2022-2023學(xué)年四川省成都市蓉城聯(lián)盟高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）（含解析）

2022-2023學(xué)年四川省成都市蓉城聯(lián)盟高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

（文科）

一、單選題（本大題共11小題，共55.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合4={%|—2cxe2},B={x\x>A/--3)?則4n8=()

A.(-2,2)B.(-2,<3)C.(<3,2)D.(-2,+8)

2.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)二等于（）

A.1+iB.1—iC.-1+iD.-1-i

3.已知函數(shù)/'(%)=j若f(x)=8,則x=()

A.-3B.-2C.3D.3或一2

x>0,

4.已知％,y滿足約束條件>—y—lW0,則目標(biāo)函數(shù)z=-2x+y的最小值為()

X+y-1<0,

A.-4B.-2C.—1D.1

5.在區(qū)間［-2,5］上隨機(jī)地抽取一個實數(shù)x,則%滿足/<4的概率為（）

A.|B.|C.D.|

6.若雙曲線的漸近線方程為y=±3》，實軸長為2a=2,且焦點在x軸上，則該雙曲線的標(biāo)

準(zhǔn)方程為（）

A.%2—y=1或5—X2=1B.y—X2=1

C.x2T=iD.gy2=i

7.設(shè)a,0為不同的平面，m,兀為不同的直線，n1a,n1/?,則"m_La"是"mL0"

的()

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

8.函數(shù)/（x）=x+sinx在R上是（）

A.偶函數(shù)、增函數(shù)B.奇函數(shù)、減函數(shù)C.偶函數(shù)、減函數(shù)D.奇函數(shù)、增函數(shù)

1

9.已知Q=o,b=e05,c=ln2,則（）

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

10.一次數(shù)學(xué)考試中，某班平均分為100分，方差為M,后來發(fā)現(xiàn)甲乙兩名同學(xué)的成績統(tǒng)計

有誤，甲同學(xué)的成績統(tǒng)計為102分，而實際成績應(yīng)該是107分；乙同學(xué)的成績統(tǒng)計為110分，

而實際成績?yōu)?05分，現(xiàn)重新統(tǒng)計計算，得到方差為N,則M與N的大小關(guān)系為()

A.M=NB.M>NC.M<ND.不能確定

11.在一個正三棱柱中，所有棱長都為2,各頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為()

AV~~2ITTD287r廠567rT-X7V21/r

A--B--C--D--a-

二、多選題(本大題共1小題，共5.0分。在每小題有多項符合題目要求)

12.若方程xlnx=a(x-1)恰有一個實數(shù)根，則實數(shù)a的值為()

A.eB.—eC.1D.—1

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知方=(2-k,3),K=(2,-6).a//b，則實數(shù)k=.

2

14.曲線/+y-2x-6y=0所圍成平面區(qū)域的面積為.

15.已知過原點的直線與曲線/'(x)=ex相切，則直線的斜率為.

16.已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為馬+馬=l(a>b>0),則橢圓上一點4(出必)

處的切線方程為整+得：=1.試運用該性質(zhì)解決以下問題：橢圓C：1+y2=i，點B為C在

第一象限中的任意一點，過點B作C的切線2,I分別與x軸和y軸的正半軸交于M,N兩點，則

△OMN面積的最小值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

1

已知函數(shù)/'(x)=-X3—ax2—3x.

(1)若f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線y=-4x+1平行，求實數(shù)a的值；

(2)當(dāng)a=1時,求函數(shù)〃%)的單調(diào)區(qū)間.

18.(本小題12.0分)

現(xiàn)在的高一年級學(xué)生將會是四川省首屆參加新高考的學(xué)生，高考招生計劃按歷史科目組合與

物理科目組合分別編制.為了了解某校高一學(xué)生的物理學(xué)習(xí)情況，在一次全年級物理測試后隨

機(jī)抽取了100名學(xué)生的物理成績,將成績分為[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),

[90,100]共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，記分?jǐn)?shù)低于60分為不及格.

(1)求直方圖中a的值，并估計本次物理測試的及格率；

(2)在樣本中，采取分層抽樣的方法從成績不及格的學(xué)生中抽取6名作試卷分析，再從這6名學(xué)

生中隨機(jī)抽取2名做面對面交流，求2名面對面交流學(xué)生的成績均來自［50,60)的概率.

19.(本小題12.0分)

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形4BCD為正方形，DEl^ABCD,DE//BF,AD=DE=2,

BF=1.

(1)證明：ACLEF-,

(2)求三棱錐尸-4EC的體積.

