中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)《圓的有關(guān)計(jì)算與證明》專項(xiàng)測試卷-帶答案

第第中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)《圓的有關(guān)計(jì)算與證明》專項(xiàng)測試卷-帶答案（20道）一、填空題1．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中直徑與弦交于點(diǎn)．連接過點(diǎn)的切線與的延長線交于點(diǎn)．若，則°．

2．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會圓術(shù)”如圖．是以O(shè)為圓心為半徑的圓弧C是弦的中點(diǎn)D在上．“會圓術(shù)”給出長l的近似值s計(jì)算公式：當(dāng)時(shí)．（結(jié)果保留一位小數(shù)）二解答題3．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于為的直徑延長到點(diǎn)G使得連接過點(diǎn)C作交于點(diǎn)F交點(diǎn)于點(diǎn)D過點(diǎn)D作．交的延長線于點(diǎn)E．

(1)求證：與相切．(2)若求的長．4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰三角形的頂角和底邊相切于點(diǎn)并與兩腰分別相交于兩點(diǎn)連接．

(1)求證：四邊形是菱形(2)若的半徑為2求圖中陰影部分的面積．5．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于為的直徑過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)F交的延長線于點(diǎn)E連接．若．

(1)求證：為的切線．(2)若求的半徑．6．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑點(diǎn)CD是上異側(cè)的兩點(diǎn)交的延長線于點(diǎn)E且平分．

(1)求證：是的切線．(2)若求圖中陰影部分的面積．7．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）已知內(nèi)接于為的直徑N為的中點(diǎn)連接交于點(diǎn)H．

(1)如圖①求證(2)如圖②點(diǎn)D在上連接交于點(diǎn)E若求證(3)如圖③在（2）的條件下點(diǎn)F在上過點(diǎn)F作交于點(diǎn)G．過點(diǎn)F作垂足為R連接點(diǎn)T在的延長線上連接過點(diǎn)T作交的延長線于點(diǎn)M若求的長．8．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）兩漢文化看徐州桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時(shí)了解到玉壁玉環(huán)為我國的傳統(tǒng)玉器通常為正中帶圓孔的扇圓型器物據(jù)《爾雅·釋器》記載：“肉倍好謂之璧肉好若一、調(diào)之環(huán)．”如圖1“肉”指邊（陰影部分）“好”指孔其比例關(guān)系見圖示以考古發(fā)現(xiàn)看這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關(guān)系．(1)若圖1中兩個(gè)大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為(2)利用圓規(guī)與無刻度的直尺解決下列問題（保留作圖痕跡不寫作法）．①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若一”？②圖3表示一件圓形玉坯若將其加工成玉璧且比例關(guān)系符合“肉倍好”請畫出內(nèi)孔．9．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑點(diǎn)在上點(diǎn)在線段的延長線上且．

(1)求證：EF與相切(2)若求的長．10．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知是等邊三角形的外接圓連接并延長交于點(diǎn)交于點(diǎn)連接．

(1)寫出圖中一個(gè)度數(shù)為的角：_______圖中與全等的三角形是_______(2)求證：(3)連接判斷四邊形的形狀并說明理由．11．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑E為上一點(diǎn)點(diǎn)C為的中點(diǎn)過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)D延長交的延長線于點(diǎn)F．

(1)求證：是的切線(2)若求的半徑長．12．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）【感知】如圖①點(diǎn)ABP均在上，則銳角的大小為__________度．

【探究】小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖②是等邊三角形的外接圓點(diǎn)P在上（點(diǎn)P不與點(diǎn)AC重合）連結(jié)．求證：．小明發(fā)現(xiàn)延長至點(diǎn)E使連結(jié)通過證明可推得是等邊三角形進(jìn)而得證．下面是小明的部分證明過程：證明：延長至點(diǎn)E使連結(jié)四邊形是的內(nèi)接四邊形．．是等邊三角形．請你補(bǔ)全余下的證明過程．【應(yīng)用】如圖③是的外接圓點(diǎn)P在上且點(diǎn)P與點(diǎn)B在的兩側(cè)連結(jié)．若，則的值為__________．13．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于是的直徑于點(diǎn)交于點(diǎn)交于點(diǎn)連接．

(1)求證：是的切線(2)判斷的形狀并說明理由(3)當(dāng)時(shí)求的長．14．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中以為直徑的交于點(diǎn)D垂足為E．(1)求證：是的切線(2)若求的長．15．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑是上一點(diǎn)過點(diǎn)作于點(diǎn)交于點(diǎn)點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)連接．

