2020-2021學(xué)年上海師大附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷 （解析版）

2020-2021學(xué)年上海師大附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（共12小題）.

2.若1+i（z.是虛數(shù)單位）是關(guān)于x的實系數(shù)方程尤2+川+4=0的根，則網(wǎng)=.

31加3"、2nL

n

n-83+l

4.已知等差數(shù)列｛斯｝的各項不為零，且僅、S3、。63成等比數(shù)列，則公比是.

5.已知向量；=（1,2），b=（m,-3）.若向量（Z-2%）〃E，則實數(shù)m

6.某天，一個班級只有四門學(xué)科教師都布置了晚自習(xí)作業(yè)，晚自習(xí)上，在同一時刻3名學(xué)

生都做作業(yè)的可能情形有種（用數(shù)字作答）.

7.（1+-^―+―--+....H----------）=.

n-81+21+2+31+2+3+…+n------

8.2010年上海世博會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事

翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余

三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有種.

9.在無窮等比數(shù)列｛?！ǎ?，若lim（aj+a2+--+an）^-,則a\的取值范圍

n-8*678*11

是.

10.市內(nèi)某公共汽車站有10個候車位（成一排），現(xiàn)有4名乘客隨便坐在某個座位上候車,

則恰好有5個連續(xù)空座位的候車方式共有種.（用數(shù)字作答）

11.5名奧運火矩手分別到香港、澳門、臺灣進行奧運知識宣傳，每個地方至少去一名火矩

手，則不同的分派方法共有種（用數(shù)字作答）.

12.我們把一系列向量a1（i=l,2,n）按次序排成一列，稱之為向量列，記作｛aj,

已知向量列｛aj滿足=(1,1)

an=（Xn，yj節(jié)（Xn-i-ymJXmi+ynT）（n>2），設(shè)。"表示向量與a^i的

2不等式后+庶…舟*a。

夾角'若兒=等8n對任意正整數(shù)小

-2a)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

二、選擇題(共4小題).

13.在用數(shù)學(xué)歸納法證明(〃+1)(?+2)???5+〃)=2"?1?2?3??…(2〃-1)(weN*)時,

從左到Z+1,左端需要增加的代數(shù)式是()

A.2k+lB.2(2K1)C.D.

k+1k+1

14.從7人中選派5人到10個不同崗位的5個中參加工作，則不同的選派方法有()

555

AcAA種

75

10

5555

種

中

CC矛DCA

c1O771O

15.復(fù)數(shù)z滿足|z-3i|=2(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z-4模的取值范圍是()

A.[3,7]B.[0,5]C.[0,9]D.以上都不對

16.設(shè)｛斯｝是各項為正數(shù)的無窮數(shù)列，4是邊長為3跖+1的矩形的周長(z=l,2,…)，

則“數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列”的充要條件是()

A.｛斯｝是等差數(shù)列

B.ai,。3,a2n-l,…或02,04,a2n,…是等差數(shù)列

C.ai,。3,…，a2n-l,…和。2,。4,…，“2",…都是等差數(shù)列

D.a\,。3,…,。2"一1,…和。2,04,…,。2”,…都是等差數(shù)列，且公差相同

三、解答題

17.已知O為直角坐標(biāo)系原點，0A=(3,1),QB=(-1,2),根與瓦垂直，前與正平

行.

(1)求向量贏在向量標(biāo)上的投影；

(2)求前的坐標(biāo).

18.已知/(z)=z-1,且/(zi-Z2)=4+4。若zi=2-2i.

(1)求復(fù)數(shù)zi=2-2i的三角形式，并且復(fù)數(shù)zi的輻角主值argzi；

Z1-Z9

⑵求I—_-I.

zl+z2

19.據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計，2019年底全國已開通5G基站13萬個，部分省市的政府工作報告將

“推進5G通信網(wǎng)絡(luò)建設(shè)”列入2020年的重點工作，今年一月份全國共建基站3萬個.

