1.2直線的方程-高二數(shù)學(xué)精講高分突破系列（蘇教版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

第第頁1.2：直線的方程【考點梳理】考點一：直線的點斜式方程和斜截式方程類別點斜式斜截式適用范圍斜率存在已知條件點P(x0，y0)和斜率k斜率k和在y軸上的截距b圖示方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b截距直線l與y軸交點(0，b)的縱坐標(biāo)b叫做直線l在y軸上的截距考點二：直線的兩點式方程和截距式方程名稱兩點式截距式條件兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)在x，y軸上的截距分別為a，b(a≠0，b≠0)示意圖方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1適用范圍斜率存在且不為0斜率存在且不為0，不過原點考點三：直線的一般式方程關(guān)于x和y的二元一次方程都表示一條直線．我們把關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．(1)若直線的斜率k存在．直線可表示成y＝kx＋b，可轉(zhuǎn)化為kx＋(－1)y＋b＝0，這是關(guān)于x，y的二元一次方程．(2)若直線的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以認(rèn)為是關(guān)于x，y的二元一次方程，此時方程中y的系數(shù)為0.考點四：直線的五種形式的方程形式方程局限點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不能表示斜率不存在的直線斜截式y(tǒng)＝kx＋b不能表示斜率不存在的直線兩點式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)x1≠x2，y1≠y2截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不能表示與坐標(biāo)軸平行及過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0無考點五：直線各種形式方程的互化【題型歸納】題型一：直線點斜式方程有關(guān)的問題1．（2023·全國·高二專題）經(jīng)過點，傾斜角為的直線的點斜式方程為（

）A． B．.C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由直線得點斜式方程，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為傾斜角為，則斜率，且過點，則，即.故選：A2．（2022秋·貴州貴陽·高二清華中學(xué)校）的三個頂點、、，則邊上的中線所在直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出線段的中點的坐標(biāo)，可求出直線的斜率，再利用點斜式可得出直線的方程.【詳解】因為的三個頂點、、，則線段的中點為，所以，，所以，邊上的中線所在直線方程為，即.故選：A.3．（2022秋·北京·高二人大附中?？计谥校┮阎本€，直線l2是直線l1繞點逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到的直線．則直線l2的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求得的斜率，利用點斜式寫出直線方程即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角分別為，則，，故，又點在直線上，故直線的方程為，整理得：.故選：D.題型二：直線的兩點式方程有關(guān)問題4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）經(jīng)過點的直線的兩點式方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩點式方程的定義結(jié)合已知條件求解【詳解】因為直線經(jīng)過點，所以由方程的兩點式可得直線方程為，即．故選：A5．（2023秋·高二課時練習(xí)）經(jīng)過兩點、的直線方程都可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩點式直線方程即可求解.【詳解】當(dāng)經(jīng)過、的直線不與軸平行時，所有直線均可以用，由于可能相等，所以只有選項C滿足包括與軸平行的直線.故選:C6．（2022·高二課時練習(xí)）入射光線從點出發(fā)，經(jīng)過直線反射后，通過點，則反射光線所在直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出關(guān)于的對稱點，再用兩點式方程即可求解.【詳解】因為點關(guān)于的對稱點為，所以所求的直線方程為，即.故選：A.題型三：直線的一般式方程問題7．（2023秋·高二課時練習(xí)）若方程表示一條直線，則實數(shù)滿足（

）A． B．C． D．，，【答案】C【分析】根據(jù)二元一次方程表示一條直線的條件可得答案.【詳解】因為方程表示一條直線，所以，，不能同時成立，解得．故選：C.8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）以下關(guān)于直線的說法中，不正確的是（

