甘肅省張掖市某校2024屆高三下學期模擬考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1甘肅省張掖市某校2024屆高三下學期模擬考試數(shù)學試題一?單選題1.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以.故選:B.2.若集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗解不等式得，因為，所以，所以，因為，所以.故選：D.3.已知為坐標原點，平面向量，則向量與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得向量，由得，則，因此.故選：C.4.冬天，廣西南寧三位老師帶著11個歲的幼兒園小朋友到哈爾濱研學，一身橘紅色的羽線服，以她們獨特的服裝和歡快的姿態(tài)，在全國掀起了一股“小砂糖橘”熱潮.已知這11個小朋友中有5個男孩，6個女孩，隨機請出3個“小砂糖橘”與小企鵝一起拍照留念，則請出的“小砂糖橘”中至少有2個女孩的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗從11個小朋友中任請3人，基本事件共有種，恰好是3個女孩的方法數(shù)是種，恰好是2個女孩的方法數(shù)是種，故所求的概率是.故選：C.5.已知過坐標原點的直線與焦點為的拋物線在第一象限交于點，與的準線交于點，若，則直線的斜率為（）A. B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗因為拋物線，所以拋物線準線方程為，故點的橫坐標為.因為，所以點的橫坐標，所以點的縱坐標.又焦點的坐標為，所以直線的斜率為.故選：A.6.已知等差數(shù)列的前項和為，首項，若，則（）A.-1 B.1 C.0 D.〖答案〗D〖解析〗由前項和定義可得，因為是等差數(shù)列，所以，即，因為，所以.設等差數(shù)列的公差為，由，所以，所以，所以.故選：D.7.若圓上存在唯一點，使得，其中，則正數(shù)的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題得圓的圓心坐標為，半徑為，設，則，，因為，可得，化簡得，故點在以為圓心，半徑為的圓上，又因為存在唯一點也在圓上，所以兩圓是外切或內切，所以圓心距等于兩圓半徑相加，或者圓心距等于兩圓半徑差的絕對值，即或，解得或，因為是正數(shù)，所以.故選：B.8.函數(shù)的所有零點之和為（）A.0 B.-1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗由零點定義可知，函數(shù)的零點，就是方程的實數(shù)根，令，則，顯然，所以，構造函數(shù)與函數(shù)，則方程的根，可轉化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，根據(jù)圖象可知，兩個函數(shù)圖象相交于兩點，所以此方程有兩個實數(shù)根，即函數(shù)有兩個零點，設為，所以，，即，另外發(fā)現(xiàn)，將代入，可得，所以也是函數(shù)的零點，說明，即.故選:A.二?多選題9.已知直線是函數(shù)圖象的對稱軸，則函數(shù)的〖解析〗式可以是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗A：函數(shù)圖象由圖象沿軸向右平移1個單位，再把軸下方的圖象關于軸對稱翻折到軸上方，故關于直線對稱，故A正確；B：函數(shù)的圖象是由圖象沿軸向右平移1個單位得到的，而函數(shù)是偶函數(shù)，關于軸對稱，其圖象沿軸向右平移1個單位后的圖象剛好關于直線對稱，故B正確；C：令，則該函數(shù)的對稱軸為直線，故符合題意，故C正確；D：，顯然，故此函數(shù)不是關于直線對稱的，故D錯誤.故選：ABC.10.已知雙曲線的左?右焦點分別為，直線與雙曲線交于兩點（點在第一象限），且，若，則下列結論正確的是（）A.雙曲線的離心率為B.雙曲線的漸近線方程為C.D.若點是雙曲線上異于的任意一點，則〖答案〗AD〖解析〗如圖，連接，由雙曲線定義可知，，由題意得關于原點對稱，故且，即四邊形為平行四邊形，因為，又所以，，由，所以，由，得，即有，所以，所以離心率，故A正確；又，所以，所以漸近線方程為，，故B、C錯誤，設點，因為是直線與雙曲線的交點，根據(jù)對稱性可得，所以.又點在雙曲線上，代入可得，兩式相減可得，所以，故D正確.故選：AD.11.已知正方體的棱長為為底面對角線的交點，是側面內的動點（包括邊界），如圖所示，若始終成立，則下列結論正確的是（）A.點的軌跡長度為B.動點到點距離的最小值為C.向量與夾角的正弦值為D.三棱錐體積的最大值為〖答案〗BD〖解析〗對于A，取的中點，連結，如圖，則在平面中，，為的中點，為的中點，則，，又可得與相似，可得，再由，可得，即.因為正方體，所以是等邊三角形，顯然可得，因為，平面，所以平面，故動點軌跡是線段，在中，，所以A選項錯誤；對于B，利用中的等面積法可得，易得動點到點距離的最小值為，故B選項正確.對于C，在平面中，，所以在中，，所以由余弦定理可得，所以，而，故選項錯誤；對于D，因為垂直平面，所以三棱錐體積等于，當點到直線的距離最大時，取最大值，所以由的軌跡可知，當點位于的中點時，此時到直線的距離最大，此時取最大值，所以三棱錐體積的最大值為，故D正確.故選：BD.二?填空題12.在中，內角的對邊分別為，且，則的面積為__________.〖答案〗〖解析〗由，由正弦定理可得，由余弦定理可得，所以，所以，所以，所以的面積為.故〖答案〗為：.13.已知正四棱柱中，為的中點，則平面截此四棱柱的外接球所得的截面面積為__________.〖答案〗〖解析〗由正四棱柱可知底面為正方形，由正四棱柱的外接球特征可知，外接球直徑等于正四棱柱的體對角線長，所以，所以.如圖，取長方形的中心，連結，則，而平面，平面，故平面，所以球心到平面的距離等于點到平面的距離.過點作交于點，則球心到平面的距離等于的長.在長方形中，連結，則，所以，又平面截此四棱柱的外接球所得的截面為圓面，所以此圓的半徑為，故截面面積為.故〖答案〗為：14.已知函數(shù)，若，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗由得，所以是上增函數(shù).又，故由得，即.則，當且僅當時取等號，此時.故最小值為.故〖答案〗為：三?解答題15.近年來，馬拉松比賽受到廣大體育愛好者的喜愛.某地體育局在五一長假期間舉辦比賽，志愿者的服務工作是成功舉辦的重要保障.現(xiàn)抽取了200名候選者的面試成績，并分成六組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，第六組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