(1)求證：是切線(2)若求的長．16．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑是弦是上一點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)連接．

(1)求證：（請用兩種證法解答）(2)若的半徑為3求的長．17．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下筒車上的每一個(gè)盛水筒都按逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒．問題設(shè)置：把筒車抽象為一個(gè)半徑為r的．如圖②始終垂直于水平面設(shè)筒車半徑為2米．當(dāng)時(shí)某盛水筒恰好位于水面A處此時(shí)經(jīng)過95秒后該盛水筒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處．（參考數(shù)據(jù)）

問題解決：(1)求該盛水筒從A處逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到B處時(shí)的度數(shù)(2)求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)它到水面的距離．（結(jié)果精確到米）18．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形是直徑是的中點(diǎn)過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線(2)若求的長．19．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑DE是上的兩點(diǎn)延長至點(diǎn)C連接．

(1)求證：(2)求證：是的切線(3)若求的半徑．20．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，在單位長度為1的網(wǎng)格中點(diǎn)OAB均在格點(diǎn)上以O(shè)為圓心為半徑畫圓請按下列步驟完成作圖并回答問題：①過點(diǎn)A作切線且（點(diǎn)C在A的上方）②連接交于點(diǎn)D③連接與交于點(diǎn)E．(1)求證：為的切線(2)求的長度．參考答案一、填空題1．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中直徑與弦交于點(diǎn)．連接過點(diǎn)的切線與的延長線交于點(diǎn)．若，則°．

【答案】66【分析】連接，則有然后可得，則進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：連接如圖所示：

∵是的直徑且是的切線∴∵∴∴∵∴∴∴故答案為：66．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)圓周角弧之間的關(guān)系熟練掌握切線的性質(zhì)圓周角弧之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會圓術(shù)”如圖．是以O(shè)為圓心為半徑的圓弧C是弦的中點(diǎn)D在上．“會圓術(shù)”給出長l的近似值s計(jì)算公式：當(dāng)時(shí)．（結(jié)果保留一位小數(shù)）【答案】0.1【分析】由已知求得與的值代入得弧長的近似值利用弧長公式可求弧長的值進(jìn)而即可得解．【詳解】∵∴∵C是弦的中點(diǎn)D在上∴延長可得O在上∴∴∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的弧長掌握垂徑定理?；￠L公式是關(guān)鍵．二解答題3．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于為的直徑延長到點(diǎn)G使得連接過點(diǎn)C作交于點(diǎn)F交點(diǎn)于點(diǎn)D過點(diǎn)D作．交的延長線于點(diǎn)E．

(1)求證：與相切．(2)若求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）連接結(jié)合圓周角定理根據(jù)可得再根據(jù)平行的性質(zhì)即有進(jìn)而可得問題隨之得證（2）過C點(diǎn)作于點(diǎn)K先證明四邊形是平行四邊形即有求出即有利用三角形函數(shù)有同理即可得進(jìn)而有再證明可得即可得在中有問題隨之得解．【詳解】（1）連接如圖

∵為的直徑∴∴∵∴∵∴∴即∵∴∴半徑∴與相切（2）過C點(diǎn)作于點(diǎn)K如圖

∵∴四邊形是平行四邊形∴∵∴∴∵∴∴在同理∵在中∴∴∵∴∴∴∴∴∴在中∴．【點(diǎn)睛】本題是一道綜合題主要考查了圓周角定理切線的判定相似三角形的判定與性質(zhì)平行四邊形的判定與性質(zhì)三角函數(shù)以及勾股定理等知識掌握切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰三角形的頂角和底邊相切于點(diǎn)并與兩腰分別相交于兩點(diǎn)連接．

(1)求證：四邊形是菱形(2)若的半徑為2求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接根據(jù)切線的性質(zhì)可得然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得從而可得和都是等邊三角形最后利用等邊三角形的性質(zhì)可得即可解答（2）連接交于點(diǎn)利用菱形的性質(zhì)可得然后在中利用勾股定理求出的長從而求出的長最后根據(jù)圖中陰影部分的面積扇形的面積菱形的面積進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）證明：連接

和底邊相切于點(diǎn)和都是等邊三角形四邊形是菱形（2）解：連接交于點(diǎn)

四邊形是菱形在中圖中陰影部分的面積扇形的面積菱形的面積圖中陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)扇形面積的計(jì)算等腰三角形的性質(zhì)菱形的判定與性質(zhì)根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．5．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于為的直徑過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)F交的延長線于點(diǎn)E連接．若．

