江蘇省淮安市2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省淮安市2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)滿足方程（i是虛數(shù)單位），則（）A.1 B.i C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，即，所以.故選：C.2.今年全國兩會上，“大興調(diào)查研究之風”寫入政府工作報告.某地為實現(xiàn)鄉(xiāng)村生態(tài)振興，走鄉(xiāng)村綠色發(fā)展之路，決定采用分層抽樣的方式從甲村、乙村、丙村抽取部分村民參與環(huán)保調(diào)查研究.已知甲村、乙村、丙村人數(shù)之比是，被抽到的參與環(huán)保調(diào)查研究的村民中，甲村的人數(shù)為40人，則參加調(diào)查研究的總?cè)藬?shù)是（）A.80 B.800 C.100 D.60〖答案〗A〖解析〗由題意可得，甲村人數(shù)占總體比例為，故調(diào)查的總?cè)藬?shù)為.故選：A.3.下列各組向量中，可以作為基底的是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗只要兩個向量不共線，即可作為基底向量，對于A，因為，，所以，則共線，故A不符合；對于B，因為，，所以，則共線，故B不符合；對于C，因為，，所以，則共線，故C不符合；對于D，因為，，所以，則不共線，故D符合.故選：D.4.隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)達，電子支付變得愈發(fā)普遍.已知某群體的成員，只用現(xiàn)金支付的概率為0.05，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.1，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A.0.9 B.0.85 C.0.95 D.0.8〖答案〗B〖解析〗由對立事件的概率公式可知，不用現(xiàn)金支付的概率為.故選：B.5.在中，邊長，，，則的外接圓的面積是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在中，，，所以，設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理得，所以，所以的外接圓的面積是.故選：A.6.已知一個古典概型，其樣本空間中共有12個樣本點，其中事件有6個樣本點，事件有4個樣本點，事件有8個樣本點，則下列說法正確的是（）A.事件與事件互斥 B.C. D.事件與事件相互獨立〖答案〗D〖解析〗由題意得Venn圖如下：由圖知：，，，所以事件與事件不互斥，，，.故選：D.7.若，，則（）A.50° B.60° C.70° D.80°〖答案〗D〖解析〗因為，則，又因為，則，顯然不成立，所以，解得.故選：D.8.在正四棱錐中，若，，平面與棱交于點，則四棱錐與四棱錐的體積比為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖所示，設(shè)，由、、、四點共面，設(shè)，則，即，得，又，，不共面，則，解得：，即，設(shè)，分別是點到平面和點到平面的距離，則，所以，，，同理，，，，，則四棱錐與四棱錐的體積比為.故選：B.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列結(jié)論中正確的有（）A.為了檢驗某種產(chǎn)品的質(zhì)量，決定從1001件產(chǎn)品中抽取10件進行檢查，用隨機數(shù)法抽取樣本的過程中，所編的號碼的位數(shù)最少是4位B.若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為3，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，方差為6C.在某頻率直方圖中，從左到右共有9個小矩形，若居中的那個小矩形的面積等于其他8個小矩形的面積和的，且樣本容量為160，則居中的那組數(shù)據(jù)的頻數(shù)為16D.已知一組數(shù)據(jù)2，6，8，3，3，4，6，8，則這組數(shù)據(jù)眾數(shù)為3，6，8，中位數(shù)為5〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因為共有1001件產(chǎn)品，所以所編的號碼的位數(shù)最少是4位，故A正確；對于B，一組數(shù)據(jù)，這個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為3，則，，對于數(shù)據(jù)，其平均數(shù)，方差，故B不正確；對于C，設(shè)中間一個小長方形的面積為，其他8個小長方形的面積之和為，則有，解得：，所以中間一組的頻數(shù)，故C正確；對于D，一組數(shù)據(jù)2，6，8，3，3，4，6，8，從小到大排序為：2，3，3，4，6，6，8，8，所以它的眾數(shù)3，6，8，中位數(shù)為5，故D正確.故選：ACD.10.在平行四邊形中，，，為中點，為中點，延長交于點，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗如圖所示，，，，為中點，為中點，，A選項錯誤；設(shè)，則，由與共線，，解得，，所以，B選項正確；，所以，C選項正確；，D選項正確.故選：BCD.11.棱長為2的正方體中，點，，分別是棱，，的中點.則下列說法正確的有（）A.平面B.與所成的角為60°C.平面截正方體的截面形狀是五邊形D.點在平面內(nèi)運動，且平面，則的最小值為〖答案〗AC〖解析〗對于A，如下圖，連接，易得又，平面，又平面，故A正確；對于B，如下圖，取的中點，連接，則又，則或其補角為與所成的角，又正方體棱長為2，易求得，則，故B錯誤；對于C，如下圖，增補兩個正方體，取的中點，連接，則為的中點，連接交于連接交于，連接，則得到截面為五邊，對于D，如下圖，連接取得中點，連接，過作平面平面則點在線段上，最小值即為，又，，又，，故D錯誤.