初中(中考)數(shù)學(xué)公式大全及初中(中考)數(shù)學(xué)常用公式定理

初中（中考）數(shù)學(xué)公式大全及初中（中考）數(shù)學(xué)常用公式定理

1過兩點(diǎn)有且只有一條直線

2兩點(diǎn)之間線段最短

3同角或等角的補(bǔ)角相等

4同角或等角的余角相等

5過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直

6直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短

7平行公理經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行

8如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

9同位角相等，兩直線平行

10內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

11同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

12兩直線平行，同位角相等

13兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

14兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

15定理三角形兩邊的和大于第三邊

16推論三角形兩邊的差小于第三邊

17三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

18推論1直角三角形的兩個(gè)銳角互余

19推論2三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

20推論3三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角

21全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等

22邊角邊公理（SAS）有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

23角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

24推論(AAS)有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

25邊邊邊公理(SSS)有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

26斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等

27定理1在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

28定理2到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上

29角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合

30等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個(gè)底角相等(即等邊對(duì)等角)

31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊

也相等(等角對(duì)等邊)

35推論1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個(gè)角等于60。的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

40逆定理和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合

42定理1關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形

43定理2如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線

44定理3兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)

在對(duì)稱軸上

45逆定理如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于

這條直線對(duì)稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即^2+b^2=c"2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系/2+了2=>2,那么這

個(gè)三角形是直角三角形

48定理四邊形的內(nèi)角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)X180°

51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對(duì)角相等

53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對(duì)邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對(duì)角線互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4一組對(duì)邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形性質(zhì)定理1矩形的四個(gè)角都是直角

61矩形性質(zhì)定理2矩形的對(duì)角線相等

62矩形判定定理1有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

63矩形判定定理2對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

64菱形性質(zhì)定理1菱形的四條邊都相等

65菱形性質(zhì)定理2菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角

66菱形面積=對(duì)角線乘積的一半，即5=(aXb)4-2

67菱形判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

68菱形判定定理2對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

69正方形性質(zhì)定理1正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等

70正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平

分一組對(duì)角

71定理1關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等的

72定理2關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心

平分

73逆定理如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩

個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱

74等腰梯形性質(zhì)定理等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等

75等腰梯形的兩條對(duì)角線相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形

77對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形

78平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他

直線上截得的線段也相等

79推論1經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰

80推論2經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊

81三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

82梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半L=(a+b)

4-2S=LXh

83(1)比例的基本性質(zhì)如果a：b=c：d,那么ad=bc；如果ad=bc,那么a：b=c：d

84(2)合比性質(zhì)如果a/b=c/d,那么(a土b)/b=(c±d)/d

85(3)等比性質(zhì)如果a/b=c/d=?-=m/n(b+d+…+nWO),那么(a+c+…+m)/

(b+d+…+n)=a/b

86平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例

87推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對(duì)應(yīng)線段

成比例

88定理如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,

那么這條直線平行于三角形的第三邊

89平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原

三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例

90定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的

三角形與原三角形相似

91相似三角形判定定理1兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似(ASA)

92直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似

93判定定理2兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似(SAS)

94判定定理3三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似(SSS)

95定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一

條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似

96性質(zhì)定理1相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相

似比

97性質(zhì)定理2相似三角形周長的比等于相似比

98性質(zhì)定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方

99任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正

弦值

100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正

切值

101圓是定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合

102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合

103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合

104同圓或等圓的半徑相等

105到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓

106和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線

107到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線

108到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直

線

109定理不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。

110垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧

111推論1①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

③平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形

114定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦

的弦心距相等

115推論在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有

一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等

116定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半

117推論1同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧

也相等

118推論2半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑

119推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角

形

120定理圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角

121①直線L和。0相交d<r

②直線L和。0相切d=r

③直線L和。0相離d>r

122切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

123切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑

124推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)

125推論2經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

126切線長定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的

連線平分兩條切線的夾角

127圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角

129推論如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等

130相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等

131推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例

中項(xiàng)

132切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩

條線段長的比例中項(xiàng)

