人教版初三(下)數(shù)學(xué)第85講：解直角三角形(2)(教師版)

解直角三角形（2）____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、了解解直角三角形在測量及幾何問題中的應(yīng)用；2、掌握仰角、俯角、坡度等概念，并會解決簡單的實際應(yīng)用問題；3、認(rèn)識到數(shù)學(xué)是解決現(xiàn)實問題的重要工具，強化利用三角函數(shù)解決問題的自信心．1．解直角三角形的應(yīng)用（1）通過解直角三角形能解決實際問題中的很多有關(guān)測量問．如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或長度．（2）解直角三角形的一般過程是：①將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）．②根據(jù)題目已知特點選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實際問題的答案．2．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做_____，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i=1：m的形式．（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i=h/l=tanα．（3）在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質(zhì)也是解直角三角形問題．應(yīng)用領(lǐng)域：①測量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等．3．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（1）概念：仰角是_____的視線與水平線的夾角；俯角是_____向下看的視線與水平線的夾角．（2）解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決．4．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（1）在辨別方向角問題中：一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)．（2）在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯角相等或一個角的余角等知識轉(zhuǎn)化為所需要的角．參考答案：2.（1）坡比3.（1）向上看向下看1.解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．【例1】（2014?四川自貢中學(xué)期末）如圖，小雅家（圖中點O處）門前有一條東西走向的公路，經(jīng)測得有一水塔（圖中點A處）在她家北偏東60度500m處，那么水塔所在的位置到公路的距離AB是（）A．250m B．250m C．m D．250m【分析】由已知可得，∠AOB=30°，OA=500m，根據(jù)三角函數(shù)定義即可求得AB的長．【解答】解：由已知得，∠AOB=30°，OA=500m．則AB=OA=250m．故選A．練1.如圖，為了測量河兩岸A，B兩點的距離，在與AB垂直的方向上取點C，測得AC=a，∠ACB=a，那么AB等于（）A．a(chǎn)?sinα B．a(chǎn)?cosα C．a(chǎn)?tanα D．a(chǎn)?cotα【解答】解：∵AC=a，∠ACB=α，在直角△ABC中tanα=，∴AB=a?tanα．故選C．練2.如圖，客輪在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B處測得燈塔A的方位角為北偏東80°，測得C處的方位角為南偏東25°，航行1小時后到達C處，在C處測得A的方位角為北偏東20°，則C到A的距離是（）A．15km B．15km C．15（+）km D．5（+3）km【分析】過點B作BD⊥AD于點D，根據(jù)三角函數(shù)分別求BD，AD的值，從而不難求AC的長．【解答】解：過點B作BD⊥AC于點D．過C作方位線，由平行得到∠1=∠2=25°，又∠3=20°，∴∠BCD=45°，∴△BCD為等腰直角三角形，∴BD=CD=30×=15．∵AD=BD?tan30°=5，∴CA=15+5=5（+3）．故選D．2.解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【例2】（2015?承德第一中學(xué)月考）如圖小明想測量電線桿AB的高度，發(fā)現(xiàn)電線桿的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4m，BC=10m，CD與地面成30°角，且此時測得1m桿的影子長為2m，則電線桿的高度約為m．（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字，≈1.41，≈1.73）