(1)如果從2月份起，以后的每個月比上一個月多建設(shè)2000個，那么，今年底全國共

有基站多少萬個.(精確到0.1萬個)；

(2)如果計劃今年新建基站60萬個，到2022年底全國至少需要800萬個，并且，今后

新建的數(shù)量每年比上一年以等比遞增，問2021年和2022年至少各建多少萬個才能完成

計劃？(精確到1萬個)

20.已知數(shù)列｛詼｝的首項為x為6R),前”頂和為列.

(1)若S,=〃斯QIN,n>l),求數(shù)列｛詼｝的通項公式；

S

(2)在(1)的條件下，是否存在x(xGR),使得對任意weN,恒有三n上=/(其

32n

中上是與正整數(shù)"無關(guān)的常數(shù))，若存在，求出尤與女的值，若不存在，說明理由；

(3)若｛斯｝是無窮等比數(shù)列，且公比#-1,計算三次各二

n32n

21.設(shè)數(shù)列｛a”｝(”eN*)中前兩項ai,z給定，若對于每個正整數(shù)均存在正整數(shù)上

(AWkWn-l)使得小=上_5=2------里巴，則稱數(shù)列｛雨｝為“。數(shù)列”.

k

(1)若數(shù)列｛a”｝(“eN*)為ai—l,a2—-4■■的等比數(shù)列，當(dāng)w23時,試問：。"與fnT_?心

22

是否相等，并說明數(shù)列｛3｝("CN*)是否為“。數(shù)列”；

(2)討論首項為可、公差為1的等差數(shù)列｛雨｝是否為“。數(shù)列”，并說明理由；

(3)已知數(shù)列｛念｝為“Q數(shù)列"，且。1=0,。2=1,記S(〃,k)=an-\+an-2+---+an-k,

"22,吒N*),其中正整數(shù)kW…,對于每個正整數(shù)G3,當(dāng)正整數(shù)k分別取1、2、…、

Q/1\

〃-1時——~上~的最大值記為最小值記為儂.設(shè)瓦=幾?,當(dāng)正整數(shù)〃

k

滿足3W〃W2020時，比較為與d+i的大小，并求出瓦的最大值.

參考答案

一、填空題(共12小題).

9

Ilim2n=2

.L83n2+i—3一.

22

解.lim_2n_=lim

廿83n2+in-83q3-

2

故答案為：—.

o

2.若1+i(，是虛數(shù)單位)是關(guān)于x的實系數(shù)方程N+px+9=0的根，則加=-4.

解：若1+i(，是虛數(shù)單位)是關(guān)于％的實系數(shù)方程N+px+q=0的根，

則1-，也是該方程的根，

所以(1+D+(1-z)=-p,解得p=-2；

(1+z)(1-z)=q,解得q=2；

所以pq=~4.

故答案為：-4.

n+1n

3lim3+2_3

?n-83n+1'

2

3+(；|1

解lim3"、2nLlimT_3+0_

腫?n-83n+10-8]+/^1+0-

故答案為：3.

4.已知等差數(shù)列｛斯｝的各項不為零，且。3、03、"63成等比數(shù)列，則公比是1或5

解：等差數(shù)列｛?！ǎ母黜棽粸榱?，公差設(shè)為-

由43、。13、。63成等比數(shù)列，

可得〃3〃63=〃132,即(〃l+2d)(〃l+62d)=(4Z1+12J)2,

化為一=2。1",即d=0或d=2ai,

aiqa〔+l2d25al

可得等比數(shù)列的公比為1或」?==^=5,

a3a1+2dba1

故答案為：1或5.

5.已知向量Z=(l,2)，b=(m,-3)，若向量(1-2%)〃總則實數(shù)機=_一^一。

解：向量？=(1,2)，b=(m,-3)，

則之-2^=(1-2m,8),

又(a-2b)〃b，

貝!J-3(1-2m)-8m=0,

3

解得m=-

故答案為：-

6.某天，一個班級只有四門學(xué)科教師都布置了晚自習(xí)作業(yè)，晚自習(xí)上，在同一時刻3名學(xué)

生都做作業(yè)的可能情形有64種(用數(shù)字作答).

解：每一名學(xué)生做作業(yè)的情況有4種，

故在同一時刻3名學(xué)生都做作業(yè)的可能情形43=64種,

故答案為：64.

