3.1.2函數(shù)的表示法（第2課時）（教學(xué)設(shè)計）-高一數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019必修第一冊）

第第頁教學(xué)單元第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容3.1.2函數(shù)的表示法（第2課時）教學(xué)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解分段函數(shù)的概念，會求分段函數(shù)的函數(shù)值，能畫出分段函數(shù)的圖象．(重點，難點)2．能在實際問題中列出分段函數(shù)，并能解決有關(guān)問題．(重點、難點)核心素養(yǎng)1.會用解析法及圖象法表示分段函數(shù)，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)；2.給出分段函數(shù)，能研究有關(guān)性質(zhì)，提升數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。教學(xué)重難點重點：了解分段函數(shù)概念，并能簡單應(yīng)用；難點：分段函數(shù)的定義及應(yīng)用。學(xué)情分析通過“預(yù)備知識”的學(xué)習(xí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)方法、知識技能等方面為高中學(xué)習(xí)做了必要的準(zhǔn)備，本章可以看成高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的正式起點，在知識的抽象程度、處理問題的方式以及數(shù)學(xué)語言表達等方面都要上一個臺階。本節(jié)知識滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖情境導(dǎo)入1.如何理解分段函數(shù)，處理分段函數(shù)問題的一般思路是怎樣的？2.函數(shù)常見的表示方法有哪幾種？各有什么特點各是什么？

分段函數(shù)：對于函數(shù)y=?(x)，若自變量在定義域內(nèi)的在不同范圍取值時，函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系也不相同，則稱函數(shù)y=?(x)叫分段函數(shù)．(1)解析法；（2）圖象法；（3）列表法.通過復(fù)習(xí)，引入本節(jié)新課。建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力。新知講授【知識一：分段函數(shù)的表示法】例7.下表是某校高一(1)班三名同學(xué)在高一學(xué)年度六次數(shù)學(xué)測試的成績及班級平均分表.請你對這三人作一個學(xué)習(xí)情況像分析.對這三位同學(xué)在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況做一個分析.可以看出:王偉同學(xué)的數(shù)學(xué)成績始終高于平均水平，學(xué)習(xí)情況穩(wěn)定且成績優(yōu)秀。張城同學(xué)的數(shù)學(xué)成績不大穩(wěn)定，總在班級平均水平上下波動,且波動幅度較大。趙磊同學(xué)的數(shù)學(xué)成績低于班級平均水平,但他成績在穩(wěn)步提高。通過例題進一步比較列表法、圖象法，讓學(xué)生進一步理解這兩種表示方法的優(yōu)缺點，提高學(xué)生的觀察、概括能力。例8依法納稅是每個公民應(yīng)盡的義務(wù)，個人取得的所得應(yīng)按照《中華人民共和國個人所得稅法》向國家繳納個人所得稅（簡稱個稅）。2019年1月1日起，個稅稅額根據(jù)應(yīng)納稅所得額、稅率和速算扣除數(shù)確定，計算公式為個稅稅額=應(yīng)納稅所得額×稅率－速算扣除數(shù)①。應(yīng)納稅所得額的計算公式為：應(yīng)納稅所得額=綜合所得收入額－基本減除費用－專項扣除－專項附加扣除－依法確定的其他扣除②。其中，“基本減除費用”（免征額）為每年60000元。稅率與速算扣除數(shù)見下表。（1）設(shè)全年應(yīng)納稅所得額為t，應(yīng)繳納個稅稅額為y，求y=f（t），并畫出圖像；（2）小王全年綜合所得收入額為189600元，假定繳納的基本養(yǎng)老保險，基本醫(yī)療保險，失業(yè)保險等社會保險費和住房公積金占綜合所得收入額的比例分別是8%，2%，1%，9%，專項附加扣除是52800元，依法確定其他扣除是4560元，那么他全年應(yīng)繳納多少綜合所得個稅？解應(yīng)用題的基本步驟：（1）審題：讀懂題意，分清條件與結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；（2）建模：將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的函數(shù)模型；（3）解模：求解函數(shù)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；（4）還原：將數(shù)學(xué)方面的結(jié)論還原到實際問題中去，解釋實際意義.解：（1）根據(jù)上表，可得函數(shù)的解析式為函數(shù)圖象如圖所示（2）根據(jù)公式②，小王全年應(yīng)繳納所得額為t=189600－60000－189600(8%+2%+1%+9%)－52800－4560=0.8×189600－117360=34320將t的值代入③，得y=0.03×34320=1029.6所以，小王應(yīng)繳納的綜合所得個稅稅額為1029.6元。通過例題的講解，讓學(xué)生進一步理解分段函數(shù)的解析式得寫法、求法，分段函數(shù)的圖象的畫法以及分段函數(shù)的求值，提高學(xué)生解決與分析問題的能力?！局R二：分段函數(shù)求值】例1已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)，x>1，,x2＋1，－1≤x≤1，,2x＋3，x<－1.))(1)求f(f(f(－2)))的值；(2)若f(a)＝eq\f(3,2)，求a.。解：(1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f[f(－2)]＝f(－1)＝2，∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).