數學概念課的教學 論文

數學概念課的教學【摘要】以函數與方程為例，闡述概念課教學中踐行數學抽象素養(yǎng)，通過問題情境的創(chuàng)設和問題串的設計，特殊到一般的教學策略是培養(yǎng)數學抽象素養(yǎng)的一個重要途徑?！娟P鍵字】數學抽象數學核心素養(yǎng)問題情境問題串在新一輪的課改中提出六大數學核心素養(yǎng)，其中包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析。數學核心素養(yǎng)是對學生進行數學的思維和語言的教育，即通過數學的閱讀、運算、推理、和表達的訓練，使學生正確理解數學知識，形成用數學知識合理解釋直至創(chuàng)造性解決問題的能力。［1］“數學抽象”貫穿于數學的產生與發(fā)展，是數學的核心素養(yǎng)。所謂數學抽象，是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養(yǎng).主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念以及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構，并用數學語言予以表征。“數學抽象”素養(yǎng)的達成有其自身的特點：階段性與連續(xù)性、漸進性與遷移性、關聯性與層次性、動態(tài)性與階梯性。“數學抽象”素養(yǎng)培養(yǎng)的策略：同一教學內容，根據學生不同的認知風格，提供多樣化探究素材的教學策略；在不同的學習階段，讓“數學抽象”螺旋上升的教學策略；核心內容學習中讓學生高效參與的教學策略；探究成為學生學習常態(tài)的教學策略。而數學本質上是抽象的，用數學屬性來描述客觀事物，數學抽象是數學的基本思想，貫穿在整個數學發(fā)展歷史中，可見其地位的重要性。下面以函數與方程（第1課時）的教學片斷的設計為例，談談如何在概念課教學中落實數學抽象這一數學核心素養(yǎng)。x/hy/℃一、“x/hy/℃教學片斷一：函數的零點概念的引入下列函數中，x取何值時，函數值為0（1）y=x-1（2）y=x2-2x-3（3）y=ex-4（4）y=f(x)(右圖所示)問題1：怎么求出這些值的？函數值為0的x值與方程的關系？問題2：這個函數對應的方程可以求解嗎？函數值為0的x值與圖像的關系？問題3：這些值對應的函數值為0，都是函數的部分特征，為了研究方便，我們把它稱為函數的零點。問題4：那什么是函數的零點？（板書概念）一般地，我們把使函數y＝f(x)的值為0的實數x稱為函數y＝f(x)的零點.問題5：零點是不是點？問題6：求上述函數的零點.問題7：你能求解函數y=x3-2x-4的零點嗎？通過不同類別的函數，讓學生自己抽象出函數零點的概念，讓學生知道函數、方程與圖像之間的關系，很多的時候是可以相互轉化的，而方程的根與函數的零點只是函數的圖像的一些特殊點對應的橫坐標。而數學概念的形成需要從大量的實際例子出發(fā)，經過比較、分類從中找到一類事物的本質屬性，然后再通過具體的例子對所發(fā)現的屬性進行檢驗與修正，最后通過概括得到數學概念的定義。教學片斷二：零點存在性定理的引入問題情境：觀察下圖，這是學校某班級教室的一天氣溫變化圖，由于圖像中有一段不小心被擦掉，那請你把圖像補充完整問題1：它有無出現0℃？為什么？問題2：你畫出的圖像上可能出現幾次0℃？讓學生自己自己畫圖，并展示部分學生的作品問題3：函數y=f(x)滿足什么條件，在(a,b)上有零點？（并讓學生說出概念，其他同學補充）知識源于生活而又高于生活。因此，結合這一類知識的教學教師可以采用鏈接生活的方式，以具體的生活實例為切入點激活學生的體驗引導學生們經歷知識的形成過程，并通過感受具體的生活實例從中抽象出相關的數學知識，從而更真切的體會數學的應用價值，進而有效地提高學生們的抽象能力。以看似簡單的一個問題，卻從直觀上揭示問題的本質，在學生缺乏高等數學知識的前提下，為學生提供了有力條件，為學生充分理解這個抽象的判定方法提供有利條件，讓學生自己動手，讓學生在實踐中總結經驗，同時問題帶有一定的開放性，留有學生想象的空間，同樣也留有深度，為什么會出現這樣的情況，觸發(fā)學生的思考，并最終抽象出數學概念。同時通過特殊到一般，引導學生對于抽象出的一般形式如何解決，并引導學生從數形結合的這一方面來考慮問題，從問題直觀到數學抽象，形成數學的思維習慣。