男生女生合計被錄取20

未被錄取

合計

（1）求；（2）估計候選者面試成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）在抽出的200名候選者的面試成績中，若規(guī)定分數(shù)不低于80分的候選者為被錄取的志愿者，已知這200名候選者中男生與女生人數(shù)相同，男生中有20人被錄取，請補充列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“候選者是否被錄取與性別有關”.附：，其中.0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828解：（1）由概率和為1得：，解得；（2）由題意知，候選者面試成績的平均數(shù)，所以候選者面試成績的平均數(shù)約為68.5.（3）由頻率分布直方圖知不低于80分的人數(shù)為，即被錄取的共有30人，所以被錄取的女生為，又男生與女生各100人，完善列聯(lián)表如下：

男生女生合計被錄取201030未被錄取8090170合計100100200，所以沒有的把握認為“候選者是否被錄取與性別有關”.16.已知正項數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式及其前項和；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）當時，，因為是正項數(shù)列，所以由，當時，，兩式相減得因為是正項數(shù)列，所以，當時，成立，所以，顯然，數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以（2），所以數(shù)列的前項和所以17.如圖，在四棱錐中，底面四邊形為菱形，且是邊長為2的等邊三角形，且平面平面為中點.（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點，使二面角的大小為，若存在，求的值，若不存在，請說明理由.（1）證明：在中，由，得，即，所以由平面，平面平面，且平面平面得平面（2）解：由（1）得平面，所以，在等邊三角形中，為中點，所以，即兩兩互相垂直，則以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，又，所以，則，所以，設，則，得到，易知平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，又，由，令，得，所以，又一面角的大小為，所以，得到，又，解得，所以存在點使二面角的大小為，且18.已知橢圓左?右頂點分別為，短軸長為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若第一象限內一點在橢圓上，且點與外接圓的圓心的連線交軸于點，設，求實數(shù)的值.解：（1）因為短軸長為，所以，又橢圓的離心率為，則有，解得，所以的方程為.（2）因為外接圓經(jīng)過橢圓的左?右頂點，所以圓心在軸上，設圓心，則圓的半徑為，所以，所以，又點在橢圓上，所以，兩方程消去得：再由直線的斜率為，可設直線的方程為，令，所以點的橫坐標為又，所以，解得19.泰勒公式是一個非常重要的數(shù)學定理，它可以將一個函數(shù)在某一點處展開成無限項的多項式.當在處的階導數(shù)都存在時，它的公式表達式如下：.注：表示函數(shù)在原點處的一階導數(shù)，表示在原點處