【分析】先根據(jù)CD的長以及坡角求出落在斜坡上的影長在地面上的實際長度，即可知AB的總影長，然后根據(jù)1m桿的影子長為2m，求解電線桿的高度．【解答】解：作DE⊥BC于E．則電線桿的高度分3部分進行求解．BC對應(yīng)的電線桿的高度：根據(jù)同一時刻物高與影長成比例，得10÷2=5；在Rt△CDE中，根據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半，得DE=2．再根據(jù)勾股定理，得CE=2；因為DE⊥BC，則DE對應(yīng)的電線桿高度和DE相等，CE對應(yīng)的電線桿高度同樣根據(jù)：同一時刻物高與影長成比例，是2÷2=．故電線桿的高度是5+2+≈8.7．練3.某人沿著有一定坡度的坡面前進了10米，此時他與水平地面的垂直距離為2米，則這個坡面的坡度比為．【分析】利用勾股定理求得水平距離．根據(jù)坡度定義求解．【解答】解：∵某人沿著有一定坡度的坡面前進了10米．此時他與水平地面的垂直距離為2米，根據(jù)勾股定理可以求出他前進的水平距離為4米．所以這個坡面的坡度比為2：4=1：2．3.解直角三角形的應(yīng)用-求長度問題．【例3】（2014?遼寧旅順八中期中）一棵樹因雪災(zāi)于A處折斷，測得樹梢觸地點B到樹根C處的距離為4米，∠ABC約45°，樹干AC垂直于地面，那么此樹在未折斷之前的高度約為米．（答案保留根號）【分析】樹高CB=AC+AB．解直角三角形ABC求解．【解答】解：∵AC⊥BC，∠ABC=45°，BC=4，∴AC=BC=4，AB=4，∴，即樹未折斷之前為（）米．練4.．如圖，一架梯子斜靠在墻上，若梯子到墻的距離AC=3米，cos∠BAC=，則梯子AB的長度為米．【分析】運用三角函數(shù)定義求解．【解答】解：∵cos∠BAC=，∴，∴AB===4（米）．4．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．【例4】（2014?山東費縣中學(xué)期末）如圖，AB和CD是同一地面上的兩座相距36米的樓房，在樓AB的樓頂A點測得樓CD的樓頂C的仰角為45°，樓底D的俯角為30度．求樓CD的高（結(jié)果保留根號）．【分析】在題中兩個直角三角形中，知道已知角和其鄰邊，只需根據(jù)正切值求出對邊后相加即可．【解答】解：延長過點A的水平線交CD于點E則有AE⊥CD，四邊形ABDE是矩形，AE=BD=36∵∠CAE=45°∴△AEC是等腰直角三角形∴CE=AE=36在Rt△AED中，tan∠EAD=∴ED=36×tan30°=∴CD=CE+ED=36+12答：樓CD的高是（36+12）米．練5.如圖，已知某小區(qū)的兩幢10層住宅樓間的距離為AC=30m，由地面向上依次為第1層、第2層、…、第10層，每層高度為3m．假設(shè)某一時刻甲樓在乙樓側(cè)面的影長EC=h，太陽光線與水平線的夾角為α．（1）用含α的式子表示h（不必指出α的取值范圍）；（2）當(dāng)α=30°時，甲樓樓頂B點的影子落在乙樓的第幾層？若α每小時增加15°，從此時起幾小時后甲樓的影子剛好不影響乙樓采光？【分析】（1）過點E作EF⊥AB于F可得矩形ACEF，可得BF=3×10﹣h=30﹣h；進而解Rt△BEF，可得h=30﹣30tanα．（2）根據(jù)題意，分析可得當(dāng)B點的影子落在C處時，甲樓的影子剛好不影響乙樓采光；分析△ABC可得：=1（小時）；可得答案．【解答】解：（1）過點E作EF⊥AB于F，由題意，四邊形ACEF為矩形．∴EF=AC=30，AF=CE=h，∠BEF=α，∴BF=3×10﹣h=30﹣h．又在Rt△BEF中，tan∠BEF=，∴tanα=，即30﹣h=30tanα．∴h=30﹣30tanα．（2）當(dāng)α=30°時，h=30﹣30tan30°=30﹣30×≈12.7，∵12.7÷3≈4.2，∴B點的影子落在乙樓的第五層．