高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第三章　第七節(jié)　第2課時(shí)　函數(shù)模型及其應(yīng)用（導(dǎo)學(xué)案）

第2課時(shí)函數(shù)模型及其應(yīng)用【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一元一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異.2.理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”等術(shù)語(yǔ)的現(xiàn)實(shí)含義.3.會(huì)選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律,了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用.【必備知識(shí)·精歸納】1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xα(α>0)在(0,+∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨α值變化而各有不同2.常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0)二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)=kx+b(k,b為常數(shù)且k指數(shù)函數(shù)模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)冪函數(shù)模型f(x)=axα+b(a,b,α為常數(shù),a≠0,α≠0)點(diǎn)睛函數(shù)模型應(yīng)用問題的步驟(四步八字方針):審題,建模,解模,還原.【基礎(chǔ)小題·固根基】教材改編易錯(cuò)易混1,2,53,41.(教材變式)在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中,測(cè)得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù),如表:x0.500.992.013.98y-0.99-0.010.982.00則對(duì)x,y最適合的擬合函數(shù)是()A.y=2x B.y=x2-1C.y=2x-2 D.y=log2x解析：選D.根據(jù)x=0.50,y=-0.99,代入計(jì)算,可以排除A;根據(jù)x=2.01,y=0.98,代入計(jì)算,可以排除B,C;將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y=log2x,可知滿足題意.2.(教材變式)某產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元,且銷量等于產(chǎn)量,則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是()A.100臺(tái) B.120臺(tái) C.150臺(tái) D.180臺(tái)解析：選C.設(shè)利潤(rùn)為f(x)萬(wàn)元,則f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3000(0<x<240,x∈N*).令f(x)≥0,得x≥150,所以生產(chǎn)者不虧本時(shí)的最低產(chǎn)量是150臺(tái).3.(對(duì)三種函數(shù)增長(zhǎng)速度的理解不透徹)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,當(dāng)x∈(4,+∞)時(shí),對(duì)三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度進(jìn)行比較,下列選項(xiàng)中正確的是()A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x)C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x)解析：選B.由函數(shù)圖象(圖略)知,當(dāng)x∈(4,+∞)時(shí),增長(zhǎng)速度由大到小依次為g(x)>f(x)>h(x).4.(建錯(cuò)函數(shù)關(guān)系式)生物學(xué)家采集了一些動(dòng)物體重和脈搏率對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù),并經(jīng)過研究得到體重和脈搏率的對(duì)數(shù)型關(guān)系:lnf=lnk-lnW3(其中f是脈搏率(心跳次數(shù)/min),體重為W(g),k為正的常數(shù)),則體重為300g的豚鼠和體重為8100g的小狗的脈搏率之比為()A.32 B.43 C.3 D解析：選C.因?yàn)閘nf=lnk-lnW3(其中f是脈搏率(心跳次數(shù)/min),體重為W(g),k為正的常數(shù)),所以當(dāng)W=300g時(shí),則lnf1=即lnf13=lnk3-ln300,則f1當(dāng)W=8100g時(shí),則lnf2=3lnk即lnf23=lnk3-ln8100,則f2所以(f1f2)3=5.(教材提升)當(dāng)生物死亡后,其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半,這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時(shí),用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到了.若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測(cè)器探測(cè)不到,則它至少要經(jīng)過個(gè)“半衰期”.

