2022-2023學(xué)年四川省成都市蓉城高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）（含解析）

2022-2023學(xué)年四川省成都市蓉城名校高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

（文科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.L知集合2={x|迨<0},B={x\y=log3x},則4nB=()

A.（0,3）B.（-2,3）C.（-2,0）D.（-2,+8）

2.成都大運(yùn)會(huì)某志愿者服務(wù)小隊(duì)由四川大學(xué)25名學(xué)生和電子科技大學(xué)15名學(xué)生組成，現(xiàn)用

分層抽樣的方法從上述所有學(xué)生中抽取16名學(xué)生進(jìn)行應(yīng)急知識(shí)檢測(cè)，則從四川大學(xué)學(xué)生中抽

取的人數(shù)為（）

A.10B.6C.5D.3

3.設(shè)x,yeR,則“x=—y”是“/-y2一久一丫二?！钡模ǎ?/p>

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.已知等邊三角形2BC的邊長(zhǎng)為a,則同?前+前?前的值為（）

A.—a2B.a2C.0D.V-3a2

5.已知函數(shù)/（久）=靖（/+1）在點(diǎn)力處的切線方程為y=a久+1,貝Ua的值為（）

A.—1B.—e0.1D.e

6.已知正實(shí)數(shù)小，n,滿足zn+n=l,則下列不等式中錯(cuò)誤的是（）

]

2

A.mn<-4B.27n2+2n>1C.m(n+1)<1D.y/~m+y/~n<1

'2x—y>0,

7.若x,y滿足約束條件％+2y-5N0,貝Uz=/+y2的最大值是()

3x+y-10<0,

A.5B.10C.2底D.20

8.已知函數(shù)〃久)=段；W'：三°,則"-2))=()

A.4B.8C.16D.32

9.己知函數(shù)y=/（x）的大致圖象如圖所示，則/（x）的解析式可能？

為（）\玳

3

2

1

14

2

3

-1

C./(%)="+/

1

D./(x)=%+3

1

10.設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P(2,0)的動(dòng)直線1與拋物線C：y2=2%交于不同的兩點(diǎn)M,N,點(diǎn)。是直線x=2-

上的一動(dòng)點(diǎn)，則4時(shí)。%為()

A.銳角B.直角C.鈍角D.以上均可能

11.在三棱錐P—48C中，P21底面ABC,AB=2,AC=AP,BC1CA,若三棱錐P—ABC

外接球的表面積為5兀，則BC=()

A.1B.C.cD.v-5

12.已知雙曲線C：攝一，=l(a>0,6>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F2,右支上一點(diǎn)P到雙

曲線C的兩條漸近線的距離分別為心，d2,若=16d"2,則雙曲線C的漸近線方程為()

A.y=±2%B.y=+V-3%C.y=±y/~2xD.y=±x

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.若復(fù)數(shù)z=a+€R)滿足z(l—i)=3則￡=.

14.函數(shù)y=」"的單調(diào)遞減區(qū)間為.

X

__2

15.己知直線工+my—4=0與離心率為一2的雙曲線C：a一必=1的一條漸近線平行，則

山所有可能取的值之和為.

16.已知f⑺=j2’若關(guān)于久的方程產(chǎn)⑴+(t-2)/(x)-2t=0有五個(gè)相異

的實(shí)數(shù)根，貝狂的取值范圍是.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

1

%3

設(shè)支「％2(%1<*2)是函數(shù)f(久)3-+皿2—3x+l的兩個(gè)極值點(diǎn)，且空=今

Xi%25

(1)求m的值；

(2)求“X)在區(qū)間［0,3］上的值域.

18.(本小題12.0分)

第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2023年7月28日?8月8日在成都市舉行，全民運(yùn)動(dòng)成為新

風(fēng)尚.某體育用品店統(tǒng)計(jì)了2023年1?5月份運(yùn)動(dòng)器材銷量y（單位：千套）與售價(jià)雙單位：元）的

情況，如表所示：

月份12345

器材售價(jià)雙元）10090807060

銷量y（千套）57.58910.5

（1）求（和％）（i=1,2,3,…,n）的相關(guān)系數(shù)r,并判斷銷量y與售價(jià)x是否有很強(qiáng)的線性相關(guān)性？（

當(dāng)|r|￡[0.75,1]時(shí)，可以認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；否則，沒有很強(qiáng)的線性相關(guān)性）（

精確到0.001）；

（2）請(qǐng)建立y關(guān)于x的線性回歸方程（精確到0.001）,并估計(jì)當(dāng)該器材的售價(jià)為50元時(shí)銷量為多

少千套？

￡之式陽一%）（%一丫）

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（久"%）。=1,2,3,…,①，相關(guān)系數(shù)「=/一二2/一￡，其

JE之i3-x）J必

回歸直線,。的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

=bx+b=必（存猿'a=y-bx'

參考數(shù)據(jù)：V16500~128.452.

