山西省忻州一中2025屆高一下數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

山西省忻州一中2025屆高一下數(shù)學(xué)期末考試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某學(xué)校美術(shù)室收藏有6幅國畫，分別為人物、山水、花鳥各2幅，現(xiàn)從中隨機抽取2幅進(jìn)行展覽，則恰好抽到2幅不同種類的概率為（）A． B． C． D．2．等比數(shù)列的前項和為，，且成等差數(shù)列，則等于()A． B． C． D．3．已知平面上四個互異的點、、、滿足：，則的形狀一定是（）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．鈍角三角形4．已知a，b，c為實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．若ac＞bc＞0，則a＞b B．若a＞b＞0，則ac＞bcC．若ac2＞bc2，則a＞b D．若a＞b，則ac2＞bc25．若圓心坐標(biāo)為的圓,被直線截得的弦長為，則這個圓的方程是（）A． B．C． D．6．設(shè)向量滿足，且，則向量在向量方向上的投影為A．1 B． C． D．7．已知一扇形的周長為，圓心角為，則該扇形的面積為()A． B． C． D．8．函數(shù)的定義域是（）．A． B． C． D．9．如圖，在矩形中，，,點為的中點，點在邊上，點在邊上，且，則的最大值是()A． B． C． D．10．已知向量，，若向量與的夾角為，則實數(shù)（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為2，則該三棱錐的外接球的表面積_____．12．在等比數(shù)列中，，公比，若，則的值為．13．在中，角所對的邊分別為，，則____14．如圖，在水平放置的邊長為1的正方形中隨機撤1000粒豆子，有400粒落到心形陰影部分上，據(jù)此估計心形陰影部分的面積為_________.15．若在等比數(shù)列中，，則__________．16．某中學(xué)為了了解全校學(xué)生的閱讀情況，在全校采用隨機抽樣的方法抽取一個樣本進(jìn)行問卷調(diào)查，并將他們在一個月內(nèi)去圖書館的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計，將學(xué)生去圖書館的次數(shù)分為5組：制作了如圖所示的頻率分布表，則抽樣總?cè)藬?shù)為_______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．高一某班以小組為單位在周末進(jìn)行了一次社會實踐活動，且每小組有5名同學(xué)，活動結(jié)束后，對所有參加活動的同學(xué)進(jìn)行測評，其中A，B兩個小組所得分?jǐn)?shù)如下表：A組8677809488B組9183？7593其中B組一同學(xué)的分?jǐn)?shù)已被污損，看不清楚了，但知道B組學(xué)生的平均分比A組學(xué)生的平均分高出1分.（1）若從B組學(xué)生中隨機挑選1人，求其得分超過85分的概率；（2）從A組這5名學(xué)生中隨機抽取2名同學(xué)，設(shè)其分?jǐn)?shù)分別為m，n，求的概率.18．在等差數(shù)列中，已知,.（I）求數(shù)列的通項公式；（II）求.19．某“雙一流A類”大學(xué)就業(yè)部從該校2018年已就業(yè)的大學(xué)本科畢業(yè)生中隨機抽取了100人進(jìn)行問卷調(diào)查，其中一項是他們的月薪收入情況，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，他們的月薪收入在人民幣1.65萬元到2.35萬元之間，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)分組，得到如下的頻率分布直方圖：（1）為感謝同學(xué)們對這項調(diào)查工作的支持，該校利用分層抽樣的方法從樣本的前兩組中抽出6人，各贈送一份禮品，并從這6人中再抽取2人，各贈送某款智能手機1部，求獲贈智能手機的2人月薪都不低于1.75萬元的概率；（2）同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表.（i）求這100人月薪收入的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2（ii）該校在某地區(qū)就業(yè)的本科畢業(yè)生共50人，決定于2019國慶長假期間舉辦一次同學(xué)聯(lián)誼會，并收取一定的活動費用，有兩種收費方案：方案一：設(shè)Ω=[x-s-0.018,x+s+0.018)，月薪落在區(qū)間Ω左側(cè)的每人收取400元，月薪落在區(qū)間方案二：按每人一個月薪水的3%收?。挥迷撔＞蜆I(yè)部統(tǒng)計的這100人月薪收入的樣本頻率進(jìn)行估算，哪一種收費方案能收到更多的費用？參考數(shù)據(jù)：174≈13.220．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，點為中點，且.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面.21．在相同條件下對自行車運動員甲?乙兩人進(jìn)行了6次測試，測得他們的最大速度（單位:）的數(shù)據(jù)如下:甲273830373531乙332938342836試判斷選誰參加某項重大比賽更合適.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