133推論從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長

的積相等

134如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上

135①兩圓外離d>R+r②兩圓外切d=R+r

③兩圓相交R-r<d<R+r(R>r)

④兩圓內(nèi)切d=R-r(R>r)⑤兩圓內(nèi)含dVR-r(R>r)

136定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

137定理把圓分成n(n23)：

⑴依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n

邊形

138定理任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓

139正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于(n-2)X180°/n

140定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形

141正n邊形的面積Sn=pnrn/2p表示正n邊形的周長

142正三角形面積J3a/4a表示邊長

143如果在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有k個(gè)正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為

360°,因此kX(n-2)180°/n=360°化為(n-2)(k-2)=4

144弧長計(jì)算公式：L=n兀R/180

145扇形面積公式：S扇形中兀-2/360=1^/2

146內(nèi)公切線長=d-(R-r)外公切線長=d-(R+r)

147完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2

(a_b)2=a2-2

ab+b2

148平方差公式：(a+b)(a-b)=a2_b2

(還有一些，大家?guī)脱a(bǔ)充吧)

實(shí)用工具：常用數(shù)學(xué)公式

公式分類公式表達(dá)式

乘法與因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式Ia+b|WIa|+1b||a-b|W|a|+1b||a|Wb<泠-bWaLb

Ia-b|^|a|-1b|-|a|WaW|a|

一元二次方程的解-b+V(b2~4ac)/2a-b-V(b2-4ac)/2a

根與系數(shù)的關(guān)系Xl+X2=-b/aXl*X2=c/a注：韋達(dá)定理

判別式

b2-4ac=0注：方程有兩個(gè)相等的實(shí)根

b2-4ac>0注：方程有兩個(gè)不等的實(shí)根

b2-4ac<0注：方程沒有實(shí)根，有共軻復(fù)數(shù)根

三角函數(shù)公式

兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(l-tan2A)ctg2A=(ctg2A-l)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=V((l-cosA)/2)sin(A/2)=-V((l-cosA)/2)

cos(A/2)=J((1+cosA)/2)cos(A/2)=-V((1+cosA)/2)

tan(A/2)=J((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-J((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=V((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-V((1+cosA)/((1-cosA))

和差化積

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些數(shù)列前n項(xiàng)和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2

1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-l)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+???+n2=n(n+1)(2n+l)/6

l3+23+33+-+n3=(1+2+3+……+n)2=n2(n+l)74

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+l)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圓半徑

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是邊a和邊c的夾角

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2+（y-b）2=r2注：（a,b）是圓心坐標(biāo)

圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=~2py

直棱柱側(cè)面積S=c*h斜棱柱側(cè)面積S=c'*h

正棱錐側(cè)面積S=l/2c*h'正棱臺(tái)側(cè)面積S=l/2（c+c'）h'

圓臺(tái)側(cè)面積S=l/2（c+c'）l=pi（R+r）1球的表面積S=4pi*r2

圓柱側(cè)面積S=c*h=2pi*h圓錐側(cè)面積S=l/2*c*l=pi*r*l

弧長公式l=a*ra是圓心角的弧度數(shù)r>0扇形面積公式s=l/2*l*r

錐體體積公式V=1/3*S*H圓錐體體積公式V=l/3*pi*r2h

斜棱柱體積V=S'L注：其中，S'是直截面面積，L是側(cè)棱長

柱體體積公式V=s*h圓柱體V=pi*r2h

初中數(shù)學(xué)常用公式定理

1、整數(shù)（包括：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)（包括：有限小數(shù)和無限環(huán)循小數(shù)）都是

有理數(shù).如：-3,壽，0,231,0.737373…，修，V=T.

2、無限不環(huán)循小數(shù)叫做無理數(shù).如：無，0.1010010001…（兩個(gè)1之間依次多

1個(gè)0）.

3、有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

4、絕對(duì)值：當(dāng)a20o]aI=a；當(dāng)aWO。]a\=~a.如：]—想']=戰(zhàn)；]

3.14-JI]=JI-3.14.