]im(1+_1_+-1—+...H------1-----)=2

n-81+21+2+31+2+3+…如-----

解：1no-----=_7一k=2(----，

1+2+3+…tnn(n+l)nn+1

lim(i+」-+—L_+……+----1------)=lim2—

n—8i+21+2+31+2+3+…tnn-822334

=%(2--^—)=2.

nn+1n_8n+i

故答案為：2.

8.2010年上海世博會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事

翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余

三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有36種.

解：由題意知本題需要分類，

若小張或小趙入選，則有選法C21c21A33=24；

若小張、小趙都入選，則有選法A22A33=12,

根據(jù)分類計數(shù)原理知共有選法24+12=36種

故答案為：36

9.在無窮等比數(shù)列｛斯｝中，若lim(+a+-+a)-Y，則m的取值范圍是

n-8ai2n,

(0,馬―.

oOo

解：在無窮等比數(shù)列｛斯｝中，lim(a1+b+…+an)q,

廿8J

a11

可知|切<1,-IVqVO或OVqVl則一L=A，

1-q3

ai~1(1-q)E(0,4I)U(I4,Q4).

3333

119

故答案為：(o,—)u(—,—).

ooo

10.市內(nèi)某公共汽車站有10個候車位(成一排)，現(xiàn)有4名乘客隨便坐在某個座位上候車,

則恰好有5個連續(xù)空座位的候車方式共有480種.(用數(shù)字作答)

解：把四位乘客當(dāng)作4個元素作全排列有A44種排法，

將一個空位和余下的5個空位作為一個元素插空有42種排法，

42

.?.A4M5=480；

故答案為480.

11.5名奧運火矩手分別到香港、澳門、臺灣進行奧運知識宣傳，每個地方至少去一名火矩

手，則不同的分派方法共有150種(用數(shù)字作答).

解：根據(jù)題意，分2步進行分析：

①將5人分為3組，

若分為3、1、1的三組，有C53=10種分組方法，

r2r2

若分為2、2、1的三組，有一三上=15種分組方法，

4

則有10+15=25種分組方法，

②將分好的三組全排列，安排到三個地區(qū)，有A33=6種情況，

則有25X6=150種分派方法，

故答案為：150.

12.我們把一系列向量a1(i=l,2,…，M)按次序排成一列，稱之為向量列，記作｛aj,

已知向量歹U｛aj滿足=(11),

=(x

ann,yn)=2-(xn_1xn_1+yn_1)(n>2)>設(shè)表示向量與a.的

2不等式后痣…底*a。

夾角'若兒=等e。對任意正整數(shù)〃，

短)

-2a）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.(0,

o

an,arrl

解：由題意，計算cos6"=

l^lxlan-l

_1

(Xn-1-丫11-1)

xn2

把4代入,

1

yn-Xmi+y^P

4,J?

可求得COS0n=——

2

兀

所以0n=—；

4

22

22222

所以Cn+lCn>0；

2n+l2n+2n+12n+l2n+2

=

所以數(shù)列｛Cn｝是單調(diào)遞增數(shù)列，且10ga（1-2fl）V(Cn)minC1—1;

由于1-2a>0,解得。<春,

，l-2a>0

所以l-2a>a,解得

0<a<l

所以。的取值范圍是（0,1?）.

o

故答案為：（0,.

O

二、選擇題

13.在用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（w+2）…（w+w）=2"?1?2?3.......(2M-1)(nGN*)時,

從上到4+l,左端需要增加的代數(shù)式是（）

2k+l

A.2k+\B.2⑵+1)C.

k+1D?簧

解：當(dāng)力=%+1時，左端=...-(左+1)(Z+2)(k+k)(Z+A+l)(A+1+A+1),

k+1

所以左端增加的代數(shù)式為

(.k+k+1)(k+l+k+1)-^-=2(24+1),

k+1

故選：B.

14.從7人中選派5人到10個不同崗位的5個中參加工作，則不同的選派方法有（）

555

cAA種

75

10

5555

種

中

cc不cA

1o7D7

10

解：第一步，選出5人，共有〃種不同選法，

第二步，選出5個崗位，共有Cl（）5種不同選法，

第三步，將5人分配到5個崗位，共有45種不同選法，

依分步計數(shù)原理，知不同的選派方法有C75Go5A55=C75AH）5種.

