重慶市部分區(qū)縣2025屆高一數(shù)學第二學期期末達標檢測模擬試題含解析

重慶市部分區(qū)縣2025屆高一數(shù)學第二學期期末達標檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數(shù)，若對于恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知三棱錐P－ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°.則球O的體積為（）A． B． C． D．3．為等差數(shù)列的前項和，且，．記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，．數(shù)列的前項和為（）A． B． C． D．4．已知雙曲線的焦點與橢圓的焦點相同，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．25．在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)：現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是（）345.156.1264.04187.51218.01A． B． C． D．6．已知組數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為2,方差為5,則數(shù)據(jù)2+1，2+1，…，2+1的平均數(shù)與方差分別為()A．=4,=10 B．=5,=11C．=5,=20 D．=5,=217．已知，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．8．設集合，集合，則（）A． B． C． D．9．如圖，在中，面，，是的中點，則圖中直角三角形的個數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．810．在中，角所對的邊分別為，已知，則最大角的余弦值是()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．過點直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于、兩點，為坐標原點，當最小時，直線的一般方程為______.12．從分別寫有1，2，3，4，5的五張卡片中，任取兩張，這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1的概率為________．13．如圖，在正方體中，有以下結論：①平面；②平面；③；④異面直線與所成的角為.則其中正確結論的序號是____（寫出所有正確結論的序號）.14．底面邊長為，高為的直三棱柱形容器內放置一氣球，使氣球充氣且盡可能的膨脹（保持球的形狀），則氣球表面積的最大值為_______．15．已知球的一個內接四面體中，，過球心，若該四面體的體積為，且，則球的表面積的最小值為_________．16．設，向量，，若，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，經(jīng)過村莊有兩條夾角為的公路，根據(jù)規(guī)劃要在兩條公路之間的區(qū)域內修建一工廠，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫（異于村莊），要求（單位：千米），記.（1）將用含的關系式表示出來；（2）如何設計（即為多長時），使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民影響最?。垂S與村莊的距離最大）？18．已知△ABC內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若，求△ABC面積的最大值.19．的內角，，的對邊分別為，，，為邊上一點，為的角平分線，，．（1）求的值：（2）求面積的最大值．20．已知角、的頂點在平面直角坐標系的原點，始邊與軸正半軸重合，且角的終邊與單位圓（圓心在原點，半徑為1的圓）的交點位于第二象限，角的終邊和單位圓的交點位于第三象限，若點的橫坐標為，點的縱坐標為.（1）求、的值；（2）若，求的值.（結果用反三角函數(shù)值表示）21．某高速公路隧道內設雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形的三邊構成（如圖所示）．已知隧道總寬度為，行車道總寬度為，側墻面高，為，弧頂高為．（）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担髨A弧所在的圓的方程．（）為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有．請計算車輛通過隧道的限制高度是多少．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

首先設，將題意轉化為，即可，再分類討論求出，解不等式組即可.【詳解】，恒成立，等價于，恒成立.令，對稱軸為.即等價于，即可.當時，得到，解得：.當時，得到，解得：.當時，得到，解得：.綜上所述：.故選：A【點睛】本題主要考查二次不等式的恒成立問題，同時考查了二次函數(shù)的最值問題，分類討論是解題的關鍵，屬于中檔題.2、D【解析】

計算可知三棱錐P－ABC的三條側棱互相垂直，可得球O是以PA為棱的正方體的外接球，球的直徑，即可求出球O的體積.【詳解】在△PAC中，設，，，，因為點E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，所以，在△PAC中，，在△EAC中，，整理得，因為△ABC是邊長為的正三角形，所以，又因為∠CEF=90°，所以，所以，所以.又因為△ABC是邊長為的正三角形，所以PA,PB,PC兩兩垂直，則球O是以PA為棱的正方體的外接球，則球的直徑，所以外接球O的體積為.故選D.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.3、D【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式可得，再利用，可得，，．即可得出．【詳解】解：為等差數(shù)列的前項和，且，，．可得，則公差．，，則，，，．數(shù)列的前項和為：．故選：．【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、對數(shù)運算性質、取整函數(shù)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．4、B【解析】根據(jù)橢圓可以知焦點為，離心率，故選B.5、A【解析】

由表中的數(shù)據(jù)分析得：自變量基本上是等速增加，相應的函數(shù)值增加的速度越來越快，結合基本初等函數(shù)的單調性，即可得出答案.【詳解】對于A：函數(shù)在是單調遞增，且函數(shù)值增加速度越來越快，將自變量代入，相應的函數(shù)值，比較接近，符合題意，所以正確；對于B：函數(shù)值隨著自變量增加是等速的，不合題意；對于C：函數(shù)值隨著自變量的增加比線性函數(shù)還緩慢，不合題意；選項D：函數(shù)值隨著自變量增加反而減少，不合題意.故選:A.【點睛】本題考查函數(shù)模型的選擇和應用問題，解題的關鍵是掌握各種基本初等函數(shù)，如一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的圖像與性質，屬于基礎題.6、C【解析】

根據(jù)題意，利用數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的性質分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為2，方差為5，則數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)，其方差；故選．【點睛】本題考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的計算，關鍵是掌握數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的計算公式，屬于基礎題．7、C【解析】試題分析：若，那么，A錯；，B錯；是單調遞減函數(shù)當時，所以，C.正確；是減函數(shù)，所以，故選C.考點：不等式8、B【解析】