19.（本小題12.0分）

在四棱錐Q—4BCD中，底面4BCD是矩形，若AD=QD=Q力=2,CD=1,QC=屋.

（1）證明：平面QAD1平面力BCD；

（2）若E,F分別是QC,QD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段EF上移動(dòng)，求三棱錐4-PBC的體積.

20.（本小題12.0分）

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：今+，=l（a>6>0）的右頂點(diǎn)為4,上頂點(diǎn)為B,

△40B的面積為，無，離心率e=詈.

（1）求橢圓C的方程;

(2)若斜率為k的直線/與圓/+y2=1相切，且/與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)|MN|的取

值范圍為停,2/%,求斜率k的取值范圍.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(%)=ax—sinx,g(%)=x2—alnx,aeR.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，證明：時(shí)，》0恒成立；

(2)若g(%)在(l,g(l))處的切線與y=-%+1垂直，求函數(shù)g(%)在區(qū)間住,2］上的值域；

(3)若方程f(%)+sinx=仇%有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

22.(本小題10.0分)

在直角坐標(biāo)系KOy中，圓c的參數(shù)方程為2rse，(0為參數(shù))，直線I的參數(shù)方程為

(y—urtu

X=1+-1,

4(t為參數(shù))?

y=~t

(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，》軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓C的極坐標(biāo)方程；

(2)若點(diǎn)P(l,0),直線/與圓C相交于4B兩點(diǎn),求|P*?|PB|的值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】M：A-(x\-2<x<3],B={x\x>0),

AC\B=(0,3).

故選：A.

可根據(jù)分式不等式的解法求出集合a,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求出集合8,然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即

可.

本題考查了分式不等式的解法，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，交集的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：都大運(yùn)會(huì)某志愿者服務(wù)小隊(duì)由四川大學(xué)25名學(xué)生和電子科技大學(xué)15名學(xué)生組成，

則四川大學(xué)和電子科技大學(xué)學(xué)生人數(shù)之比為25：15=5：3,

現(xiàn)用分層抽樣的方法從上述所有學(xué)生中抽取16名學(xué)生進(jìn)行應(yīng)急知識(shí)檢測(cè)，

故從四川大學(xué)學(xué)生中抽取的人數(shù)為16x|=10.

O

故選：A.

根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的定義，即可求解.

本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：由廣一y2一%一y=?？傻?久+y)(x-y-1)=0,

x+y—?；颍ァ獃—1=0,ax=—y"是-y2—%—y=0,;的充分不必要條件.

故選：B.

x2-y2-x—y=0可得(x+y)(x—y—1)=0,由此可判斷.

本題考查充分必要條件，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解法一：AB-AC+AC-BC^AC■(AB+BC)=AC-ACa2.

解法二：?.?等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,

>>>>>>>>1rler

???ylS?4C+4C-BC=|4B||XC|cosX+\AC\\BC\cosC=1a2+ja2=a2.

故選：B.

由平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算可得.

本題考查平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：由/'(久)=ex(x2+1),得/7(%)=ex(x2+2x+1),

???1(0)=e°(02+2x0+1)=1,

又((0)=1,.?.函數(shù)/(x)=ex(x2+1)在點(diǎn)4(0,/(0))處的切線方程為y=x+1,

???函數(shù)f(久)=ex(x2+1)在點(diǎn)4(0,f(0))處的切線方程為y=ax+1,

??.a的值為1.

故選：C.

利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f(x)=ex(x2+1)在點(diǎn)4(0,/(。))處的切線方程，結(jié)合己知可得a的值.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：對(duì)于4???mn<(^)2=p當(dāng)且僅當(dāng)m=n=:時(shí)取等號(hào)，選項(xiàng)A正確,

對(duì)于B,?.△=曰<恒逶，

22-72

m2+n2>BP2m2+2n2>1,當(dāng)且僅當(dāng)zn=九=g時(shí)取等號(hào)，選項(xiàng)8正確，

對(duì)于C,0<m,n<1,

則=m<n,

m(n+1)<m+n=1,選項(xiàng)C正確,

對(duì)于D,...丐Ow=

則d玉W。，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=3時(shí)取等號(hào)，選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：D.

用基本不等式逐項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可求解.

本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：作出可行域如下圖陰影部分所示,

Z=/+y2表示(x,y)到原點(diǎn)距離的平方，

由圖象可知，z的最大值為。42=22+42=20.

故選：D.

作出可行域，結(jié)合圖象即可得到答案.

本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：由題意得汽-2)=/(0)=f(2)=4,/(4)=24=16,

故選：C.