5、一個(gè)近似數(shù)，從左邊笫一個(gè)不是0的數(shù)字起，到最末一個(gè)數(shù)字止，所有的數(shù)字,

都叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字.如：0.05972精確到0.001得0.060,結(jié)果有兩個(gè)有效

數(shù)字6,0.

如近似數(shù)5.27X10,5的有效數(shù)字是3個(gè)，分別是5,2,7,精確到百位(還原后看7對(duì)應(yīng)

的數(shù)位)

6、把一個(gè)數(shù)寫成±&義10"的形式(其中1W&V10,〃是整數(shù))，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記

數(shù)法.如:-40700=-4.07X105,0.000043=4.3X10-5.

7、乘法公式(反過來就是因式分解的公式)：①(a+6)(&—力)=3一次②g±s)2=

才±2助+抗③(&+6)(才一加十4)=才+方〔④(a—6)(l+a,+b?)=才—,3；￡+6?

=(a+S)2—2ab,(a—Z?)2=(a+Z?)2-4ab.

8、寨的運(yùn)算性質(zhì)：?aXan=am+n.②d-一：③(a")』,.?(aby=abn.⑤

⑥特別：(!)-〃=卷)".⑦a°=l(aWO).如：3*3=人才+3=3,(/產(chǎn)

=3,(3a3)3=27<a9,(-3)-l=-y,52=37=-55,(|-)2=(j-)2=^,(-3.14)=1,-

(技一⑸。=1.

9、二次根式：(1).二次根式式子G(a20)叫做二次根式.

★(2).最簡二次根式

同時(shí)滿足：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式(分母中不含根號(hào))；②被開

方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)或因式.這樣的二次根式叫做最簡二次根式.

★(3).同類二次根式

幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫

同類二次根式.

(4).二次根式的性質(zhì)

a(a>0)

①(6)2=a(a20)；②后=Ia|=,0(。=0)；

-a(a<0)

③疝=&?4b(a，0,b20)；④器乎(b，0,a>0).

(5).分母有理化及有理化因式

把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化；兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，若

它們的積不含二次根式，則稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式.

如：①(3回2=45.②而^7=6.③&<0時(shí)，曲'=&5.④聲的平方根=4的平

方根=±2.(平方根、立方根、算術(shù)平方根的概念)

10、因式分解：就是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積的形式

1)提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)；

2)運(yùn)用公式法：a2—b2=(a+b)(a—b)；a2+2ab+b2=(a±b)2；

3)分組分解法：①分組后直接提公因式；②分組后直接運(yùn)用公式；

4)十字相乘法：x2+(p+q)x+pq型式子和因式分解，即：x?+(p+q)x+pq=x?+px+qx+pq=

(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+q)(x+p);

5)求根公式法：在分解二次三項(xiàng)式ax，bx+c的因式時(shí)，可先用公式求方程ax、bx+c

的兩個(gè)根X”X2,然后得ax°+bx+c=a(x—Xi)(x—x2).

完全平方公式、平方差公式中字母,不僅表示一個(gè)數(shù),還可以表示單項(xiàng)式、多項(xiàng)

式.

..注意：分解因式要進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止.

11、一元二次方程：

(1).一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c是常數(shù)，aWO)

(2).一元二次方程的解法

(1)直接開平方法；(2)配方法；(3)公式法；(4)因式分解法.一元二次方

程的求根公式是

—b+y]h2-4ac

x=(b’一4ac20).

2a

(3).二元三項(xiàng)式ax'+bx+c=a(x—x1)(x—x2).其中Xi,X2是關(guān)于x的方程

ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(4).一元二次方程ax?+bx+c=O(aWO)的根的判別式△=!:)?-4ac.

當(dāng)△>()時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根X尸土應(yīng)三，X2=H"C；

2a2a

當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根X|=X2=-2；

2a

當(dāng)AVO時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.(注意：當(dāng)△》()時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根.)

