廣東省廣州市增城區(qū)四校聯(lián)考2024屆高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

廣東省廣州市增城區(qū)四校聯(lián)考2024屆高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．方程在區(qū)間內(nèi)的所有解之和等于()A．4 B．6 C．8 D．102．已知數(shù)列中，，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．3．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，則在軸上的截距為（）A． B． C． D．4．已知集合M＝{y｜y＝2x，x＞0}，N＝{x｜y＝lg（2x－xA．（1，＋∞） B．（1，2） C．[2，＋∞） D．[1，＋∞）5．五名志愿者到三個(gè)不同的單位去進(jìn)行幫扶，每個(gè)單位至少一人，則甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為（）A． B． C． D．6．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的()A．9 B．31 C．15 D．638．設(shè)，是非零向量，若對(duì)于任意的，都有成立，則A． B． C． D．9．已知命題,；命題若，則，下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．10．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．11．下列選項(xiàng)中，說(shuō)法正確的是（）A．“”的否定是“”B．若向量滿足，則與的夾角為鈍角C．若，則D．“”是“”的必要條件12．若命題p：從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為三分之一；命題q：在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M，則∠AMB>90°的概率為π8A．p∧qB．(?p)∧qC．p∧(?q)D．?q二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面向量，，且，則向量與的夾角的大小為_(kāi)_______．14．如圖，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率是______.15．已知全集，，則________.16．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，，且．（1）求的方程；（2）已知點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，直線的斜率都存在，且，求的值．18．（12分）試求曲線y＝sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式，其中M，N．19．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且平面．（1）求證：；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值．20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)已知直線與曲線交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，求.21．（12分）已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于，兩點(diǎn).（1）證明：當(dāng)取得最小值時(shí)，橢圓的離心率為.（2）若橢圓的焦距為2，是否存在定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，曲線：.（1）當(dāng)時(shí)，求與的交點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）直線與曲線交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

畫(huà)出函數(shù)和的圖像，和均關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，計(jì)算得到答案.【詳解】，驗(yàn)證知不成立，故，畫(huà)出函數(shù)和的圖像，易知：和均關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，圖像共有8個(gè)交點(diǎn)，故所有解之和等于.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了方程解的問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，確定函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)是解題的關(guān)鍵.2、B【解析】

先根據(jù)題意，對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得，然后利用累加法求得，然后不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用函數(shù)性質(zhì)解不等式即可得出答案.【詳解】由題，即由累加法可得：即對(duì)于任意的，不等式恒成立即令可得且即可得或故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)的求法以及函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于綜合性較強(qiáng)的題目，解題的關(guān)鍵是能夠由遞推數(shù)列求出通項(xiàng)公式和后面的轉(zhuǎn)化函數(shù)，屬于難題.3、A【解析】

求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)后可得曲線在處的切線方程，從而可求切線的縱截距.【詳解】，故，所以曲線在處的切線方程為：.令，則，故切線的縱截距為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的截距，注意直線的縱截距指直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，因此截距有正有負(fù)，本題屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】M=y|y=N==x|∴M∩N=(1,2)．故選B．5、D【解析】

三個(gè)單位的人數(shù)可能為2，2，1或3，1，1，求出甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率，利用互為對(duì)立事件的概率和為1即可解決.【詳解】由題意，三個(gè)單位的人數(shù)可能為2，2，1或3，1，1；基本事件總數(shù)有種，若為第一種情況，且甲、乙兩人在同一個(gè)單位，共有種情況；若為第二種情況，且甲、乙兩人在同一個(gè)單位，共有種，故甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率為，故甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率公式的計(jì)算，涉及到排列與組合的應(yīng)用，在正面情況較多時(shí)，可以先求其對(duì)立事件，即甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率，本題有一定難度.6、A【解析】

利用已知條件畫(huà)出幾何體的直觀圖，然后求解幾何體的體積．【詳解】幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示，則該幾何體的體積為：．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．7、B【解析】

根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)算，直至滿足條件退出循環(huán)體，即可得出結(jié)果.【詳解】執(zhí)行程序框；；；；；，滿足，退出循環(huán)，因此輸出，故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果，模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

畫(huà)出，，根據(jù)向量的加減法，分別畫(huà)出的幾種情況，由數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】由題意，得向量是所有向量中模長(zhǎng)最小的向量，如圖，當(dāng)，即時(shí)，最小，滿足，對(duì)于任意的，所以本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的加減法，以及點(diǎn)到直線的距離最短問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于用有向線段正確表示向量，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】解：命題p：?x＞0，ln（x+1）＞0，則命題p為真命題，則￢p為假命題；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，則命題q是假命題，則￢q是真命題．∴p∧q是假命題，p∧￢q是真命題，￢p∧q是假命題，￢p∧￢q是假命題．故選B．10、B【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算出，然后再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念直接寫(xiě)出即可.【詳解】由，所以其共軛復(fù)數(shù).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念，難度較易.11、D【解析】