20.(本小題12.0分)

已知橢圓E：今+，=l(a>b>0)的離心率為?，且其中一個焦點與拋物線y2=8x的焦點

重合.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若直線&y=依+2與橢圓E交于不同的4B兩點，且滿足而?~OB=-1(。為坐標(biāo)原點)，

求弦長|/B|的值.

21.(本小題12.0分)

函數(shù)/(%)=(%—2)ex—ax2+2ax,aER.

(1)當(dāng)Q=0時，證明：/(%)4-e>0；

(2)若％=1是/(x)的一個極大值點，求實數(shù)a的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

已知曲線C的參數(shù)方程為X=1+QCOS6,(。為參數(shù))，直線1的傾斜角為a,且過點P(0,l).

y=1+v2sin9

(1)求曲線C的普通方程與直線，的參數(shù)方程;

(2)若直線I與曲線C交于4,B兩點，且焉+焉=，石，求直線，的傾斜角a.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：A=[x[—2<x<2),B={x\x>

則4nB={x[C<%<2}.

故選：C.

根據(jù)集合的交集運算求解.

本題主要考查了集合交集運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

22(l+t)2(l+t)?

【解析】解:-----------------------=----------=I

1-i(l-i)(l+i)2

故選：A.

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求值.

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎(chǔ)的計算題.

3.【答案】C

【解析】解：當(dāng)xWO時，/=8,解得x=2,不滿足要求，舍去;

當(dāng)x>0時，2才=8,解得x=3,滿足要求.

故選：C.

分xW0與久>0兩種情況，求出答案.

本題主要考查了函數(shù)值的求解，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分，

將z=-2x+y化為y=2x+z,

觀察圖形可得，當(dāng)直線y=2x+z過點B時，z最小，

聯(lián)立方程匕；；二:二:,，可得貝也加配=-2x1+0=-2.

故選：B.

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可求出.

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用Z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

5.【答案】C

【解析】解：因為/<4,所以一2<尤<2,

根據(jù)幾何概型的概率公式知：P=|4郎=；.

故選：C.

根據(jù)不等式可解得-2<x<2,由幾何概型的概率公式即可求解.

本題主要考查幾何概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：由題可得仁=3,解得￡=

12a=23=3

因為焦點在x軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/一9=1.

故選：C.

根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解.

本題考查雙曲線方程的求法，是基礎(chǔ)題，

7.【答案】A

【解析】解：因為九_La,n1/?,所以a〃￡,

若m1a,則m1八

若m1。,則m1a.

故選：A.

利用線面垂直和面面平行的知識即可判斷.

本題以充分必要條件的判斷為載體，主要考查了線面垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：/(x)=%4-sinx,

則f(一冗)=—X—sinx=一/(%),

所以函數(shù)/(%)是奇函數(shù)，

f'(_x)=1+cosx>0>

所以/(x)在R上是單調(diào)遞增的.

故選：D.

由函數(shù)奇偶性的定義可判斷奇偶性，由導(dǎo)數(shù)即可判斷單調(diào)性.

本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

［解析］解：因為0<a=康=蜃='。。32</。。33=1

log32

0<c=ln2<Ine=1,b—eos>e°=1,

In2ln2.Zn3.

又訴=震="2nx放=In3o>lne=41,

所以"2>log32,即b>c>a.

故選：C.

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

本題主要考查對數(shù)值大小的比較，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】B

【解析】解：因為102+110=107+105,所以更正后的平均分不變，

又(102-100)2+(110-100)2>(107-100)2+(105-100)2,

所以M>N.

故選:B.

根據(jù)已知條件可知平均分不變，根據(jù)方差公式計算更正前后的方差，比較大小即可.

本題考查方差的相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】B

【解析】解：由已知做出正三棱柱力BC-4B1G，則AB=BC=AC=

AAr=2,

設(shè)點M,N分別為正AABC,正△&B1C1的中心，連接MN,則MN=2,

連接CM并延長交于AB于點D,則40=80=1,CM=|cD,

A

設(shè)點。為MN中點，連接CO,則點。為正三棱柱ABC-A/】Ci外接球的球心，且MN_L平面ZBC,

ON=0M=1,

因為點M為正△ABC的中心，

所以CD_L4B,

所以CO=VAC2-AD2=V22-l2=V3.貝=手，

因為CMu平面4BC,

所以MN1CM,

則正三棱柱外接球半徑R=CO=VCM2+MO2=J(今孕+#=

所以該球的表面積為：4TTR2=47rx公竽.

故選：B.

由己知畫出圖形，連接上下底面中心MN,則MN的中點即為外接球球心，連接C0,求出C。即可

計算得出外接球的面積.

