高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 核心素養(yǎng)提升練四十七 10.1 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 理（含解析）新人教A-新人教A高三數(shù)學(xué)試題

核心素養(yǎng)提升練四十七直線的傾斜角與斜率、直線的方程(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.設(shè)直線ax+by+c=0的傾斜角為α,且sinα+cosα=0,則a,b滿足()A.a+b=1 B.a-b=1C.a+b=0 D.a-b=0【解析】選D.因?yàn)閟inα+cosα=0,所以tanα=-1.又因?yàn)棣翞閮A斜角,所以斜率k=-1.而直線ax+by+c=0的斜率k=-,所以-=-1,即a-b=0.2.直線l過(guò)點(diǎn)P(1,0),且與以A(2,1),B(0,)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn),則直線l斜率的取值范圍為 ()A.[-,1] B.(-∞,-]∪[1,+∞)C.-,1 D.-∞,-∪[1,+∞)【解析】選B.因?yàn)閗AP==1,kBP==-,所以k的取值范圍是(-∞,-]∪[1,+∞).3.直線(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0過(guò)定點(diǎn) ()A.(1,-3) B.(4,3)C.(3,1) D.(2,3)【解析】選C.2mx+x+my+y-7m-4=0,即(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,由解得則直線過(guò)定點(diǎn)(3,1).4.(2018·蘭州模擬)若直線+=1(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)(1,1),則a+b的最小值等于 ()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選C.因?yàn)橹本€+=1(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)(1,1),所以+=1,所以1=+≥2=(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)),所以≥2.又a+b≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)),所以a+b≥4(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)).【一題多解】選C.因?yàn)橹本€+=1(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)(1,1),所以+=1,所以a+b=(a+b)=2++≥2+2=4.(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)).【變式備選】(2018·沈陽(yáng)模擬)若直線l:+=1(a>0,b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2),則直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值是________.

【解析】由直線l:+=1(a>0,b>0)可知直線在x軸上的截距為a,在y軸上的截距為b.求直線在x軸和y軸上的截距之和的最小值,即求a+b的最小值.由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)得+=1.于是a+b=(a+b)·+=3++,因?yàn)?≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號(hào),所以a+b≥3+2,故直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值為3+2.答案:3+25.(2018·張家口模擬)若直線mx+ny+3=0在y軸上的截距為-3,且它的傾斜角是直線x-y=3的傾斜角的2倍,則 ()A.m=-,n=1 B.m=-.n=-3C.m=,n=-3 D.m=,n=1【解析】選D.對(duì)于直線mx+ny+3=0,令x=0得y=-,即-=-3,n=1.因?yàn)閤-y=3的傾斜角為60°,直線mx+ny+3=0的傾斜角是直線x-y=3的2倍,所以直線mx+ny+3=0的傾斜角為120°,即-=-,m=.6.如果AC<0,且BC<0,那么直線Ax+By+C=0不通過(guò) ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選C.由題意知,A,B同號(hào),所以直線Ax+By+C=0的斜率k=-<0,在y軸上的截距為->0,所以,直線不通過(guò)第三象限.7.已知A(1,2),B(2,11),若直線y=m-x+1(m≠0)與線段AB相交,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A.[-2,0)∪[3,+∞)B.(-∞,-1]∪(0,6]C.[-2,-1]∪[3,6]D.[-2,0)∪(0,6]【解析】選C.由已知,A(1,2),B(2,11)兩點(diǎn)分布在直線y=m-x+1(m≠0)的兩側(cè)(或其中一點(diǎn)在直線上),所以m--2+12m--11+1≤0,解得-2≤m≤-1或3≤m≤6.二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2018·濰坊模擬)直線l過(guò)點(diǎn)(-2,2)且與x軸,y軸分別交于點(diǎn)(a,0),(0,b),若|a|=|b|,則直線l的方程為_(kāi)_______.

