安徽省皖豫名校聯(lián)盟安徽卓越縣中聯(lián)盟2024屆高三聯(lián)考5月三模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省皖豫名校聯(lián)盟&安徽卓越縣中聯(lián)盟2024屆高三聯(lián)考5月三模數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題1.已知某市高三共有20000名學(xué)生參加二模考試，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)近似服從正態(tài)分布，據(jù)此估計(jì)，該市二?？荚嚁?shù)學(xué)分?jǐn)?shù)介于75到115之間的人數(shù)為（）參考數(shù)據(jù)：若，則.A.13272 B.16372 C.16800 D.19518〖答案〗C〖解析〗依題意，故所求人數(shù)為.故選：C.2.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，故，故.故選：D3.在橢圓的4個(gè)頂點(diǎn)和2個(gè)焦點(diǎn)中，若存在不共線(xiàn)的三點(diǎn)恰為某個(gè)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)和中心，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，只需要這三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，所以這三個(gè)點(diǎn)只可能是“短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)”或“兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)端點(diǎn)”，可設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，半焦距為，這兩種情況都滿(mǎn)足，所以，即橢圓離心率為，故選：C.4.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.590 B.602 C.630 D.650〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，兩式相減可得.由，，解得，所以，滿(mǎn)足上式，故，所以.故選：A.5.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，若從該正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成體積為的四面體的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)正方體為，則滿(mǎn)足體積為的四個(gè)頂點(diǎn)只有“”和“”兩種情況滿(mǎn)足，故所求概率.故選：A6.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則（）A.8 B.10 C.12 D.14〖答案〗B〖解析〗依題意，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，由可知，解得，所以.故選：B7.已知圓臺(tái)的上?下底面面積分別為，其外接球球心滿(mǎn)足，則圓臺(tái)的外接球體積與圓臺(tái)的體積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓臺(tái)的高為，外接球半徑為，作出軸截面如圖：的上?下底面面積分別為，則圓，的半徑分別為2，6，則，解得，故所求體積之比為故選：B8.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，則.令，故，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，則.令，則，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，則.綜上所述：.故選：A.二?多項(xiàng)選擇題9.已知函數(shù)，則（）A.B.的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C.在上單調(diào)遞增D.函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)〖答案〗ABD〖解析〗易知的最小正周期為，所以也是的周期，則，故A正確；令，解得：，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故B正確；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上先增后減，故錯(cuò)誤；令，故，在一直角坐標(biāo)系中分別作出和的大致圖像（如圖），觀(guān)察可知，二者有兩個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ABD10.已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面為等腰三角形，為棱上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，則（）A.平面B.直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為C.D.點(diǎn)到平面的距離為〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A中，連接，交于點(diǎn)，連接，如圖所示，若平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫?，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)闉槔馍峡拷娜确贮c(diǎn)，所以矛盾，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)槠矫妫移矫?，所以，又因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，因?yàn)椋移矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)椋移矫?，所以平面，則直線(xiàn)與平面所成的角為，由題可知，所以B正確；對(duì)于C中，將平面翻折至與平面共面，且點(diǎn)在直線(xiàn)的兩側(cè)，連接，則，所以C正確；對(duì)于D中，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則3，解得，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知拋物線(xiàn)和的焦點(diǎn)分別為，動(dòng)直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，其中，且當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.的方程為B.已知點(diǎn)，則的最小值為3C.D.