）A．直線一定不經(jīng)過原點B．直線一定不經(jīng)過第三象限C．直線一定經(jīng)過第二象限D(zhuǎn)．直線可表示經(jīng)過點的所有直線【答案】B【分析】首先求出直線過定點坐標(biāo)，即可判斷A、D，再分、、三種情況討論，分別判斷直線所過象限，即可判斷B、C；【詳解】對于直線，令，解得，故直線恒過點，一定不經(jīng)過原點，故A正確；當(dāng)時直線即為，直線過二、三象限，當(dāng)時直線即為，若，則，，直線過一、二、三象限，若，則，，直線過二、三、四象限，所以直線一定過二、三象限，故B錯誤，C正確；因為直線恒過點，所以直線可表示經(jīng)過點的所有直線，故選：B9．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)校考階段練習(xí)）若直線l經(jīng)過點、，則以下不是直線l的方程的為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求直線l的一般方程，逐項分析判斷.【詳解】直線l的方程為，整理得，故C正確；對于A：由整理得，故A正確；對于B：由整理得，故B正確；對于D：由整理得，故D錯誤；故選：D.題型四：直線過定點問題10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）無論取何實數(shù)時，直線恒過定點，則定點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將直線方程可化為，再解方程組即可.【詳解】直線方程可化為，解方程組，得，即定點的坐標(biāo)為.故選：A.11．（2023秋·河北邯鄲·高二武安市第三中學(xué)?？奸_學(xué)考試）不論k為任何實數(shù)，直線恒過定點，則這個定點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直線方程即，一定經(jīng)過和的交點，聯(lián)立方程組可求定點的坐標(biāo)．【詳解】直線即，根據(jù)的任意性可得，解得，不論取什么實數(shù)時，直線都經(jīng)過一個定點．故選：B12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若直線恒過點A，點A也在直線上，其中均為正數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)直線的定點可得，進(jìn)而可得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因為，則，令，解得，即直線恒過點.又因為點A也在直線上，則，可得，且，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立所以的最大值為.故選：B.題型五：直線方程的綜合性問題13．（2023秋·山西·高二校聯(lián)考）已知的三個頂點分別為，，.(1)求邊上的高所在直線的方程；(2)求邊上的中線所在直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得直線的斜率，利用點斜式求得邊上的高所在直線的方程.（2）先求得點坐標(biāo)，再根據(jù)兩點式求得邊上的中線所在直線的方程.【詳解】（1），所以直線的斜率為，所以直線的方程為（2）線段的中點，所以直線所在直線方程為.

14．（2023秋·高二）根據(jù)下列條件，分別寫出直線的方程：(1)直線經(jīng)過點，斜率為；(2)直線與軸交點的橫坐標(biāo)為，傾斜角為；(3)直線經(jīng)過點且垂直于軸；(4)直線經(jīng)過點、.【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)條件選擇合適的直線方程并寫成直線的一般式.【詳解】（1）直線經(jīng)過點，斜率為，其方程為，即.（2）直線與軸交點的橫坐標(biāo)為，傾斜角為，所以斜率，其方程為，即.（3）直線經(jīng)過點且垂直于軸，斜率不存在，其方程為：.（4）直線經(jīng)過點、，為水平直線，斜率為0，其方程為15．（2023秋·高二）已知直線的方程是.根據(jù)下列條件，分別求實數(shù)的值：(1)在軸上的截距為1；(2)的傾斜角為.【答案】(1)(2)【分析】（1）令直線方程中，用表示出，根據(jù)截距為1，列出關(guān)于的方程，即可得到的值；（2）由傾斜角的度數(shù)，得到直線的斜率，列出關(guān)于的方程，求出方程的解，即可得到的值.【詳解】（1）因為直線的方程是，令，得到，又因為在軸上的截距為1，所以，解得.（2）因為的傾斜角為，所以，直線斜率，故，解得.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題16．（2023秋·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學(xué)校）已知直線過點，且縱截距為橫截距的兩倍，則直線l的方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】考慮截距是否為0，分兩種情況求解，求出直線斜率，即可求得答案.【詳解】由題意設(shè)直線與x軸交點為，則與y軸交點為，當(dāng)時，直線過原點，斜率為，故方程為；當(dāng)時，直線的斜率，故直線方程為，即，故選：D17．（2023秋·廣西南寧·高二南寧市邕寧高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）過點的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】可以分截距都為零和截距不為零兩種情況進(jìn)行考慮，截距為零，直線過原點，求出方程即可，截距部位零，利用截距式，設(shè)出方程求解即可；也可以設(shè)出方程，求出截距，進(jìn)行計算即可.【詳解】解法一