由己知函數(shù)解析式先求出/(-2)=4,進(jìn)而可求.

本題主要考查了函數(shù)值的求解，屬于基礎(chǔ)題.

9【答案】A

【解析】解：由題意，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即函數(shù)y=/(%)為偶函數(shù)，排除B、D,

選項(xiàng)C：由/(久)=/+1可得/⑺=2%-^=2(1)喟)。2+1),

當(dāng)久>1或—1<久<0時(shí)，f'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x<—1或0<x<1時(shí)，f'(x)<0,函數(shù)

單調(diào)遞減，

易得函數(shù)的極小值點(diǎn)為-1和1,與圖象不符，排除C.

故選：A.

由已知結(jié)合函數(shù)的奇偶性及極值點(diǎn)檢驗(yàn)選項(xiàng)即可判斷.

本題主要考查了由函數(shù)圖象檢驗(yàn)函數(shù)的解析式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】A

1

【解析】解:設(shè)&x=ky+2,N（%2，y2），。（一天。，

2

與拋物線聯(lián)立可得：y-2ky-4=0,則yi+y2=2/c,yry2=-4,

DM-DN=(Xr+-)(x2+5)+(yt-t)(y2-0

9

rS1r2+>o

=*2+1)%、2+(2卜一0(71+%)+6+a+/(fc-4-

NMDN為銳角.

故選：A.

設(shè)心x=ky+2,M（久i，y］），NO2,月），。（一2j），計(jì)算可得麗?麗〉0，可得結(jié)論.

本題考查拋物線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題.

11.【答案】C

【解析】解：P2J■底面2BC,BCu底面4BC,

???BC1PA,又?：BC1CA,CACiPA=A,

BCX^PAC,；PB是Rt△PBC^RtAPB力的公共斜邊，

???PB是三棱錐的外接球直徑，由S=4TTR2=5兀今R=號(hào)，

設(shè)AC=AP^m,貝！JPB=2R=Vm2+4=y/~5,

則HI=1,BC=V4-1=y/~3.

故選：C.

由已知可得PB是三棱錐的外接球直徑，可得PB,設(shè)2C=AP=M,進(jìn)而可得＜加2+1=，虧,

進(jìn)而可求BC.

本題考查空間幾何體的外接球問題，屬中檔題.

12.【答案】D

【解析】解：設(shè)Pgyo），則為一色=1,可得排垢=。2爐,

ab

漸近線方程為y=±?x,n\ibx±ay=O.

1法0一*_|bxo-ayo|,\bx0+ayQ\\bx0+ay0\

,d2=1--------

???|F/2『=16(1^2,

\b2xl-a2yl\_a2b2_4c2_c2

"電電-一言一記一了

可得c。=4a2b2,即c2=2ab=a2+b2,

■■■(a—6)2=0,得a=b.

???雙曲線C的漸近線方程為y=±x.

故選：D.

設(shè)PQo，yo)，代入雙曲線方程可得爐詔-。2據(jù)=a2b2,再由點(diǎn)到直線的距離公式寫出d2,結(jié)

合|&尸2『=16d]d2,求得a=b,則雙曲線C的漸近線方程可求.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

13.【答案】-1

【解析】解：復(fù)數(shù)z=a+bt(a,beR)滿足z(l-i)=i,

人」Z-占一~~2+2l)

故a=—I，b=：,

貝哈=?=一1?

故答案為：-1.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】(0,+8)

【解析】解：y=|-lnx(x>0),

令y'=—\~~=—(~2+工)<0，

則單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8).

故答案為：(0,+8).

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞減區(qū)間即可.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.

15.【答案】0

【解析】解：由離心率為可得a=l,

則C：/一y2=1的漸近線為y=±x,

則小可能取的值為±1,和為0.

故答案為：0.

由雙曲線的離心率可求得a,進(jìn)而可得漸近線方程，可求小的值.

本題考查雙曲線的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

16.【答案】(一2,0)

【解析】解：/(?的圖象如圖所示，

VU\

fIP1x

以

由產(chǎn)(x)+(t-2)f(x)—2t=[f(%)-2][f(x)+t]=0,

可得/'(>)=2或/(x)=-t,

由圖象可知，/。)=2有兩個(gè)根，則/(x)=T有三個(gè)根，

則。<T<2,

解得—2<t<0.

故答案為：(—2,0).

根據(jù)題意可得/。)=2或/(X)=-3作出函數(shù)/(%)的圖象，由圖象觀察可知/(久)=2有兩個(gè)根,

則/■(久)=-t有三個(gè)根，由此可得0<-t<2,進(jìn)而得到答案.