【解析】若a=b=0,則l過(guò)點(diǎn)(0,0)與(-2,2),l斜率k=-1,l方程為y=-x,即x+y=0.若a≠0,b≠0,則直線l的方程為+=1,由已知得解得此時(shí),直線l的方程為x-y+4=0.答案:x+y=0或x-y+4=0【變式備選】過(guò)點(diǎn)(2,-3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為_(kāi)_______.

【解析】若直線過(guò)原點(diǎn),則方程為3x+2y=0;若直線不過(guò)原點(diǎn),則斜率為1,方程為y+3=x-2,即為x-y-5=0,故所求直線方程為3x+2y=0或x-y-5=0.答案:3x+2y=0或x-y-5=09.一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-),并且它的傾斜角等于直線y=x的傾斜角的2倍,則這條直線的一般式方程是________.

【解析】因?yàn)橹本€y=x的傾斜角為30°,所以所求直線的傾斜角為60°,即斜率k=tan60°=.又該直線過(guò)點(diǎn)A(2,-),故所求直線為y-(-)=(x-2),即x-y-3=0.答案:x-y-3=010.如圖,射線OA,OB分別與x軸正半軸成45°和30°角,過(guò)點(diǎn)P(1,0)作直線AB分別交OA,OB于A,B兩點(diǎn),當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線y=x上時(shí),直線AB的方程為_(kāi)_______.

【解析】由題意可得kOA=tan45°=1,kOB=tan(180°-30°)=-,所以直線lOA:y=x,lOB:y=-x.設(shè)A(m,m),B(-n,n),所以AB的中點(diǎn)C,由點(diǎn)C在直線y=x上,且A,P,B三點(diǎn)共線得解得m=,所以A(,).又P(1,0),所以kAB=kAP==,所以lAB:y=(x-1),即直線AB的方程為(3+)x-2y-3-=0.答案:(3+)x-2y-3-=0(20分鐘40分)1.(5分)過(guò)點(diǎn)A(-1,-3),斜率是直線y=3x的斜率的-的直線方程為 ()A.3x+4y+15=0 B.4x+3y+6=0C.3x+y+6=0 D.3x-4y+10=0【解析】選A.設(shè)所求直線的斜率為k,由已知k=-×3=-.又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,-3),所以所求直線方程為y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.2.(5分)直線l經(jīng)過(guò)A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)兩點(diǎn),則直線l的傾斜角α的取值范圍是 ()A. B.C. D.【解析】選C.直線l的斜率k=tanα==1+m2≥1,所以≤α<.3.(5分)(2018·岳陽(yáng)模擬)已知?jiǎng)又本€l0:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒過(guò)點(diǎn)P(1,m),且Q(4,0)到動(dòng)直線l0的最大距離為3,則+的最小值為_(kāi)_______.

【解析】因?yàn)閯?dòng)直線l0:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒過(guò)點(diǎn)P(1,m),所以a+bm+c-2=0.又Q(4,0)到動(dòng)直線l0的最大距離為3,所以=3,解得m=0,所以a+c=2.又a>0,c>0,所以+=(a+c)(+)=≥·(+2)=,當(dāng)且僅當(dāng)c=2a=時(shí)等號(hào)成立.答案:4.(12分)求過(guò)點(diǎn)A(1,-1)與已知直線l1:2x+y-6=0相交于B點(diǎn),且|AB|=5的直線方程. 【解析】過(guò)點(diǎn)A(1,-1)與y軸平行的直線為x=1.解方程組得B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),此時(shí)|AB|=5,即x=1為所求.設(shè)過(guò)點(diǎn)A(1,-1)且與y軸不平行的直線為y+1=k(x-1),解方程組得(k≠-2,否則與已知直線平行),所以?xún)芍本€交點(diǎn)B的坐標(biāo)為.由已知+=52,解得k=-,所以y+1=-(x-1),即3x+4y+1=0.綜上可知,所求直線的方程為x=1或3x+4y+1=0.5.(13分)(2018·太原模擬)已知兩點(diǎn)A(-1,2),B(m,3). (1)求直線AB的方程.(2)已知實(shí)