對(duì)于A根據(jù)命題的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，即可判斷出；對(duì)于B若向量滿足，則與的夾角為鈍角或平角；對(duì)于C當(dāng)m=0時(shí)，滿足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立；對(duì)于D根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可做出判斷．【詳解】選項(xiàng)A根據(jù)命題的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，因此A不正確；選項(xiàng)B若向量滿足，則與的夾角為鈍角或平角，因此不正確.選項(xiàng)C當(dāng)m=0時(shí),滿足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立，因此不正確；選項(xiàng)D若“”，則且，所以一定可以推出“”，因此“”是“”的必要條件，故正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等，屬于簡(jiǎn)單題.12、B【解析】因?yàn)閺挠?件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為P1=1C42=16，即命題p是錯(cuò)誤，則?p是正確的；在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M點(diǎn)睛：本題將古典型概率公式、幾何型概率公式與命題的真假（含或、且、非等連接詞）的命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假的判定有機(jī)地整合在一起，旨在考查命題真假的判定及古典概型的特征與計(jì)算公式的運(yùn)用、幾何概型的特征與計(jì)算公式的運(yùn)用等知識(shí)與方法的綜合運(yùn)用，以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由，解得，進(jìn)而求出，即可得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得，所以，所以向量與的夾角的大小為．都答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的運(yùn)算，平面向量垂直，向量夾角等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

根據(jù)三角形中位線證得，結(jié)合判斷出垂直平分，由此求得的值，結(jié)合求得的值.【詳解】∵，∴為中點(diǎn)，，∵，∴垂直平分，∴，即，∴，，即.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

利用集合的補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】由全集，，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了集合的補(bǔ)集運(yùn)算，需理解補(bǔ)集的概念，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，再求出的單調(diào)遞減區(qū)間．【詳解】解：冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解得；所以，其中；所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）不妨設(shè)，，計(jì)算得到，根據(jù)面積得到，計(jì)算得到答案.（2）設(shè)，，，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理得到，，代入化簡(jiǎn)計(jì)算得到答案.【詳解】（1）由題意不妨設(shè)，，則，．∵，∴，∴．又，∴，∴，，故的方程為．（2）設(shè)，，，則．∵，∴，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立整理得．∵在上，∴，∴上式可化為．∴，，，∴，，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程，定值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.18、y＝2sin2x．【解析】

計(jì)算MN，計(jì)算得到函數(shù)表達(dá)式.【詳解】∵M(jìn)，N，∴MN，∴在矩陣MN變換下，→∴曲線y＝sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為y＝2sin2x．【點(diǎn)睛】本題考查了矩陣變換，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.19、見(jiàn)解析【解析】

（1）如圖，連接，交于點(diǎn)，連接，，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以，從而，，，四點(diǎn)共面．因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以．又，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以?）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又三棱柱是直三棱柱，，所以，，互相垂直，分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，，所以平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，，所以平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面所成二面角的正弦值為．20、（1）(x－1)2＋y2＝4,直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y－2＝0；（2）3.【解析】

(1)消參得到曲線的普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程的互化公式求得直線的直角坐標(biāo)方程；(2)先得到直線的參數(shù)方程，將直線的參數(shù)方程代入到圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.【詳解】(1)由曲線C的參數(shù)方程(α為參數(shù))(α為參數(shù))，兩式平方相加，得曲線C的普通方程為(x－1)2＋y2＝4；由直線l的極坐標(biāo)方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝2，即直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y－2＝0.(2)由題意可得P(2，0)，則直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，將(t為參數(shù))代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，則Δ>0，由韋達(dá)定理可得t1·t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，【解析】

（1）將點(diǎn)代入橢圓方程得到，結(jié)合基本不等式，求得取得最小值時(shí)，進(jìn)而證得橢圓的離心率為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，求得到直線的距離.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，利用，則列方程，求得的關(guān)系式，進(jìn)而求得到直線的距離.根據(jù)上述分析判斷出所求的圓存在，進(jìn)而求得定圓的方程.【詳解】（1）證明：∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)橢圓的離心率.（2）解：∵橢圓的焦距為2，∴，又，∴，.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性，設(shè)，.∵，在橢圓上，∴，∴，∴到直線的距離.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為.由，得，.設(shè)，，則，.∵，∴，∴，∴，即，∴到直線的距離.綜上，到直線的距離為定值，且定值為，故存在定圓：，使得圓與直線總相切.【點(diǎn)睛】本小題主要考查點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系，考查基本不等式求最值，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查