(1)求證：為的切線．(2)若求的半徑．【答案】(1)見解析(2)的半徑為【分析】（1）連接根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得到等角的余角相等得到等邊對等角得到推出得到即可得證（2）連接推出利用銳角三角函數(shù)求出的長設(shè)的半徑為證明列出比例式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：連接

∵∴∵為的直徑∴∴∴∵∴∴∴即：又為的半徑∴為的切線（2）連接，則：

∵為的直徑∴∴∴在中∴設(shè)的半徑為，則：∵∴∴即：∴∴的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的綜合應(yīng)用重點(diǎn)考查了切線的判定解直角三角形相似三角形的判定和性質(zhì)．題目的綜合性較強(qiáng)熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．6．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑點(diǎn)CD是上異側(cè)的兩點(diǎn)交的延長線于點(diǎn)E且平分．

(1)求證：是的切線．(2)若求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接根據(jù)得出．根據(jù)平分得出，則．根據(jù)得出進(jìn)而得出即可求證（3）連接過點(diǎn)O作于點(diǎn)F通過證明為等邊三角形得出．求出．最后根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：連接∵∴．∵平分∴∴．∵∴∴即∴是的切線．（2）解：連接過點(diǎn)O作于點(diǎn)F∵∴．∵∴為等邊三角形∴．∵∴．∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定等邊三角形的判定和性質(zhì)解直角三角形求扇形面積解題的關(guān)鍵是掌握經(jīng)過半徑外端切垂直于半徑的直線是圓的切線扇形面積公式．7．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）已知內(nèi)接于為的直徑N為的中點(diǎn)連接交于點(diǎn)H．

(1)如圖①求證(2)如圖②點(diǎn)D在上連接交于點(diǎn)E若求證(3)如圖③在（2）的條件下點(diǎn)F在上過點(diǎn)F作交于點(diǎn)G．過點(diǎn)F作垂足為R連接點(diǎn)T在的延長線上連接過點(diǎn)T作交的延長線于點(diǎn)M若求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）連接根據(jù)N為的中點(diǎn)易證再根據(jù)中位線定理得出結(jié)論（2）連接先證得再根據(jù)得根據(jù)即可得出結(jié)論（3）連接先證再證四邊形是矩形過A作垂足為S先證出再能夠證出從而得到等腰直角利用三角函數(shù)求出再根據(jù)求出最后用勾股定理求出答案即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接

為的中點(diǎn)是的中位線（2）證明：如圖，連接

設(shè)

（3）解：連接

四邊形是平行四邊形是的直徑四邊形是矩形過點(diǎn)A作垂足為S是的直徑．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題考查圓的有關(guān)知識全等三角形的判定與性質(zhì)垂徑定理三角函數(shù)勾股定理圓周角定理等知識構(gòu)造輔助線解決問題是解題關(guān)鍵．8．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）兩漢文化看徐州桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時(shí)了解到玉壁玉環(huán)為我國的傳統(tǒng)玉器通常為正中帶圓孔的扇圓型器物據(jù)《爾雅·釋器》記載：“肉倍好謂之璧肉好若一、調(diào)之環(huán)．”如圖1“肉”指邊（陰影部分）“好”指孔其比例關(guān)系見圖示以考古發(fā)現(xiàn)看這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關(guān)系．(1)若圖1中兩個(gè)大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為(2)利用圓規(guī)與無刻度的直尺解決下列問題（保留作圖痕跡不寫作法）．①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若一”？②圖3表示一件圓形玉坯若將其加工成玉璧且比例關(guān)系符合“肉倍好”請畫出內(nèi)孔．【答案】(1)(2)①符合圖見詳解②圖見詳解【分析】（1）根據(jù)圓環(huán)面積可進(jìn)行求解（2）①先確定該圓環(huán)的圓心然后利用圓規(guī)確定其比例關(guān)系即可②先確定好圓的圓心然后根據(jù)平行線所截線段成比例可進(jìn)行作圖．【詳解】（1）解：由圖1可知：璧的“肉”的面積為環(huán)的“肉”的面積為∴它們的面積之比為故答案為（2）解：①在該圓環(huán)任意畫兩條相交的線且交點(diǎn)在外圓的圓上且與外圓的交點(diǎn)分別為ABC，則分別以AB為圓心大于長為半徑畫弧交于兩點(diǎn)連接這兩點(diǎn)同理可畫出線段的垂直平分線線段的垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心O過圓心O畫一條直徑以O(shè)為圓心內(nèi)圓半徑為半徑畫弧看是否滿足“肉好若一”的比例關(guān)系即可