當(dāng)直線過原點時，滿足題意，此時直線方程為，即；當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線方程為，因為直線過點，所以，解得，此時直線方程為.故選：解法二

易知直線斜率不存在或直線斜率為0時不符合題意.設(shè)直線方程為，則時，，時，，由題意知，解得或，即直線方程為或.故選：18．（2023秋·河北邯鄲·高二武安市第三中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若直線過點，其中，是正實數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C． D．5【答案】B【分析】由點在直線上可知，結(jié)合均值不等式即可求解．【詳解】因為直線過點，所以，由和都是正實數(shù)，所以，，．所以，當(dāng)時取等號，即，時取等號，所以的最小值是.故選:B．19．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知直線l的斜率與直線的斜率相等，且l和兩坐標(biāo)軸在第一象限內(nèi)所圍成三角形面積是24，則直線l的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意設(shè)，則，解方程再結(jié)合題意可求出，即可得出答案.【詳解】直線的斜率為，可設(shè)l的方程為.令，得，由題可知:，得，由于在第一象限與坐標(biāo)軸圍成三角形，所以，所以選C項．故選：C.20．（2023·全國·高二專題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中下列關(guān)于直線的幾何性質(zhì)說法中，正確的有幾個（

）①直線：過點②直線在軸的截距是2③直線的圖像不經(jīng)過第四象限④直線的傾斜角為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①代入驗證即可；②當(dāng)時可得在軸的截距；③由可判斷；④先求斜率可得傾斜角.【詳解】①將代入得，故正確；②當(dāng)時，，故在軸的截距是，故錯誤；③由得，故，故其圖像不經(jīng)過第四象限，故正確；④的斜率為，故傾斜角為，故正確；故選：C21．（2023秋·高二課時練習(xí)）根據(jù)給定條件，求下列直線的方程：(1)直線經(jīng)過點、；(2)直線與坐標(biāo)軸的交點分別為、.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)直線兩點式方程求解；（2）根據(jù)直線截距式求解.【詳解】（1）因為直線經(jīng)過點、兩點，故直線的方程：，即.（2）因為直線與坐標(biāo)軸的交點分別為、，所以直線方程為，即.22．（2023秋·高二）設(shè)直線的方程為.(1)已知直線在x軸上的截距為，求的值；(2)已知直線的斜率為1，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一般式方程求出截距，結(jié)合條件可得答案；（2）先把一般式化為斜截式，根據(jù)斜率的值可求答案.【詳解】（1）令得，，由題意得，解得.（2）因為直線的斜率存在，所以直線的方程可化為由題意得，解得．【高分突破】一、單選題23．（2023·全國·高二專題練習(xí)）當(dāng)點到直線的距離取得最大值時，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡直線為，得到直線經(jīng)過定點，結(jié)合直線與該直線垂直時，點到該直線的距離取得最大值，列出方程，即可求解.【詳解】將直線轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立方程組，解得，所以直線經(jīng)過定點，當(dāng)直線與該直線垂直時，點到該直線的距離取得最大值，此時，解得.故選：C.24．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線與連接的線段相交，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，作出圖形，利用斜率坐公式結(jié)合圖形求解作答.【詳解】直線過點.如圖，

由題意，直線與線段總有公共點，即直線以直線為起始位置，繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)到直線即可，直線的斜率為，直線的斜率分別為，于是或，而，因此或，所以或，解得或，即a的取值范圍是.故選：D.25．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知三條直線為，則下列結(jié)論中正確的一個是（

）A．三條直線的傾斜角之和為B．三條直線在y軸上的截距滿足C．三條直線的傾斜角滿足D．三條直線在x軸上的截距之和為．【答案】C【分析】根據(jù)直線方程的斜率、傾斜角、截距的概念逐項判斷即可.【詳解】設(shè)三條直線的傾斜角，且則，所以所以，且為銳角，所以三條直線的傾斜角之和大于，故A不正確；對于直線，令，得縱截距，同理，所以，故B不正確；由于，且為銳角，所以，由，故，故C正確；直線在x軸上的截距分別為，截距之和為，故D不正確.故選：C.26．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知入射光線所在直線的方程為，經(jīng)x軸反射，那么反射光線所在直線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求入射光線所在直線與軸、軸分別交于點，根據(jù)對稱性得到反射光線比經(jīng)過點和點關(guān)于軸的對稱點，進(jìn)而求得反射光線的方程.【詳解】由直線，令，可得；令，可得，即入射光線所在直線與軸、軸分別交于點,如圖所示，根據(jù)對稱性，反射光線比經(jīng)過點和點關(guān)于軸的對稱點，所以反射光線所在直線的斜率為，所以反射光線所在直線的方程為.故選：B.