教學片斷三：概念辨析引入概念：函數零點的存在性定理一般地，若函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，則函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點.問題1：“不間斷”能否去掉?（讓學生畫圖舉反例）問題2：區(qū)間[a,b]能否改為(a,b)?（讓學生畫圖舉反例）問題3：若函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點.是否有f(a)·f(b)<0？（讓學生畫圖舉反例）問題4：關鍵字有哪些？①[a，b]的圖象不間斷②f(a)·f(b)<0設計意圖：通過學生畫圖的形式來舉反例說明，進行概念辨析，讓學生之間相互交流，展示各自的作品，并深刻理解概念，而理解數學概念的內涵和外延要從內涵與外延兩個方面考慮：明確函數的內涵；第一，明確包含在定義中關鍵詞語的意義，第二，對概念中的有些詞語作必要的概括。明確概念的外延；第一，概念的例子和概念屬性的例子。第二，構建概念體系。在數學抽象核心素養(yǎng)的形成過程中，積累從具體到抽象的活動經驗。學生能更好地理解數學概念、命題、方法和體系，能通過抽象、概括去認識、理解、把握事物的數學本質，能逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習慣，概念辨析就是培養(yǎng)學生邏輯推理，為什么定理需要諸多的條件限制，是多余，還是必須，同時理解了定理所蘊含的思想方法。二、實踐“數學抽象”的教學感悟數學核心素養(yǎng)離不開數學的學習、應用、創(chuàng)新，綜合體現“用數學眼光觀察世界，用數學思維分析世界，用數學語言表達世界”［2］要把落實數學核心素養(yǎng)的數學抽象的培養(yǎng)任務要體現在課堂上，怎么體現？其實課堂之中時時可探究，事事可探究，關鍵要讓學生的思維動起來，讓學生親身經歷解決經歷一些問題的抽象思維過程。問題解決作為一切數學活動的組成部分，成為數學課程的核心，數學課程目標中，特別強調發(fā)展學生發(fā)現、提出問題與分析問題的能力，所以基于數學核心素養(yǎng)的教學中也是關鍵。所以數學課堂應當圍繞問題解決來組織。問題情境的創(chuàng)設創(chuàng)設合理的問題情境能激發(fā)學生的興趣，更能引導學生的思考。概念教學需要大量的實際例子，能從共性中抽象出數學概念出來，其實每一類函數的內涵、外延和數量屬性都是由學生抽象出來，在這其中其實就培養(yǎng)了學生數學抽象能力。培養(yǎng)學生的數學抽象能力，就是通過問題情境的形式讓學生在問題中發(fā)現問題、抽象出數學概念，繼而解決問題。問題串的設計問題串能引導課堂教學，能引發(fā)學生的思考。以問題串的形式，將學生的思維過程層層解構，通過實際的問題情境，逐步深入，通過學生觀察、分析，再用自己的語言來總結函數零點存在性定理的概念，問題串的設計要讓學生有可操作性；讓學生知道想什么，怎么去想，想到什么程度。所以應該讓學生發(fā)揮他們的想象，充分相信學生，學生動起來，這樣的課堂才能有生成，同時更加有活力。在集合教學教學中處處體現出數學抽象，教科書除了介紹集合的基本知識，還特別注意指引學生“如何研究一個數學對象”，即引入一個新的數學對象后，需要研究些什么，研究方法是什么等。集合的研究方法，主要是“類比”，類比的對象是學生非常熟悉的“數”，遵循數的研究路徑：定義—關系—運算，就獲得了集合需要研究的內容：關系和運算。通過提出引導性的問題，指引學生發(fā)現和提出研究問題；通過設置觀察欄目，指引學生類比數的大小關系和運算，聯想集合的基本關系和運算．由此，讓學生在運用數學思維方法，如概括、類比、聯想等的過程中，提高數學思維能力，初步掌握數學研究方法。集合語言是數學的基本語言，它能簡潔、準確地表述數學的研究對象，表達和交流數學問題。掌握語言的最好的方法就是使用，因此，教科書在本章分三個層次安排集合語言的使用：一是讀懂問題中的集合概念和符號；二是在處理問題時，根據需要，運用集合語言進行表述；三是創(chuàng)設情境，根據情境需求進行三種語言（自然語言、圖形語言、符號語言）的轉換。通過這樣進階式的安排，讓學生逐漸熟悉集合語言的抽象性，積累數學抽象的經驗，從而提升數學抽象素養(yǎng)；在教學中，也建議教師多選取一些例子，創(chuàng)設使用語言的情境，同時讓學生自己舉些例子，互相表