解析：設(shè)該死亡生物體內(nèi)原有的碳14的含量為1,則經(jīng)過n個(gè)“半衰期”后的含量為(12)n由(12)n<11000,得n答案:10【題型一】用函數(shù)圖象刻畫變化過程[典例1](1)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是()A.消耗1L汽油,乙車最多可行駛5kmB.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多C.甲車以80km/h的速度行駛1h,消耗10L汽油D.某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80km/h,相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油解析：選D.從題圖中可以看出當(dāng)乙車的行駛速度大于40km/h時(shí)的燃油效率大于5km/L,故乙車消耗1L汽油的行駛路程可大于5km,所以A錯(cuò)誤;由題圖可知甲車消耗汽油最少,所以B錯(cuò)誤;甲車以80km/h的速度行駛時(shí)的燃油效率為10km/L,故行駛1h的路程為80km,消耗8L汽油,所以C錯(cuò)誤;當(dāng)最高限速為80km/h且速度相同時(shí)丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率,故用丙車比用乙車更省油,所以D正確.(2)(2022·北京高考)在北京冬奧會(huì)上,國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù),為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn),如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP的關(guān)系,其中T表示溫度,單位是K;P表示壓強(qiáng),單位是bar.下列結(jié)論中正確的是()A.當(dāng)T=220,P=1026時(shí),二氧化碳處于液態(tài)B.當(dāng)T=270,P=128時(shí),二氧化碳處于氣態(tài)C.當(dāng)T=300,P=9987時(shí),二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D.當(dāng)T=360,P=729時(shí),二氧化碳處于超臨界狀態(tài)解析：選D.對(duì)于A選項(xiàng),T=220,lg1026略大于lg1000=3,由題圖知,處于固態(tài);對(duì)于B選項(xiàng),T=270,lg128略大于lg100=2,由題圖知,處于液態(tài);對(duì)于C選項(xiàng),T=300,lg9987略小于lg10000=4,由題圖知,處于固態(tài);對(duì)于D選項(xiàng),T=360,lg729大于2小于3,由題圖知,處于超臨界狀態(tài).(3)(多選題)血藥濃度(PlasmaConcentration)是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度.藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時(shí),該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥物后,體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示:根據(jù)圖中提供的信息,下列關(guān)于成人使用該藥物的說法中,正確的是()A.首次服用該藥物1單位約10分鐘后,藥物發(fā)揮治療作用B.每次服用該藥物1單位,兩次服藥間隔小于2小時(shí),一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒C.每間隔5.5小時(shí)服用該藥物1單位,可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用D.首次服用該藥物1單位3小時(shí)后,再次服用該藥物1單位,不會(huì)發(fā)生藥物中毒解析：選ABC.從題圖中可以看出,首次服用該藥物1單位約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用,A正確;根據(jù)題圖可知,首次服用該藥物1單位約1小時(shí)后的血藥濃度達(dá)到最大值,由題圖可知兩次服藥間隔小于2小時(shí),一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒,B正確;服藥5.5小時(shí)時(shí),血藥濃度稍大于最低有效濃度,此時(shí)再服藥,血藥濃度增加,可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用,C正確;第一次服用該藥物1單位4小時(shí)后與第2次服用該藥物1單位1小時(shí)后,血藥濃度之和大于最低中毒濃度,因此一定會(huì)發(fā)生藥物中毒,D錯(cuò)誤.【方法提煉】判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法:當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí),先建立函數(shù)模型,再結(jié)合模型選圖象;(2)驗(yàn)證法:根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn),結(jié)合圖象的變化趨勢(shì),驗(yàn)證是否吻合,從中排除不符合實(shí)際的情況,選擇出符合實(shí)際情況的答案.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)開始沿折線BCDA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,△ABP的面積為S,則函數(shù)S=f(x)的圖象是()解析：選D.依題意知,當(dāng)0≤x≤4時(shí),f(x)=2x;當(dāng)4<x≤8時(shí),f(x)=8;當(dāng)8<x≤12時(shí),f(x)=24-2x,觀察四個(gè)選項(xiàng)知D項(xiàng)符合要求.2.(2022·泰州模擬)中國(guó)茶文化博大精深,茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).