第五章《導數(shù)及其應用》同步單元必刷卷（基礎(chǔ)卷）-高二數(shù)學精講高分突破系列（蘇教版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

第第頁第五章《導數(shù)及其應用》同步單元必刷卷（培優(yōu)卷）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求得，結(jié)合導數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，所以且，所以所求切線方程為，即.故選：B.2．點M是曲線上的動點，則點M到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用導數(shù)的幾何意義及點到直線的距離計算即可.【詳解】因為，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減．由，所以，易得函數(shù)為在上單調(diào)遞增函數(shù)，為零點，此時M的坐標為，由點到直線的距離公式可得M到直線的距離的最小值為.故選:3．已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，若，，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，令，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以不等式，即，即為，即變形為，即得，，解得.所以不等式的解集為.故選：A.4．已知函數(shù)在處取得極值0，則（

）A．2 B．7 C．2或7 D．3或9【答案】B【分析】求導得到導函數(shù)，根據(jù)題意得到且，解得答案并驗證即可.【詳解】，，根據(jù)題意：，，解得或，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，無極值點，舍去.當時，，在和時，，函數(shù)單調(diào)遞增；在時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)在出有極小值，滿足條件.綜上所述：.故選：B.5．已知函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別討論，，時的零點個數(shù)，求出恰有兩個零點時實數(shù)的取值范圍即可.【詳解】，①當時，令，解得，若在有零點，則，解得，即當時，在有一個零點；②當時，令，解得，若在有零點，則，解得，即當時，在有一個零點；③當時，令，即，令，則，令，得，當時，，在單調(diào)遞減，當時，，在單調(diào)遞增，，當時，方程有一個實數(shù)根，即函數(shù)在有一個零點，當時，方程有兩個實數(shù)根，即函數(shù)在有兩個零點，綜上所述，當時，函數(shù)無零點；當時，函數(shù)在有一個零點；當時，函數(shù)在和分別有一個零點，即有兩個零點；當時，函數(shù)在有一個零點；當時，函數(shù)在和分別有一個零點，即有兩個零點；當時，函數(shù)在有一個零點，在有兩個零點，即有三個零點.函數(shù)恰有兩個零點，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.6．設函數(shù)的導數(shù)為，且為偶函數(shù)，，則不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造，求得導數(shù)，判斷的單調(diào)性，結(jié)合的奇偶性，可得所求結(jié)論.【詳解】設，則，可得在上遞增，又為偶函數(shù)，則，，，，由，可得，即有.故選：B.【點睛】思路點睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.7．已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，先判斷在和上的單調(diào)性和最值，再作出函數(shù)的大致圖象，將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，從而數(shù)形結(jié)合得結(jié)果.【詳解】當時，，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當時，．當時，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且．作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，由圖象可知，是函數(shù)的零點，要使函數(shù)有兩個不同的零點，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，等價于有1個非零實數(shù)根.由圖可知或或，即.故選：C．【點睛】此類問題的常用解法是將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，利用數(shù)形結(jié)合法得到結(jié)果，需要會熟練應用導數(shù)判斷單調(diào)性、求最值并作出函數(shù)的大致圖象.8．已知函數(shù)（）有兩個不同的零點，（），下列關(guān)于，的說法正確的有（

）個①

②

③A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】令，判斷的單調(diào)性結(jié)合得到，，進而有，，兩式作差可判斷①；根據(jù)得到可判斷②；將得到的兩式相加，再利用換元法可判斷③.【詳解】（）有兩個不同的零點，，且，即，是方程的兩個不同的根，令，，易知，，在單調(diào)遞增，時，，時，，，，，，對于①，兩式作差得，，整理得，，，即，故①正確；對于②，，且，，，即，，故②正確；對于③，，，兩式相加得，，整理得，，即，，即，令，則，整理得，即，時，，時，，，即，故③正確.故選：D.多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，且，，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)為偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于直線對稱C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義可判定A，利用抽象函數(shù)的對稱性、周期性可判定B、C、D.【詳解】因為，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；因為，兩邊求導得.令，得.因為，所以，所以，，所以，即，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；因為，又，所以，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，所以，故C錯誤；因為，所以，所以，所以，又，所以，故D正確.故選：ABD.10．若函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍可以是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在結(jié)合題意即可得解.【詳解】，令，得，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，所以或，解得或.故選：AC.11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若恒成立，則B．當時，有兩個零點C．若函數(shù)有兩個不同的零點，則D．當時，，則正數(shù)的取值范圍是【答案】AC【分析】對A、B：根據(jù)導數(shù)的幾何意義，利用切線數(shù)形結(jié)合處理恒成立和零點問題；對C：根據(jù)題意分析整理可得，若證，則證，構(gòu)建新函數(shù)結(jié)合導數(shù)證明；對D：根據(jù)指對同構(gòu)可得：，結(jié)合單調(diào)性分析可得恒成立，結(jié)合導數(shù)處理恒成立問題.【詳解】對A、B：對于函數(shù)，則，設切點坐標為，則切線斜率，故切線方程為，若切點過原點，則，解得，此時，則有：當，即時，則，即恒成立；當，即時，則與有兩個零點；故A正確，B錯誤；對C：若函數(shù)有兩個不同的零點，則，整理可得，消去得：，不妨設，則，若證，等價于，等價于，令，則，令，則當時恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，故在上單調(diào)遞增，則，故，即，C正確；對D：當時，則，即，則，∵在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則，∴恒成立，令，則，令，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，∴，解得，故正數(shù)的取值范圍是，D錯誤.故選：AC.12．函數(shù)，則下列說法錯誤的有（