本題考查球的表面積相關(guān)知識，屬于中檔題.

12.【答案】BCD

【解析】解：令/(%)=xlnx9x6(0,+oo),則/(%)=Inx+1,

當(dāng)xe(0,；)時，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xeg+8)時，f(x)>0,/Q)單調(diào)遞增，當(dāng)x=l時，/(x)=0,

當(dāng)x趨向正無窮大時，/(X)趨向正無窮，故作出y=/(x)的大致圖象，如圖所示:

由題意，方程%bix=a(x-1)恰有一個實數(shù)根，

即函數(shù)y=f(%)的圖象與直線y=a(%-1)的圖象有一個公共點，

易知點(1,0)為函數(shù)y=/(%)的圖象與直線y=a(x-1)的公共點,

又曲線y=/(%)在點(1,0)處的切線方程為y=%—1,所以Q=1,

顯然a40也成立，故實數(shù)Q的值為a=1或a40.

故選：BCD.

把方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有一個交點，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，考查運算求解能力，屬于

中檔題.

13.【答案】3

【解析】解：因為弓〃石,

所以(2-k)x(-6)=3x2,解得k=3.

故答案為：3.

由平面向量平行的坐標(biāo)公式計算即可.

本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】107T

【解析】解：由/+y2-2x-6y=。得(久-I)2+(y-3)2=10.

則曲線表示的是以(1,3)為圓心，中為半徑的圓，

所以曲線所圍成平面區(qū)域的面積為：兀(口工)2=10兀.

故答案為：10兀.

由方程得出曲線表示的軌跡是圓，求出半徑即可求出面積.

本題考查定積分的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】e

【解析】解：由題意可得尸(x)=/,

設(shè)該切線方程y=且與/(x)=e*相切于點(x(),yo),

00—kx0

x

{%=eo>0,整理得a=1,

(k=f<x°)=ex°

?-k=e,

故答案為：e.

根據(jù)題意，設(shè)出切點，然后求導(dǎo)，根據(jù)切線的斜率為切點處導(dǎo)數(shù)值即可得到結(jié)果.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】2

【解析】解：設(shè)8(%1，丫1)，(%i>0,yi>0),由題意得，過點B的切

線，的方程為：平+y1y=1,

i\q/wxx

令y=0,可得M*40),令x=o,可得N(o,力，>/

1412

所以△OMN面積S=5X7X7=,

zX1Xi

2

又點B在橢圓上，所以a+衣=1，

所以S=—=2X-2(-^_+^1)>4I=2，

x/ix/i'4%-yj4yl?i

當(dāng)且僅當(dāng)就=言，即4=，2%=?時等號成立，

所以△OCD面積的最小值為2.

故答案為：2.

設(shè)8(x1,yi),(x1>O,y1>O),根據(jù)題意，求得過點B的切線［的方程，即可求得M、N坐標(biāo)，代入

面積公式，即可求得AOMN面積S的表達(dá)式，利用基本不等式，即可求得答案.

本題主要考查橢圓的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)因為/(x)=_aM-3x,所以/'(x)=/-2ax-3,

因為f(x)在點(1)(1))處的切線與直線y=-4x+1平行，所以/''(1)=-4,

即1-2。-3=-4,解得a=l.

(2)當(dāng)a=1時/'(久)=|x3-x2-3x,則1(x)=x2-2x-3=(x+1)(%-3),

令/'(x)>0,解得x<-l或x>3,所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,-1),(3,+oo),

令尸(x)<0,解得一1<x<3,所以/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,3).

【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得/'(1)=-4,代入計算可得；

(2)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解

能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：（1）因為10x（0.005+0.010+0.020+0.030+a+0.010）=1,

所以a=0.025,

由頻率分布直方圖可知，成績不少于60分的頻率為1一10x（0.005+0.010）=0.85,

即及格率為85%；

（2）由分層抽樣可知，成績在［40,50）,［50,60）分別抽取的人數(shù)為6xg=2,6x|=4,

不妨設(shè)成績在［40,50）的2人為%,a2,成績在［50,60）的4人為瓦,b2,b3,b4,

則任取2人的所有基本事件為：

（%,比），Z>2），（。1也），（。1，匕4），（。2,瓦），（。2，82），（。2,。3），（。2,九），（瓦,占2）,（瓦,壇）,

（kb/電&），（。2也），（壇也），共15個,

其中2人成績都在［50,60）的有6個，

所以由古典概型知P=A=|.

【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖直接計算即可得解；

（2）由分層抽樣得出成績在2個區(qū)間的人數(shù)，列出基本事件，由古典概型求解即可.