由作圖可知滿足比例關(guān)系為的關(guān)系②按照①中作出圓的圓心O過圓心畫一條直徑過點(diǎn)A作一條射線然后以A為圓心適當(dāng)長為半徑畫弧把射線三等分交點(diǎn)分別為CDE連接然后分別過點(diǎn)CD作的平行線交于點(diǎn)FG進(jìn)而以為直徑畫圓，則問題得解如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)及平行線所截線段成比例熟練掌握圓的基本性質(zhì)及平行線所截線段成比例是解題的關(guān)鍵．9．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑點(diǎn)在上點(diǎn)在線段的延長線上且．

(1)求證：EF與相切(2)若求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用圓周角定理得到結(jié)合已知推出再證明推出即可證明結(jié)論成立（2）設(shè)半徑為x，則在中利用正弦函數(shù)求得半徑的長再在中解直角三角形即可求解．【詳解】（1）證明：連接

∵∴∵∴∵是的直徑∴∵∴∴∵為半徑∴EF與相切（2）解：設(shè)半徑為x，則∵∴在中∴即解得經(jīng)檢驗(yàn)是所列方程的解∴半徑為4，則在中∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定圓周角定理解直角三角形以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識熟練掌握圓的相關(guān)知識和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知是等邊三角形的外接圓連接并延長交于點(diǎn)交于點(diǎn)連接．

(1)寫出圖中一個(gè)度數(shù)為的角：_______圖中與全等的三角形是_______(2)求證：(3)連接判斷四邊形的形狀并說明理由．【答案】(1)(2)證明見詳解(3)四邊形是菱形【分析】（1）根據(jù)外接圓得到是的角平分線即可得到的角根據(jù)垂徑定理得到即可得到答案（2）根據(jù)（1）得到根據(jù)垂徑定理得到即可得到證明（3）連接結(jié)合得到是等邊三角形從而得到即可得到證明【詳解】（1）解：∵是等邊三角形的外接圓∴是的角平分線∴∵是的直徑∴∴∴的角有：∵是的角平分線∴在與中∵∴故答案為：（2）證明：∵∴（3）解：連接∵∴是等邊三角形∴∴四邊形是菱形．

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理菱形判定等邊三角形的判定和性質(zhì)相似三角形的判定等知識解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理從而得到相應(yīng)角的等量關(guān)系．11．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑E為上一點(diǎn)點(diǎn)C為的中點(diǎn)過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)D延長交的延長線于點(diǎn)F．

(1)求證：是的切線(2)若求的半徑長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接根據(jù)弦弧圓周角的關(guān)系可證根據(jù)圓的性質(zhì)得證明得到根據(jù)切線的判定定理證明（2）連接根據(jù)勾股定理得到的長根據(jù)等弧對等弦得到根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)得推出證明利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：連接

∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)∴∴∵∴∴∴∴∵為半徑∴為切線（2）解：連接

∵∴∵∴∵D是的中點(diǎn)∴∴∵為的直徑∴∵∴∴∴∴∴∴的半徑長為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)勾股定理相似三角形的判定和性質(zhì)正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）【感知】如圖①點(diǎn)ABP均在上，則銳角的大小為__________度．

【探究】小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖②是等邊三角形的外接圓點(diǎn)P在上（點(diǎn)P不與點(diǎn)AC重合）連結(jié)．求證：．小明發(fā)現(xiàn)延長至點(diǎn)E使連結(jié)通過證明可推得是等邊三角形進(jìn)而得證．下面是小明的部分證明過程：證明：延長至點(diǎn)E使連結(jié)四邊形是的內(nèi)接四邊形．．是等邊三角形．請你補(bǔ)全余下的證明過程．【應(yīng)用】如圖③是的外接圓點(diǎn)P在上且點(diǎn)P與點(diǎn)B在的兩側(cè)連結(jié)．若，則的值為__________．【答案】感知：探究：見解析應(yīng)用：【分析】感知：由圓周角定理即可求解探究：延長至點(diǎn)E使連結(jié)通過證明可推得是等邊三角形進(jìn)而得證應(yīng)用：延長至點(diǎn)E使連結(jié)通過證明得可推得是等腰直角三角形結(jié)合與可得代入即可求解．【詳解】感知：由圓周角定理可得故答案為：探究：證明：延長至點(diǎn)E使連結(jié)四邊形是的內(nèi)接四邊形．．是等邊三角形．∴是等邊三角形即應(yīng)用：延長至點(diǎn)E使連結(jié)四邊形是的內(nèi)接四邊形．．∴是等腰直角三角形即故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)鄰補(bǔ)角全等三角形的判定和性質(zhì)等邊三角形等腰直角三角形的判定和性質(zhì)勾股定理解直角三角形解題的關(guān)鍵是做輔助線構(gòu)造進(jìn)行轉(zhuǎn)換求解．13．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于是的直徑于點(diǎn)交于點(diǎn)交于點(diǎn)連接．