(5).若一元二次方程ax4bx+c=O(a#0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為Xi,x,則xi+xz=-

2a

XIX2=￡.(韋達(dá)定理)

a

(6).以a和6為根的一元二次方程是(a+6)x+a6=0.

(7).使用一元二次方程ax'+bx+cR(aNO)的根的判別式△=b?-4ac解題的前提

是二次項(xiàng)系數(shù)aWO.

222

(8).若Xi,X2是關(guān)于x的方程ax+bx+c=0的兩根，則axi+bx1+c=O,ax2+bx2+c=0.反

22

之，若axi+bxi+c=0,ax2+bx2+c=O,且x1Wx2,則Xi,X2是關(guān)于x的一元二次方程

ax2+bx+c=0的兩根.

(9).一元二次方程的應(yīng)用：列一元二次方程解應(yīng)用問題的步驟和解法與前面講過

的列方程解應(yīng)用題的方法步驟相同，但在解題中心須注意所求出的方程的解一定要

使實(shí)際問題有意義，凡不滿足實(shí)際問題的解(雖然是原方程的解)一定要舍去

10、一次函數(shù)y=〃x+6(〃W0)的圖象是一條直線(8是直線與序的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即一

次函數(shù)在y軸上的截距).

當(dāng)〃>0時(shí)，y隨x的增大而增大(直線從左向右上升)；

當(dāng)4Vo時(shí)，y隨x的增大而減小(直線從左向右下降).

特別：當(dāng)6=0時(shí)，y=Ax(470)又叫做正比例函數(shù)(y與不成正比例)，圖象必過原點(diǎn).

★直線11:y=+4(尢W0)直線乙：y=k2x+b2(k2w0)

①當(dāng)直線4平行12ck、=取且4Wb2

②當(dāng)直線41/2=勺=T

12、反比例函數(shù)y=J(4W0)的圖象叫做雙曲線.

當(dāng)〃>0時(shí)，雙曲線在一、三象限(在每一象限內(nèi)，從左向右降)。

當(dāng)〃V0時(shí)，雙曲線在二、四象限(在每一象限內(nèi)，從左向右上升).因此，它的增減

性與一次函數(shù)相反.

注意：K的幾何意義是反比例函數(shù)上任一點(diǎn)P(x,y)向兩對(duì)稱軸作垂線組成的矩形的

面積，即s矩形=孫=|K|

13、銳角三角函數(shù)：

①設(shè)N/是RtZ^ABC的任一銳角，則//的正弦：sin/=有普，N月的余弦：cosA=-

有轡，N4的正切：tan*境器.并且sin2/+cos2/=l.

OVsin/Vl,OVcos/Vl,tan/>0.N/越大，N/的正弦和正切值越大，余弦值反

而越小.

②余角公式：sin(90—A)=cosA,cos(90—A)=sinJ.

③特殊角的三角函數(shù)值：sin30°=cos60e=\,sin450=cos45°=埠,sin60

=cos30°=埠,tan30°=導(dǎo),tan45e=1,tan60三

④斜坡的坡度：i=雋囂=.設(shè)坡角為a,則/=t兼〒了.

利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題：如仰角、俯角、坡度

14、平面直角坐標(biāo)系中的有關(guān)知識(shí)：

(1)對(duì)稱性：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P(a,6),則P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為R(a,—b),

P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為P2(—a,b),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為P3(—a,-b).

(2)坐標(biāo)平移：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P(a,b)向左平移力個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻(a

-h,b),向右平移力個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻(a+力，6)；向上平移力個(gè)單位，坐標(biāo)變

為P(a,b+h),向下平移力個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻(a,b—h).如：點(diǎn)A(2,-1)

向上平移2個(gè)單位，再向右平移5個(gè)單位，則坐標(biāo)變?yōu)锳(7,1).

15、二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)：

1.定義：一般地，如果y=+/u+c(a,8c是常數(shù)，”。0),那么y叫做x的二次函數(shù).

2.拋物線的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo).

①a的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)a>0時(shí)，開口向上；當(dāng)。<0時(shí)，開口向下；

時(shí)相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于y軸(或重合)的直線記作x=/i.特別地，y軸記作直線x=0.

幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

y=ax1x=0(y軸)(0,0)

y=ax~+k當(dāng)a〉0時(shí)x=0(y軸)(0,k)

y=a(x-h)2開口向上x=h(/?,0)

y=a(x-h)2+k當(dāng)Q<0時(shí)x=h(/?,女)

h

y=ax2+bx+c開口向下x=---(b4ac-b2

2a

2a'^a

)

4.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法

(1)公式法：y=ax'+bx+c=c^x+——,二.頂點(diǎn)是(一幺,^^~,對(duì)稱軸

2a)4。2a4〃

是直線尤=-2.

2a

(2)配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=a(x-/z)2+人的形式，得

到頂點(diǎn)為(/?,女),對(duì)稱軸是直線x=/z.

(3)運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸與

拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。

若已知拋物線上兩點(diǎn)a，y)、(jy)(及y值相同)，則對(duì)稱軸方程可以表示為：

9.拋物線丁=江+區(qū)+(；中，a,"c的作用

(1)a決定開口方向及開口大小，這與丫=如2中的a完全一樣.

(2)。和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線y=a?+桁+0的對(duì)稱軸是直線

尤=_2,故:①8=0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸；②幺>0(即a、匕同號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸在

2aa

y軸左側(cè)；③2<0(即a、異號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè).

a

(3)c的大小決定拋物線丁=如2+hx+c與y軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)尤=0時(shí)，y-c,...拋物線y=ar?+bx+c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0,c):

①c=0,拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；②c>0,與y軸交于正半軸；③c<0,與y軸交于負(fù)

半軸.

以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，

則-<0.

a

11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)一般式：y="2+云+c.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)光、y的值，通常選擇一般式.

(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-〃y+h已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

(3)交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)尤|、x2,通常選用交點(diǎn)式：y=a{x-xi)(x-x2).

12.直線與拋物線的交點(diǎn)

(1)y軸與拋物線y="2+bx+c得交點(diǎn)為(0,c).

(2)拋物線與x軸的交點(diǎn)二次函數(shù)y=a?+法+c的圖像與龍軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)王、修，是對(duì)應(yīng)一元二次方程a/+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交

點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個(gè)交點(diǎn)Q（△＞（））O拋物線與X軸相交；

②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在1軸上）Q（△=（））=拋物線與無軸相切；

③沒有交點(diǎn)Q（△＜（））Q拋物線與X軸相離.

（特別注意在X軸的某個(gè)范圍里有唯一一個(gè)根的情況）

（3）平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同（2）一樣可能有。個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、

2個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為則橫坐標(biāo)是o?+法+0=后

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（4）一次函數(shù)y="+〃伏。0）的圖像/與二次函數(shù)丁=分+桁+*/0）的圖像G的交

v—kx+n

點(diǎn)，由方程組?,的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時(shí)

y=ax+bx+c

一/與G有兩個(gè)交點(diǎn)；②方程組只有一組解時(shí)o/與G只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程

組無解時(shí)Q/與G沒有交點(diǎn).

（5）拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線＞=改2+云+c.與龍軸兩交點(diǎn)為

A（X1,O）,鳳工”0）,則AB=k—w|

15、統(tǒng)計(jì)初步：（1）概念：①所要考察的對(duì)象的全體叫做總體，其中每一個(gè)考察對(duì)

象叫做個(gè)體.從總體中抽取的一部份個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目

叫做樣本容量.②在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)（有時(shí)不止一個(gè)），叫做這組數(shù)

據(jù)的眾數(shù).③將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，把處在最中間的一個(gè)數(shù)（或兩個(gè)數(shù)的平均

數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

（2）公式：設(shè)有〃個(gè)數(shù)Xl,X2,Xn,那么：

①平均數(shù)為：仁內(nèi)+為+……+［；

n

②極差：用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用

這種方法得到的差稱為極差，即：極差=最大值-最小值；

③方差：

數(shù)據(jù)X]、X2...,X“的方差為$2,則$2=；餐「xj+(%2-xj+..…+(x?-X)-

標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根.

