2024年上海嘉定區(qū)二模高考數(shù)學模擬試卷試題（答案詳解）

高三年級第二次質(zhì)量調(diào)研

數(shù)學試卷

（考試時間120分鐘，滿分150分）

一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，只要求直接填寫結(jié)果，前

六題每題得4分，后六題每題得5分.

1.設(shè)集合4=[1,3],8=（2,4）,則473=.

2.拋物線/=4x的準線方程為.

3.已知圓錐的母線長為2,高為1,則其體積為.

4.（X+1?的展開式中/項的系數(shù)為.

4+3i

5.已知i是虛數(shù)單位.則；一.

0-2i）

6.函數(shù)y=|x-l|+|x—4|的值域為.

2

5

7.數(shù)據(jù)1、2、3、4、5的方差為s；,數(shù)據(jù)3、6、9、12、15的方差為學，則得=.

5i

8.已知曲線y=上有一點尸（2,|）,則過P點的切線的斜率為.

9.小張、小王兩家計劃假期來嘉定游玩，他們分別從“古猗園，秋霞圃，州橋老街”這三個

景點中隨機選擇一個游玩，記事件A表示“兩家至少有一家選擇古猗園”，事件3表示“兩家

選擇景點不同”，則概率尸（叫/）=.

10.已知/（x）=-2—+N—,則函數(shù)V=/（x）的最小值為______.

sinxcosx12）

―?—?1

11.在平面直角坐標系xOy中，點尸在圓/+/=1上運動，定點A、B滿足。=5且

W卜網(wǎng)=1,若臼刀.詞+|礪?研恒成立，則實數(shù)上的取值范圍為.

12.若規(guī)定集合￡=｛。,1,2,……㈤的子集｛%,%生，…4｝為E的第左個子集，其中

左=2%+2W+2%+……+2%,則E的第211個子集是.

二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題都給出四個結(jié)論，其中

有且只有一個結(jié)論是正確的，前兩題每題得4分，后兩題每題得5分.

試卷第1頁，共4頁

2222

13.雙曲線:土-匕=1和雙曲線匚：匕-土=1具有相同的（）

42242

A.焦點B.頂點C.漸近線D.離心率

14.已知方=&],g），0B=（tc2,y2）,且方、礪不共線，則的面積為（）

A.B.272yli

C.；忱了2+乂為D.；卜為+工2印

15.嘉定某學習小組開展測量太陽高度角的數(shù)學活動.太陽高度角是指某時刻太陽光線和地

平面所成的角.測量時，假設(shè)太陽光線均為平行的直線，地面為水平平面.如圖，兩豎直墻

面所成的二面角為120。，墻的高度均為3米.在時刻乙實地測量得在太陽光線照射下的兩

面墻在地面的陰影寬度分別為1米、1.5米.在線查閱嘉定的天文資料，當天的太陽高度角

和對應時間的部分數(shù)據(jù)如表所示，則時刻f最可能為（）

太陽高度角時間太陽高度角時間

43.13。08:3068.53°10:30

49.53°09:0074.49°11:00

55.93°09:3079.60°11:30

62.29°10:0082.00°12:00

A.09:00B.10:00C.11:00D.12:00

16.已知函數(shù)了=/3（xeR）的最小正周期是工，函數(shù)了=g（力（xeR）的最小正周期是

且北=魴優(yōu)＞1）,對于命題甲：函數(shù)了=八尤）+g（x）（尤eR）可能不是周期函數(shù)；命題乙：

若函數(shù)7=/（x）+g（力（xeR）的最小正周期是刀，則心2小下列選項正確的是（）

A.甲和乙均為真命題B.甲和乙均為假命題

C.甲為真命題且乙為假命題D.甲為假命題且乙為真命題

試卷第2頁，共4頁

三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要

的步驟.

17.如圖，在三棱柱48c-44G中，平面4BC,。是8c的中點，AC=4i，

A[A=AB=BC=1.

⑴求證：43//平面/。￡；

⑵求直線OG與43的所成角的大小.

18.在AA8C中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c,cos-B—sin"B=—.

2

⑴求角B,并計算sin'+胃的值；

(2)若6=百，且AABC是銳角三角形，求。+2c的最大值.

