一個長為2xcm,寬為(x+l)cm的小長方

形.剩余部分的面積為/

(1)寫出y與x之間的函數(shù)關系式，并指出y是x的什么函數(shù)？

(2)當x的值為2或4時，相應的剩余部分面積是多少？

解析：幾何圖形的面積一般需要畫圖分析，相關線段必須先用X的代數(shù)式表示出來.如

圖所示.

解：⑴尸12?—2x(x+l),即y=-2f—2x+144,是x的二次函數(shù).

(2)當x=2或4時，相應的y的值分別為132cm2或104cm2.

方法總結：二次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界變量之間關系的一種常見的數(shù)學模型.許多實際問

題的解決，可以通過分析題目中變量之間的關系，建立二次函數(shù)模型.

陶@某商品的進價為每件40元.當售價為每件60元時，每星期可賣出300件，現(xiàn)需

降價處理，且經(jīng)市場調查：每降價1元，每星期可多賣出20件.在確保盈利的前提下，解

答下列問題：若設每件降價x元，每星期售出商品的利潤為y元，請寫出y與x的函數(shù)關系

式，并求出自變量x的取值范圍.

解析：根據(jù)題意可知：實際商品的利潤為(60—*一40),每星期售出商品的數(shù)量為(300

+20x),則每星期售出商品的利潤為y=(60-X-40)(300+20^),化簡，注意要求出自變

量x的取值范圍.

解：由題意，得：y=(60-^-40)(300+20x)=(20-^)(300+20x)=-20Y+100x+

6000,自變量x的取值范圍為0</20.

方法總結：銷售利潤=單位商品利潤X銷售數(shù)量；商品利潤=售價一進價.

三、板書設計

教學過程中，強調判斷一個函數(shù)為二次函數(shù)的三個條件，可對比己學過的一次函數(shù)，進一步

鞏固函數(shù)的有關知識.

22.1.1二次函數(shù)

教學目標：

(1)能夠根據(jù)實際問題，熟練地列出二次函數(shù)關系式，并求出函數(shù)的自變量的取值范圍。

(2)注重學生參與，聯(lián)系實際，豐富學生的感性認識，培養(yǎng)學生的良好的學習習慣

占先!,占、

能夠根據(jù)實際問題，熟練地列出二次函數(shù)關系式，并求出函數(shù)的自變量的取值范圍。

教學過程：

一、試一試

1.設矩形花圃的垂直于墻的一邊AB的長為xm,先取x的一些值，算出矩形的另一邊BC的

長，進而得出矩形的面積ym?.試將計算結果填寫在下表的空格中，

AB長123456789

x(m)

BC長(m)12

面積y(m2)48

2.x的值是否可以任意取?有限定范圍嗎？

3.我們發(fā)現(xiàn)，當AB的長(x)確定后，矩形的面積(y)也隨之確定，y是x的函數(shù)，試寫出這

個函數(shù)的關系式，

對于1.,可讓學生根據(jù)表中給出的AB的長，填出相應的BC的長和面積，然后引導學生觀

察表格中數(shù)據(jù)的變化情況，提出問題：(1)從所填表格中，你能發(fā)現(xiàn)什么？(2)對前面提出的問題

的解答能作出什么猜想?讓學生思考、交流、發(fā)表意見，達成共識：當AB的長為5cm,BC的長

為10m時，圍成的矩形面積最大；最大面積為50m2。

對于2,可讓學生分組討論、交流，然后各組派代表發(fā)表意見。形成共識，x的值不可以任

意取，有限定范圍，其范圍是0<x<10。

對于3,教師可提出問題，(1)當AB=xm時，BC長等于多少m?(2)面積y等于多少?并指出

y=x(20-2x)(0<x<10)就是所求的函數(shù)關系式.

二、提出問題

某商店將每件進價為8元的某種商品按每件10元出售，一天可銷出約100件.該店想通過

降低售價、增加銷售量的辦法來提高利潤，經(jīng)過市場調查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低0.1元，其

銷售量可增加10件。將這種商品的售價降低多少時，能使銷售利潤最大？

在這個問題中，可提出如下問題供學生思考并回答：

1.商品的利潤與售價、進價以及銷售量之間有什么關系？

困潤=(售價一進價)X銷售量]

2.如果不降低售價，該商品每件利潤是多少元?一天總的利潤是多少元？

[10—8=2(元)，(10-8)X100=200(元)]

3.若每件商品降價x元，則每件商品的利潤是多少元?一天可銷售約多少件商品?

[(10-8-x)；(100+100x)1

4.x的值是否可以任意取?如果不能任意取，請求出它的范圍，

[x的值不能任意取，其范圍是0WxW2]

5.若設該商品每天的利潤為y元，求y與x的函數(shù)關系式。

[y=(10-8-x)(100+100x)(0WxW2)]

將函數(shù)關系式y(tǒng)=x(20-2x)(0<xV10=化為：

y=-2x2+20x(0<x<10)..........................................(1)

將函數(shù)關系式y(tǒng)=(10—8—x)(100+100x)(0WxW2)化為：

y=-100x2+100x+20D(0WxW2).............................(2)

三、觀察；概括

1.教師引導學生觀察函數(shù)關系式(1)和(2),提出以下問題讓學生思考回答；

(1)函數(shù)關系式(1)和(2)的自變量各有幾個？

(各有1個)

(2)多項式-2x2+20和-100x2+100x+200分別是幾次多項式？

(分別是二次多項式)

(3)函數(shù)關系式(1)和(2)有什么共同特點？

(都是用自變量的二次多項式來表示的)

(4)本章導圖中的問題以及P1頁的問題2有什么共同特點？

讓學生討論、交流，發(fā)表意見，歸結為：自變量x為何值時，函數(shù)y取得最大值。

2.二次函數(shù)定義：形如y=ax?+bx+c(a、b、、c是常數(shù)，aWO)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù),

a叫做二