數(shù)據(jù)玉、x2...,X“的標(biāo)準(zhǔn)差S,貝!]S=番「xj+(%2-7)2+…“+(X”-xj

一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定。

12、頻率與概率：

(1)頻率=姐，各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù)，各小組的頻率之和等于1,頻率分布

總數(shù)

直方圖中各個(gè)小長方形的面積為各組頻率。

(2)概率

①如果用P表示一個(gè)事件A發(fā)生的概率，則OWP(A)W1；

P(必然事件)=1;P(不可能事件)=0；

②在具體情境中了解概率的意義，運(yùn)用列舉法(包括列表、畫樹狀圖)計(jì)算簡單事

件發(fā)生的概率。

③大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率可視為事件發(fā)生概率的估計(jì)值；

平面圖形

1、軸對(duì)稱

定義如果點(diǎn)A,B在直線1的兩側(cè)，且1是線段AB的垂直平分線，則稱點(diǎn)A,B關(guān)于直

線1互相對(duì)稱，點(diǎn)A,B互稱為關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)，直線1叫做對(duì)稱軸

定義在平面上，如果圖形F的所有點(diǎn)關(guān)于平面上的直線1成軸對(duì)稱，直線1叫做對(duì)稱

軸

定義在平面上，如果存在一條直線1,圖形F的所有點(diǎn)關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)組成的圖

形，仍是圖形F自身，則稱圖形F為軸對(duì)稱圖形，直線1是它的一條對(duì)稱軸

定理（1）對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)與一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的距離相等（2）對(duì)稱點(diǎn)所連線段被

對(duì)稱軸垂直平分

推論兩個(gè)圖形如果關(guān)于某直線稱軸對(duì)稱，那么這兩個(gè)圖形是全等形

2、中心對(duì)稱

定理1成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分

定理2中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形

定理平行四邊形是中心對(duì)稱形，它的對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)

3、多邊形內(nèi)角和公式：〃邊形的內(nèi)角和等于（〃-2）180（〃23,〃是正整數(shù)），外

角和等于360

★4、平行線分線段成比例定理：

（1）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

如圖：a//b//Cy直線/i與4分別與直線a、b、c相交與點(diǎn)B、C

D、E、F,則有AB_DEAB_DEBCEF

於一而，就一而，前~DF

（2）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對(duì)應(yīng)

線段成比例。

如圖：中，DE//BC,DE與AB、〃'相交與點(diǎn)D,E,則有：

AD_AEAD_AE_DEDB_EC

UU

推論1經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰

推論2經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊

5.三角形的中位線

連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線

三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半

三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心

6.梯形的中位線

連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線

梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半

7.(1)、成比例線段

在同一單位下，兩條線段長度的比，叫做這兩條線段的比，它們的比是一個(gè)正實(shí)數(shù)

如果四條線段a,b,c,d滿足等式a/b=c/d,那么，這四條線段叫做成比例線段

(2)、黃金分割

把一條線段分成兩條線段，使其中較長的線段是原先段與較短線段的比例中項(xiàng)，叫做

把這條線段黃金分割，把這條線段黃金分割的點(diǎn)，叫做黃金分割點(diǎn)

0.618...稱為黃金比

(3)、比例的性質(zhì)：

基本性質(zhì)：ad=be

bd

合比性質(zhì)：色=￡。包=包

bdbcl

等比性質(zhì)：如果且=￡=g=……='(Z,+d+f+……-0),則°+c+e+……m=巴

bdfn〃+d+/+...nh

8、相似三角形

(1)、相似三角形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形

(2)、三角形相似的判定

判定定理1如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么兩三

角形相似

判定定理2如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾

角相等，那么兩三角形相似

判定定理3如果一個(gè)三角形的三邊與另一個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例，那么兩三角

形相似

推論1兩直角三角形中有一銳角對(duì)應(yīng)相等，那兩三角相似

推論2平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似

定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條

直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似

(3)、相似三角形的性質(zhì)