27．（2023秋·廣西南寧·高二南寧二中?？奸_學(xué)考試）已知直線，若直線與連接、兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出直線所過定點的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合可求出直線的斜率的取值范圍，即可得出直線的傾斜角的取值范圍.【詳解】直線的方程可化為，由，可得，所以，直線過定點，設(shè)直線的斜率為，直線的傾斜角為，則，因為直線的斜率為，直線的斜率為，因為直線經(jīng)過點，且與線段總有公共點，所以，即，因為，所以或，故直線的傾斜角的取值范圍是．故選：D．二、多選題28．（2023秋·湖南長沙·高二?？奸_學(xué)考試）關(guān)于直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．傾斜角為 B．斜率為C．在y軸上的截距為 D．在x軸上的截距為【答案】BD【分析】將直線一般式轉(zhuǎn)化為斜截式，即可根據(jù)選項逐一求解.【詳解】直線，即，所以直線的斜率為，傾斜角為，在y軸上的截距為，故A錯誤，B正確，C錯誤，令，得，所以直線在x軸上的截距為，故D正確.故選：BD.29．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）下列說法正確的是（

）A．過點并且傾斜角為90°的直線方程為B．過點且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為C．經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程為D．過兩點的直線的方程為【答案】AD【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系，結(jié)合截距的定義、直線的兩點式方程進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】A：直線的傾斜角為90°，所以該直線與橫軸垂直，所以直線方程為，故本選項正確；B：當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上截距都為零時，方程設(shè)為，過點，所以有，所以本選項不正確；C：當(dāng)直線的傾斜角為90°時，沒有意義，所以本選項不正確；D：直線過兩點，所以有，因此本選項正確，故選：AD30．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）下列說法正確的是（

）A．直線的傾斜角為120°B．經(jīng)過點，且在x，y軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為C．直線l：恒過定點D．已知直線l過點，且與x，y軸正半軸交于點A?B兩點，則△AOB面積的最小值為4【答案】ACD【分析】對于A：先求斜率，進(jìn)而可得傾斜角；對于C：整理得，令，運(yùn)算求解即可；對于B、D：設(shè)直線l：，進(jìn)而可得截距，根據(jù)題意結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】對于選項A：直線的斜率，傾斜角為120°，故A正確；對于選項C：因為，整理得，令，解得，所以直線l恒過定點，故C正確；對于選項B、D：可知直線l的斜率存在，設(shè)為，則直線l：，令，解得，即直線l在y軸上的截距為；令，解得，即直線l在x軸上的截距為；對于B：若在x，y軸上截距互為相反數(shù)，則，解得或，所以直線方程為或，故B錯誤；對于D：直線l與x，y軸正半軸交于點A?B兩點，則，可知，可得面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以△AOB面積的最小值為4，故D正確；故選：ACD.31．（2023秋·江蘇南京·高二南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說法錯誤的是（

）A．過點且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為B．直線必過定點C．經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程為D．過兩點的所有直線的方程為【答案】AC【分析】根據(jù)直線過原點時，滿足題意，可判定A錯誤；根據(jù)直線系方程過定點，可判定B正確；根據(jù)時，此時直線的斜率不存在，可判定C錯誤；根據(jù)直線的方程，分類討論，可判定D正確.【詳解】對于A中：當(dāng)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且等于時，直線過原點，可設(shè)直線方程為，又直線過點，則，即，此時直線方程為，滿足題意，所以A錯誤；對于B中：直線可化為，由方程組，解得，即直線必過定點，所以B正確；對于C中，當(dāng)傾斜角時，此時直線的斜率不存在，無意義，所以C錯誤；對于D中，由兩點，當(dāng)時，此時過兩點的所有直線的方程為，即，當(dāng)時，此時過兩點的所有直線的方程為或，適合上式，所以過兩點的所有直線的方程為，所以D正確.故選：AC.32．（2022秋·河北邯鄲·高二?？茧A段練習(xí)）已知的三個頂點、、，則下列說法正確的是（