為分析泡制一杯最佳口感茶水所需時(shí)間,某研究人員每隔1min測(cè)量一次茶水的溫度,根據(jù)所得數(shù)據(jù)得到如圖所示的散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖的分布情況,下列哪個(gè)函數(shù)模型可以近似地刻畫茶水溫度y隨時(shí)間x變化的規(guī)律 ()A.y=mx2+n(m>0)B.y=max+n(m>0,0<a<1)C.y=max+n(m>0,a>1)D.y=mlogax+n(m>0,a>0,a≠1)解析：選B.由題圖可知符合條件的只有指數(shù)函數(shù)模型,并且m>0,0<a<1.【加練備選】如圖,一高為H且裝滿水的魚缸,其底部有一排水小孔,當(dāng)小孔打開時(shí),水從孔中勻速流出,水流完所用時(shí)間為T.若魚缸水深為h時(shí),水流出所用時(shí)間為t,則函數(shù)h=f(t)的圖象大致是()解析：選B.水勻速流出,所以魚缸水深h先降低得快,中間降低緩慢,最后降低速度又越來越快.【題型二】應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題[典例2](2021·全國(guó)甲卷)青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題,視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(1010≈1.259) ()A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6解析：選C.將L=4.9代入L=5+lgV知,lgV=4.9-5=-0.1,故V=10-0.1=11010≈0.【方法提煉】求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型,弄清哪些量為待定系數(shù);(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法,確定模型中的待定系數(shù);(3)利用該函數(shù)模型,借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題,并進(jìn)行檢驗(yàn).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2022·合肥模擬)聲強(qiáng)級(jí)(單位:dB)由公式LI=10lg(I10-12)給出,其中I為聲強(qiáng)(單位:W/m2).某班級(jí)為規(guī)范同學(xué)在公共場(chǎng)所說話的文明禮儀,開展了“不敢高聲語(yǔ),恐驚讀書人”主題活動(dòng),要求課下同學(xué)之間交流時(shí),每人的聲強(qiáng)級(jí)不超過40dB,現(xiàn)已知4位同學(xué)課間交流時(shí),每人的聲強(qiáng)分別為10-7W/m2,2×10-9W/m2,5×109×10-11W/m2,則這4人中達(dá)到班級(jí)要求的有()A.1人 B.2人 C.3人 D.4人解析：選C.依題意,當(dāng)I=10-7W/m2時(shí),LI=10lg10-7當(dāng)I=2×10-9W/m2時(shí),LI=10lg2×1=10lg(2×103)=10(lg2+3)=30+10lg2<30+10lg10=40;當(dāng)I=5×10-10W/m2時(shí),LI=10lg5×1=10lg(5×102)=10(lg5+2)=20+10lg5<20+10lg10=30;當(dāng)I=9×10-11W/m2時(shí),LI=10lg9×1=10lg(9×10)=10(lg9+1)=10+10lg9<10+10lg10=20.所以這4人中達(dá)到班級(jí)要求的有3人.2.2022年10月16日,習(xí)近平總書記在中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)上的報(bào)告中,提出了“把我國(guó)建設(shè)成為科技強(qiáng)國(guó)”的發(fā)展目標(biāo).國(guó)內(nèi)某企業(yè)為響應(yīng)這一號(hào)召,計(jì)劃在2023年投資新技術(shù)、生產(chǎn)新手機(jī),通過市場(chǎng)分析,生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本250萬(wàn)元,每生產(chǎn)x千部手機(jī),需另投入成本R(x)萬(wàn)元,且R(x)=10x2+100x(1)求2023年的利潤(rùn)W(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千部)的函數(shù)關(guān)系式(利潤(rùn)=銷售額-成本);(2)2023年產(chǎn)量為多少千部時(shí),企業(yè)所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?解析：(1)根據(jù)利潤(rùn)=銷售額-成本,可得:當(dāng)0<x<40時(shí),W(x)=1000x×0.7-250-(10x2+100x)=-10x2+600x-250,當(dāng)x≥40時(shí),W(x)=1000x×0.7-250-(701x+10000x-9450)=-x故W(x)=-(2)由(1)可知W(x)=-當(dāng)0<x<40時(shí),W(x)=-10x2+600x-250=-10(x-30)2+8750,當(dāng)x=30時(shí),W(x)max=8750;當(dāng)x≥40時(shí),W(x)=-x-10000x當(dāng)且僅當(dāng)x=10000x,即x=100時(shí),W(x)因?yàn)?000>8750,所以產(chǎn)量為100千部時(shí),企業(yè)所獲利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是9000萬(wàn)元.【加練備選】1.(2023·九江模擬)碳是有機(jī)物的元素之一,生物在生存的時(shí)候,由于需要呼吸,其體內(nèi)的碳-14含量大致不變,生物死去后會(huì)停止呼吸,此時(shí)體內(nèi)的碳-14開始減少,人們可通過檢測(cè)一件古物的碳-14含量,來估計(jì)它的大概年齡,這種方法稱之為碳定年法.設(shè)Nf是生物樣本中的碳-14的含量,N0是活體組織中碳-14的含量,t為生物死亡的時(shí)間(單位:年),已知Nf=N0·(12)