19.據(jù)文化和旅游部發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示，2023年國內(nèi)出游人次達48.91億次，總花費4.91萬

億元.人們選擇的出游方式不盡相同，有自由行，也有跟團游.為了了解年齡因素是否影響

出游方式的選擇，我們按年齡將成年人群分為青壯年組(大于等于14歲，小于40歲)和中

老年組(大于等于40歲).現(xiàn)在S市隨機抽取170名成年市民進行調(diào)查，得到如下表的數(shù)據(jù):

青壯年中老年合計

自由行6040

跟團游2050

合計

(1)請補充2x2列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認為年齡與出游方式的選擇有關(guān);

(2)用分層抽樣的方式從跟團游中抽取14個人，再從14個人中隨機抽取7個人，用隨機變

量X表示這7個人中中老年與青壯年人數(shù)之差的絕對值，求X的分布和數(shù)學期望.

a0.100.050.025

試卷第3頁，共4頁

P2.7063.8415.024

22

20.如圖：已知三點A、B、P都在橢圓土+匕=1上.

42

(1)若點A、B、尸都是橢圓的頂點，求的面積；

(2)若直線4s的斜率為1,求弦48中點W的軌跡方程；

(3)若直線的斜率為2,設(shè)直線PN的斜率為心「直線PB的斜率為心B，是否存在定點產(chǎn)，

使得電+%=0恒成立？若存在，求出所有滿足條件的點尸，若不存在，說明理由.

21.已知常數(shù)加eR,設(shè)/(X)=lnx+竺，

⑴若加=1,求函數(shù)了=/(力的最小值；

(2)是否存在0＜再＜/＜耳，且毛，工2，工依次成等比數(shù)列，使得〃xj、/(x2),/(w)依

次成等差數(shù)列？請說明理由.

(3)求證：“加＜0”是"對任意項,尤zX。")，X］〈尤2，都有"%)￥伉)＞/($)―/(七),,

2xx-x2

的充要條件.

試卷第4頁，共4頁

L1，4)

【分析】由并集的運算可得.

【詳解】因為集合/=[L3],8=(2,4),

所以/UB=[1,4),

故答案為：[1,4).

2.x=-1

【分析】拋物線必=2"的準線方程為了=-5,由此得到題目所求準線方程.

【詳解】拋物線必=4x的準線方程是x=-L

故答案為：x=-l.

3.兀

【分析】由題意，根據(jù)勾股定理求出底面圓的半徑，結(jié)合圓錐的體積公式計算即可求解.

【詳解】由題意知，設(shè)圓錐的母線為/,高為肌底面圓半徑為r,

所以該圓錐的體積為=(兀(百產(chǎn)1=

故答案為：兀

4.10

【詳解】(x+爐的展開式的通項公式為&]=C令5-=2,求得r=3,可得展開式

中一項的系數(shù)為C：=10,故答案為10.

5.1

【分析】根據(jù)復數(shù)的乘、除法以及乘法運算可4得+3*i7=-2黃4+7￡i,結(jié)合復數(shù)的幾何意義計

U-ZDZD

算即可求解.

…44+3i4+3i(4+3i)(—3+4i)247.

[詳角牛](i_2i)2-_3-4i-(-3-4i)(-3+4i)~~25255

故答案為：1

6.[3,+oo)

答案第1頁，共13頁

【分析】利用絕對值的定義化簡函數(shù)解析式，結(jié)合不等式的性質(zhì)，可得答案.

5-2x,x<1

【詳解】由函數(shù)>=歸一1|+|龍一4=3,l<xW4,

2x-5,x>4

當時，>=5—2x23；當x>4時，2x-5>3.

綜上所述，函數(shù)了=|x-1|+|x-4|的值域為[3,+8）.

故答案為：艮內(nèi)）.

7.9

【分析】由兩組數(shù)據(jù)滿足的一次函數(shù)關(guān)系，得方差間的關(guān)系，即可得結(jié)果.

【詳解】數(shù)據(jù)1、2、3、4、5依次記為=1,2,3,4,5）,數(shù)據(jù)3、6、9、12、15依次記為

%。=1,2,3,4,5）,

C2

則有％=3%，所以即m"=9.

一M

故答案為：9

8.4

【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義直接求解即可.

【詳解】設(shè)〃x）=；x3,貝!]/（幻=/,

所以/'（2）=4,即過點P的切線的斜率為4.

故答案為：4

4

9.-##0.8

5

【分析】根據(jù)題意，由古典概型公式求出尸（4）、P（』B）,進而計算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，“兩家分別從“古猗園，秋霞圃，州橋老街”這三個景點中隨機選擇一個

游玩”，有3x3=9種情況,

事件A：兩家至少有一家選擇古猗園，有9-2x2=5種情況，故尸=

4

若兩家選擇景點不同且至少有一家選擇古猗園，有2x2=4種情況，即尸

所以P（/為/、）=奇P（A才B\=不4

答案第2頁，共13頁

一.4

故答案為：—

10.4亞

【分析】令/=$山1+（：05》=行5苗。+3）,可求/的范圍，利用同角的基本關(guān)系對已知函數(shù)

4

化簡計算，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

「/、222(sinx+cosx)

【詳解】由題意知,f(x)=--+------=—^--------------

sinxcosxsinxcosx

令/=sinx+cosx=V2sin(x+—),0<x<—,—,

42444

所以<sin(、+*?1，則1</<0.