已知集合A,B，取交集即可得到答案.【詳解】集合，集合，則故選B【點睛】本題考查集合的交集運算，屬于簡單題.9、C【解析】試題分析：因為面，所以，則三角形為直角三角形，因為，所以，所以三角形是直角三角形，易證，所以面，即，則三角形為直角三角形，即共有7個直角三角形；故選C．考點：空間中垂直關系的轉化．10、B【解析】

由邊之間的比例關系，設出三邊長，利用余弦定理可求.【詳解】因為，所以c邊所對角最大，設，由余弦定理得，故選B.【點睛】本題考查余弦定理，計算求解能力，屬于基本題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

設直線的截距式方程為，利用該直線過可得，再利用基本不等式可求何時即取最小值，從而得到相應的直線方程．【詳解】設直線的截距式方程為，其中且．因為直線過，故．所以，由基本不等式可知，當且僅當時等號成立，故當取最小值時，直線方程為：．填．【點睛】直線方程有五種形式，常用的形式有點斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于的軸的直線沒有點斜式、斜截式和截距式，垂直于軸的直線沒有截距式，注意根據(jù)題設所給的條件選擇合適的方程的形式，特別地，如果考慮的問題是與直線、坐標軸圍成的直角三角形有關的問題，可考慮利用截距式.12、【解析】

基本事件總數(shù)n，利用列舉法求出這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1包含的基本事件有4種情況，由此能求出這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1的概率．【詳解】從分別寫有1，2，3，4，5的五張卡片中，任取兩張，基本事件總數(shù)n，這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1包含的基本事件有：（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），共4種情況，∴這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1的概率為p．故答案為．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．13、①③【解析】

①：利用線面平行的判定定理可以直接判斷是正確的結論；②：舉反例可以判斷出該結論是錯誤的；③：可以利用線面垂直的判定定理，得到線面垂直，再利用線面垂直的性質定理可以判斷是正確的結論；④：可以通過，可以判斷出異面直線與所成的角為，即本結論是錯誤的，最后選出正確的結論序號.【詳解】①：平面，平面平面，故本結論是正確的；②：在正方形中，，顯然不垂直，而，所以不互相垂直，要是平面，則必有互相垂直，顯然是不可能的，故本結論是錯誤的；③：平面，平面，，在正方形中，，平面，，所以平面，而平面，故，因此本結論是正確的；④：因為，所以異面直線與所成的角為，在正方形中，，故本結論是錯誤的，因此正確結論的序號是①③.【點睛】本題考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理、性質定理，考查了異面直線所成的角、線面垂直的性質.14、【解析】由題意，氣球充氣且盡可能地膨脹時，氣球的半徑為底面三角形內切圓的半徑

∵底面三角形的邊長分別為，∴底面三角形的邊長為直角三角形,利用等面積可求得∴氣球表面積為4π.15、【解析】

求出面積的最大值，結合棱錐的體積可得到平面距離的最小值，進一步求得球的半徑的最小值得答案．【詳解】解：在中，由，且，

得，得．

當且僅當時，有最大值1．

過球心，且四面體的體積為1，

∴三棱錐的體積為．

則到平面的距離為．

此時的外接圓的半徑為，則球的半徑的最小值為，

∴球O的表面積的最小值為．

故答案為：．【點睛】本題考查多面體外接球表面積最值的求法，考查邏輯思維能力與推理運算能力，考查空間想象能力，是中檔題．16、【解析】從題設可得，即，應填答案．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】

（1）根據(jù)正弦定理，得到，進而可求出結果；（2）由余弦定理，得到，結合題中數(shù)據(jù)，得到，取最大值時，噪聲對居民影響最小，即可得出結果.【詳解】（1）因為，在中，由正弦定理可得：，所以，；（2）由題意，由余弦定理可得：，又由（1）可得，所以，當且僅當，即時，取得最大值，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民影響最小，此時.【點睛】本題主要考查正弦定理與余弦定理的應用，熟記正弦定理與余弦定理即可，屬于?？碱}型.18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換，可得，結合范圍，可求的值．（Ⅱ）方法1：由余弦定理，基本不等式可得，利用三角形的面積公式即可求解；方法2：由正弦定理可得，，并將其代入可得，然后再化簡，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質即可求得面積的最大值．【詳解】解：（I）因為，由正弦定理可得：，所以所以，即，，所以，可得：，所以，所以，可得：（II）方法1：由余弦定理得：，得，所以當且僅當時取等號，所以△ABC面積的最大值為方法2：因為，所以，，所以，所以，當且僅當，即，當時取等號.所以△ABC面積的最大值為.【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式，正弦函數(shù)的圖象和性質在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．19、（1）（2）3【解析】

（1）由，，根據(jù)三角形面積公式可知，，再根據(jù)角平分線的定義可知，到，的距離相等，所以，即可求出；（2）先根據(jù)（1）可得，，由平方關系得，再根據(jù)三角形的面積公式，可化簡得，然后根據(jù)基本不等式即可求出面積的最大值．【詳解】（1）如圖所示：因為，所以．又因為為的角平分線，所以到，的距離相等，所以所以．（2）由（1）及余弦定理得：所以，又因為所以，所以又因為且，故所以，當且僅當即時取等號．所以面積的最大值為．【點睛】本題主要考查正余弦定理在解三角形中的應用，三角形面積公式的應用，以及利用基本不等式求最值，意在考查學生的轉化能力和數(shù)學運算能力，屬于中檔題．20、（1）；（2）【解析】

（1）可根據(jù)單位圓定義求出，再由二倍角正弦公式即可求解；（2）先求出由可求得，結合反三角函數(shù)即可求得【詳解】（1）由題可知：，，，；（2）由，，又，【點睛】本題考查單位圓的定