故選：D.

15.復(fù)數(shù)z滿足|z-3i|=2（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z-4模的取值范圍是（）

A.[3,7]B.[0,5]C.[0,9]D.以上都不對

解：由|z-3力=2,可知復(fù)數(shù)z對應(yīng)點的軌跡為以8（0,3）為圓心，以2為半徑的圓上,

如圖：

則復(fù)數(shù)z-4模的最小值為|42|-2=5-2=3,最大值為|4B|+2=5+2=7.

復(fù)數(shù)z-4模的取值范圍是[3,7],

故選：A.

16.設(shè)｛癡｝是各項為正數(shù)的無窮數(shù)列，4是邊長為如曲1的矩形的周長（i=l,2,-??）,

則“數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列”的充要條件是（）

A.｛3｝是等差數(shù)列

B.的，Cl2n-1?…或〃2,44,…，〃2"，…是等差數(shù)列

C.ai,。3,…,…和〃2,。4,…，CL2n,…都是等差數(shù)列

D.a\,〃3,…，…和。2,04，…,。2〃，…都是等差數(shù)列，且公差相同

解：A,=2（詼+的+1）,

Az+i-Ai=2（〃計2+〃計1）-2（〃，+。計1）—2（勿+2一勿）,

若數(shù)列｛A〃｝為等差數(shù)列，則勿+2-勿為常數(shù),可得：〃3,…，…和。2,〃4,…，

〃2〃，…都是等差數(shù)列，且公差相同.

反之也成立.

"數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列”的充要條件是：ai,。3，…,Q2n-1，…和42,44,…，…

都是等差數(shù)列，且公差相同.

故選：D.

三、解答題

17.已知。為直角坐標(biāo)系原點，0A=（3,1）,OB=（-1,2）,權(quán)與瓦垂直，反與贏平

行.

（1）求向量贏在向量屈上的投影；

（2）求正的坐標(biāo).

解：（1）因為贏=（3,1）,QB=（-1,2）,

所以標(biāo)=而-贏=（T,1）,

計算水，祈=-12+1=-11,IABl=V（-4）2+l2=V17>

所以向量贏在向量標(biāo)上的投影為：

OA'AB-1111V17

lOAlcose

IABI-Vl717

（2）設(shè)66=（%，y），因為反與連垂直，

所以京?羽=-x+2y=0,

又前=沃-麗=5+1，>-2）,且前與水平行,

所以3(y-2)-(x+1)=0,即x-3y+7=0,

J-x+2y=0x=14

,解得，

[x-3y+7=0y=7

所以羽=（14，7）；

所以"56的坐標(biāo)為（14,7）.

18.已知/(z)=z-1,且/(zi-Z2)=4+4/,若zi=2-2i.

(1)求復(fù)數(shù)zi=2-2i的三角形式，并且復(fù)數(shù)zi的輻角主值argzi；

Z1-Z9

(2)求|」~~-I.

zl+z2

解：(1)zi=2-2z=2V2=2V2(cos-^-+isin-^—)>

7兀

則argzi=—^—；

(2)設(shè)Z2=x+yi(x,y€R),

Vzi=2-2z,，zi-z2=(2-x)-(y+2)z,

V/(z)=z-1,.*./(zi-Z2)=(1-x)+(y+2)i=4+4i,

fl-x=4

?〃，貝！Jx=-3,y=2,

ly+2=4

；.Z2=-3+2i,則一-----=^^=-5+4i，

Z1+Z2-1

Z1-Z2__

則|:"1=1-5+4/|=^41.

zl+z2

19.據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計，2019年底全國已開通5G基站13萬個，部分省市的政府工作報告將

“推進5G通信網(wǎng)絡(luò)建設(shè)”列入2020年的重點工作，今年一月份全國共建基站3萬個.

(1)如果從2月份起，以后的每個月比上一個月多建設(shè)2000個，那么，今年底全國共

有基站多少萬個.(精確到0」萬個)；

(2)如果計劃今年新建基站60萬個，到2022年底全國至少需要800萬個，并且，今后

新建的數(shù)量每年比上一年以等比遞增，問2021年和2022年至少各建多少萬個才能完成

計劃？(精確到1萬個)

解：(1)每月建設(shè)基站的數(shù)量構(gòu)成一個等差數(shù)列，公差為0.2萬，首項為3萬個.