）A．函數(shù)有唯一零點B．函數(shù)的極大值小于1C．D．【答案】BD【分析】計算零點得到A正確，求導得到函數(shù)得到單調(diào)區(qū)間，計算極大值為，舉反例，，計算得到B錯誤，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到C正確，D錯誤，得到答案.【詳解】，函數(shù)定義域為，，對選項A：，則，正確；對選項B：取得到，設，恒成立，函數(shù)在單調(diào)遞減，，當趨近時，趨近，故方程有唯一解，，滿足，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.故函數(shù)有極大值為，取，則，，錯誤；對選項C：，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且.故函數(shù)單調(diào)遞減，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：

根據(jù)圖像知：，正確；對選項D：根據(jù)C選項知D錯誤.故選：BD.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點在函數(shù)上，若滿足到直線的距離為的點有且僅有兩個，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】求得，設切點，令，求得切點，求得點到直線的距離為時，，求得的值，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，設切點，令，即，解得，即切點所以點到直線的距離為時，，解得或，當時，函數(shù)圖象與直線不相交（如圖所示），從而函數(shù)的圖象上只有一點到直線的距離為；當時，函數(shù)圖象與直線相交（如圖所示），從而函數(shù)的圖象上有且僅有三個點到直線的距離為，綜上，要滿足點到直線的距離為的點有且僅有兩個時，滿足，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14．“當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”為真命題的的一個取值是．（寫出符合題意的一個值即可）【答案】0（答案不唯一，1或2也可）【分析】根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系進行求解.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立.因為，所以.為使在區(qū)間上恒成立，則有.因為，所以或或.故答案為：015．已知是函數(shù)的極大值點，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意，求得，分、、和，四種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與極值點的定義，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，①若時，，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，此時時，函數(shù)取得極小值，不符合題意；②若時，令，可得，此時，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，此時時，函數(shù)取得極小值，不符合題意；③若時，令，單調(diào)遞增，沒有極值點，不符合題意；④若時，令，可得，此時，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，此時時，函數(shù)取得極大值，符合題意，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.16．已知函數(shù)（其中a為常數(shù)）有兩個極值點，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是.【答案】【分析】對函數(shù)求導后，由題意可得，是關(guān)于x的方程的兩個不等的正實根，則得，，則，令，然后利用導數(shù)求出其最小值即可.【詳解】.若有兩個極值點為，則，是關(guān)于x的方程的兩個不等的正實根.由，及方程根的情況，得，則，.又，所以，要使恒成立，只需恒成立.又，令，則，當時，，為減函數(shù)，所以當時，.由題意，要使恒成立，只需滿足.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)．(1)若，求在處的切線方程；(2)若方程有且僅有一個實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）對函數(shù)求導數(shù)，求出在點處的斜率，最后求切線方程即可；（2）方程有且僅有一個實數(shù)根，等價于只有一個交點，利用函數(shù)導數(shù)求出極值，再結(jié)合圖像求出的取值范圍即可.【詳解】（1）當時，，則，所以切線的斜率為，又，所以在處的切線方程為，即.（2）若方程有且僅有一個實數(shù)根，即有一根，即兩個函數(shù)圖像只有一個交點，由，令，則或，所以在和上單調(diào)遞增，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以的極大值為，極小值為，如圖所示：由圖可知，當或時，兩個函數(shù)圖像只有一個交點，故方程有且僅有一個實數(shù)根，實數(shù)a的取值范圍為.18．已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；(2)已知，，，，求證：；(3)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由函數(shù)單調(diào)遞減得恒成立，分離參數(shù)法可得；（2）利用導數(shù)得函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性證明不等式即可；（3）利用（2）結(jié)論，逐個賦值后累加法可證.【詳解】（1）對恒成立，即對恒成立．因為，則．（2），只需證明．令，，則在單調(diào)遞減，則，又，則，即成立，得證．（3）由（2）知，令，則有，即，，，…，，累加可得，故，從而命題得證．19．已知函數(shù)．(1)當時，求的最小值；(2)若，判斷的零點個數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，．【答案】(1)1(2)零點個數(shù)為2【分析】（1）先求導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可得最小值；（2）利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可得零點個數(shù).【詳解】（1）當時，，則，易知單調(diào)遞增，且，所以當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以．（2）由題，，又，所以單調(diào)遞增，因為，所以存在唯一的，使，且當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增．又，所以在內(nèi)有1個零點．令，則，令，則．所以單調(diào)遞增，，所以單調(diào)遞增，，即，故在內(nèi)有1個零點．綜上，當時，的零點個數(shù)為2．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個，一是利用所給值判斷區(qū)間端點值的符號，二是結(jié)合零點存在定理判斷零點個數(shù).20．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，設分別為的極大值點、極小值點，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，再分類討論導函數(shù)值的正負即可得解.（2）由（1）求出函數(shù)的極大值與極小值，求出極大值與極小值的差，構(gòu)造函數(shù)并求出其范圍即得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導得，當時，單調(diào)遞增；當時，令，解得或，則當時，由，得，由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，由，得，由，得，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當時，由（1）知，，，因此，設，求導得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以的取值范圍是.21．已知，它們的圖象在處有相同的切線．(1)求與的解析式；(2)若在區(qū)間上存在單調(diào)遞增，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義結(jié)合題意可得，進而可得出答案；（2）由題意不等式在上有解，分離參數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出其最大值即可.【詳解】（1），由題意可得，代入可得，解得，所以；（2），則，因為在區(qū)間上存在單調(diào)遞增，所以不等式在上有解，即在上有解，令，則即可，，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，解得.22．已知函數(shù)，其中為實數(shù).(1)若函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；(2)若與為方程的兩個不等實根，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，分類討論函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)的條件；（2）根據(jù)方程解出兩個不等實根與，有，所以，令，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，通過的取值范圍求的取值范圍