當(dāng)B點的影子落在C處時，甲樓的影子剛好不影響乙樓采光．此時，由AB=AC=30，知△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴=1（小時）．故經(jīng)過1小時后，甲樓的影子剛好不影響乙樓采光．5．解直角三角形的應(yīng)用-方案問題．【例5】（2015?云南騰沖中學(xué)期末）為了測量校園內(nèi)一棵不可攀的樹的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)應(yīng)用實踐小組做了如下的探索：實踐一：根據(jù)《自然科學(xué)》中的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設(shè)計如右示意圖的測量方案：把鏡子放在離樹（AB）8.7米的點E處，然后沿著直線BE后退到點D，這是恰好在鏡子里看到樹梢頂點A，再用皮尺量得DE=2.7米，觀察者目高CD=1.6米，請你計算樹（AB）的高度．（精確到0.1米）實踐二：提供選用的測量工具有：①皮尺一根；②教學(xué)用三角板一副；③長為2.5米的標(biāo)桿一根；④高度為1.5米的測角儀（能測量仰角、俯角的儀器）一架．請根據(jù)你所設(shè)計的測量方案，回答下列問題：（1）在你設(shè)計的方案中，選用的測量工具是（用工具的序號填寫）；（2）在圖中畫出你的測量方案示意圖；（3）你需要測得示意圖中的哪些數(shù)據(jù)，并分別用a、b、c、α等表示測得的數(shù)據(jù)：；（4）寫出求樹高的算式：AB=．【分析】實踐一：因為入射光線和反射光線與鏡面的夾角相等且人和樹均垂直于地面，所以構(gòu)成兩個相似三角形，利用相似比可求出．實踐二：根據(jù)仰角的知識，確定測量方案．再由解三角形的知識，求出樹高．【解答】解：實踐一：∵∠CED=∠AEB，CD⊥DB，AB⊥BD，∴△CED∽△AEB，∴∵CD=1.6米，DE=2.7米，BE=8.7米，∴∴AB=≈5.2（m）；實踐二：（1）在距離樹AB的a米的C處，用測角儀測得仰角α，測角儀為CD．再根據(jù)仰角的定義，構(gòu)造直角三角形ADE，求得樹高出測角儀的高度AE，則樹高為AE+BE．（2）如圖：（3）a?tanα+1.5（4）AB=a?tanα+1.5練6．為了測量一棵大樹的高度，準(zhǔn)備了如下測量工具：①鏡子；②皮尺；③長為2m的標(biāo)桿；④高為1.5m的測角儀（能測量仰角和俯角的儀器），請根據(jù)你所設(shè)計的測量方案，回答下列問題：（1）在你設(shè)計的方案上，選用的測量工具是；（2）在下圖中畫出你的測量方案示意圖；（3）你需要測量示意圖中的哪些數(shù)據(jù)，并用a，b，c，α等字母表示測得的數(shù)據(jù)；（4）寫出求樹高的算式：AB=m．【分析】此題要求學(xué)生根據(jù)題意，自己設(shè)計方案，答案不唯一；可借助相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)進行設(shè)計測量方法，先測得CE，EA與CD的大小，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)；可得：=；即AB=．【解答】解：（1）鏡子，皮尺；（2）測量方案示意圖；（3）EA（鏡子離樹的距離）=a，EC（人離鏡子的距離）=b，DC（目高）=c；（4）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)；可得：=；即AB=．1．王英同學(xué)從A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再從B地向正南方向走200m到C地，此時王英同學(xué)離A地（）A．m B．100m C．150m D．m2．如圖，沿AC方向開山修路，為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工，從AC上的一點B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55度．要使A，C，E成一直線．那么開挖點E離點D的距離是（）A．500sin55°米 B．500cos55°米 C．500tan55°米 D．500cot55°米3．如圖，為了測量一河岸相對兩電線桿A，B間的距離，在距A點15米的C處（AC⊥AB）測得∠ACB=50°，則A，B間的距離應(yīng)為（）A．15sin50°米 B．15tan50°米C．15tan40°米 D．