tT(其中T為碳-14半衰期,且T=5730),若2021年測(cè)定某生物樣本中Nf=8(參考資料:log23≈1.585.西周:公元前1046年~公元前771年;晉代:公元266年~公元420年;宋代:公元960年~公元1279年;明代:公元1368年~公元1644年)A.西周 B.晉代 C.宋代 D.明代解析：選C.2021年測(cè)定某生物樣本中Nf=89N0,已知Nf=N0(1所以89N0=N0(12)

t則tT=log1289=-(3-2log23)≈-(3-2×1.585)=0.17,因?yàn)門=5730,所以t=0.17×5730=974.1,所以2021-974.1=1046.9,故此生物大概生活在宋代.2.“百日沖刺”是各個(gè)學(xué)校針對(duì)高三學(xué)生進(jìn)行的高考前的激情教育,它能在短時(shí)間內(nèi)最大限度激發(fā)一個(gè)人的潛能,使成績(jī)?cè)谠瓉淼幕A(chǔ)上有不同程度的提高,以便在高考中取得令人滿意的成績(jī),特別對(duì)于成績(jī)?cè)谥械绕碌膶W(xué)生來講,其增加分?jǐn)?shù)的空間尤其大.現(xiàn)有某班主任老師根據(jù)歷年成績(jī)?cè)谥械绕碌膶W(xué)生經(jīng)歷“百日沖刺”之后的成績(jī)變化,構(gòu)造了一個(gè)經(jīng)過時(shí)間t(30≤t≤100)(單位:天),增加總分?jǐn)?shù)f(t)(單位:分)的函數(shù)模型:f(t)=kP1+lg(t+1),k為增分轉(zhuǎn)化系數(shù),P為“百日沖刺”前的最后一次?？伎偡?且f(60)=16P.現(xiàn)有某學(xué)生在高考前100天的最后一次?？伎偡譃?00分,依據(jù)此模型估計(jì)此學(xué)生在高考中可能取得的總分約為(lg61≈1.79)()A.440分 B.460分 C.480分 D.500分解析：選B.由題意得,f(60)=kP1+lg61≈kP2.79=16P,所以k所以f(100)=0.465×4001+lg101=186所以該學(xué)生在高考中可能取得的總分約為400+62=462≈460(分).【題型三】構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問題角度1構(gòu)造一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)模型[典例3](1)加工爆米花時(shí),爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”,在特定條件下,可食用率p與加工時(shí)間t(單位:分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c(a,b,c是常數(shù)),如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù),根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),可以得到最佳加工時(shí)間為()A.3.50分鐘 B.3.75分鐘C.4.00分鐘 D.4.25分鐘解析：選B.由題圖可知,三點(diǎn)(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函數(shù)p=at2+bt+c的圖象上,所以9a解得a=-0.2,b=1.5,c=-2,所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-154)2+13因?yàn)閠>0,所以當(dāng)t=154=3.75時(shí),p故此時(shí)的t=3.75分鐘為最佳加工時(shí)間.(2)某景區(qū)提供自行車出租,該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用,管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),若每輛自行車的日租金不超過6元,則自行車可以全部租出;若超出6元,則每超過1元,租不出去的自行車就增加3輛.為了便于結(jié)算,每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù),并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用,用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后得到的部分).①求函數(shù)y=f(x)的解析式;②試問當(dāng)每輛自行車的日租金為多少元時(shí),才能使一日的凈收入最多?解析：①當(dāng)x≤6時(shí),y=50x-115,令50x-115>0,解得x>2.3,因?yàn)閤為整數(shù),所以3≤x≤6,x∈Z.當(dāng)x>6時(shí),y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115.令-3x2+68x-115>0,有3x2-68x+115<0,結(jié)合x為整數(shù)得6<x≤20,x∈Z.所以y=50②對(duì)于y=50x-115(3≤x≤6,x∈Z),顯然當(dāng)x=6時(shí),ymax=185;對(duì)于y=-3x2+68x-115=-3(x-343)2+8113(6<x≤20,x∈Z),當(dāng)x=11時(shí),ymax因?yàn)?70>185,所以當(dāng)每輛自行車的日租金定為11元時(shí),才能使一日的凈收入最多.【方法提煉】一次函數(shù)、二次函數(shù)和分段函數(shù)模型的選取及應(yīng)用策略(1)在實(shí)際問題中,若兩個(gè)變量之間的關(guān)系是正相關(guān)或負(fù)相關(guān)或圖象為直線(或其一部分),一般構(gòu)建一次函數(shù)模型,利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解.(2)實(shí)際問題中的面積問題、利潤(rùn)問題、產(chǎn)量問題等一般選用二次函數(shù)模型,根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式.結(jié)合二次函數(shù)的圖象、最值、單調(diào)性、零點(diǎn)等知識(shí)將實(shí)際問題解決.(3)實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出,而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成,如出租車的計(jì)費(fèi)與路程之間的關(guān)系,應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解.