由E=sinx+cosx，得『=(sinx+cosx)12=l+2sinxcosx,

212z_4z_4

所以sinxcosx=H,則原函數(shù)可化為g（'）=KT"=1,

又函數(shù)>=在（I,V2］上單調(diào)遞增,所以y=/-1在（1,V2］上單調(diào)遞增，

故當f=0時，>=取得最大值比，此時g⑺取得最小值4行.

t2

故答案為：4收

11.［省,+8）

【分析】根據(jù)題意可得向量次、礪是夾角等于方的單位向量，因此給出點A、3的坐標,

設(shè)尸（cosa,sina）,將|方?歷|+|礪?礪|表示為關(guān)于a的三角函數(shù)表達式，利用輔助角與正

弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，算出便?西+便?研的最大值，進而求出實數(shù)左的取值范圍.

【詳解】由刀?礪=|刀H礪卜osE,Z^=cosE,礪=；,貝1］刀,礪=三，

以。為原點建立坐標系，可設(shè)Z（LO）、B,

由點P在圓=i上運動，設(shè)尸（costz,sintz）,0<a<2n

1V3.

則OA-OP=cosa>OBOP=一cos。d---sma，

22

1V3.

可得I與.礪網(wǎng)礪.而卜|cosa|+—cos6ZH---sma

22

答案第3頁，共13頁

由三角函數(shù)的定義與性質(zhì)可知：當0<a<g時，cosa與Lcose+史sine均為正數(shù),

222

此時〃a)=W.研+西研存在最大值,

3

因為/(?)=—cosa+——sina=6sin\a+—

22

當。=3時，/'(a)的最大值為百，

0

即你.西+|礪?州有最大值5

因為《2".礪|+|麗.研恒成立，

所以左2百，即實數(shù)左的取值范圍為［百,+8).

故答案為：［行,+℃).

12.{0,1,4,6,7}

【分析】正確理解后的含義,后=211時,即要先求出滿足2"<211,2向>211的〃=7,即E的

第211個子集應含有的元素，計算出211-27=83，再要求滿足集<83,2用>83的"=6,即

E的第211個子集應含有的元素，如此類推即得.

［B27=128<211,28=256>211,則E的第211個子集必包含7,此時211-128=83；

又因26=64<83,27=128>83,則E的第211個子集必包含6,此時83-64=19；

又2'=16<192=32>19,則E的第211個子集必包含%此時19-16=3；

又2|=2<3,22=4>3,則后的第211個子集必包含1；而2°=L

綜上所述，E的第211個子集是{0,1,4,6,7}.

故答案為：{0,1,4,6,7}.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵在于仔細閱讀題目所提供的信息，正確理解集合的新

定義的含義，將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言.

13.D

【分析】分別計算出兩雙曲線的焦點坐標、頂點坐標、漸近線方程與離心率即可得.

答案第4頁，共13頁

【詳解】雙曲線乙的焦點坐標為上而,0）、左右頂點坐標為（±2,0）、

漸近線方程為y=土冷X、離心率為當；

雙曲線/的焦點坐標為（0,土灰）、上下頂點坐標為（0,±2）、

漸近線方程為y=±J5x、離心率為當；

故其離心率相同.

故選：D.

14.B

【分析】利用向量的數(shù)量積寫出其夾角的表達式，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方式以及三角形的

面積公式，可得答案.

【詳解】設(shè)次與9的夾角為。，由次.礪=|網(wǎng)/cose,貝1|

0=醞=

cos-網(wǎng)網(wǎng)一斥J忘溟

由sin6=A/1-COS20=黃：，貝1J邑/B。=；|田|阿卜畝8=g卜F2-x/J.

故選：B.

15.B

【分析】作出示意圖形，在四邊形Z8CD中利用正弦定理與余弦定理，算出四邊形/BCD的

外接圓直徑大小，然后在Rt△瓦加中利用銳角三角函數(shù)定義，算出/D5E的大小，即可得

到本題的答案.

【詳解】如圖所示，

設(shè)兩豎直墻面的交線為DE，點E被太陽光照射在地面上的影子為點3,

點4c分別是點B在兩條墻腳線上的射影，連接AC,BD,BE,

由題意可知就是太陽高度角.