15cos40°米4．如圖，已知一漁船上的漁民在A處看見燈塔M在北偏東60°方向，這艘漁船以28海里/時的速度向正東方向航行，半小時后到達B處，在B處看見燈塔M在北偏東15°方向，此時燈塔M與漁船的距離是（）A．7海里 B．14海里 C．7海里 D．14海里5．如圖，一束光線從y軸上點A（0，1）出發(fā)，經(jīng)過x軸上點C反射后經(jīng)過點B（3，3），則光線從A點到B點經(jīng)過的路線長是．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．某樓梯的側(cè)面視圖如圖所示，其中AB=4米，∠BAC=30°，∠C=90°，因某種活動要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長度應(yīng)為米．2．長為4m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時調(diào)整為60°角（如圖所示），則梯子的頂端沿墻面升高了m．3．如圖所示，某河堤的橫斷面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB長13米，且tan∠BAE=，則河堤的高BE為米．4．如圖，一游人由山腳A沿坡角為30°的山坡AB行走600m，到達一個景點B，再由B沿山破BC行走200m到達山頂C，若在山頂C處觀測到景點B的俯角為45°，則山高CD等于m．（結(jié)果用根號表示）5．如圖是一山谷的橫斷面示意圖，寬AA′為15m，用曲尺（兩直尺相交成直角）從山谷兩側(cè)測量出OA=1m，OB=3m，O′A′=0.5m，O′B′=3m（點A，O，O′A′在同一條水平線上），則該山谷的深h為m．6．如圖，我校為了籌備校園藝術(shù)節(jié)，要在通往舞臺的臺階上鋪上紅色地毯．如果地毯的寬度恰好與臺階的寬度一致，臺階的側(cè)面如圖所示，臺階的坡角為30°，∠BCA=90°，臺階的高BC為2米，那么請你幫忙算一算需要米長的地毯恰好能鋪好臺階．（結(jié)果精確到0.1m，取=1.414，=1.732）．7．小劉同學(xué)為了測量雷州市三元塔的高度，如圖，她先在A處測得塔頂C的仰角為32°，再向塔的方向直行35米到達B處，又測得塔頂C的仰角為60°，請你幫助小劉計算出三元塔的高度．（小劉的身高忽略不計，結(jié)果精確到1米）8．如圖，某建筑物BC的樓頂上有一避雷針AB，在距此建筑物12米的D處安置一高度為1.5米的測傾器DE，測得避雷針頂端的仰角為60°．又知建筑物共有六層，每層層高為3米．求避雷針AB的長度．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）9．課外實踐活動中，數(shù)學(xué)老師帶領(lǐng)學(xué)生測量學(xué)校旗桿的高度．如圖，在A處用測角儀（離地高度為1.5米）測得旗桿頂端的仰角為15°，朝旗桿方向前進23米到B處，再次測得旗桿頂端的仰角為30°，求旗桿EG的高度．10．為打擊索馬里海盜，保護各國商船的順利通行，我海軍某部奉命前往該海域執(zhí)行護航任務(wù)．某天我護航艦正在某小島A北偏西45°并距該島20海里的B處待命．位于該島正西方向C處的某外國商船遭到海盜襲擊，船長發(fā)現(xiàn)在其北偏東60°的方向有我軍護航艦（如圖所示），便發(fā)出緊急求救信號．我護航艦接警后，立即沿BC航線以每小時60海里的速度前去救援．問我護航艦需多少分鐘可以到達該商船所在的位置C處？（結(jié)果精確到個位．參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7）11．如圖所示，A、B兩城市相距100km，現(xiàn)計劃在這兩座城市間修建一條高速公路（即線段AB），經(jīng)測量，森林保護中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保護區(qū)的范圍在以P點為圓心，50km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，請問計劃修建的這條高速公路會不會穿越保護區(qū)，為什么？（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1．414）參考答案：當(dāng)堂檢測1.【分析】根據(jù)三角函數(shù)分別求AD，BD的長，從而得到CD的長．再利用勾股定理求AC的長即可．【解答】解：AD=AB?sin60°=50；BD=AB?cos60°=50，∴CD=150．