(2)當(dāng)a>1時，f(a)＝1＋eq\f(1,a)＝eq\f(3,2)，∴a＝2>1；當(dāng)－1≤a≤1時，f(a)＝a2＋1＝eq\f(3,2)，∴a＝±eq\f(\r(2),2)∈[－1,1]；當(dāng)a<－1時，f(a)＝2a＋3＝eq\f(3,2)，∴a＝－eq\f(3,4)>－1(舍去)．綜上，a＝2或a＝±eq\f(\r(2),2).總結(jié)：（1)分段函數(shù)求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，代入相應(yīng)的解析式求解．對于含有多層“f”的問題，要按照“由內(nèi)到外”的順序，逐層處理．(2)已知函數(shù)值，求自變量的值時，要先將“f”脫掉，轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的方程求解．(3)求解函數(shù)值得的不等式時，直接轉(zhuǎn)化為不等式求解，也可通過圖象【知識三：求分段函數(shù)解析式】【例2】如圖所示，已知底角為45°的等腰梯形ABCD，底邊BC長為7cm，腰長為2eq\r(2)cm，當(dāng)垂直于底邊BC(垂足為F)的直線l從左至右移動(與梯形ABCD有公共點)時，直線l把梯形分成兩部分，令BF＝x，試寫出左邊部分的面積y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并畫出大致圖象．[解]過點A，D分別作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別是G，H.因為四邊形ABCD是等腰梯形，底角為45°，AB＝2eq\r(2)cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm，又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm.(1)當(dāng)點F在BG上，即x∈[0,2]時，y＝eq\f(1,2)x2；(2)當(dāng)點F在GH上，即x∈(2,5]時，y＝eq\f(x＋x－2,2)×2＝2x－2；(3)當(dāng)點F在HC上，即x∈(5,7]時，y＝S五邊形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝eq\f(1,2)(7＋3)×2－eq\f(1,2)(7－x)2＝－eq\f(1,2)(x－7)2＋10.綜合(1)(2)(3)，得函數(shù)的解析式為圖象如圖所示．通過例題的講解，讓學(xué)生進一步理解分段函數(shù)的解析式得寫法、求法，分段函數(shù)的圖象的畫法以及分段函數(shù)的求值，提高學(xué)生解決與分析問題的能力。【知識四：分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用】【例3】已知函數(shù)f(x)＝1＋eq\f(|x|－x,2)(－2<x≤2)．(1)用分段函數(shù)的形式表示f(x)；(2)畫出f(x)的圖象；(3)寫出函數(shù)f(x)的值域．[解](1)當(dāng)0≤x≤2時，f(x)＝1＋eq\f(x－x,2)＝1，當(dāng)－2<x<0時，f(x)＝1＋eq\f(－x－x,2)＝1－x，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，0≤x≤2，,1－x，－2<x<0.))(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域為[1,3)．通過例題的講解，讓學(xué)生進一步理解分段函數(shù)的解析式得寫法、求法，分段函數(shù)的圖象的畫法以及分段函數(shù)的求值，提高學(xué)生解決與分析問題的能力。課本練習(xí)1.下圖中哪幾個圖像與下述三件事分別吻合得最好？請你為剩下的那個圖像寫出一件事.（1）我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是返回家里找到了作業(yè)本再上學(xué)；（2）我騎著車離開家后，一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽誤了一些時間；（3）我從家出發(fā)后，心情輕松，一路緩緩加速行進.2：某市“招手即?！惫财嚨钠眱r按下列規(guī)則制定：(1)5公里以內(nèi)(含5公里),票價2元；(2)5公里以上,每增加5公里,票價增加1元(不足5公里按5公里計算)．如果某條線路的總里程為20公里,請根據(jù)題意,寫出票價y與里程x之間的函數(shù)解析式,并畫出函數(shù)的圖象．3.某種新產(chǎn)品投放市場的100天中，前40天其價格呈直線上升趨勢，而后60天其價格呈直線下降趨勢，現(xiàn)統(tǒng)計出其中4天的價格如下表：（1）寫出價格f（x）關(guān)于時間x的函數(shù)解析式（x表示投放市場的第x（）天）.（2）銷售量g（x）與時間x的函數(shù)解析式為則該產(chǎn)品投放市場第多少天銷售額最高？最高為多少元？（1）對應(yīng)（D），（2）對應(yīng)（A），（3）對應(yīng)（B）；剩下的圖象（C）可以為：我出發(fā)后越走越累，所以速度越來越慢.解:設(shè)票價為y元，里程為x公里.由題意可知，自變量的取值范圍是(0,20］,由票價制定規(guī)則,可得到函數(shù)解析式：f(x)=當(dāng)1≤x≤40時,由題意得4k+b當(dāng)41≤x≤100時,由題意得60m+n所以f(x)=當(dāng)1≤x≤40時，h當(dāng)=10或11時，h(x當(dāng)41≤x≤100時，h綜上可得，該產(chǎn)品投放市場第10天和第11天銷售額最高，最高銷售額為808.5元.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，增強學(xué)生的應(yīng)用意識。課堂小結(jié)1.分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)．2.分段函數(shù)求值要先找準(zhǔn)自變量所在的區(qū)間；分段函數(shù)的定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集．3.分段函數(shù)的圖象分段函數(shù)有幾段，它的圖象就由幾條曲線組成．在同一直角坐標(biāo)系中，根據(jù)分段函數(shù)每段的定義區(qū)間和表達式依次畫出圖象，要注意確定每段圖象的端點是空心點還是實心點，各段函數(shù)圖象組合到一起就可得到整個分段函數(shù)的圖象．學(xué)生先總結(jié)，教師補充通過總結(jié)，