答案第5頁，共13頁

:四邊形中，NBAD=ZBCD=90°,//DC=120°,

ZABC=360°-(ABAD+/BCD+ZADC)=60°,

“BC中，AC2AB2+BC2-2AB-BCcos6ff=1.52+12-2xl.5xl=1.75,

2

可得=1.32，

?.?四邊形N8CD是圓內(nèi)接四邊形，8。是其外接圓直徑，

???設(shè)小5C的外接圓半徑為R,則50=27?=—^PL53,

sin607

ED3

在Rt^BDE中,tanZDBE==-----?1.96,

BD1.53

所以ZDBE=arctan1.96?63.02°,

對照題中表格,可知時刻，=10:00時，太陽高度角為62.29°，與63.02°最接近.

故選：B.

16.C

【分析】利用三角函數(shù)的周期性，選用特殊函數(shù)驗證兩個命題.

【詳解】函數(shù)V=/(x)(xeR)的最小正周期是工，函數(shù)y=g(x)(xeR)的最小正周期是《，

且工=無名(左＞1),

當/(x)=sinx時，7]=2兀,g(x)=sin?tx時，7；=2,滿足條件,

但函數(shù)＞=/(a+8(力=5也》+5也亦就不是周期函數(shù)，命題甲正確；

當/(工)=?052；＞(；+(：053》時，4=27t,g(x)=-cos2x時，心=兀，滿足條件，

函數(shù)y=f(x)+g(x)=cos3x,心=莖77r,有看＜(，命題乙錯誤.

故選：C

17.(1)證明見解析

(2)arcsin"5

5

【分析】(1)連接4c交/￡于點連接MD,由中位線得到利用線面平行

的判定定理證明即可；

(2)利用幾何關(guān)系求出也,。孰=0,/孰=五再找到異面直線所成的角，最后求出

2121

答案第6頁，共13頁

正弦值即可求出角的大小.

【詳解】（1）

證明：連接4c交/G于點連接MD,

為A48C的中位線，故MDUA、B,

"Du平面40。，NR不在平面ADC；內(nèi)，

所以48〃平面4DG.

(2)因為&ZJ■平面4BC,。是8c的中點，AC=6，AXA=AB=BC=\,

所以/爐+8C?=N°2,“BC為直角三角形，

所以4D=d"2+BD2=、11=阻

V42

因為平面/BC，NC,8Cu平面/8C,所以//_L3C，4/_L/C,

所以DC】="CC：+CZ)2=^^=冬AC,=7^C2+CC,2=Vl+2=V3,

在△/￡>G中，AD=—,DCt=—,ACt=y/3,

直線2c與48所成的角即為NG。”，

；/￡V15

sinZC^M=Z——=y_，

DC15

所以直線DC,與AB的所成角的大小為arcsin手.

18.(l)g或耳；當時，sin(8+2]=l；當8=耳時，sin(8+m]=；

3333<6J2

(2)277

17T

【分析】（1）由題意，根據(jù)同角的平方關(guān)系可得cos8=士;，求出8,進而求出sin（B+?）即

26

可;

答案第7頁，共13頁

(2)由題意可得3=1,求出C的范圍，根據(jù)正弦定理可得。=2sin4c=2sinC,利用三角

恒等變換化簡計算得a+2c=2bsin(C+e)(tan°=g),結(jié)合。的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)即

可求解.

cos25+sin25=1

【詳解】⑴由，221，得cos2s=：,則COSB=±!，

cos25-sin25=——42

12

又0<5<兀，所以B=g或5.

當5=1時，sin(5+令=sin5=1;

當5=笄■時，$皿3+e)=sirr^=；.

(2)若為銳角三角形，則8=1，

0<C<-

有:，解得2<c<R

c/2兀「兀62

0<A=-----C<一

I32

ac_b_V3

由正弦定理，得sin/-sinC-sin^—耳—，貝！I"2sinZ,c=2sinC,

T

所以〃+2c=2sin/+4sinC=2sin(-^-C)+4sinC=2(^eosC+4inC)+4sinC

=5sinC+6cosc=2"sin(C+0,

其中tan(p=,又tan(p==tan—>所以0<9<—,

55366

則?故當C+9=,時，sin(C+e)取到最大值1,

所以4+20的最大值為2療.

19.(1)答案見解析，能;

439

(2)分布列見解析，E(X)=*

【分析】(1)由卡方公式計算再比較即可；

(2)先用分層抽樣確定青壯年和中老年人數(shù)，再用古典概率計算出相應的概率，最后利用

數(shù)學期望公式求出期望即可.