算出基本事件的總數(shù)和隨機事件中基本事件的個數(shù)，利用古典概型的概率的計算公式可求概率.【詳解】設(shè)為“恰好抽到2幅不同種類”某學(xué)校美術(shù)室收藏有6幅國畫，分別為人物、山水、花鳥各2幅，現(xiàn)從中隨機抽取2幅進(jìn)行展覽，基本事件總數(shù)，恰好抽到2幅不同種類包含的基本事件個數(shù)，則恰好抽到2幅不同種類的概率為．故選B．【點睛】計算出所有的基本事件的總數(shù)及隨機事件中含有的基本事件的個數(shù)，利用古典概型的概率計算即可.計數(shù)時應(yīng)該利用排列組合的方法.2、A【解析】

根據(jù)等差中項的性質(zhì)列方程，并轉(zhuǎn)化為的形式，由此求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】由于成等差數(shù)列，故，即，所以，，所以，故選A.【點睛】本小題主要考查等差中項的性質(zhì)，考查等比數(shù)列基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

由向量的加法法則和減法法則化簡已知表達(dá)式，再由向量的垂直和等腰三角形的三線合一性質(zhì)得解.【詳解】設(shè)邊的中點，則所以在中，垂直于的中線，所以是等腰三角形.故選C.【點睛】本題考查向量的線性運算和數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

本題可根據(jù)不等式的性質(zhì)以及運用特殊值法進(jìn)行代入排除即可得到正確結(jié)果．【詳解】由題意，可知：對于A中，可設(shè)，很明顯滿足，但，所以選項A不正確；對于B中，因為不知道的正負(fù)情況，所以不能直接得出，所以選項B不正確；對于C中，因為，所以，所以，所以選項C正確；對于D中，若，則不能得到，所以選項D不正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了不等式性質(zhì)的應(yīng)用以及特殊值法的應(yīng)用，著重考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

設(shè)出圓的方程，求出圓心到直線的距離，利用圓心到直線的距離、半徑和半弦長滿足勾股定理，求得圓的半徑，即可求得圓的方程，得到答案．【詳解】由題意，設(shè)圓的方程為，則圓心到直線的距離為，又由被直線截得的弦長為，則，所以所求圓的方程為，故選B．【點睛】本題主要考查了圓的方程的求解，以及直線與圓的弦長的應(yīng)用，其中解答中熟記直線與圓的位置關(guān)系，合理利用圓心到直線的距離、半徑和半弦長滿足勾股定理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】

先由題中條件，求出向量的數(shù)量積，再由向量數(shù)量積的幾何意義，即可求出投影.【詳解】因為，，所以，所以，故向量在向量方向上的投影為.故選D【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，熟記平面向量數(shù)量積的幾何意義即可，屬于?？碱}型.7、C【解析】

根據(jù)題意設(shè)出扇形的弧長與半徑，通過扇形的周長與弧長公式即可求出扇形的弧長與半徑，進(jìn)而根據(jù)扇形的面積公式即可求解．【詳解】設(shè)扇形的弧長為，半徑為，扇形的圓心角的弧度數(shù)是.

則由題意可得：.

可得：，解得：，.可得：故選：C【點睛】本題主要考查扇形的周長與扇形的面積公式的應(yīng)用，以及考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】函數(shù)的定義域即讓原函數(shù)有意義即可；原式中有對數(shù)，則故得到定義域為.故選C.9、A【解析】

把線段最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，建立函數(shù)表達(dá)式，從而求得最值.【詳解】設(shè)，，，，，，，，，，的最大值是.故選A.【點睛】本題主要考查函數(shù)的實際應(yīng)用，建立合適的函數(shù)關(guān)系式是解決此題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的分析能力及數(shù)學(xué)建模能力.10、B【解析】

根據(jù)坐標(biāo)運算可求得與，從而得到與；利用向量夾角計算公式可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，，，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查利用向量數(shù)量積、模長和夾角求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是能夠通過坐標(biāo)運算表示出向量和模長，進(jìn)而利用向量夾角公式構(gòu)造方程.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解析】

