第15講 對(duì)數(shù)及其運(yùn)算 2024-2025年新高一暑假自學(xué)課（學(xué)生版）

第15講對(duì)數(shù)及其運(yùn)算1.了解對(duì)數(shù)的概念，會(huì)進(jìn)行指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，會(huì)求簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)值；2.掌握積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，并能正確利用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算；3.掌握換底公式及其推論；4.掌握常用對(duì)數(shù)、自然對(duì)數(shù)的概念與記法.1對(duì)數(shù)的概念(1)概念一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a(a底數(shù)，N真數(shù)，log(2)兩個(gè)重要對(duì)數(shù)常用對(duì)數(shù)以10為底的對(duì)數(shù)，log10N自然對(duì)數(shù)以無(wú)理數(shù)e為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)，logeN(3)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化x=lo對(duì)數(shù)式指數(shù)式如43=64?log(4)結(jié)論①負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)②lo特別地，lg10=1，lg1=0，lne=12對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，a≠1，M>0，N>0,有①loga(MN)=log③logaMn=nlo3換底公式(1)公式log(2)推論①logab=1logb

【題型一】對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互換相關(guān)知識(shí)點(diǎn)講解1對(duì)數(shù)的概念一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a(a底數(shù)，N真數(shù)，log解釋對(duì)數(shù)logaN中對(duì)底數(shù)a的限制與指數(shù)函數(shù)y=2兩個(gè)重要對(duì)數(shù)常用對(duì)數(shù)以10為底的對(duì)數(shù)，log10N自然對(duì)數(shù)以無(wú)理數(shù)e為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)，logeN3對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化x=lo對(duì)數(shù)式指數(shù)式如43=64?log4結(jié)論①負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)②lo特別地，lg10=1，lg1=0，lne=1解釋∵ax=N>0，∴l(xiāng)oga由對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化得a1=a?loga【典題1】指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化.(1)3a=27(2)lg0.001=?3【典題2】已知函數(shù)fx=log3x+1,x>1x,0<x≤1A．8 B．7 C．2 D．0.5變式練習(xí)1.已知logx8=2，則x=(

A．2 B．22 C．3 2.已知f2x=x，則f3=A．8 B．9 C．log23 3.若log3x?2=2y?3=1，則A．2 B．3 C．5 D．8【題型二】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)講解如果a>0，a≠1，M>0，N>0,有①loga(MN)=log③logaMn=nlo(每條等式均可證明)比較對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則與指數(shù)的運(yùn)算法則的聯(lián)系指數(shù)對(duì)數(shù)aloaloalog特別注意：logaMN≠lo【例】證明log【典題1】(多選)下列等式成立的是()A．lg2+lg5?C．lg14?2lg7變式練習(xí)1.化簡(jiǎn)下列各式：(1)4lg2+3lg2.log222A．4 B．92 C．5 D．3.(2024·山東聊城·二模)已知函數(shù)fx為R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，fx=log4A．?23 B．?13 C．4.已知lg2≈0.3010,lg3≈0.4771，則logA．1.79 B．1.81 C．1.87 D．1.895.已知實(shí)數(shù)x，y滿足log2x+log2y+1A．32 B．2 C．72?【題型三】換底公式的運(yùn)用條件求值問(wèn)題相關(guān)知識(shí)點(diǎn)講解(1)公式log(2)公式推導(dǎo)設(shè)logcblog∴b=ax，∴x=log(3)推論①logab=1logb證明①loga②loga③loga【典題1】已知lg?2=a,lg?3=b，則logA．a(chǎn)+baB．a(chǎn)+bbC．a(chǎn)【典題2】已知a=log3?5，b=log4?5A．12 B．112 C．7 D．變式練習(xí)1.log23?logA．2 B．1 C．?1 D．02.log225×logA．8 B．6 C．4 D．23.已知a=lg?2，b=lg?3，用a,b表示A．2a+2b1?a B．1?a2a+b C．2?2aa+b【題型四】條件求值問(wèn)題【典題1】設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且3a=4A．a(chǎn)+2b=c B．a(chǎn)c+bc=2ab C．1a+1【典題2】已知2m=6n=10，則3，m?nA．m?n<m+n<3 B．m?n<3<m+nC．3<m+n<m?n D．3<m?n<m+n變式練習(xí)1.(2024·遼寧丹東·一模)若2a=3，3b=5，5c=4A．?2 B．12 C．222.(2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè))設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且4a=6bA．1a+1b=1c B．3.設(shè)log23=3p,log35=q，則lgA．p2+q2 B．153p+2q4.已知a，b，c∈R，3a=2，4b=5，5A．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a(chǎn)<c<b5.設(shè)x、y∈R，a>1，b>1，若ax=by=2，a2+b=4A．1 B．2 C．3 D．46.(多選)若log3x=log5y=A．x>y>z B．3x>5y>7zC．3x<5y<7z D．x<y<z7.(多選)已知c>0，且2a=3bA．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)c<C．1a+1b>【題型五】實(shí)際問(wèn)題中的對(duì)數(shù)運(yùn)算【典題1】(2024·貴州遵義·一模)近年來(lái)，中國(guó)成為外來(lái)物種入侵最嚴(yán)重的國(guó)家之一，物種入侵對(duì)中國(guó)生物多樣性、農(nóng)牧業(yè)生產(chǎn)等構(gòu)成巨大威脅．某地的一種外來(lái)動(dòng)物數(shù)量快速增長(zhǎng)，不加控制情況下總數(shù)量每經(jīng)過(guò)7個(gè)月就增長(zhǎng)1倍．假設(shè)不加控制，則該動(dòng)物數(shù)量由入侵的100只增長(zhǎng)到1億只大約需要(lg2≈0.3010)(

A．8年 B．10年 C．12年 D．20年變式練習(xí)1.(2024·安徽·模擬預(yù)測(cè))科學(xué)家從由實(shí)際生活得出的大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)以1開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率較高，以1開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出定律：在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為Pbn=logbn+1n，如裴波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律．后來(lái)常有數(shù)學(xué)愛(ài)好者用此定律來(lái)檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性．若n=4kA．11 B．15 C．19 D．21【A組基礎(chǔ)題】1.12lg2+lgA．12 B．1 C．lg5 2.(2024·青?！つM預(yù)測(cè))若a=log35，5b=6，則A．1 B．－1 C．2 D．－23.已知b>0，log5b=a，lgb=c，5d=10A．d=ac B．a(chǎn)=cd C．c=ab D．d=a+c4.若實(shí)數(shù)a、b、c滿足25a=403b=A．1a+2C．1a+15.(多選)(2024·貴州貴陽(yáng)·一模)已知2x=3y=6，則實(shí)數(shù)A．x?1y?1=1B．x+y>4 C．1x6.已知ex=2，則x=7.已知3m=5n=k且18