(1)求證：是的切線(2)判斷的形狀并說明理由(3)當(dāng)時(shí)求的長．【答案】(1)見解析(2)是等腰三角形理由見解析(3)【分析】（1）連接根據(jù)圓周角定理得出根據(jù)已知得出根據(jù)得出進(jìn)而根據(jù)對等角相等以及三角形內(nèi)角和定理可得即可得證（2）根據(jù)題意得出，則證明得出等量代換得出即可得出結(jié)論（3）根據(jù)設(shè)，則等邊對等角得出，則．【詳解】（1）證明：如圖所示連接

∵∴∵∴∵∴∵∴即又是的直徑∴是的切線（2）∵是的直徑∴∴∵∵∴又∴∴是等腰三角形（3）∵設(shè)，則∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定等腰三角形的性質(zhì)與判定圓周角定理熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．14．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中以為直徑的交于點(diǎn)D垂足為E．(1)求證：是的切線(2)若求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）如圖：然后根據(jù)等邊對等角可得即再根據(jù)可得進(jìn)而得到即可證明結(jié)論（2）如圖：連接有圓周角定理可得再解直角三角形可得進(jìn)而得到然后說明最后根據(jù)弧長公式即可解答．【詳解】（1）證明：如圖：連接

∵∴,∵∴,∴,∴,∴?！摺唷唷呤堑陌霃健嗍堑那芯€．（2）解：如圖：連接∵是的直徑∴,在中∴∴∴∵∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線證明圓周角定理解直角三角形等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．15．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑是上一點(diǎn)過點(diǎn)作于點(diǎn)交于點(diǎn)點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)連接．

(1)求證：是切線(2)若求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理可推出利用已知條件進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換即可求出最后利用可證明從而證明是切線．（2）根據(jù)互余的兩個(gè)角相等利用可求出設(shè)參數(shù)表示出和再根據(jù)勾股定理用參數(shù)表示出和最后利用即可求出參數(shù)的值從而求出長度即可求的長．【詳解】（1）解：連接如圖所示

為的直徑是切線．（2）解：連接如圖所示

由（1）得．．設(shè)則在中．在中．．．．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理圓周角定理切線的判定和性質(zhì)三角函數(shù)和勾股定理解題的關(guān)鍵在于利用參數(shù)表達(dá)線段長度．16．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑是弦是上一點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)連接．

(1)求證：（請用兩種證法解答）(2)若的半徑為3求的長．【答案】(1)證明見解析(2)8【分析】（1）證法一：連接得到因?yàn)樗宰C法二：連接可得，則根據(jù)可得即可得到結(jié)果（2）連接根據(jù)角度間的關(guān)系可以證得為直角三角形根據(jù)勾股定理可得邊的長進(jìn)而求得結(jié)果．【詳解】（1）證法一：如圖，連接∵∴∵是的直徑∴∴∵∴∴

證法二：如圖，連接∵四邊形是的內(nèi)接四邊形∴∴∵是的直徑∴∴∴∴

（2）解：如圖，連接∵∴∵∴∴∴．∵的半徑為3∴在中∵∴∴∴

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理直徑所對的圓周角為直角勾股定理找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．17．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下筒車上的每一個(gè)盛水筒都按逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒．問題設(shè)置：把筒車抽象為一個(gè)半徑為r的．如圖②始終垂直于水平面設(shè)筒車半徑為2米．當(dāng)時(shí)某盛水筒恰好位于水面A處此時(shí)經(jīng)過95秒后該盛水筒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處．（參考數(shù)據(jù)）

問題解決：(1)求該盛水筒從A處逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到B處時(shí)的度數(shù)(2)求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)它到水面的距離．（結(jié)果精確到米）【答案】(1)(2)該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)它到水面的距離為米【分析】（1）先求得該盛水筒的運(yùn)動(dòng)速度再利用周角的定義即可求解（2）作于點(diǎn)C在中利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得的長在中利用勾股定理求得的長據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：∵旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒∴每秒旋轉(zhuǎn)當(dāng)經(jīng)過95秒后該盛水筒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處時(shí)∵∴（2）解：作于點(diǎn)C設(shè)與水平面交于點(diǎn)D，則

在中∴在中∴∴(米)答：該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)它到水面的距離為米．【