∴AC==100．故選D．2．【分析】根據(jù)已知利用已知角的余弦函數(shù)表示即可．【解答】解：在直角△BDE中，cosD=，∴DE=BD?cosD=500cos55°．故選B．3．【分析】根據(jù)已知，利用已知角的正切函數(shù)求解即可．【解答】解：因為AC=15，∠ACB=50°，在直角△ABC中tan50°=，所以AB=15?tan50°．故選B．4．【分析】過點B作BN⊥AM于點N，由已知可求得BN的長；再根據(jù)三角函數(shù)求BM的長．【解答】解：由已知得，AB=×28=14海里，∠A=30°，∠ABM=105°．過點B作BN⊥AM于點N．∵在直角△ABN中，∠BAN=30°∴BN=AB=7海里．在直角△BNM中，∠MBN=45°，則直角△BNM是等腰直角三角形．即BN=MN=7海里，∴BM===7海里．故選A．5．【分析】如圖設(shè)A關(guān)于x軸的對稱點A'坐標(biāo)是（0，﹣1），作DB∥A'A，A'D∥OC，交DB于D，在Rt△A'BD中，利用勾股定理即可求出A'B，也就求出了從A點到B點經(jīng)過的路線長．【解答】解：A關(guān)于x軸的對稱點A'坐標(biāo)是（0，﹣1）連接A′B，交x軸于點C，作DB∥A'A，A'D∥OC，交DB于D，故光線從點A到點B所經(jīng)過的路程A'B===5．家庭作業(yè)1．【分析】求地毯的長度實際是求AC與BC的長度和，利用勾股定理及相應(yīng)的三角函數(shù)求得相應(yīng)的線段長即可．【解答】解：根據(jù)題意，Rt△ABC中，∠BAC=30°．∴BC=AB÷2=4÷2=2，AC==2，∴AC+BC=2+2，即地毯的長度應(yīng)為（2+2）米．2．【分析】利用所給角的正弦函數(shù)求兩次的高度，相減即可．【解答】解：由題意知：平滑前梯高為4?sin45°=4?=．平滑后高為4?sin60°=4?=．∴升高了2（）m．故答案為：2（）3．【分析】在Rt△ABE中，根據(jù)tan∠BAE的值，可得到BE、AE的比例關(guān)系，進而由勾股定理求得BE、AE的長，由此得解．【解答】解：因為tan∠BAE=，設(shè)BE=12x，則AE=5x；在Rt△ABE中，由勾股定理知：AB2=BE2+AE2，即：132=（12x）2+（5x）2，169=169x2，解得：x=1或﹣1（負(fù)值舍去）；所以BE=12x=12（米）．故答案為：12．4．【分析】解此題時需兩次用到三角函數(shù)，即求出ED和CE后相加即可．【解答】解：過B作BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，如圖，∵在山頂C處觀測到景點B的俯角為45°，∴△BEC為等腰直角三角形，而BC=200m，∴CE=BC=100m；∵∠A=30°，AB=600m，∴BF=AB=300m，∴CD=CE+ED=（100+300）m．故答案為：100+300．5．【分析】過谷底構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形，利用坡比定義表示山谷寬求解．【解答】解：設(shè)A、A′到谷底的水平距離為AC=m，A′C=n．∴m+n=15．根據(jù)題意知，OB∥CD∥O′B′．∵OA=1，OB=3，O′A′=0.5，O′B′=3．∴==3，==6．∴（+）×h=15．解得h=30（m）．6．【分析】由題意得，地毯的總長度至少為（AC+BC）．BC為已知，只需要借助于坡角的正弦值求出斜邊長即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，∠C=90°．∵tanA=，∴=2．∴AC+BC=2+2≈2×1.73+2=5.46≈5.5（m）．即地毯的長度至少需5.5m．7．【分析】首先根據(jù)題意分析圖形；本題涉及到兩個直角三角形Rt△AOC與Rt△BOC，分別求解可得AO與BO的值，再利用AB=AO﹣BO=35，進而可求出答案．【解答】解：已知在Rt△AOC中，OA=．在Rt△BOC中，OB=．∵AB=OA﹣OB，∴OC×（﹣）=35．∴OC=≈34（米）．答：三元塔的高度約是34米．8．【分析】首先分析圖形：根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形△AEF；解其可得AF的長，再求出AC的長度，進而借助AC=AF+FC可解即可求出答案．【解答】解：過點E作EF⊥AC交AC于點F，則∠AFE=90°，四邊形FCDE是矩形，EF=CD=12，在