若，則與的面積相等〖答案〗ACD〖解析〗當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，設(shè)，聯(lián)立，可得，，故，解得，則，故A正確；過(guò)點(diǎn)向的準(zhǔn)線(xiàn)引垂線(xiàn)，垂足分別為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線(xiàn)的距離，由拋物線(xiàn)定義可知，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，故錯(cuò)誤；設(shè)，由，可得，，由，可得，，故，同理可得，故正確；，故，注意到，可得，所以，從而與的面積相等，故D正確.故選：ACD.三?填空題12.已知集合，若的所有元素之和為12，則實(shí)數(shù)__________.〖答案〗〖解析〗由題意可知：且，當(dāng)，則；當(dāng)，則；當(dāng)，則；若，則，此時(shí)的所有元素之和為6，不符合題意，舍去；若，則，此時(shí)的所有元素之和為4，不符合題意，舍去；若且，則，故，解得或（舍去）；綜上所述：.故〖答案〗為：.13.已知圓的圓心為點(diǎn)，直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，且，若，則__________.〖答案〗〖解析〗由圓，可得圓心，半徑為，設(shè)弦的中點(diǎn)為，因?yàn)?，，所以，且，所以，解?故〖答案〗為：.14.已知，其中，且，則__________.〖答案〗〖解析〗依題意，，，所以，所以，而，因?yàn)?，故，則，則，即，則，解得，故.故〖答案〗為：.四?解答題15.某校為了給高三學(xué)生舉辦“18歲成人禮”活動(dòng)，由團(tuán)委草擬了活動(dòng)方案，并以問(wèn)卷的形式調(diào)查了部分同學(xué)對(duì)活動(dòng)方案的評(píng)分（滿(mǎn)分100分），所得評(píng)分統(tǒng)計(jì)如圖所示.（1）以頻率估計(jì)概率，若在所有的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記評(píng)分在的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望和方差.（2）為了解評(píng)分是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了部分問(wèn)卷，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示，則依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為評(píng)分與性別有關(guān)？男生女生評(píng)分3035評(píng)分2015（3）若將（2）中表格的人數(shù)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，則依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，所得結(jié)論與（2）中所得結(jié)論是否一致？直接給出結(jié)論即可，不必書(shū)寫(xiě)計(jì)算過(guò)程.參考數(shù)據(jù)：0.10.050.012.7063.8416.635（1）解：由頻率分布直方圖可知評(píng)分在的頻率為，所以.所以.（2）解：依題意，故依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不能認(rèn)為評(píng)分與性別有關(guān).（3）解：將表中的人數(shù)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍后，.所以能認(rèn)為評(píng)分與性別有關(guān)，故所得結(jié)論與（2）中所得結(jié)論不一致.16.如圖，在三棱錐中，分別為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）若點(diǎn)到底面的距離等于，且，求二面角的正弦值.（1）證明：取棱的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，由直角三角形的性質(zhì)，可得，因?yàn)椋?，可得，即，因?yàn)椋移矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫势矫嫫矫?（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，過(guò)點(diǎn)垂直與平面直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，不妨設(shè)，則，所以，可得，設(shè)為平面的法向量，則，取，可得，所以，設(shè)為平面的法向量，則，取，可得，所以.所以，故二面角的正弦值為.17.已知函數(shù)，且曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.（1）求的極值；（2）若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，記，求實(shí)數(shù)的最小值.解：（1）依題意，則，①而，故，即②，聯(lián)立①②，解得.故，令，得或故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故的極大值為，極小值為.（2）由得，故，且，令，則，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，，故，則，故實(shí)數(shù)的最小值為4.18.已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，動(dòng)直線(xiàn)與的左?右兩支分別交于點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求的方程；（2）若點(diǎn)到的距離為的左?右頂點(diǎn)分別為，記直線(xiàn)的斜率分別為，求的最小值（1）解：設(shè)的半焦距為，由題意知離心率，可得，聯(lián)立方程組，整理得，其中且，則，解得，所以雙曲線(xiàn)的方程為.（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)到的距離為1，可得，則.聯(lián)立方程組，整理得，其中，且，因?yàn)橹本€(xiàn)與的左?右兩支分別交于點(diǎn)，可得，所以，又因?yàn)?，故，且，因?yàn)椋?，由?）可知，則，故，又由，故，即的最小值為.19.定義1：若數(shù)列滿(mǎn)足①，②，則稱(chēng)為“兩點(diǎn)數(shù)列”；定義2：對(duì)于給定的數(shù)列，若數(shù)列滿(mǎn)足①,②，則稱(chēng)為的“生成數(shù)列”.已知為“兩點(diǎn)數(shù)列”，為的“生成數(shù)列”.（1）若，求的前項(xiàng)和；（2）設(shè)為常數(shù)列，為等比數(shù)列，從充分性和必要性上判斷是的什么條件；（3）求的最大值，并寫(xiě)出使得取到最大值的的一個(gè)通項(xiàng)公式.解：（1）依題意故因?yàn)椋?，?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，即的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列.故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.綜上所述，（2）充分性：因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列，故是的充分條件.必要性