故選：AC.12.在中，，為線段上（不與端點重合）的兩點，且，下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則C.若，，則D.若，，則的面積是〖答案〗BCD〖解析〗對于A，，，因為，為線段上的兩點，且，所以，且，則，故A錯誤；對于B，，化簡得，所以，取BC的中點G，連接AG，則，所以三角形ABC是等腰三角形，且，故B正確；對于C，當時，點分別是線段的三等分點，設(shè)，則，，設(shè)，則，，在中，由正弦定理得，即，所以，在中，由正弦定理得，即，化簡得，因為，所以，即，故C正確；對于D，由，，可得點分別是線段的三等分點，則，設(shè)，，依題意有，，，，所以，，在中，由正弦定理得，即，所以，，同理在中，由正弦定理可得，，在中，由正弦定理得，即，整理得，即，因為，所以或，即或，當時，，不合題意舍去，故可得，此時，，，，在中，由正弦定理得，即，而，所以可得，整理可得，因為，所以，解得，則此時，，所以的面積，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知淮安最近10天每天最高氣溫（單位：）分別為31，26，28，25，24，28，26，30，27，30，則這10天平均氣溫的上四分位數(shù)為______.〖答案〗30〖解析〗將樣本數(shù)據(jù)由小到大排列依次為：24，25，26，26，27，28，28，30，30，31，因為，所以這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為第8個數(shù)30.故〖答案〗為：30.14.復數(shù)與復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點分別為、，若為坐標原點，則鈍角的大小為______.〖答案〗〖解析〗依題意，，，，則，，，在中，由余弦定理得，又，所以.故〖答案〗為：.15.在古代數(shù)學中，把正四棱臺叫做“方亭”，數(shù)學家劉徽用切割的方法巧妙地推導出了“方亭”的體積公式，為方亭的下底面邊長，為上底面邊長，為高.某市為改善城市形象，決定開挖一條筆直的景觀河道，該河道橫截面為等腰梯形，上底為80米，下底為40米，開挖深度10米，河道長度10.98千米.同時在沿岸修葺30座亭臺、樓閣，它們的地基都設(shè)計為同樣大小的“方亭”結(jié)構(gòu)，為了便于施工，決定使用開挖河道產(chǎn)生土方的1%修筑地基.已知設(shè)計“方亭”地基的下底面邊長為30米，上底面邊長為24米，則“方亭”地基的高為______米.〖答案〗3〖解析〗設(shè)“方亭”地基的高為米，根據(jù)題意可得，解得，則“方亭”地基的高為米.故〖答案〗為：3.16.在中，角的對邊為，，則______，若的面積為，則______.〖答案〗〖解析〗第一個空：由得，即，即，所以異號且都不為，由正弦定理得，因為都不為，所以，即，所以；第二個空：由得：，即，即，由正弦定理得，所以的面積為：，所以，因，所以，所以解得，即.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設(shè)復數(shù)，，i為虛數(shù)單位.（1）若為純虛數(shù)，求的值；（2）若為實數(shù)，求.解：（1）因為，若為純虛數(shù)，則，解得.（2）因為，若為實數(shù)，則，解得，即，解法一：因為，則；解法二：可得18.如圖，四棱錐的底面為正方形，平面.（1）求證：平面；（2）平面，平面交平面于，交底面于.求證：.解：（1）∵底面為正方形，∴，∵平面，平面，∴，又∵，，平面，平面，∴平面.（2）∵，平面，平面平面，∴.同理有，∴.19.已知，，.（1）求；（2）求.解：（1）因為，則，所以.（2）由（1）可得：，因為，則，可得，所以.20.為全面貫徹落實“把周總理的家鄉(xiāng)建設(shè)好，很有象征意義”的殷切囑托，近年來，淮安加快建設(shè)稻米、小龍蝦、規(guī)模畜禽、螃蟹、特色蔬菜五大產(chǎn)業(yè)集群，小龍蝦產(chǎn)業(yè)獲批國家優(yōu)勢特色產(chǎn)業(yè)集群，創(chuàng)成以小龍蝦為主導的國家現(xiàn)代農(nóng)業(yè)產(chǎn)業(yè)園、特色農(nóng)產(chǎn)品優(yōu)勢區(qū).為了進一步擴大產(chǎn)業(yè)規(guī)模，某村農(nóng)業(yè)綜合服務(wù)中心決定對20戶養(yǎng)殖戶進行技術(shù)幫扶，每戶配發(fā)同樣重量的龍蝦苗，經(jīng)過一段時間的養(yǎng)殖后，根據(jù)這20戶未存活的龍蝦苗重量（單位：公斤）繪制如下頻率直方圖，未存活重量超過30公斤的養(yǎng)殖戶，列為“重點幫扶養(yǎng)殖戶”.（1）根據(jù)頻率直方圖估計這20戶的未存活龍蝦苗的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）現(xiàn)從“重點幫扶養(yǎng)殖戶”中隨機抽取兩戶調(diào)查其養(yǎng)殖情況，求抽出來的養(yǎng)殖戶中恰有一戶未存活龍蝦苗重量在的概率.解：（1）根據(jù)頻率直方圖可得：每組的頻率依次為，估計平均數(shù)為：，因為，可知中位數(shù)位于內(nèi)，設(shè)為，則，解得，所以可估計中位數(shù)為.（2）由（1）可知：未存活龍蝦苗重量在的養(yǎng)殖戶有個，記為；未存活龍蝦苗重量在的養(yǎng)殖戶有個，記為，；從“重點幫扶養(yǎng)殖戶”中隨機抽取兩個，則有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，其中有且僅有一個“重點幫扶養(yǎng)殖戶”在的情況有，，，，，，，，共8種情況，所以恰有一戶未存活龍蝦苗重量在的概率.21.如圖，在四棱錐中，側(cè)面為正三角形，底面為直角梯形，，，，平面平面.（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值.解：（1）取中點為，連接，，，由側(cè)面為正三角形，知，又∵平面平面，平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴，在