本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題.

19.【答案】解：⑴證明:連接BD交AC于點0,

因為DE//BF,

所以。E與8尸共面，

所以EFu平面BOEF,

因為四邊形ABCD為正方形，

所以4c1BD,

又因為DE_L平面4BCD,ACu平面ABCD,

所以。E1AC,

又因為BDu平面BDEF,DEu平面8DEF,BDCDE=D,

所以AC，平面BDEF,

又EFu平面BDEF,

所以4c1EF.

E

(2)連接OF、OE,由⑴得AC_L平面BOEF,

因為OFu平面8DEF,OEu平面BDEF,

所以AC1OF,AC1OE,

因為。El平面4BC0,DE//BF,BOu平面ABC。，

所以DE1DB,BF1DB,

易得OD-OB=7_2.EF=Jl2+(2\T2)2=3，

在Rt△ED。中，EO=VDE2+DO2=J22+(V-2)2=R，

在Rt△BF。中，F(xiàn)O-VOB2+BF2=J(<1)2+l2=C，

因為Ed2+/。2=EF2t

所以E。1FO,

又因為"u平面AEC,E。u平面4EC,ACf]EO=0,

所以F。JL平面4EC,

所以/TEC=15A4EC-F0=|x|x2/1x「x「=2.

【解析】(1)連接8。交4c于點0,首先證明EFu平面BDEF,再根據(jù)正方形的性質(zhì)得出力C，BD,

由DE1平面ZBCD得出。E1AC,即可證明；

(2)連接。尸、0E,證明出OF_1平面4/(7,得出三棱錐F-4EC以△4EC為底，F(xiàn)。為高，根據(jù)體積

公式計算即可.

本題考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)，幾何體的體積的求解，屬中檔題.

20.【答案】解：(1)由y2=8x得焦點(2,0),則橢圓的焦點為(2,0),

因為橢圓離心率為好，

所以二？=-=解得a=2V-2,則A?=a2—c2=8—4=4,

2aa

所以橢圓E的方程為1+4=1.

84

(2)設(shè)4(%%)，8。2而，

*2y2

由8+4一得,(1+2k2)x2+8kx=0,

y=kx+2

易得d>0,則/+%2=-xr-x2=0,yi?丫2=+2)(k%2+2)=

因為刀?布=-1，

所以**=一1,解得/=

1+2/6

所以|AB|=V1+k2Xyj(xj+x)2—

24XXX2

64k2

Vl+/c2x

(l+2fc2)2

【解析】(1)由拋物線方程得出橢圓的一個焦點，得出c,根據(jù)橢圓離心率得出a,再根據(jù)爐=a?一?2,

即可寫出橢圓方程；

(2)設(shè)4(%為)，B(X2，，2)，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得出與+%2,E62,％為，

結(jié)合成?南=-1得出由弦長公式計算即可.

本題主要考查橢圓的性質(zhì)及橢圓的方程，直線與橢圓的綜合，考查運算求解能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)當(dāng)a=0時/(x)=(x-2)eX,則((%)=(x-1)蜻,

所以當(dāng)%>1時/'(X)>0,當(dāng)》<1時/'(x)<0,

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,1),

所以“X)在久=1處取得極小值即最小值，即=/(I)=—e，

所以J(*)+e20恒成立.

(2)函數(shù)f(%)=(x—2)ex—ax2+2a%定義域為R,且/''(%)=(x—l)ex-2ax+2a=(%—

l)(ex-2a),

當(dāng)2Q<0,即a<0時e*-2a>0恒成立，

當(dāng)%>1時f'O)>0,當(dāng)％V1時(。)<0,

所以/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(L+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,1),

所以/(X)在x=l處取得極小值，即％=1是f(x)的一個極小值點，不符合題意；

當(dāng)2a=e,即。=抑/'(%)20恒成立，所以/(%)在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意；

當(dāng)0<2a<e,即0Va<|時，，

令—(%)>0,解得x<bi2a或x>1,令/'(x)<0,解得，n2a<x<l,

所以/'(%)在(-8,/n2a),(1,+8)上單調(diào)遞增，在2a,1)上單調(diào)遞減，

所以“乃在久=1處取得極小值，即x=1是/。)的一個極小值點，不符合題意；

當(dāng)2a>e,即a>卯寸，

令f'(x)>0,解得無<1或#>/n2a,令/'(x)<0,解得l<x<ln2a,

所以/(x)在(一8,1),Qn2a,+8)上單調(diào)遞增，在(1,仇2a)上單調(diào)遞減，

所以/(x)在x=