12U

則計劃2020年新建基站數(shù)為S19=12X3+^X0.2=49.2.

故2020年全國共有基站13+49.2=62.2萬個；

(2)由題意，每年新建的數(shù)量構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)公比為q(q>0).

9797

由60+60^+60^=800-13,得q+q'^-=0.

60

解得：q-3(q>0).

-1-2021年至少建60X3=180萬個，2022年至少建60X9=540萬個才能完成計劃.

20.已知數(shù)列｛斯｝的首項為x(xeR),前〃頂和為

⑴若s="斯-n"l)(nEN,n>l),求數(shù)列｛斯｝的通項公式;

(2)在(1)的條件下，是否存在x(xeR),使得對任意"CN,nA,恒有三上=左(其

n2n

中左是與正整數(shù)"無關(guān)的常數(shù))，若存在，求出x與左的值，若不存在，說明理由；

(3)若｛為｝是無窮等比數(shù)列，且公比qW-1,計算三次裊■

n32n

解：(1)由SnFan-R，1)，得

n(n+l)

Sn+l=(n+l)a

n+12

-

兩式作差可得斯+1=〃斯+1+即+1nan-n,

即Cln+l~Ctn~~1,

J數(shù)列｛詼｝是首項為X,公差為1的等差數(shù)列,

貝！Jan=x+(〃-1)Xl=n+x-1；

(2)由不上=%,得Sn=kS2n,

32n

即g」~n(n-1)=k[2nx+n(2〃-1)],

整理得：(1-?)n-⑵-1)(2x-1)=0,

當(dāng)％=4，時，該等式恒成立，

24

即當(dāng)戶方1時，產(chǎn)S=15；

/b2n4

(3)若｛斯｝是無窮等比數(shù)列，且公比qW-l,

-^-=—,貝UA.

當(dāng)q=l時，S=nx,S2n=2nx,

nS2n2"n-8s2n2'

_x(1-q2n)

當(dāng)qWl時，S=三止?

n1-q2nl-q

S1,0<q<1

n=1lim_ElL=lim^-=f

S11

2n1+q'n-8s2nn^1+qn|Q)㈤〉】

10<q<l

?limq=l

nb2n

0,|q|>l

21.設(shè)數(shù)列｛〃〃｝(neN*)中前兩項〃I,。2給定，若對于每個正整數(shù)〃23,均存在正整數(shù)左

(iwzw-1)使得."紇1+*二2++'運,則稱數(shù)列｛而為“。數(shù)列”.

k

(1)若數(shù)列｛a"｝(〃eN*)為ai=l,tZ2=-《的等比數(shù)列，當(dāng)時,試問：與『“T_包工

22

是否相等，并說明數(shù)列｛3｝("6N*)是否為“。數(shù)列”；

(2)討論首項為的、公差為1的等差數(shù)列｛斯｝是否為“。數(shù)列”，并說明理由；

(3)已知數(shù)列己〃｝為“。數(shù)列”，且〃1=0,〃2=1,記S(n,k)=an-\+an-2+---+an-k,

"N2,幾EN*),其中正整數(shù)kWn-1,對于每個正整數(shù)及23,當(dāng)正整數(shù)%分別取1、2、…、

n(1\

〃-1時—-----的最大值記為峪、最小值記為府.設(shè)瓦=〃?(M-m),當(dāng)正整數(shù)〃

knn

滿足3W〃W2020時，比較為與瓦+i的大小，并求出瓦的最大值.

解：(1)?.?數(shù)列｛?！ǎ?〃eN*)為m=l,。2=-微■的等比數(shù)列，???〃〃=(-/)〃I

由于當(dāng)G3時，均有&l+an-2=(蔣產(chǎn)2+(蔣尸=；.(_4)心=(_春)，

2--------g--------422

]=Qn,

...”“與盟止皿相等.

2

:對每個正整數(shù)〃23,均存在正整數(shù)上=2且1W2W〃-1,使得a.=上之2N,