）A．直線的斜率為B．直線的傾斜角為銳角C．邊的中點坐標(biāo)為D．邊上的中線所在的直線方程為【答案】CD【分析】利用直線的斜率公式可判斷A選項；利用直線斜率與傾斜角的關(guān)系可判斷B選項；利用中點坐標(biāo)可判斷C選項；利用直線的兩點式方程可判斷D選項．【詳解】對于A，直線AC的斜率為，故A錯誤；對于B，直線AB的斜率為，所以直線AB的傾斜角為鈍角，故B錯誤；對于C，設(shè)BC邊的中點為，則，即點，故C正確；對于D，BC邊上的中線AD所在的直線方程為，整理得，故D正確．故選：CD．33．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線，其中為實常數(shù)，則（

）A．直線過一定點B．無論m取何值，直線不經(jīng)過原點C．當(dāng)時，直線與軸交于它的負(fù)半軸D．當(dāng)時，直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是【答案】ABD【分析】根據(jù)直線的方程逐項進(jìn)行分析即可求解.【詳解】對于，因為直線的方程為，令，解得：，所以直線過定點，故選項正確；對于，若直線l經(jīng)過原點，則，所以無論m取何值，直線不經(jīng)過原點，故選項正確；對于，令可得：，當(dāng)時，，直線與軸交于負(fù)半軸；當(dāng)時，直線與軸沒有交點；當(dāng)時，直線與軸交于正半軸，故選項錯誤；對于，當(dāng)時，直線的方程為：，與兩坐標(biāo)軸的交點分別為，所以直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是，故選項正確，故選：.三、填空題34．（2023秋·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，若的平分線方程為，則所在的直線方程為．【答案】【分析】先求得直線與直線的交點，然后利用角平分線定理求得點坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線的方程.【詳解】，直線的方程為，由解得，設(shè)，依題意，的平分線為直線，由正弦定理得，由于，由此整理得,則，設(shè)，則，整理得，解得或（舍去），則，，直線的方程為.故答案為：

35．（2023秋·山西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知直線經(jīng)過點，且，兩點到直線的距離相等，則直線的方程為.【答案】或【分析】根據(jù)直線與直線平行，過直線過線段的中點進(jìn)行分類討論，從而求得的方程.【詳解】直線的斜率為，所以過且平行于直線的直線方程為.線段的中點坐標(biāo)為，所以過與線段中點的直線的方程為.所以直線或符合題意.故答案為：或

36．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省臨安中學(xué)?？奸_學(xué)考試）是直線上的第一象限內(nèi)的一點，為定點，直線AB交x軸正半軸于點C，當(dāng)面積最小時，點的坐標(biāo)是.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出點的坐標(biāo)，并表示出點的橫坐標(biāo)，再列出三角形面積的關(guān)系式，利用均值不等式求解作答.【詳解】依題意，設(shè)，，則，而，則有，顯然，于是，由點在x軸正半軸上，得，面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)面積最小時，點的坐標(biāo)是.故答案為：

37．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線過定點A，直線過定點，與相交于點，則．【答案】13【分析】根據(jù)題意求點的坐標(biāo)，再結(jié)合垂直關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】對于直線，即，令，則，則，可得直線過定點，對于直線，即，令，則，則，可得直線過定點，因為，則，即，所以.故答案為：13.

四、解答題38．（2023秋·高二課時練習(xí)）求下列直線的方程：(1)的傾斜角是，在軸上的截距是；(2)在軸、軸上的截距分別是、4；(3)直線經(jīng)過點、.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）由點斜式計算即可；（2）由斜截式計算即可；（3）由兩點式計算即可.【詳解】（1）因為在軸上的截距是，所以經(jīng)過點.又因為的斜率，所以由點斜式可得的