2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破第八章平面解析幾何8.1直線的傾斜角斜率與方程

考點(diǎn)一直線的傾斜角和斜率例1（1）【多選題】如圖，直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，傾斜角分別為α1A.k1<k3<k2 B.解：由題圖，知k2>k3>0，k1<0，則k1<k3<k2（2）直線l過點(diǎn)P1,0，且與以A2,1，B0,3解：如圖，因?yàn)閗APkBP直線l與線段AB有交點(diǎn),所以k∈故填-∞,-3【點(diǎn)撥】①任一直線都有傾斜角，但斜率不一定都存在，直線傾斜角的范圍是[0,π)，斜率的取值范圍是R，同時(shí)要知道正切函數(shù)在[0,π)上不單調(diào).②求直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求，求直線的斜率常用的有三種方法：定義法變式1（1）（教材題改編）若過點(diǎn)M-2,m，NmA.1 B.4 C.1或3 D.1或4解：由題意,得m-4-2-m=1（2）已知直線l的一個(gè)方向向量為p=(sinπ3,cosπ3A.π6 B.π3 C.2π解：由題意,可得直線l的斜率k=cosπ3sinπ3=33=tan（3）點(diǎn)Px,y在以點(diǎn)A2,1，點(diǎn)B(0，解：yx+1表示過點(diǎn)Q-1,如圖，因?yàn)閗AQ=1-02--1=13,kBQ考點(diǎn)二求直線方程例2（1）求適合下列條件的直線方程.①過點(diǎn)P4,-2解：因?yàn)閮A斜角α=150°，所以斜率k=tan150②過兩點(diǎn)A1,3[答案]因?yàn)樾甭蔾=5-32③在x軸、y軸上的截距分別為-3，-[答案]由題意，得直線的截距式方程為x-3+④直線l經(jīng)過點(diǎn)P0,1[答案]由題意，得直線l的斜率為12，所以直線l的方程為y-1（2）設(shè)直線l的方程為m2-2m-3x-2m2+解：由題意,知m2-2m-3≠0令y=0，則所以2m-6m2-2m-3=-所以m=-53【點(diǎn)撥】①選用直線方程時(shí)，注意其適用條件.②注意截距相等包含截距為0的情形，截距不是距離.③若已知直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為m,n,mn≠0,則直線的斜率為nm；若已知直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為m,0變式2（1）求適合下列條件的直線方程.①過點(diǎn)A1,3，傾斜角是直線y解：因?yàn)閥=-3x的斜率為k=-3，其傾斜角為120°，所以所求直線的傾斜角為60°②直線過點(diǎn)-3[答案]若截距不為0,設(shè)直線的方程為xa+ya=1.因?yàn)橹本€過點(diǎn)此時(shí)直線方程為x+若截距為0,設(shè)直線方程為y=kx，代入點(diǎn)有4=-3k,解得k=-綜上，所求直線方程為x+y-1③經(jīng)過點(diǎn)B3[答案]由題意，可知所求直線的斜率為±1.又過點(diǎn)3,4，得y-4=±④直線過點(diǎn)1,1，且一個(gè)方向向量為[答案]由題意,得直線的斜率為0,所以直線的方程為y=⑤直線過點(diǎn)1,1，且一個(gè)方向向量為[答案]由題意,得直線的斜率不存在,所以直線的方程為x=（2）設(shè)直線l的方程為a+①若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線l的方程為3x+y=解：當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí)滿足條件，此時(shí)2-a=0.解得a=2.當(dāng)直線l不過原點(diǎn)時(shí)，l的斜率為-1，故a+1=1.解得a=0綜上，直線l的方程為3x+y=0②若l不經(jīng)過第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,-1][解析]直線l的方程變形為y=-因?yàn)閘不經(jīng)過第二象限,所以-a解得a≤-所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1考點(diǎn)三直線方程的應(yīng)用例3直線l過點(diǎn)P1,4，分別交x軸的正半軸和y軸的正半軸于A解：依題意，l的斜率存在，且斜率為負(fù).設(shè)l：令y=0，可得A(令x=0，可得（1）當(dāng)PA?PB最小時(shí)，求[答案]PA?=-4k1所以當(dāng)且僅當(dāng)1k=k且k<0，即k=-1時(shí)，（2）當(dāng)OA+OB最小時(shí)，求[答案]OA+OB=1-4k+4-k此時(shí)l的方程為2x+【點(diǎn)撥】①求解與直線方程有關(guān)的最值問題，先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值.②求參數(shù)值或范圍，注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解.變式3若直線ax+by=aba>0,bA.1