定理相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比

定理相似三角形周長的比等于相似比

定理相似三角形面積的比等于相似比的平方

★(4)平行線分線段成比例定理

定理兩條或兩條以上的平行線，截任意一角的兩邊，所截出的對(duì)應(yīng)線段成比例

推論三條或三條以上的平行線截任意兩條直線，所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例

(5)相似多邊形

定義如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多變形的角對(duì)應(yīng)相等且它們的邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)

多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做它們的相似比

定理兩個(gè)相似多邊形對(duì)應(yīng)對(duì)角線的比等于相似比

定理兩個(gè)相似多邊形的對(duì)應(yīng)三角形相似，其相似比等于相似多邊形的相似比

定理相似多邊形的周長比等于相似比

定理相似多邊形的面積比等于相似比的平方

★直角三角形中的射影定理：如圖：Rt△/回中，N/%=90°,CD1AB于■D,則有:

(1)CD2=ADBD(2)AC2=ADAB(3)BC?=BDAB

第七章圓

1圓的基本性質(zhì)

11圓的定義

在平面內(nèi)，和某一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓周，簡稱為圓；其中定點(diǎn)叫

做圓的圓心，連結(jié)圓心與圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑

連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做這個(gè)圓的弦，通過圓心的弦叫做直徑

圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧

同圓或等圓中，能夠重合的弧的叫等弧。

圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫

做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧

由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形

兩個(gè)圓全等的充要條件是兩個(gè)圓的半徑相等

半徑相等的圓叫做等圓，同圓或等圓的半徑相等

12不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓

經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)圓

經(jīng)過兩點(diǎn)也可以作無數(shù)個(gè)圓，且圓心都在連結(jié)這兩點(diǎn)的線段的垂直平分線上

定理過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，可以作且只可以作一個(gè)圓

推論三角形的三邊垂直平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三角形的外心它到三個(gè)頂

點(diǎn)的距離相等。

正弦定理:—=2RR為外接圓的半徑）

sinA

圓的內(nèi)接四邊形:

(1).圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)。

(2).圓的內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角。

(三角形的三條高線的交點(diǎn)叫三角形的垂心)

1.3垂徑定理

圓是中心對(duì)稱圖形；圓心是它的對(duì)稱中心

圓是周對(duì)稱圖形，任一條通過圓心的直線都是它的對(duì)稱軸

定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且評(píng)分弦所對(duì)的兩條弧

推論1平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧

推論2弦的垂直平分弦經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

推論3平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直評(píng)分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

1.4弧、弦和弦心距

定理在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等

2圓與直線的位置關(guān)系

2.1圓與直線的位置關(guān)系

如果一條直線和一個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，我們就說這條直線和這個(gè)圓相離

如果一條直線和一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，我們就說這條直線和這個(gè)圓相切，這條直線

叫做圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做它們的切點(diǎn)

定理經(jīng)過圓的半徑外端點(diǎn)，并且垂直于這條半徑的直線是這個(gè)圓的切線

定理圓的切線垂直經(jīng)過切點(diǎn)的半徑

推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)

推論2經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

如果一條直線和一個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，我們就說，這條直線和這個(gè)圓相交，這條直線

叫這個(gè)圓的割線，這兩個(gè)公共點(diǎn)叫做它們的交點(diǎn)

直線和圓的位置關(guān)系只有相離、相切和相交三種

2.2三角形的內(nèi)切圓

定理三角形的三個(gè)內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)是三角形的內(nèi)心，它到三邊的距離相

等。

常見結(jié)論：(1)Rt^ABC的三條邊分別為：a、b、為斜邊)，則它的內(nèi)切圓的

半徑一”匕；

2

(2)aABC的周長為/,面積為S,其內(nèi)切圓的半徑為r,則5="廠

2

2.4圓的外切四邊形：如果一個(gè)四邊形的各邊所在的直線，都和一個(gè)圓相切，這個(gè)四邊

形叫做圓的外切四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的內(nèi)切圓

定理圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相