【詳解】(1)補充2x2列聯(lián)表如下：

答案第8頁，共13頁

青壯年中老年合計

自由行6040100

跟團游205070

合計8090170

2

2_(a+b+c+d)(ad-bc)_(60+40+20+50)(60x50-40x20j

,—(a+6)(c+d)(a+c)0+d)-100708ft<90咐登二841’

所以能有95%的把握認為年齡與出游方式的選擇有關(guān).

2

(2)用分層抽樣的方式從跟團游中抽取14個人，所以青壯年有14x：=4人，中老年有10人,

隨機變量X的可能取值有L3,5,7,

CK+C：C^_40

尸(X=l)=0

CZ143

尸(X=3)=*=t

尸(")=*35

5143

7

c5

P(X=7)=#

143

分布列為:

X1357

4063355

P

143143143143

=—+3x—+5x—+7x—=—

''143143143143143

20.(1)272

(2)y=_；x，276276

4百

或尸-

⑶尸~T~

\7

答案第9頁，共13頁

22

【分析】（1）根據(jù)點A、B、尸都是橢圓土+匕=1的頂點，計算的面積即可得；

42

（2）設(shè)/（尤1,為），8色,%），直線4B的方程為^=》+加，與橢圓方程聯(lián)立，消去兒利用

根與系數(shù)的關(guān)系得出再+X2,根據(jù)中點坐標公式，求解即可得;

（3）設(shè)，（%,弘），3（%,%），夕億，九），根據(jù)電+%=0,得出匕三叢+上叢=0,用

卜-/）與（y-坊）表示直線與橢圓的方程，求解即可得出不和%的值，從而求出點P的

坐標.

22

【詳解】（1）因為點A、B、P都是橢圓土+匕=1的頂點，

42

所以AA8P的面積為5=工'2。*。=。6=2五；

2

（2）設(shè)工（網(wǎng),必），8（%,必），因為直線4B的斜率為1,

所以可設(shè)直線的方程為〉=丁+%，

y=x+m

由<工2y2，消去V,整理得次+4mx+2/-4=0,

——+—=1

42

A=16m2-4x3^2m2-4）=8（6-m2）>0,即_網(wǎng)<m<娓,

4m2m2-4

匹+%2=---，再/=，

設(shè)弦45中點M（xj）,則工=土芋=—?,

m+2m

_Ji+y2（西+加）+（%+加）―3_冽，

y---------------------------------二—

2223

消去加，得了=一;X,

所以x=_^*e2762c

所以點M的軌跡方程為V=-gx,xe

21A

（3）設(shè)/（%,乂），B（x2,y2）,夕國,人），則心+勉=+5=°，

項—％ox2—x0

因為直線48的斜率為2,設(shè)直線48的方程為2（x-Xo）-（y-%）=m（加#0）,

答案第10頁，共13頁

其中3B=2,且4B不過(x。,%),

橢圓的方程可化為*+2/—4=0,即（無一尤0+/）2+2"-%+%）2—4=0,

所以（尤-尤o>+2%（x-x0）+xj+2（了-%）~+4%（了-%）+2y：-4=0,

即（工-尤（））2+2%（尤-尤0）+2（了-%）2+4%（了-%）=0,

所以

24

22XX）［（）

（X-X0）+2（J/-^0）+—X0（-02v-x0-［一%）卜￡一九上彳一、o}/一VoF。

2

所以f—x0+l|（x-x0）+［2%+［—%%］（%一%0）（＞一九）=。'

\m）\mJ\mm）

所以卜-工］（口川,-。］口+葭+1=0,

VmJx-x0\mmJx-x0m

82

—y?！獂o

kpA+kPB=-——言—=0,解得x0=4%,

代入J+f=l，解得為=±*所以尤。=±苧,

g、e八上」4后拒)t/4cV2

所以存在點P—T—>—或尸----使得上以+%=0恒成立.

<7\

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:

(1)設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為(國,必),(%2，%)；

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x(或丁)的一元二次方程，注意△的判斷;

(3)列出韋達定理：

(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為國+工2、網(wǎng)々(或%+%、,%)的形式；

(5)代入韋達定理求解.

21.(1)1

(2)答案見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)求導分析/'(x)的符號，/(x)的單調(diào)性，最值，即可得出答案.

答案第11頁，共13頁

(2)根據(jù)題意可得考=匹馬，2/(X2)=/(X1)+/(X3),則網(wǎng)=加(*：馬)，分兩種情況:

1^2

當m=0時，當加/0時，討論是否滿足條件，即可得出答案.

/'(玉)+/'(%2))/(%)一/