本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)/(%)=1%3+mx2—3x+1,

/'(%)=x2+2mx—3,

1

X3

/，%2(%1<%2)是函數(shù)/(%)3-+mx2-3%+1的兩個(gè)極值點(diǎn),

X],冷是方程((%)=/+2mx-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

???汽1+%2=—2m,%1%2=-3,

%]+%2__2m?

3,解得m=1.

%1%2-—3

(2)/z(x)=x2+2x—3=(%+3)(%—1),

列表如下：

X0(0,1)1(1,3)3

<00>0

f。)1單調(diào)遞減極小值一1單調(diào)遞增10

???f(x)在區(qū)間［0,3］上的最大值為/⑶=10,最小值為/⑴=—|,

???/⑶在區(qū)間［0,3］上的值域?yàn)椋郇D

32

【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得/'(?,根據(jù)久1，x2(X1＜右)是函數(shù)/Q)=lx+mx-3x+

1的兩個(gè)極值點(diǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系及已知*=|,即可得出

(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(久)的單調(diào)性與極值及區(qū)間函數(shù)值即可得出結(jié)論.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值及最值、根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算

能力，屬于中檔題.

100+90+80+70+60門八—5+7.5+8+9+10.5

18.【答案】解:(1)%=-----------------------=80,y=--------------------=8o,

2

-x)(y；-y)=-125,S|L1(Xj-x)=1000,￡上式%—丫產(chǎn)=16.5,

-125-125

x-0.973

則丁—I-WI』VlOOOxVT^128.452

J￡ki8-x)2J￡仁i(y「y)2

???有很強(qiáng)的相關(guān)性;

a=y—bx=8—(—0.125)x80=18,

???y關(guān)于久的線性回歸方程為：y=-0,125%+18，

當(dāng)x=50時(shí)，y=-0.125x50+18=11.75.

【解析】(1)根據(jù)公式求出相關(guān)系數(shù)r，即可得出結(jié)論；

(2)利用最小二乘法求出回歸方程即可，再令x=50,即可得解.

本題考查了回歸方程的計(jì)算，屬于中檔題.

19.【答案】證明：（1）在AQC。中，QC=廢,CD=1,QD=2,

???QC2=QD2+CD2,

：.△QCD為直角三角形且CD1QD,

又底面A8CD是矩形，貝UCD1HD,

???QDQAD=D,二CDJ_平面Q2D,

又???CDu平面力BCD,平面Q4D1平面力BCD；

1

-X2X1

(2)解：S&ABC2

1

利用等體積法，VA-PBC=^P-ABC=2^Q-ABC,

1111

X4Xh-XXX

2-3-a2-3--

FC??

【解析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定定理，即可求證.

本題主要考查三棱錐體積的求解，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

￡_￡2

a2

20.【答案】解：（1）由題意可知：\SAAOB=業(yè)=4'可得Q=2,b=C=C，

=Va2—b2

???橢圓c的方程為：。+<=1;

42

（2）設(shè)直線［的方程為y=fcx+m,

因?yàn)橹本€/與圓％2+y2=i相切，且該圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為1,

I利_1

則得血2=好+1,

J攵+1

y=fcx+m

x2y2，得(2攵2+l)%2+4fcmx+2m2—4=0,

IT+T=1

4=16/c2m2-4(2/c2+1)(2*-4)=32fc2-8m2+16=32k2-8(fc2+1)+16=24/c2+8>0

恒成立，

4km

…2=一酒I

設(shè)則

W(x2,y2),27n24

產(chǎn)=許

22

所以=(kx：i+m)(kx2+m)=kx1x2+km(xr+x2)+m,

訴、TC2C2

lJ/---------2y------J24k2+8,-J(/+1)(3/+1).-

所以|MN|=Vl+k\xr-x2\=N1+12.M_-——=2尸7-------2-----------=2/7?

2k+12k+1

1-

???|MN|的取值范圍為修,2/7],

即名42yn,-i—<2c,

3J(2kZ+l)Z

整理可得5k4-4fc2-1<0,又因?yàn)椴?>0,所以0<fc2<1,解得一1<k<l,

k的取值范圍為[一1,1].

【解析】(1)根據(jù)已知條件可得出關(guān)于a、氏c的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓C的

方程；

(2)設(shè)直線1的方程為y=kx+m,利用直線與圓相切可得出爪2=卜2+i,然后將直線’的方程與橢

圓C的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式以及已知條件可得出關(guān)于k的不等式，即可解得k的

取值范圍.

本題考查直線與橢圓的綜合問題，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)證明：已知/'(x)=ax-s出x,函數(shù)定義域?yàn)镽,

當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x—sinx,

可得/''(x)=1—cosx>0,

所以函數(shù)/(%)在[0,+8)單調(diào)遞增，

此時(shí)f(x)》f(0)=0,

故無>0時(shí),/(x)>0恒成立；

(2)已知g(x)