遼寧省本溪市縣級重點高中協(xié)作體2023-2024學年高二下學期期中考試數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省本溪市縣級重點高中協(xié)作體2023-2024學年高二下學期期中考試數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在數(shù)列中，，則（）A.8 B.11 C.18 D.19〖答案〗D〖解析〗由，得.故選：D2.一木塊沿某一斜面自由下滑，測得下滑的水平距離與時間之間的函數(shù)關系式為，則時，此木塊在水平方向的瞬時速度為（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以時，此木塊在水平方向的瞬時速度為.故選：A3.已知數(shù)列滿足，則（）A.2 B. C.5 D.〖答案〗D〖解析〗由，可得，所以數(shù)列是以2為周期的周期數(shù)列，故.故選：D4.定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且，則下列函數(shù)一定是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A，，，無法判斷單調(diào)性，故A錯誤；對于B，，，無法判斷單調(diào)性，故B錯誤；對于C，恒成立，則義在上是增函數(shù)，故C正確；對于D，，，無法判斷單調(diào)性，故D錯誤.故選：C.5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，為的導函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由導數(shù)的意義可知，和分別表示圖像上點切線的斜率，所以由圖像可知，，而表示過點直線的斜率，由圖像可知，，故選：D.6.已知等差數(shù)列的前項和為，則（）A.14 B.26 C.28 D.32〖答案〗B〖解析〗設等差數(shù)列的公差為，則，則，所以.故選：B.7.若過點可以作曲線的兩條切線，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗在曲線上任取一點，，所以曲線在點處的切線方程為.由題意可知，點在直線上，可得，令函數(shù)，則.當時，，此時單調(diào)遞減，當時，，此時單調(diào)遞增，所以.設，所以，所以當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，當時，，所以，當時，，所以，的圖象如圖：由題意可知，直線與的圖象有兩個交點，則.故選：B8.已知等比數(shù)列的前項和為，若恒成立，則的最小值為（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗設等比數(shù)列的公比為，由，得，則，即，因，所以，解得，所以，所以，當為奇數(shù)時，，所以，當為偶數(shù)時，，所以，所以.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列求導運算正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗BD〖解析〗因為，所以錯誤；因為，所以正確；因為，所以錯誤；因為，所以D正確.故選：BD10.已知，函數(shù)的大致圖象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對于A，當時，，，為定義在上的奇函數(shù)，圖象關于原點對稱；當時，，，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當時，恒成立，由對稱性知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當時，恒成立，又，A正確；對于B，當時，，，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關于軸對稱；當時，，，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當時，恒成立，由對稱性知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當時，恒成立，又，B正確；對于C，當時，，，，的定義域為，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關于軸對稱；當時，，，在上單調(diào)遞減，且當時，恒成立；由對稱性知：在上單調(diào)遞增，且當時，恒成立，C正確；對于D，由圖象可知：，即在處有意義，則；又圖象關于軸對稱，為偶函數(shù)，，此時圖象應為B中圖象，D錯誤.故選：ABC.11.已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，記，則下列說法正確的是（）A.B.C.恒成立D.若，關于不等式恰有兩個解，則的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗當時，，即，所以.當時，，所以，即.因為，所以，所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，故A正確；由，得，則，所以數(shù)列為常數(shù)列，所以，即，故B錯誤；故.當時，，令，可得，令，可得，所以，則當或時，取得最大值，故C正確；，因為關于的不等式恰有兩個解，所以的取值范圍為，故D正確；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把〖答案〗填在答題卡中的橫線上.12.若函數(shù)的導函數(shù)為，則__________.〖答案〗〖解析〗由題意得，令，得，則，所以.故〖答案〗為：.13.已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗設等比數(shù)列的公比為，由題意知且，則，解得，則，所以.易知當時，，當時，，故的最小值為.故〖答案〗為：14.以表示數(shù)集中最小的數(shù)，表示數(shù)集中最大的數(shù)，則__________，__________.〖答案〗①②〖解析〗構(gòu)造函數(shù)，則.，當時，，則在上單調(diào)遞減，而，故，所以.又，，所以，故.故〖答案〗為：；四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在長方體中，四邊形的周長為，長方體的體積為.（1）求的表達式；（2）若自變量從變到，求的平均變化率；（3）若，求在處的瞬時變化率.解：（1）因為四邊形的周長為12，所以，所以，因為，所以，所以.（2）若自變量從變到，則的平均變化率為.（3）由，得.，則，所以在處的瞬時變化率為-30.16.已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且是和的等差中項，是和的等差中項.（1）證明：.（2）已知，記數(shù)列是將數(shù)列和中的項從小到大依次排列而成的新數(shù)列，求.解：（1）設數(shù)列的公差為，因為是和的等差中項，是和的等差中項，所以，，所以，解得，得證.（2）因為，所以..為奇數(shù)，為偶數(shù)，故數(shù)列和沒有相同的項.因為，，所以的前100項中，含有7個，所以.17已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有個零點，求的取值范圍.解：（1），當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.當時，令，解得或，所以在和上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.當時，令，解得或，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當時，，令，解得或，不符合題意，故，由（1）可知，又有3個零點，所以，.由，所以，因，所以，可得或或，即的取值范圍為.18.已知數(shù)列滿足.（1）記，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.解：（1）由題可知，當時，，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，故.（2）由（1）可得，所以，記，①則，②①②得，所以，則，所以當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，.故.19.已知函數(shù)（1）若求曲線在點處的切線方程．（2）若證明：在上單調(diào)遞增．（3）當時，恒成立，求的取值范圍．解：（1）因為所以則又所以曲線