由題意推出球心O到四個頂點的距離相等，利用直角三角形BOE，求出球的半徑，即可求出外接球的表面積．【詳解】如圖，∵正三棱錐A﹣BCD中，底面邊長為，底面外接圓半徑為側(cè)棱長為2，BE=1,在三角形ABE中，根據(jù)勾股定理得到：高AE得到球心O到四個頂點的距離相等，O點在AE上，在直角三角形BOE中BO＝R，EOR，BE＝1，由BO2＝BE2+EO2，得R∴外接球的半徑為，表面積為：故答案為．【點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.12、1【解析】

因為，，故答案為1．考點：等比數(shù)列的通項公式．13、【解析】

利用正弦定理將邊角關(guān)系式中的邊都化成角，再結(jié)合兩角和差公式進(jìn)行整理，從而得到.【詳解】由正弦定理可得：即：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查李用正弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系式的化簡問題，屬于常規(guī)題.14、0.4【解析】

根據(jù)幾何概型的計算，反求陰影部分的面積即可.【詳解】設(shè)陰影部分的面積為，根據(jù)幾何概型的概率計算公式：，解得.故答案為：.【點睛】本題考查幾何概型的概率計算公式，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)等比中項的性質(zhì)，將等式化成即可求得答案．【詳解】是等比數(shù)列，若，則．因為，所以，．故答案為：1．【點睛】本題考查等比中項的性質(zhì)，考查基本運算求解能力，屬于容易題.16、20【解析】

總體人數(shù)占的概率是1，也可以理解成每個人在整體占的比重一樣，所以三組的頻率為：，共有14人，即14人占了整體的0.7，那么整體共有人?！驹斀狻壳叭M，即三組的頻率為：，，解得：【點睛】此題考查概率，通過部分占總體的概率即可計算出總體的樣本值，屬于簡單題目。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）先設(shè)在B組中看不清的那個同學(xué)的分?jǐn)?shù)為x，分別求得兩組的平均數(shù)，再由平均數(shù)間的關(guān)系求解.（2）先求出從A組這5名學(xué)生中隨機抽取2名同學(xué)所有方法數(shù)，再用列舉的方法得到滿足求的方法數(shù)，再由古典概型求解.【詳解】（1）設(shè)在B組中看不清的那個同學(xué)的分?jǐn)?shù)為x由題意得解得x=88所以在B組5個分?jǐn)?shù)超過85的有3個所以得分超過85分的概率是（2）從A組這5名學(xué)生中隨機抽取2名同學(xué)，設(shè)其分?jǐn)?shù)分別為m，n，則所有共有共10個其中滿足求的有:共6個故|的概率為

【點睛】本題主要考查了平均數(shù)和古典概型概率的求法，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（I）將已知條件轉(zhuǎn)為關(guān)于首項和公差的方程組，解方程組求出，進(jìn)而可求通項公式；（II）由已知可得構(gòu)成首項為,公差為的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前n項和公式計算即可.【詳解】（I）因為是等差數(shù)列，,所以解得.則,.（II）構(gòu)成首項為,公差為的等差數(shù)列.則【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式和前n項和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）23；（2）（i）2，0.0174【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出前2組中的人數(shù)，由分層抽樣得抽取的人數(shù)，然后把6人編號，可寫出任取2人的所有組合，也可得出獲贈智能手機的2人月薪都不低于1.75萬元的所有組合，從而可計算出概率．（2）根據(jù)頻率分布直方圖計算出均值和方差，然后求出區(qū)間Ω，結(jié)合頻率分布直方圖可計算出兩方案收取的費用．【詳解】（1）第一組有0.2×0.1×100=2人，第二組有1.0×0.1×100=10人.按照分層抽樣抽6人時，第一組抽1人，記為A，第二組抽5人，記為B，C，D，E，F(xiàn).從這6人中抽2人共有15種：(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F).獲贈智能手機的2人月薪都不低于1.75萬元的10種：(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F).于是獲贈智能手機的2人月薪都超過1.75萬元的概率P=10（2）（i）這100人月薪收入的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2分別是s2（ii）方案一：s=月薪落在區(qū)間Ω左側(cè)收活動費用約為(0.02+0.10)×400×50÷10000=0.24（萬元）；月薪落在區(qū)間Ω收活動費用約為(0.24+0.31+0.20)×600×50÷10000=2.25（萬元）；月薪落在區(qū)間Ω右側(cè)收活動費用約為(0.09+0.04)×800×50÷10000=0.52（萬元）；、因此方案一，這50人共收活動費用約為3.01（萬元）.方案二：這50人共收活動費用約