角度2構(gòu)造函數(shù)f(x)=ax+bx(ab[典例4]某小區(qū)為了升級(jí)居住環(huán)境,擬在小區(qū)的閑置地中規(guī)劃一個(gè)面積為200m2的矩形區(qū)域(如圖所示),按規(guī)劃要求:在矩形內(nèi)的四周安排2m寬的綠化,綠化造價(jià)為200元/m2,中間區(qū)域地面硬化以方便后期放置各類健身器材,硬化造價(jià)為100元/m2.設(shè)矩形的長(zhǎng)為x(單位:m).(1)求總造價(jià)y(單位:元)關(guān)于長(zhǎng)度x(單位:m)的函數(shù);(2)當(dāng)x(單位:m)取何值時(shí),總造價(jià)最低,并求出最低總造價(jià).解析：(1)由矩形的長(zhǎng)為xm,得矩形的寬為200xm,則中間區(qū)域的長(zhǎng)為(x-4)m,寬為(200x-4)m,定義域?yàn)閤∈則y=100(x-4)(200x-4)+200×[200-(x-4)(200整理得y=18400+400(x+200x),x∈(4,50)(2)因?yàn)閤+200x≥2x·200當(dāng)且僅當(dāng)x=200x,即x=102時(shí)取等號(hào)所以當(dāng)x=102m時(shí),總造價(jià)最低為(18400+80002)元.【方法提煉】應(yīng)用對(duì)勾函數(shù)f(x)=ax+bx(ab(1)明確對(duì)勾函數(shù)是正比例函數(shù)f(x)=ax與反比例函數(shù)f(x)=bx疊加而成的(2)解決實(shí)際問題時(shí)一般可以直接建立f(x)=ax+bx(ab>0)的模型,有時(shí)可以將所列函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為f(x)=ax+bx(ab(3)利用模型f(x)=ax+bx(ab>0)求解最值時(shí),要注意自變量的取值范圍,及取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件角度3構(gòu)造指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型[典例5](1)(2020·全國(guó)卷Ⅰ)某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位:℃)的關(guān)系,在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn),由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散點(diǎn)圖:由此散點(diǎn)圖,在10℃至40℃之間,下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是()A.y=a+bx B.y=a+bx2C.y=a+bex D.y=a+blnx解析：選D.由題中散點(diǎn)圖分布可知,散點(diǎn)圖分布在一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象附近,因此,最適合作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是y=a+blnx.(2)中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)于2022年下半年在北京召開,黨的二十大是我們黨帶領(lǐng)全國(guó)人民全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家,向第二個(gè)百年奮斗目標(biāo)進(jìn)軍新征程的重要時(shí)刻召開的一次十分重要的代表大會(huì).相信中國(guó)共產(chǎn)黨一定會(huì)繼續(xù)帶領(lǐng)中國(guó)人民實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步.資料顯示,2021年,我國(guó)的GDP達(dá)到了17.7萬(wàn)億美元,同期美國(guó)的GDP達(dá)到了23萬(wàn)億美元,綜合考慮多方面因素,將中國(guó)的GDP增速估計(jì)為6%,美國(guó)的GDP增速估計(jì)為2%,那么中國(guó)最有可能在年實(shí)現(xiàn)對(duì)美國(guó)GDP的超越.參考數(shù)據(jù):lg1.3≈0.114,lg1.04≈0.017.()

A.2024 B.2026 C.2028 D.2030解析：選C.設(shè)中國(guó)最有可能在x年后實(shí)現(xiàn)對(duì)美國(guó)GDP的超越,則17.7(1+6%)x>23(1+2%)x,即1.061.02x≈1.04所以lg1.04x>lg1.3,所以x>lg1.3lg1.04故中國(guó)最有可能在2028年實(shí)現(xiàn)對(duì)美國(guó)GDP的超越.【方法提煉】指數(shù)(對(duì)數(shù))函數(shù)模型的應(yīng)用技巧(1)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型有關(guān)的實(shí)際問題,在求解時(shí),要先學(xué)會(huì)合理選擇模型,在兩類模型中,指數(shù)函數(shù)模型(底數(shù)大于1)是增長(zhǎng)速度越來越快的一類函數(shù)模型,與增長(zhǎng)率、銀行利率、細(xì)胞分裂有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型;對(duì)數(shù)函數(shù)模型(底數(shù)大于1)是增長(zhǎng)速度越來越慢的一類函數(shù)模型.(2)在解決指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型問題時(shí),一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,再借助函數(shù)的圖象求解最值問題,必要時(shí)可借助導(dǎo)數(shù).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·福州模擬)某汽車運(yùn)輸公司購(gòu)買了一批豪華大客車投入營(yíng)運(yùn),據(jù)市場(chǎng)分析,每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y(